Este documento proporciona instrucciones sobre el uso de una calculadora científica para un curso de probabilidad y estadística. Incluye cómo realizar funciones como factorización prima, números aleatorios, potencias, combinaciones y permutaciones, así como estadísticas como promedios, varianzas y correlaciones. También explica conceptos como sumatorias, principios de multiplicación y adición, y factoriales y coeficientes binomiales.
Técnicas de conteo.
Principio fundamental del conteo
Notación factorial
Permutaciones
Combinaciones
Diferencias entre permutación y combinación
Diagramas de árbol
Introducción a la Probabilidad.
Operaciones
Axiomas de Probabilidad
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Técnicas de conteo.
Principio fundamental del conteo
Notación factorial
Permutaciones
Combinaciones
Diferencias entre permutación y combinación
Diagramas de árbol
Introducción a la Probabilidad.
Operaciones
Axiomas de Probabilidad
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Convocatoria de becas de Caja Ingenieros 2024 para cursar el Máster oficial de Ingeniería de Telecomunicacion o el Máster oficial de Ingeniería Informática de la UOC
Se denomina motor de corriente alterna a aquellos motores eléctricos que funcionan con alimentación eléctrica en corriente alterna. Un motor es una máquina motriz, esto es, un aparato que convierte una forma determinada de energía en energía mecánica de rotación o par.
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
Análisis Combinatorio ,EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
CAPITULO 0 - INTRODUCCION.pdf
1. 1
Formulario
Matemáticas y de Estadística descriptiva
U.N.M.S.M. corregido y aumentado
16/09/21 (Curso: Prob. y estadística)
1) ALFABETO GRIEGO
2) MATERIAL MÍNIMO NECESARIO PARA EL CURSO.
(Obligatorio) Calculadora científica fx-82LAPLUS
o similar como la fx-350LAPLUS; inclusive ambas
tienen el mismo manual (no celular como calculadora)
o fx-991LAPLUS
2. 2
Funciones (Todas las instrucciones son para este
modelo de calculadora fx-82)
1) Factorización prima.
2) Números enteros aleatorios.
3) Cálculo de potencias.
4) Combinaciones y permutaciones.
5) 9 decimales de precisión.
6) Estadística: Generación de números
aleatorios; Suma de datos; Suma de
cuadrados de datos; varianza muestral;
correlación lineal de Pearson; regresión
líneal; regresión parabólica; regresión
inversa y otras
(Opcional) Microsoft Excel 2010 (Análisis de
datos), IBM SPSS Statistics 20; Minitab 17; R
Todo cálculo debe ser presentado con un mínimo
de 4 de decimales (los primeros 4 decimales que da la
calculadora); por ejemplo:
4719
.
1
4
)
3
2
10
(
4142
.
1
2
3333
.
0
3
1
2
(en la calculadora)
Para informes; exámenes etc. se tiene que escribir:
4719
,
1
4142
,
1
3333
,
0 respectivamente.
7) SUMATORIAS
n
n
i
i X
X
X
X
...
2
1
1
Ejemplo 1.- Sea la siguiente data referente a la
estatura en metros de un grupo de alumnos; se
introducen la data a la calculadora:
1,70 1,76 1,71 1,69 1,65 1,81
Con la calculadora fácilmente se obtiene el resultado:
1.7+1.76+….+1.81=10.32
2
2
2
2
1
1
2
... n
n
i
i X
X
X
X
3. 3
Ejemplo 2.- Hallar la suma de cuadrados con la
calculadora de las estaturas de la data anterior.
1.7/x2
/+1.76/x2
/+….+1.81/x2
/=17.7664
K
k
i
i
k
i
i X
f
X
f
X
f
X
f
...
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
... k
k
i
k
i
i X
f
X
f
X
f
X
f
n
i
nk
k
k
k
k
1
...
n
i
i
n
i
i X
c
cX
1
1
nk
X
c
k
cX
n
i
i
n
i
i
1
1
)
(
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i Y
X
Y
X
1
1
1
)
(
)
(
);
sin
( 1
1
tabulados
datos
n
X
f
X
tabular
datos
n
X
X
k
i
i
i
n
i
i
0
)
(
1
X
X
n
i
i
(Suma de las desviaciones respecto a la media es idénticamente
cero)
i
X : datos originales mayúscula
X
X
úscula
x i
i
)
(min : datos expresados en
desviaciones respecto a la media.
Ejemplo 3.- Sean los datos originales:
6
;
7
;
2 3
2
1
X
X
X . La media muestral es 5
3
6
7
2
X ;
luego los datos expresados en desviaciones respecto a
la media son: 1
5
6
;
2
5
7
;
3
5
2 3
2
1
x
x
x
n
X
X
X
n
X
X
X
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2
1
1
2
2
1
2
2
1
)
(
n
X
f
X
n
X
f
X
f
X
n
X
f
X
X
f
k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
i
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
;
)
(
2
)
1
(
...
2
1
1
n
n
n
i
n
i
4. 4
30
)
1
3
3
)(
1
2
)(
1
(
;
2
)
1
(
;
6
)
1
2
)(
1
(
2
1
4
3
1
3
1
2
n
n
n
n
n
i
n
n
i
n
n
n
i
n
i
n
i
n
i
1
;
1
1
...
1 1
2
1
1
r
r
r
r
r
r
r
n
n
n
i
i
1
0
;
1
1
....
...
1 1
2
1
1
r
r
r
r
r
r n
i
i
2
3
2
1
1
)
1
(
1
.....
4
3
2
1
r
r
r
r
ir
i
i
3) Principio de multiplicación
Si un suceso 1 puede ocurrir de n1 formas distintas; a
continuación otro suceso 2 puede ocurrir de n2 formas
diferentes; entonces ambos sucesos y en ese orden
pueden ocurrir de n1xn2 formas diferentes.
Ejemplo 4.- Un estudiante tiene 3 pantalones
distintos y 4 camisas distintas.
¿De cuántas maneras diferentes se puede presentar a
clases?
Un diagrama de árbol nos presenta el número total de
casos:
Por el principio de multiplicación se tiene que el
suceso 1 (elección del pantalón) puede ocurrir de n1=4
formas distintas; una vez elegido el pantalón, otro
suceso 2 (elección de la camisa) puede ocurrir de n2 =3
5. 5
formas diferentes. Entonces ambos sucesos pueden
ocurrir de n1xn2 = 4x3=12 formas diferentes.
4) Principio de adición.
Si un suceso 1 puede ocurrir de n1 formas distintas; a
continuación otro suceso 2 puede ocurrir de n2 formas
diferentes; supongamos que ambos sucesos no
pueden ocurrir simultáneamente; entonces el número
de formas distintas con que pueden ocurrir el suceso 1
o el suceso 2 es de n1+n2 formas diferentes.
Ejemplo 5.-
Un turista para ir de Lima a Cuzco tiene 3 líneas aéreas
diferente para hacerlo y 2 líneas de buses ¿De cuantas
formas diferentes puede hacer el viaje?
Solución.-
Suceso 1: elegir una línea aérea n1=3
Suceso 2: elegir una línea de bus n2=2
Obviamente no se puede hacer el viaje de Lima a Cuzco
en los dos medios de transporte; luego el número de
formas con que el turista puede de Lima a Cuzco es
n1+n2=3+2=5 formas.
5) Factorial; Permutaciones; Coeficiente Binomial
a) Factorial de un número entero positivo o cero
)
1
)(
2
)(
3
)....(
2
)(
1
(
!
n
n
n
n
)!
2
)(
1
(
!
)
1
(
!
n
n
n
n
n
n
1
!
0 (Por definición)
1
!
1
2
)
1
(
2
!
2
6
)
1
)(
2
(
3
!
3
24
)
1
)(
2
)(
3
(
4
!
4
; 120
)
24
(
5
)
!
4
(
5
!
5
720
)
120
(
6
)
!
5
(
6
!
6
; 5040
)
720
(
7
)
!
6
(
7
!
7
........
3628800
)
362880
(
10
)
!
9
(
10
!
10
Ejemplo 6.-
6. 6
Cálculo del factorial de 10
ENC(encendido)/10/SHIFT/x!/=3628800
Similar para el cálculo del factorial de 8
8/SHIFT/x!/=40320
b) Coeficiente binomial; o número combinatorio de
n objetos diferentes (muestreo sin
reemplazamiento, no importa el orden)
N
k
Z
k
n
k
n
k
n
n
k
n
n
n
n
nCk
C
k
n n
k
;
;
;
!
)
(
!
!
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
Ejemplo 7.-
56
6
)
6
)(
7
(
8
!
3
!
5
!
5
)
6
)(
7
(
8
!
3
!
5
!
8
5
8
;
56
6
)
6
)(
7
(
8
!
5
!
3
!
5
)
6
)(
7
(
8
!
5
!
3
!
8
3
8
Ejemplo 8.-
Con la calculadora: 8/SHIFT/nCr/5/=56
Otro ejemplo; calcular 20
12
C
20/SHIFT/nCr/12/=125970
Propiedades:
I.
k
n
n
k
n
; n
n
n
n
1
1
; 1
0
n
n
n
Ejemplo 9.-
3
8
5
8
; 8
!
7
!
1
8
1
8
; 8
!
1
!
7
!
8
7
8
1
8
8
Ejemplo 10.-
7. 7
Con la calculadora hallar
13
20 ;
7
20
13
20
20
y comprobar que ambos
son iguales:
20SHIFT/nCr/13/=77520
20/SHIFT/nCr/7/=77520
II.
1
1
1 k
n
k
n
k
n
;
Ejemplo 11.-
21
2
)
6
(
7
5
7
21
6
15
!
1
!
5
!
6
!
2
!
4
!
6
5
6
4
6
Ejemplo 12.- Comprobar con la calculadora
que se cumple
21
5
7
5
6
4
6
6/SHIFT/nCr/4 + 6/SHIFT/nCr/5/=21
7/SHIFT/nC5/5/=21
III. n
n
n
n
n
b
a
n
n
b
a
n
n
b
a
n
a
n
b
a 0
1
1
1
1
1
...
1
0
)
(
Ejemplo 13.-
4
0
1
4
1
2
2
4
1
4
4
4
4
4
1
4
4
2
4
1
4
0
4
)
( b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a
4
3
1
2
2
3
4
4
4
6
4
)
( b
b
a
b
a
b
a
a
b
a
IV.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
...
2
1
0
2
)
1
1
(
Ejemplo 14.-
8. 8
16
1
4
6
4
1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
2
)
1
1
( 4
4
V. Triángulo de Tartaglia
....
..........
..........
..........
..........
..........
..........
1
4
6
4
1
1
3
3
1
1
2
1
1
1
4
4
4
3
4
2
4
1
4
0
3
3
3
2
3
1
3
0
2
2
2
1
2
0
1
1
1
0
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Los extremos son iguales a 1.
Cada elemento del interior es la suma de los
dos que tiene encima.
VI. 1
1
2
n
n
x
n
x
n
x
VII.
1
1
1
1
1
1
1
1
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
VIII.
n
N
x
n
n
N
x
n
n
x 0
Ejemplo 15.- Verificar la propiedad VIII; con
los valores: N=4; n=2
2
4
6
1
4
1
0
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
2
2
2
4
2
2
0 x
x
x
Ejemplo 16.- Verificar la propiedad VIII con
los valores N=7; n=3
9. 9
3
7
35
1
12
18
4
0
4
3
3
1
4
2
3
2
4
1
3
3
4
0
3
3
3
7
3
3
0 x
x
x
c) Permutaciones de n objetos distintos tomados
de k en k (muestreo sin reemplazamiento;
importa el orden) o también se les llama
Variaciones o Arreglos
!
)
(
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
k
n
n
k
n
n
n
n
A
V
nPk
P n
k
n
k
n
k
Propiedad:
!
k
P
C
n
k
n
k
n
k
n
k
C
k
P !
Ejemplo 17.- En una carrera de 400 metros
planos en la que participan 10 atletas se va a
premiar con medalla de oro; medalla de plata y
medalla de bronce. ¿De cuántas formas
diferentes se puede hacer?
720
!
7
!
7
)
8
)(
9
(
10
!
)
3
10
(
!
10
)
8
)(
9
(
10
10
3
P
Ejemplo 18.- Obtener 10
3
P con la calculadora.
10/SHIFT/P3/=720.
En forma similar se puede obtener 10
7
P
10/SHIFT/P7/=604800
d) Permutaciones de n objetos distintos tomados
de n en n (muestreo sin reemplazamiento)
!
!
0
!
!
)
(
!
n
n
n
n
n
P
P n
n
n
Ejemplo 19.- Se tienen tres libros distintos;
uno de álgebra (A); otro de biología (B) y un
10. 10
tercero de castellano (C). ¿ De cuántas maneras
se pueden presentar en fila?
La respuesta es de seis formas diferentes; los
cuales son:
ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA
Según la fórmula:
as
dist
formas
P int
6
)
1
)(
2
)(
3
(
!
3
3
Ejemplo 20.- Se disponen de 4 cuadros
diferentes que serán colocados en fila en una
pared. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden hacer?
24
)
1
)(
2
)(
3
(
4
!
4
4
P
e) Permutaciones con repetición de n objetos;
donde hay n1 objetos iguales; n2 objetos
iguales;….; nk objetos iguales. Donde
n1+n2+…nk=n
!
!...
!
!
)
(
2
1
;...;
; 2
1
k
n
n
n
n
n
n
n
n
PR k
En particular si k=2; n1+n2=n; n2=n-n1
1
1
1
; 1
2
1
!
)
(
!
!
)
(
n
n
C
n
n
n
n
PR n
n
n
n
n
Ejemplo 21.- Se tienen 6 carros nuevos para
su presentación en fila; 3 de ellos son idénticos;
2 de ellos son idénticos y el último es diferente a
los anteriores. ¿De cuántas formas diferentes se
puede hacer?
60
2
)
4
)(
5
(
6
!
1
!
2
!
3
!
6
)
( 6
1
;
2
;
3
PR
Ejemplo 22.- Obtener 10
2
;
3
;
5
)
(PR con la
calculadora
10/SHIFT/!/÷(5!x3!x2!)=2520
11. 11
En forma similar se puede calcular 16
2
;
4
;
10
)
(PR
16!÷(10!x4!x2!)=120120
f) Permutaciones con repetición de n objetos;
donde puede haber repetición dentro de sus
elementos; se toman k objetos uno por uno con
reemplazamiento (orden importa)
k
n
k
n
(Pr) ; en este caso puede ser k>n
Ejemplo 23.- ¿Cuántos números de seis
dígitos se pueden hacer con los números 1; 5 y 8
6
;
3
k
n
729
3
(Pr)
(Pr) 6
6
3
k
n
k
n
Ejemplo 24.- ¿Cuántos números de 11 dígitos
se pueden con los dígitos 3; 5; 7; 9. Use la
calculadora.
4194304
4
(Pr)
(Pr) 11
11
4
k
n
k
n
4/x■
/11/=4194304
g) Combinaciones con repetición
Se tienen n elementos diferentes; se va a tomar k
de ellos tomados uno por uno con
reemplazamiento y el orden no interesa;
entonces se está al frente de combinaciones con
repetición:
)!
1
(
!
)!
1
(
1
)
( 1
n
k
k
n
C
k
k
n
CR k
n
k
n
k
Ejemplo 25.- ¿Cuántas combinaciones con
repetición se pueden hacer con 3 objetos
distintos; tomados de 2 en 2?
Sean los 3 objetos diferentes a; b; c.
12. 12
Los resultados posibles se dan a continuación:
ab; ac; bc; aa; bb; cc
Según la fórmula
6
2
4
2
1
2
3
)
(
;
2
;
3 3
2
CR
k
n
Ejemplo 26.- ¿Cuántas combinaciones con
repetición se pueden hacer con 3 objetos
distintos; tomados de 3 en 3?
Sean los 3 objetos diferentes a; b; c. Los
resultados posibles se dan a continuación:
abc (1 caso)
abb (1 caso); acc (1 caso)
bcc (1 caso); baa (1 caso)
cbb (1 caso); caa (1 caso);
aaa (1 caso); bbb (1 caso); ccc (1 caso)
Según la fórmula se tiene:
10
3
5
3
1
3
3
)
(
;
3
;
3 3
3
CR
k
n
Ejemplo 27.- Se tienen 5 objetos distintos
denotados por 1; 2; 3; 4; 5; se toma de 2 ellos:
a) Importa el orden (uno por uno sin
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1 (2;1) (3;1) (4;1) (5;1)
2 (1;2) (3;2) (4;2) (5;2)
3 (1;3) (2;3) (4;3) (4;5)
4 (1;4) (2;4) (3;4) (5;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5)
20
4
5
!
)
2
5
(
!
5
5
2
x
P casos.
13. 13
b) No importa el orden (uno por uno sin
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1
2 (1;2)
3 (1;3) (2;3)
4 (1;4) (2;4) (3;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5)
10
!
3
!
2
!
5
5
2
C casos.
c) Importa el orden (uno por uno con
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1 (1;1) (2;1) (3;1) (4;1) (5;1)
2 (1;2) (2;2) (3;2) (4;2) (5;2)
3 (1;3) (2;3) (3;3) (4;3) (5;3)
4 (1;4) (2;4) (3;4) (4;4) (5;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5) (5;5)
25
5
(Pr) 2
k
n
k
n
d) No importa el orden ( uno por uno con
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1 (1;1)
2 (1;2) (2;2)
3 (1;3) (2;3) (3;3)
4 (1;4) (2;4) (3;4) (4;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5) (5;5)
14. 14
15
!
4
!
2
!
6
2
6
2
1
2
5
)
(
;
2
;
5 5
2
CR
k
n
casos.
En general:
Sin
reemplazamiento
Con
reemplazamiento
Importa
el
orden
!
)
(
!
k
n
n
Pn
k
k
n
No
importa
el orden
!
)
(
!
!
k
n
k
n
Cn
k
!
)
1
(
!
!
)
1
(
1
)
(
n
k
k
n
k
k
n
CR n
k
NOTACIONES GENERALES (ESTADÍSTICA)
1. N: tamaño de la población.
2. n: tamaño de la muestra. )
( N
n
3.
N
X
n
I
i
1
: parámetro; media poblacional (Variables cuantitativas)
4.
N
X
N
i
i
1
2
2
)
(
: parámetro, varianza poblacional. (Variables cuantitativas)
5. 2
: parámetro, desviación estándar poblacional. (variable cuantitativa)
6.
N
stica
caracterí
cierta
con
población
la
en
elementos
de
nro
p
.
parámetro poblacional (variable cualitativa)
n
tica
carácterís
cierta
con
muestra
la
en
elementos
de
número
p
ˆ
( proporción muestral o proporción poblacional estimada; p̂ se lee p estimado)
15. 15
k : número de valores distintos de una variable
discreta o número de intervalos de clase en
variables continuas.
Número de intervalos de clase en la construcción
de tablas de frecuencia en el caso continuo:
Existen tres opciones:
Tomar k de forma moderado tal que 5k 15
.
k n
(donde significa aproximadamente)
k= )
log(
3
,
3
1 n
. Fórmula de Sturges
R=recorrido de la variable=Xmáx - Xmin
c: amplitud constante de los intervalos de clase;
donde
K
R
c
i
f : frecuencia absoluta.
n
f
h i
i
: frecuencia relativa
i
i
f
f
f
F
...
2
1
: frecuencia absoluta acumulada.
i
i
h
h
h
H
...
2
1
: frecuencia relativa acumulada.
k
k
H
H
H
F
F
F
....
;
.... 2
1
2
1
k
i
h
H
H
f
F
F i
i
i
i
i
i
;...;
3
;
2
;
; 1
1
6) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.
X
M
X : media muestral o media aritmética o promedio.
16. 16
n
X
X
n
i
i
1
: media muestral de datos sin tabular.
n
X
f
X
k
i
i
i
1
: media muestral de datos tabulados.
Propiedades de la media aritmética ]
[X
M
X
a) K
K
M
]
[ b) K
X
M
K
X
M
]
[
]
[
c) ]
[
]
[ X
cM
cX
M
d) k
X
cM
k
cX
M
]
[
]
[ e) ]
[
]
[
]
[ Y
M
X
M
Y
X
M
f)
2
1
2
2
1
1
n
n
X
n
X
n
X
(media global) g) max
min
X
X
X
h) 0
)
(
1
X
X
n
i
i
(suma de las desviaciones respecto a la media es idénticamente cero)
2. e
M : mediana “término central de los datos
ordenados de menor a menor”.
2
1
n
X
Me : n es impar.
2
1
2
2
n
n
X
X
Me : n es par.
3. Cuartiles para datos sin tabular
4
1
1 n
X
Q : primer cuartil
4
)
1
(
2
2 n
X
Q : segundo cuartil
4
)
1
(
3
3 n
X
Q : tercer cuartil.
4.
1
1
*
1
2
j
j
j
j
e
F
F
F
n
c
x
M : Mediana: caso continuo.
17. 17
5. Md :Moda
6.
)
(
)
(
)
(
1
1
1
*
1
j
j
j
j
j
j
j
f
f
f
f
f
f
c
x
Md :Moda caso
continuo
7. Cuartiles: Caso continuo
Primer cuartil
1
1
*
1
1
4
k
k
k
k
F
F
F
n
c
x
Q
Segundo cuartil
Me
Q
2
: segundo cuartil.
Tercer cuartil.
1
1
*
1
3
4
3
l
l
l
l
F
F
F
n
c
x
Q
8. Rango Medio=RM=
2
max
min
X
X
9. Eje medio=
2
3
1
Q
Q
d
e
M
M
X
: Distribuciones simétricas
18. 18
d
e
M
M
X
: Distribución asimétrica (asimetría
negativa)
X
M
M e
d
: Distribución asimétrica (asimetría
positiva)
)
(
3 e
d
M
X
M
X
(distribuciones moderadamente asimétricas)
7) MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN
(Absolutas)
1)
1
. 1
2
1
2
n
n
X
X
S
e
d
n
i
n
i
i
i
desviación estándar o típica muestral.
1
.
1
2
1
2
n
n
X
f
X
f
S
e
d
k
i
k
i
i
i
i
i
(datos tabulados)
2)
1
1
2
1
2
2
n
n
X
X
S
n
i
n
i
i
i
= varianza muestral insesgada o cuasivarianza (datos sin tabular)
19. 19
1
2
1
1
2
2
n
n
X
f
X
f
S
k
i
i
i
k
i
i
i
= varianza muestral insesgada o cuasivarianza
3) min
max
X
X
R
:Recorrido muestral
4) Algunos textos definen una varianza muestral diferente a la
definida en 2); pues en lugar de dividir entre n-1 lo divide
entre n; a esta varianza se le llama varianza muestral
sesgada; es dada por:
n
n
X
X
S
n
i
n
i
i
i
1
2
1
2
2
*
;
2
*
*
S
S
Si 30
n ambas varianzas son muy
próximas; la relación exacta entre ambas
es:
2
2
*
2
*
2 1
1
S
n
n
S
S
n
n
S
Propiedades de la varianza muestral ]
[
2
X
Var
S
I) 0
]
[
k
Var
II) ]
[
]
[ X
Var
k
X
Var
III) ]
[
]
[ 2
X
Var
c
cX
Var
IV) ]
[
]
[ 2
X
Var
c
k
cX
Var
V) tes
independie
Y
e
X
Y
Var
X
Var
Y
X
Var ];
[
]
[
]
[
.
VI) 0
]
[
2
X
Var
S
5) RECORRIDO INTERCUARTILICO: (RI )
1
3
Q
Q
RI
6) DESVIACIÓN MEDIA: (D)
20. 20
n
X
X
DM
n
i
i
1
;
n
X
X
f
DM
k
i
i
i
1
10. COEFICIENTE DE VARIACIÓN (Medida de dispersión
Relativa)
X
S
CV ; expresado en %: )
(
100
100
X
S
CV
a) CV<0,05 (o 100CV<5%) “varianza pequeña”;
CV>0,05 (o 100CV>5%) “varianza grande”.
b) Sirve para comparar la variabilidad de dos o
más grupos con diferente media muestral; los
grupos pueden ser de distinto tamaño e
incluso pueden estar en distintas unidades)
11. MEDIDAS DE ASIMETRÍA
Usaremos el llamado coeficiente de asimetría (usado
por el Excel o el SPSS)
3
1
3
)
(
)
2
)(
1
(
.
.
S
X
X
n
n
n
A
C
n
i
i
: coeficiente de
asimetría
Si
negativa
asimetría
simétrica
positiva
asimetría
A
C
;
0
;
0
;
0
:
. (*)
Existen otras medidas de asimetría; estas usualmente
se denominan sesgo; por ejemplo:
S
M
X
Sesgo d
(1)
S
Me
X
Sesgo
)
(
3
(2)
(1) y (2) se llaman primer y segundo coeficiente de
sesgo de Pearson.
Interpretación de (1) y (2) similar a (*)
21. 21
12. MEDIDAS DE APUNTAMIENTO (KURTOSIS)
(Usada en Excel o SPSS)
)
3
)(
2
(
)
1
(
3
)
(
)
3
)(
2
)(
1
(
)
1
( 2
4
1
4
n
n
n
S
X
X
n
n
n
n
n
K
n
i
i
Si
)
(
;
0
;
0
)
(
;
0
achatada
ca
platicúrti
K
normal
K
puntiaguda
ca
leptocúrti
K
K
Otra medida para medir el apuntamiento o kurtosis es
dada por:
2
1
2
4
1
1
)
(
)
(
n
X
X
n
X
X
K n
i
i
n
i
i
ca
platicúrti
K
normal
K
ca
leptocúrti
K
K
;
3
;
3
;
3
1
1
1
1
13. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
Se tienen datos dispuestos en pares ordenados
n
i
Y
X i
i
;....,
3
;
2
;
1
);
;
( ; estos se colocan en una tabla
bidimensional haciendo previamente un conteo y se
presentan en una tabla bidimensional de a filas y b
columnas de la siguiente forma:
a) Tabla de frecuencias absolutas:
22. 22
j
i Y
X 1
Y 2
Y … j
Y …
b
Y x
i
f
1
X 11
f 12
f … j
f1
… n
f1
x
f1
…. … … … … … … ...
i
X 1
i
f 2
i
f … ij
f … in
f x
i
f
…. … … … … … … …
a
X 1
m
f 2
m
f … mj
f … mn
f x
a
f
y
j
f y
f1
y
f2
… x
j
f … y
b
f n
Donde la última columna
a
i
f
f
b
j
ij
x
i
;..,
2
;
1
;
1
(Distribución marginal de X; se suma por filas)
Donde la última fila
b
j
f
f
a
i
ij
y
j
;..,
2
;
1
;
1
(Distribución Marginal de Y; se suma por
columnas)
b) Tabla de frecuencias relativas:
n
f
h ij
ij
: frecuencia relativa; )
;
(
:
100 j
i
ij
Y
X
pares
de
porcentaje
h
c) Distribuciones relativas condicionales.
Existen dos tipos de distribuciones relativas
condicionales:
Distribución condicional de j
i
Y
X
Y
dado
X j
i
j
i
/
/
:
a
i
j
columna
total
j
columna
de
elementos
f
f
f y
j
ij
j
i
;...
2
;
1
;
/
(existen n condicionales de la forma i/j)
23. 23
j
i /
y
j
j
f
f /
1
y
j
j
f
f /
2
…
y
j
mj
f
f /
n
j
f y
j
;...;
2
;
1
;
Distribución condicional de i
j
X
Y
X
dado
Y i
j
i
j
/
/
;
b
j
i
fila
total
i
fila
la
de
elementos
f
f
f x
i
ij
i
j
;...
2
;
1
;
/
i
j / x
i
i
f
f /
1
x
i
i
f
f /
2
… x
i
in
f
f / a
i
f x
i
;..
2
;
1
;
(existen m distribuciones condicionales de la forma Yj/Xi)
Ejemplo 28.- Sean las siguientes variables:
X: número de horas de estudio por semana.
Y: nota final en un determinado curso.
Y
X / 10 14 18 x
i
f
4 3
11
f 2
12
f 2
13
f 7
1
x
f
8 2
21
f 7
22
f 8
23
f 17
2
x
f
12 1
31
f 6
32
f 7
32
f 14
3
x
f
y
j
f 6
1
y
f 15
2
y
f 17
3
y
f 38
n
a) Interpretar 7
22
f
Solución.-
Significa que existen 7
22
f estudiantes que han
estudiado 8 horas y han obtenido nota final de14
puntos.
24. 24
b) Obtener la distribución marginal de X e
interpretar 17
2
x
f
Solución.-
La distribución marginal de X se obtiene
sumando por fila; es decir:
i
X x
i
f
4 7
8 17
12 14
38
n
17
2
x
f ; significa que 17 estudiantes han
estudiado 8 horas.
c) Obtener la distribución marginal de Y e interpretar
15
2
y
f .
Solución.-
La distribución marginal de Y se obtiene sumando por
columna.
j
Y 10 14 18
y
j
f 6 15 17 38
n
15
2
y
f ; significa que 15 estudiantes que se han sacado
nota de 14 puntos.
d) Hallar la distribución conjunta de frecuencias
relativas e interpretar 22
h .
Solución.-
Y
X / 10 14 18 x
i
h
4 38
/
3
11
h 38
/
2
12
h 38
/
2
13
h 38
/
7
1
x
h
8 38
/
2
21
h 38
/
7
22
h 38
/
8
23
h 38
/
17
2
x
h
12 38
/
1
31
h 38
/
6
32
h 38
/
7
32
h 38
/
14
3
x
h
y
j
h 38
/
6
1
y
h 38
/
15
2
y
h 38
/
17
3
y
h 1
%
4210
,
18
100
)
38
/
7
(
100 22
x
h ; lo cual significa que el 18,42%
de los estudiantes han estudiado 8 horas y han
obtenido una nota de 14 puntos.
25. 25
e) Hallar las a=3 distribuciones condicionales de la
forma
a
i
j
columna
total
j
columna
de
elementos
f
f
f y
j
ij
j
i
;...
2
;
1
;
/
i
X
]
10
[ (1)
6
1
1
1 i
y
i f
f
f
]
14
[ (2)
15
2
2
2 i
y
i f
f
f
]
18
[ (3)
17
3
3
3 i
y
i f
f
f
4 6
/
3
6
/
/ 11
1
11
f
f
f y
15
/
2
15
/
/ 12
2
12
f
f
f y
17
/
2
17
/
/ 13
3
13
f
f
f y
8 6
/
2
6
/
/ 21
1
21
f
f
f y
15
/
7
15
/
/ 22
2
22
f
f
f y
17
/
8
17
/
/ 23
3
23
f
f
f y
12 6
/
1
6
/
/ 31
1
31
f
f
f y
15
/
6
15
/
/ 32
2
32
f
f
f y
17
/
7
17
/
/ 32
3
33
f
f
f y
1 1 1
f) Interpretar 6
/
2
6
/
/ 21
1
21
f
f
f y
; 15
/
7
15
/
/ 22
2
22
f
f
f y
y también 17
/
8
17
/
/ 23
3
23
f
f
f y
Solución.-
%
33
,
33
)
6
/
2
(
100
6
/
100
/
100 21
1
21
f
f
f y
; esto
significa que de los estudiantes que han estudiado X2 =8
horas, el 33,33% se han sacado Y1=10 puntos.
%
66
,
46
)
15
/
7
(
100
15
/
100
/
100 22
2
22
f
f
f y
; esto
significa que de los estudiantes que han estudiado
X2=8 horas, el 46,66%% se han sacado Y2= 14 puntos.
%
05
,
47
)
17
/
8
(
100
17
/
100
/
100 23
3
23
f
f
f y
; esto
significa que los estudiantes que han estudiado X2=8
horas, 47,05% se han sacado Y3=18 puntos.
g) Hallar la a=3 distribuciones condicionales de la
forma b
j
i
fila
total
i
fila
la
de
elementos
f
f
f x
i
ij
i
j
;...
2
;
1
;
/
.
Solución.-
j
Y 10 14 18
]
4
[ (1)
7
/
/ 1
1
1 j
x
j f
f
f 7
/
3
/ 1
11
x
f
f 7
/
2
/ 1
12
x
f
f 7
/
2
/ 1
13
x
f
f 1
]
8
[ (2)
17
/
/ 2
2
2 j
x
j f
f
f 17
/
2
/ 2
21
x
f
f 17
/
7
/ 2
22
x
f
f 17
/
8
/ 2
23
x
f
f 1
]
12
[ (3)
14
/
/ 3
3
3 j
x
j f
f
f 14
/
1
/ 3
31
x
f
f 14
/
6
/ 3
32
x
f
f 14
/
7
/ 3
33
x
f
f 1
26. 26
h) Interpretar 7
/
2
/ 1
12
x
f
f ; 17
/
7
/ 2
22
x
f
f y también
14
/
6
/ 3
32
x
f
f
Solución.-
%
57
,
28
)
7
/
2
(
100
/
100 1
12
x
f
f ; esto significa que los
estudiantes que se han sacado nota Y2= 14 puntos el
28,57% han estudiado X1=4 horas.
%
17
,
41
)
17
/
7
(
100
/
100 2
22
x
f
f ; esto significa que los
estudiantes que se han sacado nota Y2=14 puntos el
41,17% han estudiado X2=8 horas.
%
85
,
42
)
14
/
6
(
100
/
100 3
32
x
f
f ; esto significa que
los estudiantes que se han sacado nota Y2=14 puntos,
el 42,85% han estudiado X3=12 horas.
d)
n
Y
X
n
Y
X
n
Y
Y
X
X
Y
X
Cov
n
i
i
i
n
i
i
i
1
1
)
)(
(
)
;
( : Covarianza
muestral entre las variables X e Y.
14. COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL SIMPLE
DE PEARSON.
Se denota por )
;
( Y
X
r
r
r XY
a) 1
1
xy
r
b) 1
r : asociación lineal perfecta en sentido positivo.
1
r : asociación lineal perfecta en sentido negativo.
1
95
,
0
r : excelente asociación lineal en sentido positivo.
95
,
0
1
r : excelente asociación lineal en sentido negativo.
27. 27
c)
2
1 1
2
1 1
2
1 1 1
)
(
)
(
)
)(
(
)
;
(
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
XY
Y
Y
n
X
X
n
Y
X
Y
X
n
Y
X
r
r
r
d) Propiedades del coeficiente de correlación
i. )
;
(
)
;
( X
Y
r
Y
X
r (propiedad de simetría)
ii. )
;
(
)
;
( Y
X
r
b
Y
a
X
r
iii. )
;
(
)
;
( Y
X
r
bY
aX
r ; 0
;
0
b
a o 0
;
0
b
a
iv. )
;
(
)
;
( Y
X
r
bY
aX
r
; 0
;
0
b
a o 0
;
0
b
a
v. 1
)
;
(
)
;
(
Y
Y
r
X
X
r
vi. Si b
aX
Y
; entonces 1
)
;
(
Y
X
r si 0
a y
1
)
;
(
Y
X
r si 0
a
vii.
n
Y
Y
n
X
X
n
Y
Y
X
X
S
S
Y
X
Y
X
r n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
Y
X
1
2
1
2
1
*
*
)
(
)
(
)
)(
(
)
;
cov(
)
;
(
Ejemplo 29.- Consideremos las variables
relacionadas:
X: nro. de horas de estudio semanal dedicados a un
determinado curso.
Y: nota final en dicho curso.
Xi Yi
0 5
2 9
3 12
4 14
5 16
a) Hacer un diagrama de dispersión o nube de
puntos o scatter plots. Comente de la posible
linealidad.
28. 28
Solución.-
Con el SPSS se siguen los siguientes pasos:
Gráficos / Cuadro de diálogos antiguos / Dispersión
Puntos…/ Dispersión Simple / Definir / Aceptar
El gráfico muestra una clara relación de tipo lineal en
X e Y en sentido positivo; o sea son variables
Directamente Proporcionales (D.P.)
Ejemplo 30.- Hallar e interpretar el coeficiente de
correlación lineal de Pearson.
Solución.-
El coeficiente de correlación lineal de Pearson tiene
varias formas de presentarlo en forma equivalente, si
consideramos las desviaciones respecto a la media
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
)
)
(
)(
)
(
(
)
)(
(
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
Y
n
X
X
n
Y
X
Y
X
n
r
29. 29
Reemplazando:
998
,
0
9978297016
,
0
27676
166
374
74
166
56
)
702
(
5
14
)
54
(
5
)
56
)(
14
(
)
190
(
5
2
2
r
Lo cual muestra que existe una alta o excelente
asociación lineal entre X e Y en sentido positivo.
15. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
i
i
i
e
bX
a
Y
i
i
i
i
i
e
Y
Y
bX
a
Y
ˆ
;
ˆ ;
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
1 1
2
2
1 1 1
)
(
)
)(
(
(pendiente poblacional estimada)
X
b
Y
a
(intercepto poblacional estimada)
i
i
i
Y
Y
e ˆ
(residuos o residuales o errores muestrales)
Ejemplo 31.- Hallar la recta de regresión para la data
del Ejemplo anterior.
Solución.-
De la solución general de las ecuaciones normales
obtenida por M.C se necesitan los siguientes cálculos.
30. 30
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
243243243
,
2
74
166
)
14
(
54
)
5
(
)
56
)(
14
(
190
)
5
(
)
(
)
)(
(
ˆ
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
91891892
,
4
)
5
14
)(
243243243
,
2
(
5
56
2
1
X
Y
Luego el modelo de regresión estimado es
i
i X
Y 243243243
,
2
91891892
,
4
Sistema de ecuaciones normales:
i
i
i
i
i
i
Y
X
b
X
a
X
Y
b
X
na
)
(
)
(
)
(
2
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
Y
e
1
1
1
ˆ
;
0 Y
Y ˆ
0
1
i
n
i
i
X
e
Ejemplo 32.- Hallar el sistema de ecuaciones normales
para el Ejemplo anterior.
Solución.-
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
32. 32
14
i
X 56
i
Y 56
00000001
,
56
i
Y
0
09
6
000000006
,
0
E
ei
La recta de regresión estimada con coeficientes en
fracción es:
i
i
X
Y
37
83
37
182
ˆ
37
182
)
0
(
37
83
37
182
)
0
(
ˆ
i
Y ;
37
348
)
2
(
37
83
37
182
)
2
(
ˆ
i
Y
37
431
)
3
(
37
83
37
182
)
3
(
ˆ
i
Y ;
37
514
)
4
(
37
83
37
182
)
4
(
ˆ
i
Y
37
597
)
5
(
37
83
37
182
)
5
(
ˆ
i
Y
37
3
37
182
5
ˆ
1
1
1
Y
Y
e ;
37
15
37
348
9
ˆ
2
2
2
Y
Y
e
37
13
37
431
12
ˆ
3
2
3
Y
Y
e ;
37
4
37
514
14
ˆ
4
4
4
Y
Y
e
37
5
37
597
16
ˆ
5
5
5
Y
Y
e
Los cálculos exactos se presentan en el siguiente
cuadro:
i
X i
Y i
Y
i
e
0 5 182/37 3/37
2 9 348/37 -15/37
3 12 431/37 13/37
4 14 514/37 4/37
5 16 597/37 -5/37
14
i
X 56
i
Y 56
i
Y
0
i
e
33. 33
En la calculadora se puede encontrar esta regresión
lineal simple y otras funciones:
Pulsar MODO / 2:STAT / 2 / aparece un menú del 1 al 8:
1) 1-VAR (desviación estándar S : dividido entre 1
n ;
también da la desviación estándar x
dividida entre n)
Ejemplo 33.-
Con la calculadora fx-82 se hacen los siguientes pasos:
Supongamos la siguiente data:
Xi fi
1 3
3 2
4 8
n=13
MODO /2:STAT / 1: 1-VAR / DATA / AC /SHIFT-
1/4:Var/2: x =3,153846154; 3: x
=1,230769231;
4:sx=1,28102523 /
Donde: x
(desviación estándar dividida entre n-1)
sx (desviación estándar dividida entre n)
La data de la siguiente manera:
x FREQ
1 3
3 2
4 8
2) A+BX : i
i
bX
a
Y
ˆ (regresión lineal simple)
34. 34
Ejemplo 34.- Hallar la recta de regresión con una
calculadora para la data del Ejemplo anterior.
Solución.-
De la solución general de las ecuaciones normales
obtenida por M.C se necesitan los siguientes cálculos.
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
243243243
,
2
74
166
)
14
(
54
)
5
(
)
56
)(
14
(
190
)
5
(
)
(
)
)(
(
ˆ
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
91891892
,
4
)
5
14
)(
243243243
,
2
(
5
56
2
1
X
Y
Luego el modelo de regresión estimado es
i
i X
Y 243243243
,
2
91891892
,
4
Sistema de ecuaciones normales:
i
i
i
i
i
i
Y
X
b
X
a
X
Y
b
X
na
)
(
)
(
)
(
2
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
Y
e
1
1
1
ˆ
;
0 Y
Y ˆ
0
1
i
n
i
i
X
e
Ejemplo 35.- Hallar el sistema de ecuaciones normales
para el Ejemplo anterior.
35. 35
Solución.-
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
i
i
i
i
i
i
Y
X
b
X
a
X
Y
b
X
na
)
(
)
(
)
(
2
5
n ; reemplazando:
190
)
54
(
)
14
(
56
)
14
(
5
b
a
b
a
Resolviendo este sistema lineal 2x2; se obtiene:
2432
,
2
37
83
;
9189
,
4
37
182
b
a
En un mismo diagrama de dispersión dibujar la recta
de regresión estimada.
Analizar / Regresión /Regresión Curvilinea /
Seleccionar las variables en los respectivos ejes /
Lineal / Aceptar
36. 36
i
X i
Y i
Y
i
e
0 5 4,91891892 0,08108108
2 9 9,405405406 -0,405405406
3 12 11,64864865 0,35135135
4 14 13,89189189 0,10810811
5 16 16,13513514 -0,13513514
14
i
X 56
i
Y 56
00000001
,
56
i
Y
0
09
6
000000006
,
0
E
ei
Estos resultados se pueden obtener de la recta de
regresión estimada:
i
i
X
Y
37
83
37
182
ˆ
37
182
)
0
(
37
83
37
182
)
0
(
ˆ
i
Y ;
37
348
)
2
(
37
83
37
182
)
2
(
ˆ
i
Y
37
431
)
3
(
37
83
37
182
)
3
(
ˆ
i
Y ;
37
514
)
4
(
37
83
37
182
)
4
(
ˆ
i
Y
37
597
)
5
(
37
83
37
182
)
5
(
ˆ
i
Y
37
3
37
182
5
ˆ
1
1
1
Y
Y
e ;
37
15
37
348
9
ˆ
2
2
2
Y
Y
e
37
13
37
431
12
ˆ
3
2
3
Y
Y
e ;
37
4
37
514
14
ˆ
4
4
4
Y
Y
e
37
5
37
597
16
ˆ
5
5
5
Y
Y
e
Los cálculos exactos se presentan en el siguiente
cuadro:
i
X i
Y i
Y
i
e
0 5 182/37 3/37
2 9 348/37 -15/37
37. 37
3 12 431/37 13/37
4 14 514/37 4/37
5 16 597/37 -5/37
14
i
X 56
i
Y 56
i
Y
0
i
e
En la calculadora se puede encontrar esta regresión
lineal simple y otras funciones:
Pulsar MODOCONFIG/2:STAT/2/ aparece un menú del 1
al 8:
Con la calculadora fx-82 hallar la regresión i
i
bX
a
Y
ˆ
i
X i
Y
0 5
2 9
3 12
4 14
5 16
14
i
X 56
i
Y
MODO / 2:STAT / 2:A+BX / DATA / AC / SHITF-1 /
/ 5: Regr / 1:A= (4.918918919=182/37) / 2:B=2.243243243
/ 3:r=0.997829706 /
3) _+CX2
: 2
i
i
CX
BX
A
Y
(regresión cuadrática)
Ejemplo 36.- (Regresión cuadrática 2
cX
bX
a
Y
)
Con la siguiente data:
x y
0 1
1 0
2 0,8
-1 4
3 4
38. 38
a) Hacer un diagrama de dispersión y comentar.
Solución.-
b) Ajustar una parábola por MC; con la calculadora
fx-82.
Solución.-
MODE / 2:STAT / 3:-+CX2
/ DATA / AC / SHIFT-1 /
5:Regr / 1:A=0,9657142857; B=-2,048571429;
C=1,014285714/
Por lo tanto la parábola por MC es:
2
014285714
,
1
048571429
,
2
9657142857
,
0
ˆ
i
i
i
X
X
Y
Un resultado similar se obtiene usando el software
SPSS
Ecuación Resumen del modelo Estimaciones de los parámetros
R cuadrado F gl1 gl2 Sig. Constante=
a
b1=b b2=c
Cuadrático ,998 573,000 2 2 ,002 ,966 -2,049 1,014
39. 39
c) Obtener las ecuaciones normales; el cual es un
sistema lineal 3x3.
Solución.-
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
X
c
X
b
X
a
X
Y
X
c
X
b
X
a
X
Y
c
X
b
X
na
2
4
3
2
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
X i
Y 2
i
X 3
i
X 4
i
X i
i
Y
X i
i
Y
X 2
0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0
2 0,8 4 8 16 1,6 3,2
-1 4 1 -1 1 -4 4
3 4 9 27 81 12 36
5
i
X 8
,
9
i
Y 15
2
i
X 35
3
i
X 99
4
i
X 6
,
9
i
i
Y
X 2
,
43
2
i
i
Y
X
2
,
43
)
99
(
)
35
(
)
15
(
6
,
9
)
35
(
)
15
(
)
5
(
8
,
9
)
15
(
)
5
(
5
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Resolviendo este sistema lineal se obtiene.
9657142857
,
0
175
/
169
a ; 048571429
,
2
350
/
717
b
40. 40
4) ln(x) : )
ln(X
B
A
Y
(regresión logarítmica)
Ejemplo 37.- (Regresión logarítmica: )
ln(X
A
Y
)
a) Considere la siguiente data; hacer un diagrama de
dispersión y comente si existe o no linealidad.
i
X 1 8 30 45 80
i
Y 3 6 10 11 12
Solución.-
Según el diagrama de dispersión no se observa
linealidad; podría ser una parte de una parábola o una
exponencial.
b) Hacer la siguiente transformación )
ln(
*
X
Xi
; la
variable dependiente Y queda igual y luego hacer el
diagrama de dispersión y comente su posible
linealidad.
Solución.-
i
X 1 8 30 45 80
i
Y 3 6 10 11 12
)
ln(
*
i
i
X
X 0 2,07 3,40 3,80 4,38
i
Y 3 6 10 11 12
41. 41
Con esta transformación si se observa una clara
linealidad entre las variables )
ln(
*
i
i
X
X y i
Y
Luego el modelo logarítmico )
ln(
ˆ
i
i
X
b
a
Y
es un
modelo que se adecúa a la data transformada.
c) Hacer la regresión logarítmica con la calculadora
fx-82.
Solución.-
MODE / 2:STAT / 4:lnX / DATA / AC / SHIFT-AC / 5:Regr /
1:A=2,553135917 / B=2,138680139 /
Por lo tanto la regresión logarítmica es:
)
ln(
1386
,
2
5531
,
2
ˆ
i
i
X
Y
42. 42
d) Obtener el resultado anterior con una
calculadora:
Solución.-
*
i
X i
Y i
i
Y
X* 2
*
i
X
0 3 0 0
2,0794 6 12,4764 4,3239
3,4011 10 34,0110 11,5674
3,8066 11 41,8726 14,4902
4,3820 12 52,5840 19,2019
13,6691 42 140,9440 49,5834
De acuerdo a resultado anterior:
1387
,
2
0727
,
61
6178
,
130
)
6691
,
13
(
)
5834
,
49
)(
5
(
)
42
)(
6691
,
13
(
)
9440
,
140
)(
5
(
)
(
)
)(
(
2
2
*
*
*
*
2
2
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
5531
,
2
)
5
/
6691
,
13
(
1387
,
2
)
5
/
42
(
X
b
Y
a
5) e^x : BX
Ae
Y (regresión exponencial; base e)
Ejemplo 38.- (Regresión exponencial: BX
Ae
Y )
a) Representar la siguiente data en un diagrama de
dispersión y comente sobre la posible función
matemática que se adecúe a esos puntos.
i
X i
Y
1 23
2 165
3 1220
4 8950
5 66080
43. 43
Claramente la relación existente entre X e Y no es de
tipo lineal; más bien se adecúa a un crecimiento de tipo
exponencial: bx
ae
Y
b) Con la calculadora fx-82 los resultados anteriores
Solución.-
MODO / 2:STAT / 5:e^x / DATA / 5:Regr / 1:A=3,1058 /
2:B=1,9919 /
c) Linealizar el modelo: bx
ae
Y
Solución.-
Se toma logaritmo natural en ambos lados de la
desigualdad:
i
i
i
i
bX
a
Y
bX
a
Y
*
*
)
ln(
)
ln(
En la data:
i
X )
ln(
*
i
i
Y
Y
1 3,1354
2 5,1059
3 7,1066
4 9,0999
5 11,0986
44. 44
d) Hacer un diagrama de dispersión para mostrar la
linealidad con la transformación anterior.
Solución.-
e) Obtener los resultados anteriores con una
calculadora.
Solución.-
i
X )
ln(
*
i
i
Y
Y *
i
i
Y
X 2
i
X
1 3,1354 3,13540 1
2 5,1059 10,2118 4
3 7,1066 21,3198 9
4 9,0999 36,3996 16
5 11,0986 55,4930 25
15
35,5464
126,5596
55
Usando las fórmulas:
45. 45
99204
,
1
50
602
,
99
)
15
(
)
55
)(
5
(
)
5464
,
35
)(
15
(
)
5596
,
126
)(
5
(
)
(
)
)(
(
2
2
2
*
*
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
13316
,
1
)
5
/
15
(
99204
,
1
)
5
/
5464
,
35
(
)
ln( *
*
X
b
Y
a
a
Luego 1054
,
3
13316
,
1
)
ln( 13316
,
1
*
e
a
a
a
Por lo tanto el modelo estimado es:
99204
,
1
)
1054
,
3
(
ˆ e
ae
Y bx
i
6) A.B^x: X
AB
Y (regresión exponencial base b)
Ejemplo 39.- (Modelo compuesto SPSS: x
AB
Y )
a) Considere la siguiente data:
i
X i
Y
1 13
3 108
5 980
6 2900
Haga un diagrama de dispersión; comente sobre una
posible función matemática que se ajuste a la data.
Solución.-
46. 46
Obviamente la relación en estas variables; podría ser
una exponencial con base “e”como en el caso anterior;
o también podría ser una exponencial con base “b”, de
la forma "
" x
AB
Y
b) Usando la calculadora fx-82 obtener A y B.
Solución.-
MODO / 2:STAT / 6:A.X^B / DATA / AC / A=4,3209 /
B=2,9551/
Luego la regresión estimada es i
x
i
Y )
9551
,
2
)(
3209
,
4
(
ˆ
c) Obtener los resultados anteriores con una
calculadora
Solución.-
Linealizando el modelo "
" x
ab
Y ; para esto se toma
logaritmos en base 10; resultando:
i
i
i
i
X
b
a
b
X
a
Y
Y *
*
*
)
log(
)
log(
)
log(
Luego se hace una regresión lineal simple con el
siguiente cuadro:
i
X )
log(
*
i
i
Y
Y i
i
X
Y 2
i
X
1 1,1139 1,1139 1
3 2,0334 6,1002 9
5 2,9912 14,9560 25
6 3,4623 20,7738 36
15
6008
,
9
9439
,
42
71
Un diagrama de dispersión con los datos
transformados es:
47. 47
Observe como se ha logrado la linealidad entre X e Y.
4705
,
0
59
7636
,
27
)
15
(
)
71
)(
4
(
)
6008
,
9
)(
15
(
)
9439
,
42
)(
4
(
)
(
)
)(
(
2
2
2
*
*
*
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
635825
,
0
)
4
/
15
(
4705
,
0
)
4
/
6008
,
9
(
*
*
*
X
b
Y
a
Para retornar a los valores originales:
3233
,
4
10
;
635825
,
0
)
log( 635825
,
0
*
a
a
a
9546
,
2
10
;
4705
,
0
)
log( 4705
,
0
*
b
b
b
Estos resultados también pueden obtenerse con algún
software estadístico como el SPSS 21:
DATA / ANALIZAR / REGRESION / REGRESION
CURVILINEA / COMPUESTO
Resumen del modelo y estimaciones de los parámetros
Variable dependiente: y
48. 48
Ecuación Resumen del modelo Estimaciones de los
parámetros
R cuadrado F gl1 gl2 Sig. A B
Compuesto 1,000 23984,261 1 2 ,000 4,321 2,955
La variable independiente esx.
7) A.x^B: B
AX
Y (regresión potencial)
Ejemplo 40.- (Regresión potencial: B
AX
Y )
a) Considere la siguiente data y haga un diagrama de
dispersión.
i
X i
Y
1 1,8
4 130
6 460
9 1690
Se observa que la relación entre las variables no es de
ninguna manera lineal.
49. 49
b) Haga un diagrama de dispersión para las variables
transformadas ))
log(
);
(log( i
i
Y
X
Solución.-
)
log(
*
i
i
X
X )
log(
*
i
i
Y
Y
0 0,255272
0,602059 2,113943
0,778151 2,662757
0,954242 3,227886
Observe que con esta transformación la linealidad
entre las variables ))
log(
);
(log( i
i
Y
X
c) Con la calculadora fx-82 estimar los dos
parámetros que aparecen en el modelo: B
AX
Y
Solución.-
MODE / 2:STAT / 7:A.X^B / DATA / 5:Reg /
1:A=1.78203336 / 2:B=3,108306203 /
50. 50
Luego el modelo es
1083
,
3
)
7820
,
1
(
ˆ
i
i
X
Y
El resultado anterior también se puede hacer con una
calculadora
)
log(
*
i
i
X
X )
log(
*
i
i
Y
Y *
*
i
i
Y
X 2
*
i
X
0 0,255272 0 0
0,602059 2,113943 1,272718 0,362475
0,778151 2,662757 2,072027 0,605518
0,954242 3,227886 3,080184 0,910577
334452
,
2
259858
,
8
424929
,
6
878570
,
1
Aplicando las fórmulas de la regresión lineal simple:
1083
,
3
06461386
,
2
417473972
,
6
)
334452
,
2
(
)
878570
,
1
(
4
)
259858
,
8
)(
334452
,
2
(
)
424929
,
6
(
4
2
B
2509
,
0
)
4
/
334452
,
2
(
1083
,
3
)
4
/
259858
,
8
(
)
log( 0
0
0
X
B
Y
A
A
7819
,
1
10 2509
,
0
A
8) 1/X:
X
B
A
Y
(regresión inversa; tipo hipérbola)
Ejemplo 41.- (Regresión inversa:
X
B
A
Y
)
Considere la siguiente data:
i
X i
Y
1 2
3 0,7
5 0,3
10 0,2
100 0,02
150 0,01
a) Hacer un diagrama de dispersión y analizar que
curva matemática se puede adecuar a esta data.
Solución.-
51. 51
La relación existente entre X e Y no es lineal; parece de
una relación de tipo exponencial decreciente o una
relación de tipo hipérbola
X
b
a
Y
b) Haga el cambio de variable
X
Xi
1
*
y vuelva a
realizar el diagrama de dispersión, comente.
Solución.-
X
Xi
1
*
i
Y
1 2
0,33 0,7
0,20 0,3
0,10 0,2
0,01 0,02
0,006 0,01
52. 52
Se observa que se ha conseguido la linealización entre
las variables )
;
1
( i
i
Y
X
c) Halle a y b de este modelo usando la calculadora
fx-82.
Solución.-
MODE / 2:STAT / 8:1/X / DATA / AC / 5:Regr / A=-
0,0156852845 / B=2,014613156 /
El modelo es
i
i
X
Y
014613156
,
2
0156852845
,
0
ˆ
d) Obtener los resultados anteriores con una
calculadora.
Solución.-
53. 53
X
Xi
1
*
i
Y i
i
Y
X* *
2
i
X
1 2 2 1
0,33 0,7 0,231 0,1089
0,20 0,3 0,06 0,04
0,10 0,2 0,02 0,01
0,01 0,02 0,0002 0,0001
0,006 0,01 0,00005 0,000036
646
,
1
23
,
3
31125
,
2
159036
,
1
Aplicando las fórmulas de la regresión lineal simple:
014398455
,
2
2449
,
4
55092
,
8
)
646
,
1
(
)
159036
,
1
(
6
)
23
,
3
)(
646
,
1
(
)
31125
,
2
(
6
2
B
9
0142833094
,
0
)
6
/
646
,
1
(
014398455
,
2
)
6
/
23
,
3
(
A
16. Pricipio de los Mínimos Cuadrados (M.C.)
El princio de los M.C. dice: tomar a y bcomo aquellos
que minimizan la Suma de los Cuadrados de los
Errores (SCE); definida como:
2
2
2
)
(
)
ˆ
(
)
;
( i
i
i
i
i e
bX
a
Y
Y
Y
SCE
b
a
f
Esto se obtiene derivando parcialmente:
0
)
)(
(
2
)
;
(
0
)
1
)(
(
2
)
,
(
i
i
i
i
i
X
bX
a
Y
b
b
a
f
bX
a
Y
a
b
a
f
Reordenando las dos ecuaciones anteriores se
obtiene el sistema de ecuaciones normales.
17. Regresión lineal múltiple
( n
i
X
X
Y k
ki
i
i
;....;
3
;
2
;
1
;
ˆ
...
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
0
)
Para el caso k=2; se tiene:
54. 54
n
i
X
X
Y i
i
i
;....;
3
;
2
;
1
;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
1
1
0
El sistema de ecuaciones normales es un sistema lineal
3x3 de la forma:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
X
X
X
X
X
Y
X
X
X
X
X
Y
X
X
n
2
3
2
2
2
2
1
0
2
1
3
2
1
2
2
1
0
1
2
2
1
1
0
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
Propiedades:
i
i
i
Y
Y
e ˆ
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
Y
e
1
1
1
ˆ
;
0 ; Y
Y ˆ
; 0
1
1
i
n
i
i
X
e ; 0
2
1
1
i
i
n
i
i
X
X
e
i
i
i
i
e
cX
bX
a
Y
2
1
i
i
i
i
i
i
e
Y
Y
cX
bX
a
Y
ˆ
;
ˆ
2
1
La solucion de este sistema lineal 3x3
proporciona los valores de c
b
a ;
;
i
i
i
Y
Y
e ˆ
n
i
i
n
i
i
Y
Y
Y
Y
R
1
2
1
2
2
)
(
)
ˆ
(
(coeficiente de determinación)
Ejemplo 42.- Se tienen tres variables:
i
Y : gastos en soles en alimentación por semana (x100)
:
1i
X ingresos en soles por semana (x100)
:
21
X tamaño de la familia.
i
Y i
X1 i
X2
2
1i
X 2
2i
X i
i
X
X 2
1 i
i
Y
X1 i
i
Y
X2
0,43 2,1 3 4,41 9 6,3 0,903 1,29
0,31 1,1 4 1,21 16 4,4 0,341 1,24
0,32 0,9 5 0,81 25 4,5 0,288 1,6
0,46 1,6 4 2,56 16 6,4 0,736 1,84
1,25 6,2 4 38,44 16 24,8 7,750 5
0,44 2,3 3 5,29 9 6,9 1,012 1,32
0,52 1,8 6 3,24 36 10,8 0,936 3,12
0,29 1 5 1 25 5 0,29 1,45
1,29 8,9 3 79,21 9 26,7 11,481 3,87
0,35 2,4 2 5,76 4 4,8 0,84 0,7
55. 55
0,35 1,2 4 1,44 16 4,8 0,42 1,4
0,78 4,7 3 22,09 9 14,1 3,666 2,34
0,43 3,5 2 12,25 4 7 1,505 0,85
0,47 2,9 3 8,41 9 8,7 1,363 1,41
0,38 1,4 4 1,96 16 5,6 0,532 1,52
07
,
8
42
55
08
,
188
219
8
,
140
063
,
32
96
,
28
a) Hallar las ecuaciones normales.
Solución.-
96
,
28
ˆ
219
ˆ
8
,
140
ˆ
55
063
,
32
ˆ
8
,
140
ˆ
08
,
188
ˆ
42
07
,
8
ˆ
55
ˆ
42
ˆ
15
3
1
0
2
1
0
2
1
0
b) Resolver el sistema lineal 3x3 de a) y formule el
modelo estimado.
Solución.-
0769
,
0
ˆ
;
1487
,
0
ˆ
;
1604
,
0
ˆ
3
1
0
i
i
i
X
X
Y 2
1
0769
,
0
1487
,
0
1604
,
0
ˆ
c) El error o residuo para cada observación se define
como:
i
i
i
Y
Y
e ˆ valor observado-valor estimado.
Calcular 15
5
1
;
; e
e
e .
Solución.-
)
3
;
1
,
2
(
ˆ
;
43
,
0 1
1
Y
Y 3825
,
0
)
3
(
0769
,
0
)
1
,
2
(
1487
,
0
1604
,
0
)
4
;
2
,
6
(
ˆ
;
25
,
1 1
5
Y
Y 0691
,
1
)
4
(
0769
,
0
)
2
,
6
(
1487
,
0
1604
,
0
)
4
;
4
,
1
(
ˆ
;
38
,
0 1
15
Y
Y 3553
,
0
)
4
(
0769
,
0
)
4
,
1
(
1487
,
0
1604
,
0
0475
,
0
3825
,
0
43
,
0
ˆ
1
1
1
Y
Y
e
189
,
0
0691
,
1
25
,
1
ˆ
5
5
5
Y
Y
e
0247
,
0
3553
,
0
38
,
0
ˆ
15
15
15
Y
Y
e
En este caso los tres errores han resultado positivos;
pero todos los errores pueden ser positivos, algunos
tienen que ser negativos.
56. 56
Las calculadoras fx-82 y fx-991 no tienen incorporados
la regresión lineal con dos variables independientes;
pero el SPSS 21 si lo puede realizar; dando como
resultado:
Modelo Coeficientes no estandarizados
B
1
0
ˆ
-0,160
1
ˆ
0,149
2
ˆ
0,077
Los residuos también se pueden con el SPSS:
i
Y i
X1 i
X2 i
Y
ˆ
i
e
-------------------------------------------------------
0,43 2,10 3,00 0,38261 0,04739
0,31 1,10 4,00 0,31080 -0,00080
0,32 0,90 5,00 0,35797 -0,03797
0,46 1,60 4,00 0,38517 0,07483
1,25 6,20 4,00 1,06931 0,18069
0,44 2,30 3,00 0,41236 0,02764
0,52 1,80 6,00 0,56874 -0,04874
0,29 1,00 5,00 0,37284 -0,08284
1,29 8,90 3,00 1,39396 0,10396
0,35 2,40 2,00 0,35032 -0,00032
0,35 1,20 4,00 0,32568 0,02432
0,78 4,70 3,00 0,76930 0,01070
0,43 3,50 2,00 0,51392 -0,08392
0,47 2,90 3,00 0,50160 -0,03160
0,38 1,40 4,00 0,35542 0,02458
-----------------------------------------------------------
57. 57
Observe que 0
15
0
i
i
e y además
15
1
15
1
ˆ
i
i
i
i
Y
Y .
d) Medir la bondad del ajuste del modelo mediante el
coeficiente de determinación 2
R .
Solución.-
Por definición:
SCT
SCE
Y
Y
Y
Y
R
i
i
i
i
15
1
2
15
1
2
2
)
(
)
ˆ
(
; donde
:
SCE Suma de Cuadrados Explicado
:
SCT Suma de Cuadrados Total.
2
2
2
)
5380
,
0
35542
,
0
(
...
)
5380
,
0
31080
,
0
(
)
5380
,
0
38261
,
0
(
SCE
36
,
1
SCE
2
2
2
15
1
)
5380
,
0
38
,
0
(
...
)
5380
,
0
31
,
0
(
)
5380
,
0
43
,
0
(
)
(
Y
Y
SCT
i
i
43
,
1
SCT
951048
,
0
43
,
1
36
,
1
)
(
)
ˆ
(
15
1
2
15
1
2
2
SCT
SCE
Y
Y
Y
Y
R
i
i
i
i
Interpretación:
Multiplicando por 100
%
10
,
95
100 2
R ; es decir el modelo explica un 95,10% de
la variación de la variable dependiente Y.
Esto también se puede obtener con el SPSS; también
se puede obtener este resultado:
Resumen del modelo
b
Modelo R
2
R R cuadrado
corregida
Error típ. de la
estimación
1 ,974
a
0,950 ,941 ,07751