ejercicios

1. MÉTODOS NUMÉRICOS
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 1
EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
1. Considere la siguiente tabla, donde 10 xx ≠ :
x 0x 1x
y 0y 1y
Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla.
2. Considere la siguiente tabla
x 0 1 2 4
y 1 1 2 5
¿Cuántos polinomios de grado a lo más tres interpolan la tabla? Justificar su respuesta.
Calcular el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpola la tabla. Hágalo de dos
maneras: Paso a paso (constructivamente) y mediante la tabla de diferencias divididas.
3. Considere la tabla:
x 0x 1x
y ( )0xf ( )1xf
Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado uno que interpole la tabla dada.
4. Considere la tabla:
x 0 1 2 4
( )xfy = 1 1 2 5
Obtener el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpole la tabla dada.
5. Considere la función ( ) x
xf 2
2
1
= para ( )∞∞−∈ ,x .
a) Calcular el polinomio ( )xp que interpola a ( )xf en los nodos 00 =x , 11 =x , 22 =x y
33 =x .
b) Calcular el error relativo que se comete al aproximar ( )2
3f mediante ( )2
3p .
6. El polinomio de Newton ( ) ( )6
9
1
22 −−= xxxxp interpola la tabla x vs. y

2. MÉTODOS NUMÉRICOS
2 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
0x 1x 2x
x 0 6 15
y 0 12 15
0y 1y 2y
Se agrega como cuarto nodo a 303 =x y 03 =y . Se pide calcular el polinomio de Newton ( )xp3
que interpola la nueva tabla.
Los cuatro puntos de la tabla se obtuvieron de la semicircunferencia de la figura siguiente (radio 15).
Usar la fórmula simple de Simpson ( )3
1 para aproximar el área del semicírculo, con ayuda de los
polinomios ( )xp2 y ( )xp3 . Estudiar la calidad de esta aproximación y concluír. Calcular los errores
relativos.
7. Considere una tabla de 4 entradas, en la que 3210 xx,x,x y son números distintos:
x 0x 1x 2x 3x
y 0y 1y 2y 3y
Llame ( ) 3210 ,,,k,fxfy kkk === .
a) Plantear una expresión para el polinomio de grado cero ( )xp0 que interpola la primera columna
de la tabla. Verificar que ( ) [ ] 00000 cxffyxp ==== .
b) Escriba una expresión para el polinomio de grado a lo más uno, ( )xp1 que interpola las dos
primeras columnas de la tabla, construido a partir de ( )xp0 .
Verificar que ( ) ( ) [ ]( ) [ ] 101
01
01
1001001 c:f:
xx
ff
x,xfxxx,xfxpxp ==
−
−
=−+= donde
c) Con la misma idea obtener ( )xp2 a partir de ( )xp1 .
Verificar que ( ) ( ) ( )( )1001212 xxxxfxpxp −−+= ,donde

3. MÉTODOS NUMÉRICOS
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 3
[ ] [ ] [ ] 2012210
02
1021
c:f:x,x,xf:
xx
x,xfx,xf
===
−
−
Usted notará que la expresión de 012f no aparece explícita sino que se debe construir.
d) Con la misma metodología obtener ( )xp3 a partir de ( )xp2 .
Verificar que ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )21001231001223 xxxxxxfxxxxfxpxp −−−+−−+= , donde
[ ] [ ] [ ] 301233210
03
210321
c:f:x,x,x,xf:
xx
x,x,xfx,x,xf
===
−
−
Para efectos de simplificar aún más la escritura se sugiere introducir la notación ijji x:xx =− .
Usted notará que le aparece
231303
1303012030103
3
xxx
xxfxfff
:c
−−−
=
Concéntrese y sea paciente para construir 3c . Por ejemplo, avanzando
( ) ( )
01011212232301
01
01
12
12
12
23
23
23
03 xfxfxfx
x
ff
x
x
ff
x
x
ff
ff ++=
−
+
−
+
−
=− , etc.
Pero recuerde que también puede retroceder, empezando con la expresión que se dio de 3c .
8. Considere la siguiente tabla, que tiene como elementos
x ( )xf ( )xf ′ ( )xf ′′
1 2 3
2 6 7 8
Construir la tabla de diferencias divididas. Recordar que debe repetir la fila para 1=x , y para 2=x
se plantean tres filas. Además, debe usar la definición de diferencia dividida con repetición.
Dar el polinomio de Hermite que ajusta los valores de la tabla dada.
Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222
212121132 −−−−−+−+−+= xxxxxxxp
9. Considere la siguiente tabla:
x ( )xf ( )x'f
0 2 9−
1 4− 4
2 44
Usar el método de diferencias divididas con repetición para calcular un polinomio de grado 4 que
ajuste los valores de la tabla. Verificar que su respuesta satisface lo esperado.

4. MÉTODOS NUMÉRICOS
4 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
10. Ampliando la tabla del problema 9 con ( ) 23 =f , obtener un polinomio que ajuste la nueva tabla.
Verificar su respuesta.
11. Considere la siguiente tabla:
k kx kf kf ′ kf ′′
0 0 1 2− 6
1 1 1 0 8−
Usar el método de diferencias divididas con repetición para obtener el Polinomio de Hermite de grado
5 correspondiente que interpola la tabla. Verificar.
12. Lo mismo que en el problema 11, pero para la siguiente tabla:
x ( )xfy = ( )xfy ′=′ ( )xfy ′′=′′
0 1
1 2 3
3 1 2 3
4 2 5 6
13. Usando la Técnica de Hermite, calcular el Trazador Cúbico Sujeto que interpola la tabla:
x y y′
1− 6− 0
0 9
2 6 1−
Verificar su respuesta.
14. Usando la técnica de Hermite, calcular el Trazador Cúbico Natural que interpola la tabla:
x y
1− 6−
0 9
2 6
Verificar su respuesta.
15. Calcular el polinomio que interpola la tabla siguiente:
x y y′ y ′′
1− 1
0 1− 0 0
2 7

5. MÉTODOS NUMÉRICOS
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 5
16. Calcular el polinomio que interpola la tabla siguiente:
x y y′ y ′′
-1 -1 4 -6
1 3 4 6
17. Considerar la función ( )xT definida como sigue:
( )






≤≤+−+−
≤≤+−
≤≤+−+
=
43271109343
3128287
1026222
23
2
23
x,xxx
x,xx
x,xxx
xT
Explicar cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple ( )xT para ser un Trazador Cúbico natural
de la siguiente tabla:
x 0 1 3 4
y 26 7 7 187
18. Considere la tabla siguiente, en la cual 0x , 1x , 2x , 3x y 4x son números distintos:
x 0x 1x 2x 3x 4x
y 0y 1y 2y 3y 4y
Con precisión, expresar todas las propiedades que debe tener el Spline Cúbico ( )xT natural, que
interpole la tabla dada.
19. Considerar la siguiente función:
( )
[ ]
[ ]



∈+−+−
−∈+−−
=
107112714
017115
23
2
,x,xxx
,x,xx
xS
a) Inspeccionar si ( )xS satisface o nó la siguiente tabla: x vs. y :
x y
1− 13
0 7
1 9
b) Determinar si la función ( )xS es un Trazador Cúbico natural para la tabla dada en a). Precisar
cuáles condiciones se cumplen y cuáles no. Analice y concluya.

6. MÉTODOS NUMÉRICOS
6 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
20. Calcular el Trazador Cúbico natural que interpola la siguiente tabla, x contra y :
x y
0 0
2 2−
3 0
Explicar cada uno de los pasos dados para hallar el Trazador.
21. Calcular el Trazador Cúbico ( )xS para la tabla siguiente x vs. y:
x 1− 1 2
y 0 2 0
que satisfaga ( ) 10 −=′S y ( ) 02 =′′S . Verificar que sus cálculos sean correctos.
22. Calcular el Trazador (Spline) Cúbico natural T que interpola la tabla x vs. y:
x 0 1 3 4
y 1− 1 37 67
Usar aritmética exacta para los cálculos. Graficar x vs. ( )xT , x vs. ( )xT′ , y x vs. ( )xT ′′ .
23. Calcular el Trazador cúbico que interpola la tabla
x 0 1 3 4
y -1 0 26 60
y′ 39
y ′′ 0
24. Considerar la tabla siguiente en la cual xo <x1< x2 < x3 < x4 :
x 0x 1x 2x 3x 4x
( )xfy = 0y 1y 2y 3y 4y
Llame ( )xT el Trazador (Spline Cúbico) que interpola la tabla dada. Mirando a ( )xT como una
función, precisar su dominio TD , su Codominio y la regla para calcular ( )xT con TDx ∈ .
Cuántos coeficientes no conocidos le aparecen en la regla para calcular ( )T x ?
Enuncie las condiciones que le va a imponer a ( )xT , que permitirán el cálculo de lo no conocido en
( )xT . Tiene tantas condiciones como incógnitas?

7. MÉTODOS NUMÉRICOS
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 7
Explique dos maneras usuales de completar las condiciones (Trazador sujeto, Trazador natural).
Dar explícitamente a ( )xT′ y ( )xT ′′ .
Hacer gráficas ilustrativas de x vs. ( )xT , x vs. ( )xT′ y x vs. ( )xT ′′ . Completar en los casos
siguientes:
( )xT es polinomial de grado ___?____ a trozos.
( )xT′ es polinomial de grado ___?___ a trozos.
( )xT ′′ es polinomial de grado ___?____ a trozos.
25. Continuación problema 24.
Para obtener el Trazador cúbico que interpola la tabla dada, se seguirá la siguiente estrategia: Como
( )xT ′′ es lineal a trozos, dando por conocida su ecuación, podremos integrar dos veces para
obtener ( )xT . Simultáneamente, usamos las condiciones sobre ( )xT′ y ( )xT para obtener las
constantes de integración consiguiendo al final un sistema de 1+n ecuaciones con 1+n
incógnitas.
Para los datos ( ) ( ) ( )nn y,x,...,y,x,y,x 1100 desarrolle la idea general anterior así:
Llame
( ) ( ) ( )1100 nn zxT,...,zxT,zxT =′′=′′=′′ (1)
se desconocen los números nz,...,z,z 10 .
Escriba la ecuación de la recta que pasa por ( ) ( ) 11011 −=++ n,...,,i,z,xz,x iiii y en un plano
yx . Para [ ]1+∈ ii x,xx , considere la función ( )xpi′′ .
Para [ ]1+∈ ii x,xx integre dos veces entre xxi y . Verificar que obtiene:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) iiiiiii
i
i
i
i
i
iiii yhzxxhzxx
h
z
xx
h
z
xxx'pxp +−−+−+−+−= +
+ 23
1
31
6
1
2
1
6
1
6
1
.......(2)
donde iii xxh −= +1 .
Calcule ( )1+ii xp , despeje ( )ii xp′ y sustitúyalo en (2), obteniendo para 1210 −= n,...,,,i :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiii
i
i
i
i
i
i
i
ii
iiiiiii yhzxx
h
z
xx
h
z
xx
h
yy
xxhzxxhzxp +−−+−+−
−
+−−−= +
++
+
23
1
311
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
La ecuación anterior se puede escribir en la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiii
i
i
iiii
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i yhzxx
h
y
xxhzxx
hz
h
y
xx
h
z
xx
h
z
xp +−−−−+−





−+−+−=
+++
+
211313
1
6
1
6
1
66
1
6
1
para [ ] 1101 −=∈ + n,...,,i,x,xx ii .

8. MÉTODOS NUMÉRICOS
8 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
Donde sea conveniente cambie ix por su igual ii hx −+1 , para conseguir la expresión
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
11313
1
666
1
6
1
+
+++
+ −





−+−





−+−+−= i
i
iii
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i xx
h
yhz
xx
hz
h
y
xx
h
z
xx
h
z
xp (3)
para [ ] 1101 −=∈ + n,...,,i,x,xx ii .
De las condiciones impuestas aún no se ha usado la existencia de la primera derivada en los nodos
interiores 121 −nx...,,x,x .
Use que ( ) ( ) 1211 −=′=′− n,...,,i,xpxp iiii para obtener que
( ) ( ) ( ) 121
66
2 1
1
11111 −=−−−=+++ −
−
++−−− n,...,,i,yy
h
yy
h
zhzhhzh ii
i
ii
i
iiiiiii
Para 121 −= n,...,,i , llame ( )iii hh:u += −12 , ( )ii
i
i yy
h
:b −= +1
6
, 1−−= iii bb:v .
Darle valores a 121 −= n,...,,i para conseguir el sistema de 1−n ecuaciones lineales en las
1+n incógnitas nz,...,z,z 10 siguiente:








=++
=++
=++
=++
−−−−−− 111122
3433322
2322211
1211100
nnnnnnn vzhzuzh
vzhzuzh
vzhzuzh
vzhzuzh
M
En el caso del Trazador Cúbico natural, dar el sistema lineal de 1−n ecuaciones con incógnitas
121 −nz,...,z,z . Pruebe que la matriz de coeficientes del sistema es E.D.D. por filas. Observar que
el sistema es tridiagonal.
¿Qué haría usted para definir el Trazador una vez conseguidos 121 −nz,...,z,z ?
En el caso del Trazador sujeto, se dan como datos nyy ′′0 y . De la ecuación donde se tiene ( )xpi′
para [ ] 1101 −=∈ + n,...,,i,x,xx ii , obtener:
001000 62 ybzhzh ′−=+ y nnnnnn ybzhzh ′+−=+ −−−− 62 1111
Escribir el sistema lineal de 1+n ecuaciones con las 1+n incógnitas nz,...,z,z 10 . Observe que el
sistema es tridiagonal y la matriz de coeficientes es E.D.D. por filas (probarlo!).
¿Cómo calcular el Trazador sujeto ( )xT ?

9. MÉTODOS NUMÉRICOS
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 9
26. Considere la ecuación 09 =− −x
x
a) Graficar xy = y
x
y −
= 9 . En qué intervalo parecen cortarse. Cómo se interpreta esto para la
ecuación dada?
b) Defina ( ) x
xxf −
−= 9 . Construya la tabla de valores de la funcióm f para los números
1
2
10 210 === xx,x y , y para estos datos haga lo siguiente:
i. Obtenga el polinomio de interpolación de Newton para la tabla.
ii. Use fórmulas del problema (6) para obtener el Trazador cúbico natural que intepola la tabla.
iii. Use las aproximaciones polinomiales, obtenidas en i. y ii. para estimar la raíz de ( ) 0=xf .
En caso necesario, use DERIVE o su calculadora para ayudarse en los cálculos y en la comparación
y discusión de resultados. Las soluciones son:
Para la parte i.: ( ) ( )2
1
9
8
3
7
12 −−+−= xxxxp
Para la parte ii. : ( )
( )











∈−+−




∈−+
=
1
2
1
12
11
36
65
1
9
13
2
1
01
36
71
9
13
3
3
,x,xx
,x,xx
xT
27. Para la siguiente tabla
x 1− 0 1 2
( )xfy = 0 3 11 24
Calcular el Trazador cúbico natural que interpola la tabla. Seguir los lineamientos del problema 25.
Verificar su respuesta.
28. Considerar la tabla
x 2− 0
( )xfy = 1 1−
( )xfy ′= 2
( )xfy ′′= 1
Usar la técnica de Hermite para obtener el polinomio que interpola la tabla dada.
Si la tabla se completa con ( ) ( ) 1121 −=′= ff y , calcular el polinomio que cumple con todos los
datos.
28. Los datos de la siguiente tabla corresponden a una cierta función f .

10. MÉTODOS NUMÉRICOS
10 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
x ( )xfy = ( )x'f'y =
1− 4 2−
1 4
2 11 12
Analizar si la función ( )xT definida mediante:
( )




≤≤+
≤≤−+
=
213
113
3
2
x,x
x,x
xT
es o no el Trazador cúbico sujeto que interpola la tabla dada de la función f. Indicar cuáles
propiedades satisface y cuáles no.
29. Considerar la siguiente función T:
( )






≤≤−++−
≤≤−−++−
=
10
6
1
2
1
21
02
2
1
2
1
21
32
32
x,xxx
x,xxx
xT
a) Calcular ( )x'T , ( )xT ′′ . Graficar a ( )xT , ( )x'T y ( )xT ′′ .
b) Estudiar si T es el Trazador cúbico natural de la siguiente tabla:
x 2− 0 1
( )xfy = 1 1− 2
29. Calcular el trazador cúbico que ajusta la tabla:
x 0 1 3
y 0 2 2
'y 0 6
Verificar su respuesta.
30. Discutir el problema de encontrar un polinomio ( )xp de grado menor o igual que tres, que tome los
valores ( ) 00 =p , ( ) 11 =p y ( ) 22
1 =′p . Utilizar dos métodos.
31. Discutir el problema de encontrar un polinomio ( )xp de grado menor o igual que dos que tome los
siguientes valores: ( ) 00 =p , ( ) 11 =p y ( ) 22
1 =′p . Utilizar dos métodos.
32. ¿Qué condición se debe imponer a los nodos 0x y 1x para que el problema de interpolación
( ) ( ) 1020 ,i,cxp,cxp iiii ==′′= se resuelva con un polinomio cúbico ( )xp , para cualquier
escogencia de los valores 20 ii c,c ?.