El documento presenta 19 ejemplos de experimentos aleatorios y sus respectivos espacios muestrales. Los experimentos incluyen lanzar monedas, dados, seleccionar estudiantes o cartas de manera aleatoria, y procesos de producción. Cada ejemplo define el experimento, describe los posibles resultados y calcula el número de elementos en el espacio muestral asociado. El documento provee una introducción conceptual a la probabilidad a través de diversos ejemplos prácticos.

1. 1
CAPÍTULO 4
07-07-21
Conceptos básicos de probabilidad
Prof. Mg. Wilfredo Domínguez C.
1) FENÓMENO O EXPERIMENTO ALEATORIO
Los fenómenos o experimentos aleatorios se
caracterizan principalmente por dos cosas:
a. Poseen aleatoriedad, es decir resultados
individuales no se pueden predecir con exactitud antes
de realizar el experimento.
b. El experimento se puede repetir muchas veces y
en condiciones similares.
La probabilidad es una rama de la matemática que se
encarga de estudiar este tipo de experimentos, aunque
inicialmente la probabilidad se dedicó a estudiar los
juegos de azar (casinos, naipes, dados etc.), sin
embargo en la actualidad la aplicación de la
probabilidad es múltiple y en muchas ramas de la
ciencia e investigación.
2) UN POCO DE HISTORIA
La historia de la probabilidad abarca, principalmente, el
periodo entre la escritura del primer tratado que hace
referencia a la misma (1553), hasta finales del siglo XX
y es una teoría en constante renovación.
Habitualmente se concede a Pierre Fermat (1601-1665)
y Blaise Pascal (1623-1662), el título de padres de la
teoría de la probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1820) afirmó: "Es notable que
una ciencia que comenzó con consideraciones sobre

2. 2
juegos de azar haya llegado a ser el objeto más
importante del conocimiento humano".
Comprender y estudiar el azar es indispensable,
porque la probabilidad es un soporte necesario para
tomar decisiones en cualquier ámbito.2
En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían
a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833),
Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860),
Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion,
y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole
mejoraron la exposición de la teoría.
En 1930 Andréi Kolmogorov desarrolló la base
axiomática de la probabilidad utilizando teoría de la
medida.
3) ESPACIO MUESTRAL 
El espacio muestral hace las veces del conjunto
universal U de la teoría de conjuntos, en probabilidad
este conjunto grande se representa por  (letra griega
omega mayúscula), los elementos que pertenecen el
espacio muestral se representan por  (omega
minúscula); de forma tal que se cumple 

i

Definición 1,- Si el número de elementos del espacio
muestral es finito, es decir k
n 
)
( , k 
Z y 

k ,
entonces esto se lee como el cardinal o número de
elementos de  .
Ejemplo 1.- Se lanza una moneda y se observa la
cara superior, en este caso
 
s
c,



3. 3
donde C = cara y S =sello, entonces 2
)
( 

n
Ejemplo 2.- Se lanzan simultáneamente dos
monedas, luego
 
ss
sc
cs
cc ,
,
,

 ; 4
)
( 

n
Ejemplo 3.- Se lanza una dado común, el espacio
muestral asociado es
 
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

 : 6
)
( 

n
Ejemplo 4.- Se lanzan dos dados simultáneamente;
describir el espacio muestral asociado.
El espacio muestral asociado tiene 6x6=36 elementos y
es dado por comprensión }
6
;...;
2
;
1
6
;...;
2
;
1
);
;
{( 


 j
i
j
i ;
por comprensión es dado por:
(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
(5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
(4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
(3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
(2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
Ejemplo 5.- En un salón de clases existe 10
alumnos, entre hombres y mujeres, se seleccionan al
azar tres estudiantes uno por uno y con
reemplazamiento, describir el espacio muestral de
acuerdo a la composición por sexo, en esta situación
se tiene:
 
HMM
MHM
MMH
MMM
MHH
HMH
HHM
HHH ,
,
,
,
,
,
,

 ,
8
)
( 

n
Ejemplo 6.- Se lanza repetidamente una moneda
hasta que aparezca cara por primera vez, luego el
espacio muestral es dado por

4. 4
 
,...
,
,
, sssc
ssc
sc
c

 ; 

)
(
n
Ejemplo 7.- Se lanzan simultáneamente tres dados y
se observan las caras superiores; hallar el número de
elementos del espacio muestral.
 
)
6
;
6
;
6
)...(
2
;
1
,
6
)(
1
;
1
;
6
)...(
6
;
2
;
2
)...(
2
;
2
,
2
)(
1
;
1
,
2
)(
6
;
1
,
1
)...(
2
;
1
,
1
)(
1
;
1
;
1
(


; 216
)
6
)(
6
(
6
)
( 


n
Ejemplo 8.- Se prueba un foco de luz en un
portalámparas y se anota el instante en que deja de
funcionar, entonces
 
0
; 

 t
t ; 

)
(
n
donde t es el instante en que deja de funcionar el foco
de luz.
Ejemplo 9.- Un dado tiene el número 1 en dos de sus
caras, el número 2 en dos de ellas, y el número 3 en las
caras restantes. Se lanza el dado, hallar el espacio
muestral asociado.
Solución.-
El espacio muestral en este caso tiene tres resultados
posibles; es decir 

 1, 2, 3 ; 3
)
( 

n
Ejemplo 10.- De acuerdo al ejemplo anterior
supongamos que el dado se lanza dos veces; hallar el
espacio muestral asociado.
Solución.-
Como en el primer lanzamiento pueden ocurrir 3
resultados posibles y como en el segundo lanzamiento
también; en total tenemos 9
3
3 
x resultados posibles y
el espacio muestral es: ww


 (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) ; 9
)
( 

n
Ejemplo 11.- - Se lanzan simultáneamente un dado y
una moneda. Hallar el espacio muestral asociado.
Solución.-

5. 5
El dado se supone que es común y corriente; es decir
sus caras muestran los números del uno al seis;
asimismo la moneda muestra cara o sello; es decir
tenemos 12
2
6 
x resultados en total y son:


 (1,c) (2,c) (3,c) (4,c) (5,c) (6,c) (1,s) (2,s)….(6,s) ;
12
2
6
)
( 

 x
n
Ejemplo 12.- Se va a seleccionar un presidente y un
primer vice presidente y un segundo vice presidente
de un total de 20 estudiantes. Hallar el número de
elementos del espacio muestral.
Solución.-
En este caso interesa el orden; luego estamos al frente
de permutaciones:
1080
)!
3
20
(
!
20
18
19
20
20
3



 x
x
P ; entonces 1080
)
( 

n
Ejemplo 13.- Se va a seleccionar un comité
representativo de tres estudiantes de un total de cinco,
supongamos que dentro de los estudiantes
seleccionados no existe ningún cargo jerárquico y que
los estudiantes son Ana (A); Beto (B); Carlos (C);
Daysy (D) y Eduardo (E)
Solución.-
Como existen cinco personas y el comité
representativo debe estar integrado por tres
estudiantes y no hay ningún cargo entre ellos, se
tendrán que calcular combinaciones de cinco tomados
de tres (no importa el orden), es decir
10
)
1
(
2
)
4
(
5
)!
3
5
(
!
3
!
5
3
5












casos posibles; en este caso el espacio muestral es:


 (ABC) (ABD) (ABE) (ACD) (ACE) (ADE) (BCD) (BCE) (BDE)
(CDE) ; 10
)
( 

n

6. 6
Ejemplo 14.- Se tienen dos cartas dirigidas a las
personas A y B ; las cuáles se colocarán
aleatoriamente en tres buzones 2
,
1 y 3; si cada carta
debe ser colocada exactamente en un buzón.
Describir el espacio muestral asociado.
Solución.-
La primera carta puede ser colocada en cualquiera de
los tres buzones; una vez hecho esto la segunda carta
puede ser colocada de 2 formas posibles, luego el total
de formas es 6
)
2
(
3  formas distintas; obviamente
siempre un buzón estará vacía, en este caso:


 (A B --) (B A --) (A – B) (B –A) (-- A B) (-- B A) ;
6
2
3
)
( 

 x
n
Ejemplo 15.- Se tienen dos cartas A y B; las cuáles se
colocarán aleatoriamente en tres buzones 2
,
1 y 3; si
ambas cartas deben ser colocadas en un solo buzón;
hallar su espacio muestral asociado.
Solución.-
En este caso sólo tenemos tres casos posibles y son


 (AB -- --) (-- AB --) (-- -- AB) ;
3
)
( 

n
Ejemplo 16.- Se tienen dos cartas A y B; las cuáles se
colocarán aleatoriamente en tres buzones 2
,
1 y 3; si
ambas cartas pueden ser colocadas en buzones
separados o incluso ambas pueden estar en un solo
buzón. Hallar el espacio muestral asociado.
Solución.-
La primera carta puede ser colocada de tres maneras
posibles, la segunda carta también de tres maneras
posibles, luego el total de maneras es 9
)
3
(
3 
formas posibles; en este caso:


 (A B --) (B A --) (A – B) (B – A) (-- A B) (-- B A) (AB -- --) (-- AB --) (-- --
AB) 
9
3
3
)
( 

 x
n

7. 7
Ejemplo 17.- (*) Una máquina produce tuercas de
precisión milimétrica. Estos se clasifican como
defectuosos (D) y buenos (B). En la línea de producción
se van revisando la tuercas, la fabricación continua
hasta encontrar dos tuercas defectuosas consecutivas
o de de lo contrario hayas verificado cuatro artículos,
cualquiera que ocurra primero, Hallar el espacio
muestral asociado.
Solución.-
El proceso termina en dos ensayos; para esto tiene que
ocurrir DD; o termina en tres ensayos y la única
posibilidad es BDD.
De lo contrario puede ocurrir en cuatro ensayos; en
este caso existen dieciséis posibilidades; de aquí hay
que excluir algunos resultados que no cumplen las
condiciones:
DDDB; DDDD; DDBB; DDBD; DBDB; DBDD; BDDB;
BDDD; BBBB; BBBD; BBDB; BBDD; BDBB; BDBD;
DBBB; DBBD
De estas 24
=16 resultados hay que eliminar algunos
resultados que no cumplen las condiciones y son
marcados en rojo.
DDDB; DDDD; DDBB; DDBD; DBDB; DBDD; BDDB;
BDDD; BBBB; BBBD; BBDB; BBDD; BDBB; BDBD;
DBBB; DBBD
Luego de estos dieciséis resultados eliminamos seis
marcados con rojo; resultando el espacio muestral:
}
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
{ DBBD
DBBB
BDBD
BDBB
BBDD
BBDB
BBBD
BBBB
DBDD
DBDB
BDD
DD


Ejemplo 18.- Una caja tiene 5 esferas; de las cuales 2
son de color negro y las otras tres de otro color (OC)
Se escogen dos esferas; una por una y sin
reemplazamiento; hasta que se encuentra hasta tener
esfera de color negro. Hallar espacio muestral asociado
a este experimento aleatorio
Solución.-


A esfera escogida sea de color Negro N ;

8. 8


OC esfera seleccionada es de Otro Color OC ;


 
N
OC
OC
OC
N
OC
OC
N
OC
N )
)(
)(
(
,
)
)(
(
,
)
(
,
Ejemplo 19.- (*)Una caja tiene n esferas; de las cuales
k son de color negro; donde n
k  . Se escoge una
esfera una por una sin reemplazamiento; hasta que se
encuentra una esfera de color negro, Hallar espacio
muestral asociado a este experimento aleatorio
Solución.-
Se tienen n esferas negras y k
n son de otro color
distinto; sean los sucesos:


N esfera escogida no sea de color negro ;


OC esfera seleccionada es de Otro Color  ;
entonces:


 
N
OC
OC
OC
OC
N
OC
OC
OC
N
OC
OC
N
OC
N )
)...(
)(
)(
(
,
,
)
)(
)(
(
,
)
)(
(
,
)
(
,  ;
donde el último suceso elemental N
OC
OC
OC
OC )
)...(
)(
)(
( ,
incluye k
n letras )
(OC y la última es N
Ejemplo 20.- (*)Bajo las mismas condiciones del
ejemplo anterior, supongamos que se extraen las
esferas una por una y sin reemplazamiento hasta
obtener las k esferas de color negro. Hallar el espacio
muestral asociado.
Solución.-
Es una extensión del ejemplo anterior; consideremos
los siguientes sucesos elementales:
N
NNN
k ...

 , donde existe k veces la letra N ; en este
caso se han requerido exactamente k ensayos las k
esferas negras.
1

k
 = NN
NNN
OC ...
)
( ; en este caso se han requerido 1

k
ensayos para obtener las k esferas negras; la primera
letra es )
(OC y el resto k son letras N .
2

k
 = NN
NNN
OC
OC ...
)
)(
( ; en este evento se ha requerido
2

k ensayos para obtener las k esferas negras; las dos
primeras son )
(OC y las otras son k letras N ; en total se

9. 9
han realizado k

2 extracciones; en la caja quedan
)
2
( k
n 
 esferan.
Claramente en:
 N
NNN
k ...

 solo existe un caso.
 1

k
 = NN
NNN
OC ...
)
( ; existen
k
k
k
PR k
k 




1
!
!
1
)!
1
(
)
( 1
!
!
1
casos
posibles.
 2

k
 = NN
NNN
OC
OC ...
)
)(
( ; existen
2
)
1
)(
2
(
!
!
2
)!
2
(
)
( 2
!
!
2
k
k
k
k
PR k
k






casos posibles
 3

k
 = NN
NNN
OC
OC
OC ...
)
)(
)(
( ; existen
6
)
1
)(
2
)(
3
(
!
!
3
)!
3
(
)
( 3
!
!
2
k
k
k
k
k
PR k
k







 …….
 n
 = NN
NNN
OC
OC
OC
OC ...
)
)...(
)(
)(
( ; donde existen )
( k
n  letras
)
(OC y k letras k ; en este caso existen
!
)!
(
!
)
( !
)!
(
k
k
n
n
PR n
k
k
n



casos posibles.
4) CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS
MUESTRALES
Los espacios muestrales se clasifican principalmente
en dos grandes grupos:
Grupo A.- (Espacios muestrales finitos) Son aquellos
en el cual k
n 
)
( donde k es un entero positivo, es
decir:
 
k


 ,...,
, 2
1


Grupo B.- (Espacios muestrales infinitos) Son los
espacios donde 

)
(
n ; estos su vez se
subclasifican en dos grupos:
B1.- (Espacios muestrales infinitos numerables) Son
aquellos de la forma:
 
,...
,...,
, 2
1 k






10. 10
En este caso se puede establecer una correspondencia
uno a uno entre los elementos del conjunto  y el
conjunto de los enteros positivos.
Ejemplo 21.- El ejemplo correspondiente al
lanzamiento de una moneda hasta que aparezca cara
por primera vez corresponde a un espacio muestral
infinito numerable.
En efecto:
c

1
 ; sc

2
 ; ......
; 4
3
sssc
ssc 
 

B2.- (Espacios muestrales infinitos no numerables) Son
aquellos espacios en los cuales no se puede establecer
una correspondencia entre sus elementos y el conjunto
de los enteros positivos, usualmente son espacios
muestrales en forma de intervalos de la recta real, por
ejemplo  

 ,
0
Estos espacios muestrales provienen por lo general de
experimentos aleatorios donde se hacen mediciones.
Ejemplo 22.- El Ejemplo correspondiente al de
observar el instante en que deja de funcionar un foco
de luz dado anteriormente corresponde a este tipo de
espacios muestrales.
5) SUCESOS O EVENTOS
Los sucesos o eventos son subconjuntos del espacio
muestral  , también se considera como sucesos o
eventos el conjunto vacío  y el mismo espacio
muestral  , en la mayoría de textos los sucesos se
representan como en la teoría conjuntos por letras
mayúsculas ,...
,
, C
B
A
Todas las operaciones que usualmente se hacen con
conjuntos también pueden hacerse con los sucesos, es
decir se pueden unir, intersectar, hallar diferencia de

11. 11
sucesos, complemento de un suceso, diferencia
simétrica etc.
Ejemplo 23.- Consideremos  
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

 , definimos:
   
6
,
4
,
2
; 
 par
es
x
x
A
   
6
,
5
5
; 

 x
x
B
 
impar
es
x
x
C :
 =  
5
,
3
,
1
 
7
; 
 x
x
D = 
 
6
; 
 x
x
E = 
 
2
; que
mayor
es
x
y
impar
es
x
x
F  =  
5
,
3
6) ALGEBRA DE SUCESOS
Son las mismas operaciones que usualmente se hacen
con conjuntos, es decir:
A: ocurre A
B
A : ocurre A o ocurre B o ocurren ambos.
B
A
B
A 
 : ocurren ambos sucesos simultáneamente.
'
A
A  : ( complemento de A ) no ocurre A.
B
A : ocurre sólo A.
)
(
)
( B
A
B
A 

 : ocurre sólo uno de los sucesos.
)
(
)
( B
A
B
A
A 



B
A
B
A 

 : ocurre A y no ocurre B.
)'
( B
A = '
' B
A  : Primera ley de Morgan.
)'
( B
A  = '
' B
A : Segunda ley de Morgan.
)
( C
B
A 
 = )
(
)
( C
A
B
A 

 : ley distributiva
)
(
)
(
)
( B
A
B
A
C
B
A 




 : ley distributiva.
A
B
B
A 

 ; Propiedad conmutativa de la unión
A
B
B
A 

 : Propiedad conmutativa de la
intersección
)
(
)
( A
B
B
A
B
A 



 :diferencia simétrica
Definición 2,- Dos sucesos B
y
A son excluyentes o
mutuamente excluyentes o incompatibles o separados
si se cumple 

 B
A , es decir ambos sucesos no

12. 12
tienen elementos en común o también se dice que no
pueden ocurrir simultáneamente.
Ejemplo 24.- Sea un espacio muestral  y
consideremos i
A , 3
;
2
;
1

i tres sucesos contenidos en
este espacio muestral, tales que 


 )
( 3
2
1 A
A
A . Expresar
en términos de la teoría de conjuntos lo siguiente:
a) Al menos uno de los tres sucesos ocurre.
b) Exactamente uno de tres sucesos ocurre.
c) Exactamente dos de los tres sucesos ocurre.
d) Ocurren los tres simultáneamente.
e) Ninguno de los tres sucesos ocurren simultáneamente.
f) Ocurren uno o más sucesos simultáneamente.
Solución.-
a) 3
2
1 A
A
A 

b) )
(
)
(
)
( 3
2
1
3
2
1
3
2
1 A
A
A
A
A
A
A
A
A 








c) )
(
)
(
)
( 3
2
1
3
2
1
3
2
1 A
A
A
A
A
A
A
A
A 







d) )
( 3
2
1 A
A
A 

e) )
( 3
2
1 A
A
A 

f) )
)
) d
c
b 

Ejemplo 25.- Se lanzan dos dados simultáneamente,
definimos:
   
)
6
,
6
)...(
2
,
2
(
)
1
,
1
(
);
,
( 

 j
i
j
i
A
 
11
);
,
( 

 j
i
j
i
B =  
)
5
,
6
(
)
6
,
5
( ww
Entonces A y B son mutuamente excluyentes, pues


 B
A ; gráficamente:

13. 13
(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
(5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
(4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
(3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
(2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
Definición 3,- Se dice que n
A
A
A ,...,
, 2
1 son mutuamente
excluyentes si 

 j
i A
A para todo j
i 
Gráficamente:
Ejemplo 26.- Se lanzan dos dados simultáneamente,
definimos:
   
)
6
,
6
)...(
2
,
2
(
)
1
,
1
(
);
,
( 

 j
i
j
i
A
 
11
);
,
( 

 j
i
j
i
B =  
)
5
,
6
(
)
6
,
5
(
 
7
);
,
( 

 j
i
j
i
C =  
)
6
,
1
(
)
1
,
6
(
)
5
,
2
(
)
2
,
5
(
)
3
,
4
(
)
4
,
3
(
 
5
);
,
( 2
2


 j
i
j
i
D =  
)
2
,
1
(
)
1
,
2
(
)
1
,
1
(
Entonces A , B y C si son mutuamente excluyentes,
pues B
A , C
A y C
B son todas iguales al  .
Pero A , B , C y D no son mutuamente excluyentes,
pues 

 D
A .

14. 14
(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
(5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
(4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
(3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
(2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(1;1) (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
Definición 4,- Se dice k
B
B
B ,...,
, 2
1 constituyen una
partición del espacio muestral  si:
a) Los i
B para k
i ,...,
2
,
1
 son mutuamente excluyentes,
de acuerdo a la Definición 1.
b) 



 k
B
B
B ...
2
1
c) 0
)
( 
i
B
P
Ejemplo 27.- Se lanzan dos dados a la vez, sean:
   
)
6
,
6
)...(
2
,
2
(
)
1
,
1
(
);
,
(
1 

 j
i
j
i
B
 
j
i
j
i
B 
 );
,
(
2
=  
)
5
;
6
(
)...,
2
;
3
(
)
1
;
2
(
 
j
i
j
i
B 
 );
,
(
3
=  
)
6
;
5
)...(
3
;
2
(
)
2
;
1
(
Obviamente i
B constituyen una partición
(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
(5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
(4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
(3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
(2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)

15. 15
7) TÉCNICAS DE CONTEO O TEORÍA
COMBINATORIA
Es basado en dos principio fundamentales conocidos
con el nombre de principio de multiplicación y el otro
es el principio de adición.
Principio de multiplicación.- Si un suceso designado
por 1 puede ocurrir de 1
n maneras posibles y a
continuación otro suceso designado por 2 puede
ocurrir de 2
n formas distintas, entonces ambos y en
ese orden pueden ocurrir de 2
1 xn
n formas distintas.
Principio de adición.- Si un suceso designado por 1
puede ocurrir de 1
n formas diferentes y otro suceso
designado por 2 puede ocurrir de 2
n formas diferentes,
supongamos que no pueden ocurrir juntos o
simultáneamente, entonces el número de formas con
que pueden ocurrir 1 o 2 es 2
1 n
n  formas distintas.
Ejemplo 28.- Si un estudiante tiene que elegir un
idioma de tres posibles y una asignatura de cuatro
posibles. ¿De cuántas maneras posibles lo puede
hacer?
Solución:-
Por el principio de multiplicación el suceso por 1 es la
elección del idioma el cual lo puede hacer de 3
1
n , una
vez elegido el idioma tiene que elegir la asignatura,
esto constituye el suceso 2 , esto lo puede hacer de
4
2 
n maneras distintas, entonces por el principio de
multiplicación el número total de formas con que puede
elegir un idioma y una asignatura es 12
4
3 
x formas
diferentes.
Ejemplo 29.- Con referencia al ejemplo anterior, si el
estudiante tiene que elegir adicionalmente una

16. 16
disciplina deportiva de dos posibles. ¿De cuántas
maneras posibles lo puede hacer.
Solución.-
Adicionalmente a la elección del idioma y de la
asignatura se considera ahora un suceso designado
por 3, el cual puede ocurrir de 2
3 
n formas posibles;
por el principio de multiplicación el número total de
formas con que puede elegir un idioma de tres
posibles, una asignatura de cuatro posibles y una
disciplina deportiva de dos posibles es:
24
2
4
3
3
2
1 
 x
x
xn
xn
n formas posibles.
Ejemplo 30.- Una persona ingresa a una heladería;
este local ofrece tres tipos de helado (Chocolate(1);
Vainilla(2) y Fresa (3)). Cada una de estos tres sabores
se ofrecen dos presentaciones (Barquillo (3) y en Vaso
(4)). Una persona ingresa a la heladería ¿De cuántas
maneras diferentes puede disfrutar su helado?
Solución.-
La persona puede elegir uno de tres sabores y puede
elegir una de dos formas presentaciones posibles; por
el principio de multiplicación puede tomar un helado de
3x2=6 formas distintas.
El siguiente diagrama de árbol visualiza la situación:
Viendo el diagrama de árbol se pueden listar los seis
resultados posibles lo cuales son:
{(1;3) (1;4) (2;3) (2;4) (3;1) (3;4)}

17. 17
Ejemplo 31.- Un estudiante puede ir de su casa la
universidad en un solo viaje, puede elegir entre una
línea de microbuses de tres posibles o elegir una línea
ómnibus de cuatro posibles. ¿De cuantas maneras
posibles puede ir de su casa a la universidad?
Solución.-
La elección de la línea de microbuses es el
procedimiento designado por 1 el cual puede ocurrir de
3
1 
n formas posibles, obviamente no puede viajar en
microbús y en ómnibus simultáneamente, la elección
del ómnibus es el suceso 2 el cual puede ocurrir de
4
2 
n formas distintas, por el principio de adición el
número total de formas con que el alumno puede ir de
si casa a la universidad en microbús o en ómnibus es
7
4
3
2
1 


 n
n formas distintas.
8) NOTACIÓN FACTORIAL
El factorial de un número entero positivo n se denota
por !
n y es por definición
)
1
)(
2
).....(
2
)(
1
(
! 

 n
n
n
n .
Por convención 1
!
0  ; entonces:
)!
2
)(
1
(
)!
1
(
!
.
120
)
!
4
(
5
!
5
24
)
!
3
(
4
!
4
6
)
!
2
(
3
!
3
2
)
1
(
2
!
2
1
!
1
1
!
0















n
n
n
n
n
n
9) PERMUTACIONES LINEALES DE n OBJETOS
DISTINTOS
Se tienen nobjetos distintos, se desea elegir k de ellos;
uno por uno y sin reemplazamiento ( )
n
k  , si el orden
es fundamental o se dice el orden importa, entonces

18. 18
tenemos arreglos de n objetos tomados de k en k , el
cual es dado por:
n
k
k
n
n
k
n
n
n
n
nP
P k
n
k








 ;
!
)
(
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
Ejemplo 32.- Se tienen cinco cuadros distintos, se van
a escoger tres de ellos uno por uno y sin
reemplazamiento para presentarlos en fila en una
exposición, bajo el supuesto de que orden importa
¿Dé cuántas maneras posibles lo puedo hacer?
Solución.-
Como el orden importa, se tiene 5

n y 3

k , entonces
60
!
2
!
5
!
)
3
5
(
!
5
3
4
5
5
3 



 x
x
P formas distintas.
10) PERMUTACIONES LINEALES DE n OBJETOS
DISTINTOS TOMADOS DE n EN n.
Se tienen nobjetos distintos, el número total de formas
el número total de formas con que se pueden presentar
todos ellos es:
!
n
Pn

Ejemplo 33.- Una tienda de venta de autos nuevos
tiene 6 modelos distintos para su exhibición, el
vendedor los quiere presentar en fila. Entonces el
número total de formas con que lo puede hacer es:
720
!
6
6


P formas diferentes
Observe que las permutaciones de n objetos es
simplemente una permutación donde n
k 
11) COMBINACIONES

19. 19
Se tienen n objetos distintos, deseamos elegir k de
ellos y si el orden no importa, en este caso estamos al
frente de combinaciones de n objetos distintos
tomados de k en k , en este caso:
n
k
k
P
k
n
k
n
nCk
k
n
C
n
k
n
k 












 ;
!
!
)
(
!
!
Conocido también como coeficiente binomial, pues
aparece en el desarrollo del binomio de Newton n
b
a )
( 
o también se le llama número combinatorio
Ejemplo 34.- Un salón pequeño tiene 10 alumnos, se
va nombrar un comité representativo de 2 alumnos, si
no hay ningún cargo jerárquico entre ellos, entonces el
número total de formas con que se puede hacer esto es
de:
45
2
9
10
!
8
!
2
!
10
10
2 


x
C formas posibles
Ejemplo 35.- Con referencia al ejemplo anterior, se va
al elegir dos estudiantes un delegado y un
subdelegado de un total de 10, en este caso si importa
el orden, luego se trata de variaciones, es decir
90
9
10
10
2 
 x
P formas distintas.
12) PERMUTACIONES LINEALES DE n OBJETOS CON
REPETICION (EXISTEN ELEMENTOS QUE SE REPITEN)
En este caso se tienen n objetos, pero no todos son
distintos, pues existen 1
n objetos iguales, 2
n objetos
iguales,…, k
n objetos iguales; de forma tal que se tiene:
n
n
k
i
i 

1
, en este caso se habla de permutaciones con
repetición y la fórmula es dada por:

20. 20
n
n
n
n
n
n
PR
k
i
i
k
n
n
n
n k


 
1
2
1
...
;
!
!...
!
!
)
( 2
1
Este número también se conoce con el nombre de
coeficiente multinomial, pues aparece en el desarrollo
de n
k
a
a
a )
...
( 2
1 


Ejemplo 36.- Hallar el número total de permutaciones
que se pueden hacer con las letras de la palabra
BIOLOGÍA ww
En este caso 8

n , una letra B ( 1
1 
n ); dos letras I
( 2
2 
n ); dos letras O, el resto de letras una vez,
entonces:
10080
!
1
!
1
!
1
!
2
!
2
!
1
!
8
)
( 8
!
1
!
1
!
1
!
2
!
2
!
1 

PR casos posibles
13) PERMUTACIONES CIRCULARES
El caso típico es el de las formas posibles con que se
pueden sentar n personas alrededor de una mesa
redonda, en este caso:
)!
1
(
)
( 
 n
PC n
Ejemplo 37.- En una conferencia se reúnen alrededor
de una mesa circular, ¿de cuántas maneras se pueden
sentar 7 personas?
a) Sin ninguna restricción
b) Si una persona tiene un lugar fijo.
Solución.-
a) Si no existe ninguna restricción, se trata de
permutaciones circulares, es decir:
720
!
6
)!
1
7
(
)
( 7




PC formas posibles.
b)Como una persona es fija, entonces sólo hay que
realizar permutaciones circulares de 6 personas,
luego

21. 21
120
!
5
)!
1
6
(
)
( 6




PC formas distintas.
14) Número total de combinaciones de n elementos
distintos
El número total de combinaciones de n elementos
distintos tomados de 1 en 1 o de 2 en 2 o de n en n es:
1
2 
n
Ejemplo 38.- Una persona tiene en su bolsillo un
moneda de 50 centavos, otra de un sol y otra de 5
soles. El número total de formas con que puede sacar
de su bolsillo cantidades de dinero diferentes es
7
1
23

 formas distintas.
A)En efecto puede sacar una moneda y las
cantidades son 50 centavos; un sol o 5 soles; en
total son 3
1
3









casos.
B)De contrario si saca dos monedas puede obtener 1
sol cincuenta centavos (50 centavos más 1 sol);
puede sacar 5 soles con cincuenta centavos (50
centavos más 5 soles); puede sacar 6 soles (1 sol
más 5 soles); en esta situación al sacar monedas
son 3
2
3









casos.
C) La última posibilidad ocurre si saca las tres
monedas a la vez; en este caso saca 6 soles con
cincuenta centavos (50 centavos, más 1 sol más 5
soles); en total son 1
3
3









Según el principio de adición el número total de
obtener cantidades distintos de dinero es:
1
2
7
1
3
3
3
3
2
3
1
3 3

































22. 22
Ejemplo 39.- Hallar n si
a)
1
3
3 6
7


n
n
P
P b)
1
5
4
3


n
n
P
P
Solución.-
a) )
1
(
)
1
(
6
)
2
)(
1
(
7 



 n
n
n
n
n
n dividiendo por )
1
( 
n
n ,
resulta
)
1
(
6
)
2
(
7 

 n
n , de aquí 20

n
b) )
5
)(
4
)(
3
)(
2
)(
1
(
)
3
)(
2
)(
1
(
3 







 n
n
n
n
n
n
n
n
n
dividiendo por )
3
)(
2
)(
1
( 

 n
n
n y simplificando
resulta la ecuación cuadrática 0
20
12
2


 n
n ,
factorizando 0
)
2
)(
10
( 

 n
n ; es decir 10

n o 2

n ;
pero 2

n no puede ser pues 4

n ; entonces 10

n .
Ejemplo 40.- ¿De cuántas formas se pueden repartir
tres premios distintos entre 10 personas, sabiendo que
ambos premios:
a) No se puede conceder a una misma persona.
b) Se puede conceder a la misma persona.
Solución.-
a) El primer premio de puede repartir de 10 formas
diferentes y, una vez otorgado el segundo se puede
repartir de 9 formas y, finalmente una vez otorgados el
primer y segundo premio, el tercer premio se puede
otorgar de 8 formas. Por el principio de multiplicación
los tres premios se pueden otorgar de 10x9x8=720
formas distintas.
b) El primer premio se puede otorgar de 10 formas
distintas, el segundo también de 10 formas distintas y
finalmente el tercero también de 10 formas diferentes;
por el principio de multiplicación el número total de
formas es 10x10x10=1000 formas diferentes.
Ejemplo 41.- ¿De cuántas formas diferentes se
pueden introducir 6 cartas en tres buzones?
Solución.-

23. 23
Cada una de las 6 cartas se pueden introducir en
cualquiera de los tres buzones, en consecuencia el
número total de formas es 3x3x3x3x3x3=729 formas
distintas.
Ejemplo 42.- Hallar el número de maneras con que se
pueden colocar en fila seis hombres y cinco mujeres de
forma tal que las mujeres ocupen los lugares pares.
Solución.-
Los hombres se pueden colocar de 6
P maneras
diferentes y las mujeres se pueden colocar de 5
p
formas. Cada una de las colocaciones de los hombres
se puede asociar con una de las mujeres, luego se
pueden efectuar 86400
120
720
5
6

 x
xP
P formas
posibles.
Ejemplo 43.- De cuántas maneras se pueden colocar
9 cuadros diferentes en una exhibición, sabiendo que
uno de ellos debe estar
a) En el centro
b) En uno de los extremos.
Solución.-
a) Como el cuadro debe estar siempre en el centro,
sólo quedan 8 cuadros para ponerlos en fila, esto se
puede hacer de 40320
!
8  formas distintas
b) El cuadro elegido puede ser colocado en los
extremos de !
2 formas distintas; los ocho cuadros
distintos restantes se pueden permutar de !
8 formas
diferentes; por el principio de multiplicación; el total de
formas es: 80640
!
8
!
2 
x formas posibles.
Ejemplo 44.- Hallar el número total de formas con
que se pueden colocar 10 libros distintos en fila de
forma tal que:
a) 4 de ellos estén siempre juntos.
b) 4 de ellos no estén nunca juntos.
Solución.-

24. 24
a) Los 4 libros que siempre deben estar juntos se
pueden permutar de !
4 formas distintas; ahora estos se
comportan como si fuesen un solo libro; el cuál se
puede permutar los otros seis libros; esto se puede
hacer de !
7 formas distintas; luego 120960
!
7
!
4 
x es el
número total de formas distintas.
b) El número total de maneras con que se pueden
colocar 10 libros en fila es 3628800
!
10  formas
diferentes, esto es sin imponer condición alguna y
número de maneras distintas con se pueden colocar 10
libros con la condición que 4 de ellos estén siempre
juntos es 120960 formas distintas, luego el número de
formas distintas con que se pueden colocar 10 libros,
con la condición que 4 de ellos determinados no estén
todos juntos es 3628800-120960=3507840 formas distintas.
Ejemplo 45.- Hallar el número de formas distintas con
que se pueden disponer n personas con la condición
que dos de ellos no pueden ocupar posiciones
contiguas.
Solución.-
El número total de formas distintas con que se pueden
colocar n personas sin ninguna restricción es !
n ; Si
dos de las n personas deben ocupar siempre
posiciones contiguas es de )!
1
(
!
2 
n .
Luego el número total de formas con que se pueden
colocar n personas en fila con la condición de que dos
de ellos determinados es:
)
2
(
)!
1
(
)!
1
(
2
)!
1
(
)!
1
(
2
! 







 n
n
n
n
n
n
n
Ejemplo 46.- En un estante se tienen 3 libros de
Biología, 4 libros de Física, 5 de Matemática, todos
ellos distintos.¿De cuántas maneras distintas se
pueden colocar ellos en fila con la condición de que lo
libros por especialidad estén siempre juntos?

25. 25
Solución.-
Los libros de Biología se pueden permutar !
3 formas
distintas; los de Física de !
4 formas y los de
Matemáticas !
5 formas diferentes; y los tres grupos de
!
3 diferentes; luego el número total de formas es
103680
!
3
!
5
!
4
!
3 
x
x
x formas diferentes.
Ejemplo 47.- Hallar la cantidad de números de 5
dígitos que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4,
5, 6
a) Si los dígitos no se pueden repetir..
b) Los dígitos si se pueden repetir.
c) Si los dígitos no se pueden repetir,¿Cuántos
números de 5 cifras se pueden formar ,comenzando en
2 y sus dos últimas cifras sea 25?
Solución.- ww
a) Si los dígitos no se pueden repetir, el primer dígito
puede ser cualquiera de 6, el segundo cualquiera de5,
el tercer dígito cualquiera de 4, el cuarto cualquiera de
tres y el quinto cualquiera de dos, por el principio de
multiplicación el total es 720
2
3
4
5
6 
x
x
x
x formas
posibles.
b) Como los dígitos se pueden repetir, para cualquier
posición se tienen 6 posibilidades, luego
7776
6
6
6
6
6
6 5


x
x
x
x formas distintas.
c) Como el número debe comenzar 2 y terminar en 25,
quedan en el centro dos posiciones que acomodar, una
de tres formas distintas y la otra de dos formas, luego,
se pueden formas 6
2
3 
x maneras distintas.
15) DEFINICIÓN CLASICA DE PROBABILIDAD
(LAPLACE)
Esta definición es aplicable solamente a espacios
muestrales finitos y equiprobables, es decir el espacio
muestral es de la forma  
k


 ,...,
, 2
1

 ; es decir
k
n 
)
( ;a priori se asume que los i
 tienen igual
probabilidad de ocurrencia, es decir:

26. 26
k
p
p
p k
1
)
(
...
)
(
)
( 2
1 


 


La definición de Laplace para calcular la probabilidad
del suceso A es un cociente y es dado por:
k
A
n
n
A
n
A
p
)
(
)
(
)
(
)
( 


Donde )
(A
n : número de elementos o cardinal de A ó
número de casos que favorecen a la aparición
de A y k
n 
)
( es el número de casos totales o
cardinal del conjunto  .
Ejemplo 48.- Se lanza un dado; hallar la probabilidad
de los siguientes sucesos:
}
6
;
4
;
2
{
}
{ 
 par
número
un
resulte
A
}
6
;
5
;
4
;
3
{
}
3
{ 
 que
igual
o
mayor
número
un
resulte
B
Solución.-
)
(
6
};
;
;
;
;
;
{
}
6
;
5
;
4
;
3
;
2
;
1
{ 6
5
4
3
2
1





 n
k






5
,
0
2
1
6
3
)
(
3
)
(




A
P
A
n
La probabilidad se puede expresar en porcentaje,
multiplicando por 100; en el último caso:
16) AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD
Los axiomas de la teoría de la probabilidad son tres y
constituyen su fundamento matemático, también se
conocen como los axiomas de Kolgomorov
(matemático ruso 1900-1987)
Axioma 1.- 1
)
(
0 
 A
p , es decir la probabilidad es un
número que fluctúa entre 0 y el 1 inclusive.
Axioma 2.- 1
)
( 

p

27. 27
Axioma 3.- Si A y B son sucesos mutuamente
excluyentes ( 

 B
A ); entonces )
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
A
p 


17) TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD
Los siguientes teoremas se pueden demostrar
fácilmente a partir de los tres axiomas de la
probabilidad dados anteriormente.
Teorema1.- 0
)
( 

p , es decir la probabilidad del
suceso nulo o imposible o el suceso que no puede
ocurrir es 0.
Teorema 2.- )
(
)
(
)
(
)
( B
A
p
B
p
A
p
B
A
p 




ww
Teorema 3.- )
(
1
)
( A
p
A
p 

;
U
A
A 



Teorema 4.- )
(
)
(
)
( B
A
p
A
p
B
A
p 




28. 28
Teorema 5.- Si B
A  , entonces )
(
)
( B
p
A
p 
El diagrama de Ven muestra tres situaciones:
 B
A (Teorema 5)
 

B
A (disjuntos o separados o mutuamente
excluyentes o ajenos )
 

B
A (no disjuntos)
Teorema 6.- )
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
A
p 

 (Desigualdad de Boole)
Teorema 8.-
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ABC
p
BC
p
AC
p
AB
p
C
p
B
p
A
p
C
B
A
p 









29. 29
Teorema 9.- )
(
)
(
1
1 




n
i
i
i
n
i
A
p
A
p (Desigualdad de Boole
generalizada)|
Ejemplo 49.- Se lanzan dos dados simultáneamente,
definimos:
   
)
6
,
6
)...(
2
,
2
(
)
1
,
1
(
);
,
( 

 j
i
j
i
A
 
11
);
,
( 

 j
i
j
i
B =  
)
5
,
6
(
)
6
,
5
(
 
7
);
,
( 

 j
i
j
i
C =  
)
6
,
1
(
)
1
,
6
(
)
5
,
2
(
)
2
,
5
(
)
3
,
4
(
)
4
,
3
(
 
5
);
,
( 2
2


 j
i
j
i
D =  
)
2
,
1
(
)
1
,
2
(
)
1
,
1
(
 
j
i
j
i
A 
 );
,
( = A


 
1
),
,
( 

 j
i
j
i
E = 
El número total de casos es 36
6
6
)
( 

 x
n casos
posibles, entonces
36
6
)
( 
A
p ,
36
2
)
( 
B
p ,
36
8
36
2
36
6
)
(
)
(
)
( 




 B
p
A
p
B
A
p , pues A y B son
mutuamente excluyentes, y por el Axioma 3 se suman
probabilidades. ww
36
1
))
1
,
1
((
)
( 

 p
D
A
p
36
8
36
1
36
3
36
6
)
(
)
(
)
(
)
( 







 D
A
p
D
p
A
p
D
A
p Teorema 3.
)
(
1
)
( A
p
A
p 
 =
36
30
36
6
1 

0
36
0
)
( 

E
p
Ejemplo 50.- Se lanzan dos dados. Hallar la
probabilidad de que la suma de puntos sea par y
además en la cara de uno de ellos aparezca el 6.
Solución.-

30. 30
De los 36 resultados posibles, sólo cinco favorecen a la
aparición del suceso pedido: (6,2); ((6,4), (6,6); (2,6) y
(4,6); luego la probabilidad es
36
5
)
( 
A
p
Ejemplo 51.- Se transportan 31 radios nuevos y 20
radios usados, lamentablemente en el viaje se perdió
una radio, no se sabe de qué tipo. Se extrae al azar una
radio después del viaje; y resultó ser nueva. Hallar la
probabilidad de que fue perdida.
a) Una radio nueva
b) Una radio usada.
Solución.-
a) La radio nueva escogida, obviamente no puede ser la
perdida, puede haber sido perdida cualquiera de las
31+20-1=50 radios restantes, además entre ellas había
31-1=30 radios nuevas; luego la probabilidad es
5
3
50
30


p
b) Entre las 50 radios; cada una de las cuáles puede
haber sido extraviada, había 20 usadas; la probabilidad
de que la radio no sea nueva es
5
2
50
20


p
Ejemplo 52.- En una caja hay seis dados; de uno en
uno se extraen los dados, sin reemplazamiento; hallar
la probabilidad de que los números de los dados
extraídos se aparezcan en un orden decreciente.
Solución.-
720
1
2
3
4
5
6
)
( 

 x
x
x
x
x
n casos posibles; el único caso
favorable es )
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
( , luego la probabilidad pedida es
720
1

p
Ejemplo 53.- Se lanzan 3 dados, hallar la probabilidad
de que aparezca en un dado el número 6 y en los otros
dos aparecen dos números distintos, pero no el 6.

31. 31
Solución.-
El número de casos totales es 216
6
)
( 3



n casos
posibles. Respecto los casos favorables como el 6
debe aparecer en cualquiera de los tres dados,
tenemos 3 casos posibles; en los otros dos dados (no
parece el 6) se puede hacer de 5x4 formas posibles:
Luego
18
5
216
4
5
3


x
x
p
Ejemplo 54.- En una bolsa hay 20 esferas numeradas
del 1 al 20. Se extrae al azar dos esferas a la vez; hallar
la probabilidad de que aparezcan las esferas 1 y 20.
Solución.- ww
Como la extracción es al vez no importa el orden,
luego 190
2
20
)
( 










n ; y hay sólo un caso favorable,
luego
190
1

p
Ejemplo 55.- Al marcar un número telefónico, una
persona se olvidó de tres últimas cifras y, recordando
solamente que estas cifras son diferentes, las marcó al
azar.
Hallar la probabilidad de que haya marcado el número
correcto.
Solución.-
Obviamente 720
8
9
10
)
( 

 x
x
n casos posibles; y sólo
un caso posible; luego
720
1

p
Ejemplo 56.- Una caja contiene 20 artículos idénticos
los cuáles han sido numerados del 1 al 20. Se escogen
aleatoriamente 12 artículos. Hallar la probabilidad de
que entre los artículos extraídos resulten:
a) El artículo numerado con el 1.
b) Los artículos numerados con el 1 y el 2.

32. 32
Solución.-
a) El número total de casos, es decir
125970
12
20
)
( 










n , como el artículo numerado con el 1
siempre debe estar en la muestra de 12 artículos, de los
19 restantes hay que escoger 11; esto de puede hacer
de 75582
11
19









; luego 6
,
0
125970
75582


p
b) El número de casos totales es igual que en a); los
casos favorables se obtienen por el siguiente
razonamiento: como siempre deben estar el 1 y el 2;
entonces de un total 18 artículos, debo escoger 10
solamente, esto se puede hacer de 43758
10
18









formas
distintas; es decir 3473
,
0
125970
43758


p
Ejemplo 57.- Una caja fuerte tiene una combinación de
cuatro discos, cada uno de ellos está dividido en cinco
sectores con distintas cifras escritas sobre ellas. La
caja fuerte se abre cuando los discos ocupan una
posición tal que sus cifras forman una cuaterna
determinada. Hallar la probabilidad de que la cerradura
pueda abrirse al poner los discos al azar.
Solución.-
El número total de posibilidades de acomodar los
discos es por el principio de multiplicación 5x5x5x5;
luego 4
5
)
( 

n , pero sólo una combinación abre la
caja; entonces 0016
,
0
5
1
4


p
Ejemplo 58.- En un librero están dispuestos al azar 25
libros distintos, 10 de los cuales tienen empaste de
lujo. El encargado toma al azar 6 libros.

33. 33
a) Hallar la probabilidad de que por lo menos 1 de
ellos tenga empastado de lujo.
b)Supongamos los mismos supuestos que en el
caso a) ; pero ahora que de los seis seleccionados
quiere que por lo menos dos tengan empastado de
lujo.
Solución.-
a) En este caso es mejor y más directo hallar la
probabilidad del suceso complementario; de
definimos


A por lo menos uno tenga empaste de lujo , el
suceso complementario es


A ninguno de los seis tenga empaste de lujo ,
calculamos )
(A
p de la siguiente manera:










6
25
)
(
n ; casos favorables a la aparición de A es
cuando elijo los seis libros de los 15 que no son de
empaste de lujo: esto se puede hacer de
















6
15
0
10
; maneras distintas ,luego
9792
,
0
230230
5005
1
6
26
6
15
0
10
1
)
(
1
)
( 





























 A
p
A
p
b)Definimos el suceso 

B por lo menos 2 de los
seis tengan empastado de lujo; el suceso
complementario


B 0 empastado de lujo o un empastado de lujo ;
este suceso complementario es la unión de dos
sucesos disjuntos; entonces;
(
1
)
( p
B
p 
 obtener 0 empastados de lujo ) - (
p obtener
un empastado de lujo )

34. 34
8478
,
0
230230
30030
230230
5005
1
6
26
5
15
1
10
6
25
6
15
0
10
1
)
( 






















































B
p
ww
Ejemplo 59.- Llegan a un depósito un cargamento de
20 televisores; de los cuáles 13 son del tipo LCD y la
diferencia son del tipo LED.
Se le eligen al azar 9 televisores (sin sustitución).
a) Hallar la probabilidad de que se encuentren
exactamente 6 televisores del tipo LCD.
b) Hallar la probabilidad de que por lo menos 3 de los
televisores sean del tipo LCD
Solución.- Como la elección es de 9 televisores sin
sustitución del lote de tamaño 20, entonces el número
total de casos es el cardinal del espacio muestral; en
este caso se tiene:
167960
9
20
)
( 










n casos posibles
a) Los 6 televisores del tipo LCD tienen que ser
extraídos de los 13 existentes; esto se puede hacer de








6
13
; los tres restantes tienen que ser del tipo LED;
esto se puede hacer de 







3
7
; por el principio de
multiplicación el número total de formas es 















3
7
6
13
;
luego la probabilidad buscada es:
3575
,
0
167960
)
35
(
1716
9
20
3
7
6
13



























p

35. 35
b) El suceso por lo menos tres televisores del tipo LCD
implica tres o cuatro o más; esta probabilidad se puede
calcular más directamente por el suceso
complementario; es decir calculamos la probabilidad
de 0, 1 y 2 televisores del tipo LCD y lo restamos de 1;
es decir:












































































9
20
7
7
2
13
9
20
8
7
1
13
9
20
9
7
0
13
1
p
Por definición 







k
n
tiene sentido si n
k  ; por definición








k
n
= 0 si n
k  ; en este caso 

















8
7
9
7
0; obviamente
no se pueden extraer 8 televisores sin
reemplazamiento donde solamente hay 7 ; luego la
probabilidad buscada es simplemente
9995
,
0
167860
78
1
9
20
7
7
2
13
1 




























p
Ejemplo 60.- Se tienen 10 esferas numeradas
consecutivamente del 1 al 10; se extrae a azar dos
esferas numeradas. Hallar la probabilidad de que la
suma de de puntos sea 10 en los siguientes casos:
a) Las esferas se extraen uno por uno y sin
reemplazamiento.
b) Las esferas de extraen uno por uno con
reemplazamiento
c) Las esferas se extraen las dos esferas a la vez.
Solución.-

36. 36
a) Como las esferas se extraen uno por uno y sin
reemplazamiento, entonces 90
)
9
(
10
)
( 


n casos
posibles. Los casos favorables son ocho y son
)
4
,
6
(
),
6
,
4
(
),
7
,
3
(
),
7
,
3
(
),
2
,
8
(
),
8
,
2
(
),
1
,
9
(
),
9
,
1
( ;
observe que aquí el orden es importante; luego
0888
,
0
90
8


p
b) En este caso 100
)
10
(
10
)
( 


n ; los casos favorables
son los mismos que en el caso anterior añadiéndole la
posibilidad (5;5) , luego la probabilidad es 9
,
0
100
9


p
c) En este caso el orden no importa, luego los casos
favorables se reducen a cuatro solamente y son
)
6
,
4
(
),
7
,
3
(
);
8
,
2
(
),
9
,
1
( : Los casos totales son 45
2
10









;
entonces
0888
,
0
45
4


p
Ejemplo 61.- Probar
)
(
2
)
(
)
(
))
'
(
)
'
(( B
A
p
B
p
A
p
B
A
B
A
p 






Solución.-
Se trata de calcular la probabilidad de una diferencia
simétrica; gráficamente: B
A
B
A
B
A 



 )
'
(
)
'
(
Por el Teorema 4.- se tiene que

37. 37
'
B
A
B
A 

 ; '
A
B
A
B 

 ; y además son claramente
mutuamente excluyentes, entonces:
)
'
(
)
'
(
))
'
(
)
'
(( B
A
p
B
A
p
B
A
B
A
p 






)
(
)
(
)
(
)
( A
B
p
B
p
B
A
p
A
p 





)
(
2
)
(
)
( B
A
p
B
p
A
p 



Ejemplo 62.- Sean tres sucesos B
A, y C contenidos
en un espacio muestral  tales que:
25
,
0
)
( 
A
p ; 5
,
0
)
(
)
( 
 B
p
A
p y 75
,
0
)
(
)
(
)
( 

 C
p
B
p
A
p
Además A y B son excluyentes, C y B no pueden
ocurrir simultáneamente y
8
7
)
'
'
( 
C
A
p . Hallar la
probabilidad de que ninguno de los tres ocurra.
Solución.-
De los datos obtenemos 25
.
0
)
(
5
,
0
)
( 

 A
p
B
p y
también
25
.
0
5
.
0
75
,
0
)
( 


C
p
Como A y B son excluyentes; entonces 0
)
( 
 B
A
p ;
por dato C y B no pueden ocurrir simultáneamente;
entonces 0
)
( 
C
B
p .
8
7
)
(
1
)
)'
'
'
((
1
)
'
'
( 






 C
A
p
C
A
p
C
A
p ;
Despejando
8
1
)
( 
C
A
p . Obviamente 


 C
B
A
Sea 

D ninguno de los tres ocurra = '
'
' C
B
A 
 ;
Es necesario calcular la probabilidad del suceso
complementario de D , es decir:
)
(
1
)
(
1
)
(
,
C
B
A
p
D
p
D
p 




 : pero por el Teorema
8.- se tiene:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ABC
p
BC
p
AC
p
AB
p
C
p
B
p
A
p
C
B
A
p 








= 0
0
125
,
0
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0 





= 625
,
0
Finalmente 375
,
0
625
,
0
1
)
(
1
)
( 



 D
p
D
p
Ejemplo 63.- Sean A y Bdos sucesos en los cuales se
cumple a
A
p 
)
( ; b
B
p 
)
( y c
B
A
p 
 )
( .

38. 38
Calcular las siguientes probabilidades en función de a, b
y c.
a) )
'
'
( B
A
p 
b) )
( B
A
p 
c) (
p ninguno de los dos ocurra) ww
d) )
'
( B
A
p 
Solución.-
a) Por una de las leyes de Morgan, tenemos
))
((
1
)
)'
((
)
'
'
( B
A
p
B
A
p
B
A
p 




 = c

1
b) Por definición de diferencia simétrica;
)
( B
A
p  = )
'
(
)
'
(
)
(
)
( B
A
p
B
A
p
A
B
p
B
A
p 






= )
(
)
( B
A
p
A
p 
 + )
(
)
( B
A
p
B
p 

= c
b
a 2


c) )
(
1
)
)'
((
)
'
'
( B
A
p
B
A
p
B
A
p 





= )
(
)
(
)
(
1 B
A
p
B
p
A
p 



= c
b
a 


1
d) )
'
( B
A
p  = )
'
(
)
(
)
'
( B
A
p
B
p
A
p 


= )
(
)
(
))
(
1
( A
B
p
B
p
A
p 



= ))
(
)
(
((
1 B
A
p
B
p
b
a 




= c
b
b
a 



1
= c
a 

1
Ejemplo 64.- Una computadora puede fallar por tres
únicas causas mutuamente excluyentes; la primera es
por que se acumula la suciedad dentro de la
misma )
(A ; la segunda por el recalentado de la placa
)
(B y la tercera es por el desgaste de algunos circuitos
)
(C .
Si probabilidad de que ocurra la primera falla es el
doble del de la segunda causa y esta su vez es el
cuádruplo del de la tercera causa.

39. 39
Hallar la probabilidad de cada una de las causas de
falla de la computadora sea por la causa A o la causa
C .
Solución.- ww
Según el problema 1
)
(
)
(
)
( 

 C
p
C
p
A
p ; además
)
(
2
)
( B
p
A
p  y )
(
4
)
( C
p
B
p  , luego ))
(
4
(
2
)
( C
p
A
p  ;
reemplazando se obtiene:
1
)
(
)
(
4
)
(
8 

 C
p
C
p
C
p ; entonces reemplazando
13
1
)
( 
C
p ,
13
8
)
( 
A
p y
13
4
)
( 
B
p
Finalmente
13
5
13
4
13
1
)
(
)
(
)
( 




 C
p
A
p
C
A
p
Ejemplo 65.- En una reunión familiar se juntan un
grupo de personas con la siguiente composición: 10
hombres mayores de edad (más de 18 años) y 8
hombres menores de edad (menores de 18 años),
también hay 12 mujeres mayores de edad y 5 mujeres
menores de edad, Elegimos una persona al azar.
Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) 
A  La persona elegida es mayor de edad 
b) 

B La persona es menor de edad 
c) 

C La persona es hombre 
d) 

D La persona es mujer 
e) )
( D
B
p 
f) )
( C
A
p 
Solución.-
a)
35
22
5
12
8
10
12
10
)
( 





A
p
b)
35
13
5
12
8
10
6
8
)
( 





B
p
c)
35
18
35
8
10
)
( 


C
p

40. 40
d)
35
17
35
5
12
)
( 


D
p
e) )
(
)
(
)
(
)
( D
B
p
D
p
B
p
D
B
p 




ww
35
25
35
5
35
17
35
13




f) )
(
)
(
)
(
)
( C
A
p
C
p
A
p
C
A
p 




35
30
35
10
35
18
35
22




Este ejemplo también puede abordarse mediante el uso
de una tabla bidimensional, de la siguiente manera:
H M
>18 10 12 22
<18 8 5 13
18 17 35
Ejemplo 66.- Se tienen 10 fichas numeradas 1 al 10 en
forma consecutiva. Se eligen tres fichas a la vez, hallar
la probabilidad:
a) De que el número menor de las fichas sea el número
5.
b) De que el número mayor de las fichas escogidas sea
el 5.
c) De que la suma de los puntos de las fichas
escogidas sea menor que 27.
Solución.-
Como la elección de las tres fichas es a la vez, el orden
con que se presentan es irrelevante; luego
120
6
)
8
)(
9
(
10
!
7
!
3
!
10
3
10
)
( 












n formas posibles.
a) En la terna (-- -- --) siempre debe estar presente el
número 5; las otras dos posiciones las deben ocupar

41. 41
dos números del 6 al 10; esto se puede hacer de
10
!
3
!
2
!
5
2
5










formas posibles; luego 0833
,
0
120
10


p
b) En la terna debe aparecer el número 5 y los otros
dos dígitos deber ser escogidos de los números 1, 2, 3,
4, de 6
2
4









formas diferentes; luego se tiene
05
.
0
120
6


p
c) La mayor suma se obtiene cuando se extraen los
números 8, 9 y 10, esta suma es 17; cualquier otra terna
tiene suma menor; entonces 9916
,
0
120
119
120
1
1 



p
18) SUCESOS INDEPENDIENTES
Definición.- Dos sucesos A y B se dicen que son
independientes
 )
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
A
P 

La noción de independencia probabilística o
estocástica se puede entender de forma simple, pues
dos sucesos son independientes si la ocurrencia de
uno no afecta a la ocurrencia del otro y viceversa. No
siempre es fácil probar la independencia, muchas
veces por sentido común hay que asumirla.
Ejemplo 67.- Se lanzan dos dados, definimos:


A El primer dado muestra el número 5 


B El segundo dado muestra el número 6 
Entonces:  
)
6
,
5
(

B
A y
36
1
)
( 
 B
A
p ww
También
6
1
)
( 
A
p y
6
1
)
( 
B
p , luego )
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
A
p 


42. 42
Teorema.- Si A y B son independientes, entonces
también son independientes:
a) A y B b) A y B c) A y B
Definición.- Se dice que n
A
A
A ,
,...,
, 2
1 son independientes

)
(
)...
(
)
(
)
...
( 2
1
2
1 n
n A
p
A
p
A
p
A
A
A
p 



Ejemplo 68.- La probabilidad de que Juan apruebe un
curso es 0,7 y la probabilidad de que Miguel apruebe
esa misma asignatura es 0,8. Hallar la probabilidad de:
a) Aprueben ambos.
b) Sólo apruebe uno de ellos.
c) Por lo menos uno de ellos apruebe.
d) Ninguno apruebe.
Solución.-
Suponiendo la independencia entre el hecho de Juan
apruebe o de que Miguel apruebe, se tiene:
a) 

A Juan apruebe , 7
,
0
)
( 
A
p


B Miguel apruebe , 8
,
0
)
( 
B
p
Entonces 56
,
0
8
,
0
7
,
0
)
(
)
(
)
( 


 x
B
p
A
p
B
A
p
b) )
(
)
( B
A
B
A
C 


 : suceso que denota el hecho de
que sólo uno apruebe, además la unión está formada
por sucesos disjuntos, entonces
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
)
((
)
( B
p
A
p
B
p
A
p
B
A
B
A
p
C
p 





=0,7(1-0,8) + (1-0,7)(0,8)
= 0,14 + 0,24=0,38 ww
c) )
(
)
(
)
( B
A
B
A
B
A
D 




 , esto denota el suceso
por lo menos uno de ellos aprueba, siendo esta unión
de sucesos disjuntos, entonces:
)
(
)
(
)
(
)
( B
A
p
B
A
p
B
A
p
D
p 





= 0,7x0,8+0.7x0,2+0,3x0,8
=0,56+0,14+0,24 =0,94

43. 43
d) B
A
F 
 , denota el suceso ninguno de los dos
aprueba, entonces:
)
(
)
(
)
( B
p
A
p
F
p  = 0,3x0,2 = 0,06
Observe que los sucesos D y F son sucesos
complementarios, es decir
F
D 
Ejemplo 69.- Para la señalización de emergencia se
han instalado tres luces que funcionan
independientemente, la probabilidad de que la primera
luz se accione durante una emergencia es 0,95; para
segunda luz es 0,90 y para la tercera es 0,85. Para que
durante una emergencia las luces cumplan su objetivo
es suficiente que por lo menos una luz funcione
correctamente. Hallar la probabilidad de que las luces
cumplan su objetivo.
Solución.-
Definimos los sucesos


i
A i-ésima luz funcione correctamente 
3
,
2
,
1

i


A luces cumplan su objetivo  =  por lo menos
una funcione 


A ninguna de las luces funcione  = 3
2
1 A
A
A 


00075
,
0
)
85
,
0
1
)(
90
,
0
1
)(
95
,
0
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
1
3
2
1








 A
p
A
p
A
p
A
A
A
p
A
p
Luego 99925
,
0
00075
,
0
1
)
(
1
)
( 



 A
p
A
p
Ejemplo 70.- La probabilidad de un acierto en el
blanco en un solo disparo simultáneo desde dos
fusiles por dos tiradores es 38
,
0 .Hallar la probabilidad
de acertar en el blanco por el primer fusil en un
disparo, si se tiene información que para el segundo
fusil esta probabilidad es 8
,
0
Solución.-
Definimos los sucesos:


1
A primer fusil hace impacto 

44. 44


2
A segundo fusil hace impacto 
Por dato 8
,
0
)
( 2 
A
p
De acuerdo al problema
38
,
0
))
(
)
(( 2
1
2
1 


 A
A
A
A
p ; donde )
( 1
A
p es la incognita:
38
,
0
)
8
,
0
))(
(
1
(
)
8
,
0
1
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
( 1
1
2
1
2
1 




 A
p
A
p
A
p
A
p
A
p
A
p
despejando resulta 42
,
0
)
(
6
,
0 1 
A
p ; luego 7
,
0
)
( 1 
A
p
Ejemplo 71.- La probabilidad de cometer error en una
medición de una magnitud física es 04
,
0 . Se han
realizado 10 mediciones independientes. Hallar la
probabilidad de que se hallan cometido exactamente
dos errores de mediciones.
Solución.-
Definimos 

i
A cometer error en la iésima medición
, 10
,...,
2
,
1

i
Luego 04
,
0
)
( 
i
A
p y 96
,
0
)
( 
i
A
p
La probabilidad de que se cometan error en las dos
primeras mediciones y en otras 8 mediciones sean
correctas es: 8
)
96
,
0
(
04
,
0
04
.
0 x
x ; pero los dos errores se
pueden cometer en cualquiera de las otras mediciones
con igual probabilidad; entonces definimos el suceso:
mediciones
en
errores
cometer
A 10
2

)
(A
p = 8
2
10
8
;
2 )
96
,
0
(
)
04
,
0
(
)
(PR
=
8
2
)
96
,
0
(
)
04
,
0
(
2
10








= 0519
,
0
)
96
,
0
(
)
04
,
0
(
45 8
2

Ejemplo 72.- Con respecto al ejemplo anterior;
supongamos que deseamos calcular la probabilidad de
cometer como máximo dos errores.
Solución.-

B {cometer como máximo dos errores}
= {cometer 0 o 1 o 2 errores 
Luego:
8
2
9
1
10
0
)
96
,
0
(
)
04
,
0
(
2
10
)
96
,
0
(
)
04
.
0
(
1
10
)
96
,
0
(
)
04
,
0
(
0
10
)
( 


























B
p

45. 45
= 9937
,
0
Ejemplo 73.- ¿Cuántos dados hay que lanzar para que
con una probabilidad menor o igual que 0,36 se pueda
esperar que en ninguna de sus caras no aparezcan el
número seis?
Solución.-


i
A no aparece el seis ,
6
5
)
( 
i
A
p ; n
i ,...,
2
,
1

36
,
0
)
6
5
(
)
...
( 2
1 
 n
n
A
A
A
p ; tomando logaritmos en base
10; se tiene
)
36
,
0
log(
)
6
5
log( 
n ; como )
6
5
log( es menor que cero se
obtiene
6035
,
5
)
6
5
log(
)
36
,
0
log(


n ; entonces un 6

n es suficiente.
Ejemplo 74.- En un distrito de Lima; existen
comúnmente dos tipos de robos: los menores y los
agravados.
Ese distrito ha dividido en dos zonas: la central y la
periférica. Por experiencias de muchos años se sabe
que en la zona central 599 de cada mil habitantes son
propensos a sufrir un robo menor; en la zona misma
352 de cada mil son propensos de sufrir un robo
agravado. En la zona periférica la probabilidad de que
una persona sufra un robo menor es 0,517 y de que
sufra un robo agravado es 0,873. Hallar la probabilidad
de que:
a) En un día cualquiera ocurra un robo de cualquier
tipo en la zona central.
b) En un día cualquiera ocurra un robo de cualquier
tipo en la zona periférica.
c) En un día cualquiera no ocurra ningún tipo de robo
en cualquiera de los vecindarios.

46. 46
Solución.-
a) Sean los sucesos:


A persona de la zona del centro sufra un robo
menor 


B persona de la periferia sufra un robo agravado 
599
,
0
)
( 
A
p ; 352
,
0
)
( 
B
p
Bajo el supuesto razonable de que una persona no
puede tener los dos tipos de robo simultáneamente, es
decir bajo la independencia de A y B , es decir
)
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
A
p 
 , sea B
A
E 
 ,entonces
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
p
A
p
E
p 


7401
,
0
)
352
,
0
)(
599
,
0
(
352
,
0
599
,
0 



b) Similar al caso a)
ww


C persona de la zona de la zona periférica sufra un
robo menor 


D persona de la zona de la zona periférica sufra un
robo agravado ; sea D
C
F 
 , entonces
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( D
p
C
p
D
p
C
p
F
p 


9386
,
0
)
873
,
0
)(
517
,
0
(
873
,
0
517
,
0 



c) En este caso nos interesa calcular '
' F
E , entonces:
0166
,
0
)
936
,
0
1
)(
7401
,
0
1
(
)
'
(
)
'
(
)
'
'
( 




 F
p
E
p
F
E
p
Ejemplo 75.- Consideremos i
A ; k
i ,...
2
,
1
 sucesos
independientes, tales que
i
i a
A
p 
)
( ; k
i ,...
2
,
1
 .Definimos el suceso


0
A ninguno de los k sucesos ocurre
simultáneamente  .Hallar )
( 0
A
p
Solución.-
Como los k sucesos son independientes, entonces
también son independientes los sucesos
complementarios '
i
A ; por lo tanto:
)
'
(
)...
'
(
)
'
(
)
'
...
'
'
(
)
( 2
1
0 k
k A
p
A
p
A
p
A
A
A
p
A
p 




)
1
)...(
1
)(
1
( 2
1 k
a
a
a 




47. 47
Ejemplo 76.- Sean i
A para k
i ,...,
2
,
1
 sucesos
independientes, tales que i
i a
A
p 
)
( . Hallar la
probabilidad de que por lo menos uno de ellos ocurre.
Solución.-
Sea 

A por lo menos uno de ellos ocurre , entonces
i
k
i A
A 1

  ; entonces por las leyes de Morgan
'
'...
'
)'
(
' 2
1
1 k
i
k
i A
A
A
A
A 


 
 , entonces
)
'
(
)...
'
(
)
'
(
1
)
'
(
1
)
( 2
1 k
A
p
A
p
A
p
A
p
A
p 



)
1
)...(
1
)(
1
(
1 2
1 k
a
a
a 




19) PROBABILIDAD CONDICIONAL
Existen dos formas de calcular probabilidad:
a) Una de ellas es la incondicional o sin
restricciones como la que hemos estado haciendo
hasta el momento, donde el universo donde se calcula
la probabilidad es el espacio muestral  .
b) Otra forma de calcular probabilidad condicional es
restringiendo o reduciendo el espacio muestral a un
conjunto más pequeño que puede ser otro suceso B
tal que 

B , entonces se puede hablar de la
probabilidad condicional de A dado B o también de A
dado que ha ocurrido .
B
Ejemplo 77.- Se lanzan dos dados simultáneamente,
definimos los sucesos:
 
6
);
,
( 

 j
i
j
i
A =  
)
3
,
3
(
)
5
,
1
(
)
1
,
5
(
)
2
,
4
(
)
4
,
2
(
 
j
i
j
i
B 
 );
,
( = )}
6
;
6
(
)
5
;
5
(
)
4
;
4
(
)
3
;
3
(
)
2
;
2
(
)
1
;
1
{(
a) Se puede calcular la probabilidad incondicional
)
(A
p y también )
(B
p ; por la definición de Laplace,
resultando:
36
5
)
( 
A
p ;
36
6
)
( 
B
p
b) Otra forma de calcular probabilidad es
restringiendo (reduciendo) el espacio muestral de  a

48. 48
otro más pequeño por ejemplo a 

B , en este espacio
muestral restringido solamente hay 6
)
( 
B
n casos
totales.
Es decir el nuevo espacio muestral
es  
j
i
j
i
B
nuevo 


 );
,
( = )}
6
;
6
(
)
5
;
5
(
)
4
;
4
(
)
3
;
3
(
)
2
;
2
(
)
1
;
1
{( sólo uno
favorece a la aparición de A, el par ordenado: )
3
,
3
( ,
entonces:
6
1
)
/
( 
B
A
p : el cuál se lee probabilidad de A dado B
Ejemplo 78.- Con referencia al ejemplo anterior;
evaluar ).
/
( A
B
P
Solución.-
El espacio muestral ahora se ha reducido a:
 
6
);
,
(
"
" 



 j
i
j
i
A
nuevo  
)
3
,
3
(
)
5
,
1
(
)
1
,
5
(
)
2
,
4
(
)
4
,
2
(
 ; este espacio
muestral restringido debo calcular la probabilidad de
ocurrencia de del suceso:
 
j
i
j
i
B 
 );
,
( = )}
6
;
6
(
)
5
;
5
(
)
4
;
4
(
)
3
;
3
(
)
2
;
2
(
)
1
;
1
{(
.
5
1
)
/
( 
A
B
P
Observe que en general )
/
(
)
/
( A
B
p
B
A
p  ; puede ocurrir en
algunos pocos casos que )
/
(
)
/
( A
B
p
B
A
p 
Definición.- La probabilidad condicional de A dado B o
de A dado que ha ocurrido B es:
)
(
;
)
(
)
(
)
/
( B
p
B
p
B
A
p
B
A
p

 0

Ejemplo 79.- Se puede calcular la probabilidad anterior
74) , usando la definición, es decir:
 
)
3
,
3
(

B
A , entonces

49. 49
6
1
36
6
36
1
)
(
)
(
)
/
( 



B
p
B
A
p
B
A
p
Observación.-
1) Una aplicación directa de la probabilidad
condicional, es que permite calcular la probabilidad de
de intersección de dos sucesos, en efecto:
)
(
)
(
)
/
(
B
p
B
A
p
B
A
p


despejando resulta )
/
(
)
(
)
( B
A
p
B
p
B
A
p 

Similarmente, tenemos:
)
(
)
(
)
/
(
A
p
A
B
p
A
B
p

 ; despejando )
/
(
)
(
)
( A
B
p
A
p
B
A
p 

2) La probabilidad condicional está bien de definida;
pues cumplen los tres axiomas de Kolgomorov; en
particular el axioma 1) que dice que la probabilidad es
un número entre 0 y 1.
En efecto B
B
A 
 ; por un teorema )
(
)
( B
p
B
A
p 
 ;
dividiendo entre 0
)
( 
B
p se obtiene 1
)
(
/
)
( 
 B
p
B
A
p ; por lo
tanto 1
)
(
)
(
)
/
(
0 



B
p
B
A
p
B
A
p
Teorema.- (Teorema de multiplicación)
)
/
(
)
(
)
( A
B
p
A
p
B
A
p 

))
/(
(
)
/
(
)
(
)
( B
A
C
p
A
B
p
A
p
C
B
A
P 



Teorema.- (Generalización del teorema de mutiplicación )
)
...
/
(
)...
/
(
)
/
(
)
(
)
...
( 1
2
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1 
  n
n
n
n A
A
A
A
p
A
A
A
p
A
A
p
A
p
A
A
A
A
p
Teorema.- Los sucesos A y B son independientes
 )
(
)
/
( A
p
B
A
p 
Ejemplo 80.- Se tiene un lote de 10 radios, de los
cuales 4 son de la marca A y el resto de la marca B; se

50. 50
extraen tres radios uno por uno y sin reemplazamiento,
hallar la probabilidad de que los tres radios sean de
tipo A.
Solución.-
Definimos,


i
A radio extraído en la extracción i-ésima es de tipo
A  3
,
2
,
1

i
Entonces:
)
/
(
)
/
(
)
(
)
( 2
1
3
1
2
1
3
2
1 A
A
A
p
A
A
p
A
p
A
A
A
p 
0333
,
0
30
1
720
24
8
2
9
3
10
4




Ejemplo 81.- Cambiemos el problema anterior, en el
sentido de que ahora el muestreo es uno por uno con
reemplazamiento.
Solución.-
En este caso se tiene:
064
,
0
1000
64
)
10
4
)(
10
4
(
10
4
)
/
(
)
/
(
)
(
)
( 2
1
3
1
2
1
3
2
1 


 A
A
A
p
A
A
p
A
p
A
A
A
p
Ejemplo 82.- En un salón de clases hay 10 alumnos de
la costa; 4 de la sierra y 2 de la selva. De las fichas de
matrícula se escogen dos alumnos, uno por uno y sin
reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que:
a) Ambos sean costeños
b) Ambos sean de la selva.
c) Por lo menos uno sea de la costa.
d) A lo más uno sea de la costa.
e) Exactamente uno sea de la costa.
f) Ninguno sea de la selva.
Solución.-
Definimos los siguientes sucesos:


i
A estudiante i es de la costa 


i
B estudiante i es de la sierra 


i
C estudiante i es de la selva 
a) 375
,
0
8
3
15
9
16
10
)
/
(
)
(
)
( 1
2
1
2
1 



 A
A
p
A
p
A
A
P
También se puede usar combinaciones;

51. 51
375
,
0
8
3
120
45
2
16
0
2
0
4
2
10
)
( 2
1 



































 A
A
P
b)
120
1
15
1
16
2
)
/
(
)
(
)
( 1
2
1
2
1 


 C
C
p
C
p
C
C
p
Este resultado también se puede obtener así:
120
1
2
16
2
2
0
4
0
10
)
( 2
1 

































C
C
p
c) ))
(
)
(
)
(
)
(
)
(( 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1 A
A
A
C
C
A
A
B
B
A
p 


 =
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1 A
A
p
A
C
p
C
A
p
A
B
p
B
A
p 


 =
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A
A
p
A
p
C
A
p
C
p
A
C
p
A
p
B
A
p
B
p
A
B
p
A
p




= 875
,
0
8
7
240
210
15
9
16
10
15
10
16
2
15
2
16
10
15
10
15
4
15
4
15
10







d) 
(
p a lo más uno de los dos sea de la costa ) =

(
p 0 de la costa o uno de la costa )
= )
(
)
(
)
(
)
(
)
( 1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
,
,
A
C
P
C
A
p
A
B
p
B
A
p
A
A
p 


 =
625
,
0
8
5
240
150
15
10
16
2
15
2
16
10
15
10
16
4
15
4
16
10
15
5
16
6







e) 
(
p exactamente uno sea de la costa )=
)
(
)
(
)
(
)
( 1
1
1
1
1
1
1
1 A
C
p
C
A
p
A
B
p
B
A
p 

 = 5
,
0
240
120
 (Verifique
este resultado) ww
f) 
(
p ninguno sea de la selva )= )
'
'
( 2
1 C
C
p  = 7583
,
0
120
91
)
15
13
(
16
14


Ejemplo 83.- Una empresa produce motores
generadores de luz. Durante el uso de estos pueden
ocurrir tres tipos de fallas: por carburación )
(A ; por

52. 52
recalentamiento )
(B ; estos tipos de fallas tienen
probabilidad de ocurrencia del %
6 y %
11
respectivamente. También la probabilidad de que
ocurran ambos tipos de fallas es %
4 .
a) Si ha tenido un recalentamiento; hallar la
probabilidad de que falle la carburación
b) Si el motor ha tenido una falla en la carburación;
hallar la probabilidad de que ocurra un
recalentamiento.
Solución.-
a) Hay que calcular la probabilidad condicional
3636
,
0
11
,
0
04
,
0
)
(
)
(
)
/
( 



B
p
B
A
p
B
A
p
b) En este caso se tiene que hallar:
6666
,
0
06
,
0
04
,
0
)
(
)
(
)
/
( 



A
p
A
B
p
A
B
p
Ejemplo 84.- Sea el suceso 

B ; tal que 0
)
( 
B
p ;
verificar que una condición necesaria y suficiente para
que los sucesos A y B sean independientes es que
)
(
)
/
( A
p
B
A
p 
En términos de la lógica matemática se tiene: A y B
son independientes 
)
(
)
/
( A
p
B
A
p 
Solución.-
La demostración es en dos partes:
ww
i) Condición necesaria )
( , hay que probar que si A y
B son independientes, entonces )
(
)
/
( A
p
B
A
p 
En efecto, por definición A y B son independientes si
)
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
A
p 
 ; luego
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
( A
p
B
p
B
p
A
p
B
p
B
A
p
B
A
p 




53. 53
ii) Condición suficiente )
( , ahora hay que verificar
que si )
(
)
/
( A
p
B
A
p  ; entonces A y B son
independientes.
Por definición de probabilidad condicional
)
(
)
(
)
(
)
/
( A
p
B
p
B
A
p
B
A
p 

 ;
entonces despejando )
(
)
(
)
( B
p
A
p
B
A
p 
 ; luego por
definición Ay B son independientes.
20) TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Se dice que k
B
B
B ;...
, 2
1 es una partición del espacio
muestral  ; si se cumplen las siguientes condiciones:
a) 

 j
i B
B para j
i 
b) 

  i
k
i B
1
c) k
i
B
P i ,...,
2
,
1
;
0
)
( 

ww
Consideremos A un suceso contenido en  , entonces:
)
(
;
)
(
)
(
);
(
...
)
(
)
( 2
1
s
excluyente
mutuamante
j
i
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
j
i
k













Obviamente esta unión de sucesos excluyentes; pues
supongamos además que las probabilidades )
( i
B
P
son conocidas; de forma tal que 


k
i
i
B
p 1
)
( ,
adicionalmente supongamos que )
/
( i
B
A
p son también
conocidas para todo i , entonces:

54. 54
entonces
k
i
B
A
P
B
P
A
B
P
A
B
P
A
B
P
A
B
P
A
P
i
i
i
k
;
;....;
2
;
1
);
/
(
)
(
)
(
);
(
..
)
(
)
(
)
( 2
1









)
/
(
)
(
)
(
1



k
i
i
i B
A
p
B
p
A
p
Este resultado es conocido con el nombre de Teorema
de la Probabilidad Total.
Ejemplo 85.- Una fábrica tiene tres tipos de máquina
2
,
1 y 3; el 50% de tipo 1, el 30% don de tipo 2 y el resto
de tipo 3.
La probabilidad de falla para las de tipo 1 es del 5%,
para las de tipo 2 es 2% y para las de tipo 3 es del 1%
Hallar la probabilidad de que una máquina escogida al
azar falle.
Solución.-
Definimos los sucesos:


1
B máquina sea de tipo 1 ; 5
,
0
)
( 1 
B
p


2
B máquina sea de tipo 2 ; 3
,
0
)
( 2 
B
p


3
B máquina sea de tipo 3 ; 2
,
0
)
( 3 
B
p
El suceso de interés es:


A máquina elegida falle 
También por los datos del problema
05
,
0
)
/
( 1 
B
A
p
02
,
0
)
/
( 2 
B
A
p
01
,
0
)
/
( 3 
B
A
p
Luego:
)
01
,
0
(
2
,
0
)
02
,
0
(
3
,
0
)
05
,
0
(
5
,
0
)
( 


A
p = 033
,
0 o también
%
3
,
3
)
(
100 
A
p , el cual es el % de encontrar una
máquina defectuosa.
Ejemplo 86.- En un pequeño laboratorio hay 6
computadoras del año y 4 del año pasado.
La probabilidad de que no falle durante el uso la
computadora del año es 95
,
0 ; esta probabilidad para la

55. 55
máquina del año pasado es 8
,
0 . Un estudiante entra al
laboratorio y toma una máquina al azar: Hallar la
probabilidad de que la máquina no falle durante su uso.
Solución.-
Definimos los sucesos
A =  computadora escogida no falle durante su uso 
1
B =  computadora elegida sea del año 
2
B =  computadora elegida sea del año pasado 
Según los datos
10
6
)
( 1 
B
p y
10
4
)
( 2 
B
p
Luego:
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( 2
2
1
1 B
A
p
B
p
B
A
p
B
p
A
p 

= 89
,
0
)
8
,
0
(
10
4
)
95
,
0
(
10
6


Ejemplo 87.- Se tienen tres cajas idénticas que
contienen focos; la primera caja contiene 10 focos; de
los cuales 6 de tipo B y cuatro de tipo F; la segunda
caja contiene 6 focos; de los cuales 5 son de tipo B y
uno de tipo F; y finalmente la tercera caja contiene 8
focos ; de los cuales 5 de tipo B; y el resto del otro tipo.
Se selecciona al azar una caja y de esta un foco; hallar
la probabilidad de sea de tipo B.
Solución.-
Sean los siguientes sucesos:
3
;
2
;
1
;
3
1
)
(
};
;..;
2
;
1
;
{ 


 i
B
P
n
i
da
selecciona
sea
i
caja
B i
i
}
{ F
tipo
de
sea
do
selecciona
foco
A 
8
5
)
/
(
;
6
5
)
/
(
;
10
6
)
/
( 3
2
1 

 B
A
P
B
A
P
B
A
P
Luego por el Teorema de la Probabilidad Total se tiene:
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( 3
3
2
2
1
1 B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
A
P 


6861
,
0
360
247
)
8
5
(
3
1
)
6
5
(
3
1
)
10
6
(
3
1
)
( 




A
P
La solución de este tipo de problemas se puede
resolver por lo que se conoce como diagrama de árbol.

56. 56
De aquí recorriendo las ramas de este árbol se tiene en
sus ramas multiplicando y luego sumando.
6861
,
0
360
247
)
8
5
(
3
1
)
6
5
(
3
1
)
10
6
(
3
1
)
( 




A
P
Ejemplo 88.- La primera urna contiene 10 esferas; 8 de
las cuales son de color blanco; la segunda urna tiene
20 esferas, de las cuales 4 son de color blanco. Se
escoge una urna al azar y de esta se extrae al azar una
esfera. Hallar la probabilidad de que se haya tomado
una esfera blanca.
Solución.-
Sean los sucesos
A= esfera extraída sea de color blanco 
1
B = elegir primera urna :
2
1
)
( 1 
B
p
2
B = elegir segunda esfera ;
2
1
)
( 2 
B
p
10
8
)
/
( 1 
B
A
p ;
20
4
)
/
( 2 
B
A
p
Entonces
5
,
0
)
20
4
(
2
1
)
10
8
(
2
1
)
( 


A
p
Ejemplo 89.- Una urna contiene 2 esferas, se introduce
una esfera de color blanco, después se extrae una
esfera al azar.

57. 57
Hallar la probabilidad de que la esfera extraída resulte
blanca si son igualmente probables todas las
suposiciones posibles sobre la composición inicial de
las esferas por color.
Solución.-
Sean los sucesos:
A =  esfera extraída sea de color blanco 


1
B inicialmente habían en la urna 0 esferas blancas 
2
B =  inicialmente había en la urna 1 esfera blanca 
3
B =  inicialmente habían en la urna 2 esferas blancas 
Según el ejercicio se tiene
3
1
)
(
)
(
)
( 3
2
1 

 B
p
B
p
B
p
Entonces
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( 3
3
2
2
2
1 B
A
p
B
p
B
A
p
B
p
B
A
p
B
p
A
p 


3
2
)
3
3
(
3
1
)
3
2
(
3
1
)
3
1
(
3
1




Ejemplo 90.- En una urna contiene n esferas, a
continuación e echa una esfera de color blanco,
después de lo cual se extrae una esfera. Hallar la
probabilidad de que la esfera extraída sea de color
blanco, si son igualmente probables todas las
suposiciones sobre la composición inicial de las
esferas por color
Solución.-
A =  esfera extraída sea de color blanco 


1
B inicialmente habían en la urna 0 esferas blancas 
2
B =  inicialmente había en la urna 1 esfera blanca 
3
B =  inicialmente habían en la urna 2 esferas blancas 

1

n
B =  inicialmente habían en la urna n esferas blancas 
Como el ejemplo anterior
1
1
)
(


n
B
p i 1
,...,
3
,
2
,
1 
 n
i
Entonces generalizando el problema anterior:

58. 58
)
/
(
)
(
)
(
1
1
i
n
i
i B
A
p
B
p
A
p 



=
)
1
1
(
1
1
...
)
1
3
(
1
1
)
1
2
(
1
1
)
1
1
(
1
1












 n
n
n
n
n
n
n
n
n
Usando la conocida fórmula
2
)
1
(
...
3
2
1






k
k
k
)
(A
p =
)
1
(
1
)
1
...
3
2
1
(
1
1






 n
n
n
)
(A
p =
)
1
(
2
2
)
1
(
2
)
2
)(
1
(
1
1






 n
n
n
n
n
n
21) TEOREMA DE BAYES
Es una consecuencia del Teorema de la Probabilidad
Total; explicamos el Teorema de Bayes usando en un
problema anterior; el cual dice:
“Una fábrica tiene tres tipos de máquina 2
,
1 y 3; el 50% de tipo 1, el 30%
don de tipo 2 y el resto de tipo 3.
La probabilidad de falla para las de tipo 1 es del 5%, para las de tipo 2 es
2% y para las de tipo 3 es del 1% Hallar la probabilidad de que una
máquina escogida al azar falle.”
Solución.-
Definimos los sucesos:


1
B máquina sea de tipo 1 ; 5
,
0
)
( 1 
B
p


2
B máquina sea de tipo 2 ; 3
,
0
)
( 2 
B
p


3
B máquina sea de tipo 3 ; 2
,
0
)
( 3 
B
p
El suceso de interés es:


A máquina elegida falle 
También por los datos del problema
05
,
0
)
/
( 1 
B
A
p
02
,
0
)
/
( 2 
B
A
p

59. 59
01
,
0
)
/
( 3 
B
A
p
Luego:
)
01
,
0
(
2
,
0
)
02
,
0
(
3
,
0
)
05
,
0
(
5
,
0
)
( 


A
p = 033
,
0 o también
%
3
,
3
)
(
100 
A
p , el cual es el % de encontrar una máquina defectuosa.
Supongamos que Ud. ha elegido una máquina y esta
ha resultado defectuosa. ¿ cual es la probabilidad sea
de tipo 1?
Se tendría que calcular:
7575
,
0
033
,
0
)
05
,
0
(
5
,
0
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
/
( 1
1
1
1 




A
p
B
A
p
B
p
A
p
A
B
p
A
B
p
Similarmente
1818
,
0
033
,
0
)
02
,
0
(
3
,
0
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
/
( 2
2
2
2 




A
p
B
A
p
B
p
A
p
A
B
p
A
B
p
0606
,
0
033
,
0
)
01
,
0
(
2
,
0
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
/
( 3
3
3
3 




A
p
B
A
p
B
p
A
p
A
B
p
A
B
p
Observe que:
1
)
/
(
)
/
(
)
/
( 3
2
1 

 A
B
p
A
B
p
A
B
p
En general el Teorema de Bayes permite expresa que:
k
j
B
A
p
B
p
B
A
p
B
p
A
B
p k
i
i
i
j
j
j ,..,
2
,
1
;
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
1




Ejemplo 91.- @Dos tipos máquinas producen tornillos
idénticos; los tornillos de ambas máquinas colocados
sobre una mesa. El rendimiento de la primera máquina
es el doble que el de la segunda máquina. La primera
máquina produce un %
94 de tornillos de calidad
excelente y para la segunda máquina es %
89 .Se toma

60. 60
un tornillo al azar de la mesa y resultó de calidad
excelente. Hallar la probabilidad de que haya sido
producida por la primera máquina.
Solución.-
A= tornillo seleccionado sea de calidad excelente 
1
B = elegir máquina 1 ;
3
2
)
( 1 
B
p
2
B = elegir máquina 2 ;
3
1
)
( 2 
B
p ; pues
2
)
(
)
( 2
1
B
p
B
p 
y además 1
)
(
)
( 2
1 
 B
P
B
P
94
,
0
)
/
( 1 
B
A
p ; 89
,
0
)
/
( 2 
B
A
p
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( 2
2
2
1 B
A
p
B
p
B
A
p
B
p
A
p 
 ; reemplazando
923333
,
0
)
89
,
0
(
3
1
)
94
,
0
(
3
2
)
( 


A
p
Lo que se pide y según el teorema de Bayes es:
6787
,
0
923333
,
0
)
94
,
0
(
3
2
)
(
)
/
(
)
(
)
/
( 2
1
1 


A
p
B
A
p
B
p
A
B
p
Ejemplo 92.- @Dos de tres elementos de un calculador
electrónico que funcionan independientemente fallaron.
Hallar la probabilidad de que hayan fallado los elementos
primero y segundo, si las probabilidades de fallar de los
elementos primero, segundo y tercero son %
20 , %
40 y %
30
respectivamente.
Solución.-
Definimos los sucesos:
A=  fallaron dos elementos de los tres 
1
B = fallaron 1 y 2 pero no 3 = 056
,
0
)
3
,
0
1
)(
4
,
0
(
2
,
0 

2
B = fallaron 1 y 3 pero no 2 = )
3
,
0
)(
4
,
0
1
(
2
,
0  = 036
,
0
3
B = fallaron 2 y 3 pero no 1 = )
3
,
0
)(
4
,
0
)(
2
,
0
1
(  = 096
,
0
4
B = falló un solo elemento 
452
,
0
3
,
0
)
4
,
0
1
)(
2
,
0
1
(
)
3
,
0
1
(
4
,
0
)
2
,
0
1
(
)
3
,
0
1
)(
4
,
0
1
(
2
,
0
)
( 4 









B
p

5
B  fallaron los tres elementos 
)
( 5
B
p = 024
,
0
)
3
,
0
)(
4
,
0
(
2
,
0 

61. 61
6
B = no falló ninguno 
336
,
0
)
3
,
0
1
)(
4
,
0
1
)(
2
,
0
1
(
)
( 6 




B
p
Observe que 1
)
(
6
1



i
i
B
p ; es decir los i
B constituyen una
partición, también 1
)
/
(
)
/
(
)
/
( 3
2
1 

 B
A
p
B
A
p
B
A
p y
además
0
)
/
(
)
/
(
)
/
( 6
5
4 

 B
A
p
B
A
p
B
A
p
Luego por teorema de la probabilidad total se obtiene
)
/
(
)
(
)
(
6
1
i
i
i B
A
p
B
p
A
p 

 = )
1
(
096
,
0
)
1
(
036
,
0
)
1
(
056
,
0 
 = 188
,
0
De acuerdo al teorema de Bayes;
2978
,
0
188
,
0
)
1
(
056
,
0
)
(
)
/
(
)
(
)
/
( 1
1
1 


A
p
B
A
p
B
p
A
B
p
Ejemplo 93.- @Se tienen 3 lotes de 20 pilas cada uno.
En el primer lote hay 20 pilas nuevas, en el segundo
lote 15 pilas nuevas y en el tercer lote 10.
Se elige un lote al azar y de este aleatoriamente se ha
escogido una pila y resultó ser nueva, después de
devolver la pila a lote y de este mismo lote se extrajo
una segunda pila y resultó nuevamente nueva.
Hallar la probabilidad de que las pilas tomadas sean del
tercer lote.
Solución.-
Definimos los sucesos:
A= las dos pilas tomadas (con reemplazamiento) sean nuevas 
i
B = las pilas han sido tomadas del lote i , 3
,
2
,
1

i
También
3
1
)
(
)
(
)
( 3
2
1 

 B
p
B
p
B
p
Obtendremos las probabilidades condicionales
1
)
/
( 1 
B
A
p ; pues en este lote todas pilas son nuevas.
5625
,
0
20
15
20
15
)
/
( 2 

B
A
p

62. 62
25
,
0
20
10
20
10
)
/
( 3 

B
A
p
)
25
,
0
(
3
1
)
5625
,
0
(
3
1
)
1
(
3
1
)
( 


A
p = 604166
,
0
Entonces por el teorema de Bayes
1379
,
0
604166
,
0
)
25
,
0
(
3
1
)
(
)
/
(
)
(
)
/
( 3
3
3 


A
p
B
A
p
B
p
A
B
p
Ejemplo 94.- @El número de camiones que pasan por
una carretera donde hay una estación surtidora de
gasolina con respecto al número de automóviles
guarda una relación de 2
:
3 .
La probabilidad de que se abastezca un camión es 1
,
0 y
para el automóvil esta probabilidad es 2
,
0 . Al surtidor
llega una máquina a abastecerse.
a) Hallar la probabilidad de que esta máquina sea un
camión.
b)Una máquina se ha detenido para abastecerse;
hallar la probabilidad de que no sea un camión.
Solución.-
a) Sean los sucesos


A una máquina llega a abastecerse 


1
B máquina sea un camión  ; entonces
5
3
2
3
3
)
( 1 


B
p


2
B máquina sea un automóvil  ; luego
5
2
2
3
2
)
( 2 


B
p
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( 2
2
1
1 B
A
p
B
p
B
A
p
B
p
A
p 

= 14
,
0
)
2
,
0
(
5
2
)
1
,
0
(
5
3


b)Necesitamos calcular
5714
,
0
14
,
0
)
1
,
0
)(
5
/
3
(
1
)
(
)
/
(
)
(
1
)
/
(
1
)
/
'
( 1
1
1
1 






A
p
B
A
p
B
p
A
B
p
A
B
P

63. 63
Ejemplo 95.- @En una universidad los docentes se
distribuyen en tres grupos, de la siguiente manera:
%
14 de ellos tienen estudios de maestría; %
59 poseen
título profesional y el resto tiene sólo tiene el
bachillerato.
El %
61 de los que tienen estudios de maestría son
hombres; el %
41 de los que tienen título profesional
son mujeres y de los bachilleres el %
51 son mujeres.
Se elige al azar un docente y resulta mujer. ¿Cuál es la
probabilidad de que no tenga estudios de maestría?
Solución.-
Definimos los sucesos


1
B docente sea magister ; 14
,
0
)
( 1 
B
p


2
B docente tenga título profesional ; 59
,
0
)
( 2 
B
p


3
B docente sea bachiller , 27
,
0
)
59
,
0
14
,
0
1
(
)
( 3 



B
p


A docente elegido sea mujer 
Según los datos
39
,
0
)
61
,
0
1
(
)
/
( 1 


B
A
p
41
,
0
)
/
( 1 
B
A
p
51
,
0
)
/
( 1 
B
A
p ; entonces
4332
,
0
)
51
,
0
(
27
,
0
)
41
,
0
(
59
,
0
)
39
,
0
(
14
,
0
)
( 



A
p
Lo que se desea es calcular:
8739
,
0
4332
,
0
)
39
,
0
(
14
,
0
1
)
(
)
/
(
)
(
1
)
/
(
1
)
/
'
( 1
1
1
1 






A
P
B
A
P
B
p
A
B
p
A
B
p
Ejemplo 96.- (Problema clásico llamado “El problema
de los cumpleaños”)
¿Cuál es la probabilidad de que, en un grupo de n
personas; por lo menos 2 de ellas coincidan en la fecha
de su cumpleaños?
Solución.-
Consideremos años de 365 días (excluimos los años
bisiestos). Definimos los sucesos:
{

A Por lo menos dos personas coinciden en la fecha de sus
cumpleaños }
Consideremos primeramente un caso particular;
considerando solamente 10

n personas.

64. 64
Es preferible hallar la probabilidad del suceso
complementario de A; es decir A :
{

A ninguna de las 10 personas coinciden en la fecha de sus
cumpleaños }
De forma tal que:
)
(
1
)
( A
P
A
P 
 ; procedemos a calcular )
(A
P .
Los casos totales con referencia al nacimiento de 10
personas en cualquiera de los 365 días del año; por lo
tanto 10
365
)
( 

n .
El número de los casos favorables para A ; se tiene
!
355
!
365
!
)
10
365
(
!
365
)
356
)(
357
)(
358
)(
359
)(
360
)(
361
)(
362
)(
363
)(
364
(
365 365
10 


 P
Por lo tanto para el caso 10

n :
1169
,
0
365
1
)
(
1
)
( 10
365
10





P
A
P
A
P
Si 15

n
2529
,
0
365
1
)
(
1
)
( 15
365
15





P
A
P
A
P
Si 20

n : 4114
,
0
365
1
)
(
1
)
( 20
365
20





P
A
P
A
P
Si 22

n : 4756
,
0
365
1
)
(
1
)
( 22
365
22





P
A
P
A
P
Si 23

n : 5072
,
0
365
1
)
(
1
)
( 23
365
23





P
A
P
A
P
Si 30

n : 7063
,
0
365
1
)
(
1
)
( 30
365
30





P
A
P
A
P
Si 35

n : 8143
,
0
365
1
)
(
1
)
( 35
365
35





P
A
P
A
P
Si 39

n : 8782
,
0
365
1
)
(
1
)
( 39
365
39





P
A
P
A
P
Para 40

n ; la calculadora fx-82 ya no puede obtener.
Con Excel se calculan otros valores superiores a 39

n
En general para un 365

n se tiene:
365
;....,
3
;
2
;
1
;
365
1
)
(
1
)
(
365




 k
P
A
P
A
P k
k
Para 365

k se define 0
365

k
P ; en cuyo caso 1
0
1
)
( 


A
P

65. 65
Un gráfico asociado es:
Ejemplo 97.- (Problema clásico de la probabilidad
llamado “El problema de los sombreros”.
Supongamos que la persona encargada del
guardarropa de un establecimiento olvidó de colocar la
tarjeta de identificación a los sombreros que dejaron
bajo su responsabilidad y posteriormente los
distribuyó al azar a sus propietarios. ¿Cuál es la
probabilidad de que por lo menos una persona reciba
su propio sombrero.
Solución.-
Resolvemos el problema para un caso muy sencillo
para n=2
Definimos el suceso de interés

66. 66
A1={por lo menos una persona reciba su sombrero
correcto}
 Los casos totales para n=2: (par)
Sombrero A Sombrero B
Persona a Persona b
A B (Ok)
B A
Luego P(A1)=1/2=1-1/2=1-1/2!
 Para n=3 (impar)
Som. A Som. B Som. C
Per. a Per. b Per. c
A B C (ok: tres coincidencias)
A C B (ok: una coincidencia)
B A C (ok. Una coincidencia)
B C A (ninguna coincidencia)
C A B (ninguna coincidencia)
C B A (ok. Una coincidencia)
Luego P(A1)=4/6=2/3=1-1/2+1/6=1-1/2!+1/3!
 Para n=4 (par)
A B C D (SOMBREROS)
a b c d (PERSONAS)
……………..
A B C D (ok. Cuatro coincidencias)
A B D C (ok. dos coincidencias)
A C B D (ok. Dos coincidencias)
A C D B (ok. Una coincidencia)
A D B C (ok. Una coincidencia)
A D C B (ok. Una coincidencia)
……………..
B A C D (ok. Una coincidencia)
B A D C
B C A D (ok. Una coincidencia)
B C D A
B D A C
B D C A (ok. Una coincidencia)

67. 67
………………
C A B D (ok. Una coincidencia)
C A D B
C B A D (ok. Una coincidencia)
C B D A (ok. Una coincidencia)
C D A B
C D B A
………………
D A C B (ok. Una coincidencia)
D A B C
D B A C (ok. Una coincidencia)
D B C A (ok. Una coincidencia)
D C A B
D C B A
Luego P(A1)=15/24=1- 1/2! + 1/3! - 1/4!
En general para cualquier n, se tiene:
!
1
........
!
3
1
!
2
1
1
)
( 1
n
A
P 



 (n impar)
!
1
........
!
3
1
!
2
1
1
)
( 1
n
A
P 



 (n par)
Recordando:
....
!
....
!
2
!
1
!
0
!
2
1
0
0






 

 n
x
x
x
x
i
x
e
n
i
i
x
....
!
)
1
(
....
!
2
)
1
(
!
1
)
1
(
!
0
!
)
1
( 2
1
0
0
1










 



n
x
i
e
n
i
i
.....
!
4
1
!
3
1
!
2
1
....
!
)
1
(
....
!
3
1
!
2
1
1
1
!
)
1
(
0
1













 



n
i
e
n
i
i
Por lo tanto cuando 

n se tiene:
6321
,
0
1
)
( 1
1 

 
e
A
P
EJERCICIOS ADICIONALES

68. 68

69. 69

70. 70

71. 71

72. 72

73. 73

74. 74

75. 75

76. 76

77. 77

78. 78

79. 79

80. 80

81. 81

82. 82

83. 83
REPASO DE PROBABILIDAD
Ejercicio 1.- @¿Qué caracteriza a un fenómeno o
experimento aleatorio?
Solución.-
Los fenómenos o experimentos aleatorios se
caracterizan principalmente por dos cosas:
a) Poseen aleatoriedad, es decir resultados
individuales no se pueden predecir con exactitud antes
de realizar el experimento.
b) El experimento se puede repetir muchas veces y en
condiciones similares.
c) Se presenta lo que se conoce como regularidad
estadística; es decir a medida de que el número de
pruebas aumenta la frecuencia relativa empírica de un
suceso se estabiliza alrededor de su probabilidad
teórica.
Por ejemplo el diagrama anterior puede mostrar lo que
sucede con el lanzamiento de una moneda correcta
para varios valores de ....
20
;
10
;
5

n
n 5 10 15 20 100  1000  

84. 84
c 3 4 8 9 51  499 
s 2 6 7 11 49  501 
)
(cara
hi 6
,
0 4
,
0 53
,
0 45
,
0 49
,
0  499
,
0  5
,
0
Ejercicio 2.- @Defina lo que se conoce como espacio
muestral
Solución.-
El espacio muestral hace las veces del conjunto
universal U de la teoría de conjuntos, en probabilidad
este conjunto grande se representa por  (letra griega
omega mayúscula), los elementos que conforman este
conjunto se representan por  (letra omega minúscula)
y se llaman sucesos elementales.
Donde 

E (espacio muestral)
Ejercicio 3.- @Defina lo que se conoce como el
cardinal de un espacio muestral.
Solución.-
El número de elementos de espacio muestral finito, es
denotado por k
n 
)
( , k 
Z y 

k , entonces a k le
conoce como el cardinal o número de elementos de  .

85. 85
Ejercicio 4.- @Se lanzan tres dados simultáneamente;
hallar el espacio muestral y su cardinal asociado.
216
6
6
6
6
)
( 3



 x
x
n
Ejercicio 5.- El siguiente cuadro muestra la
simulación del lanzamiento de tres dados 100 veces;
simulación realizada en Excel:

86. 86
Ejercicio 6.- @
Se lanzan cinco monedas simultáneamente y se
observan las caras superiores (cara-cruz), hallar el
espacio muestral asociado.
Solución.-
Este un espacio muestral sencillo y 32
2
)
( 5



n
Ejercicio 7.- @ Se lanzan simultáneamente tres
monedas, hallar el espacio muestral asociado.
Solución.-
 
css
scs
ssc
sss
scc
ccs
ccc ;
;
;
;
csc,
,
,

 ;
8
)
( 

n
Ejercicio 8.- @ Se lanza una dado común y una
moneda, hallar el espacio muestral asociado.
Solución.-
Este es un espacio muestral sencillo, pero ilustrativo,
pues a sirve como modelo para presentar la teoría de
la probabilidad en su parte inicial.
 
6
;
5
;
4
;
3
;
2
;
1
;
6
;
5
;
4
;
3
;
2
;
1 s
s
s
s
s
s
c
c
c
c
c
c

 :

87. 87
12
6
2
)
( 

 x
n
Ejercicio 9.- @ En una mesa existen tuercas, entre
buenas y malas, se seleccionan al azar tres tuercas uno
por uno y con reemplazamiento, describir el espacio
muestral de acuerdo a la composición por la
clasificación entre Buenas (B) y Malas (M).
Solución.-
 
BMM
MBM
MMB
MMM
MBB
BMB
BBM
BBB ,
,
,
,
,
,
,

 ,
8
)
( 

n
Ejercicio 10.- @ Se lanza repetidamente un dado hasta
que aparezca el número 6 por primera vez. Hallar el
espacio muestral asociado.
Solución.-
Este es un ejemplo de un espacio muestral infinito
numerable; pues
 
),...
6
6
~
6
~
6
(~
);
6
6
~
6
(~
);
6
6
(~
);
6
( 

 ;
Donde 6
~ ; significa no seis.


)
(
n
Ejercicio 11.- @ Se lanzan simultáneamente tres dados
y se observan las caras superiores. Describir el
espacio muestral asociado.
Solución.-

88. 88














)
6
;
6
,
6
)...(
1
;
6
;
6
(
)
6
;
6
;
6
(
.....
..........
..........
..........
)
6
;
2
;
2
)...(
1
;
2
,
2
(
)
2
;
2
;
2
(
)
6
;
1
;
1
(
)...
2
;
1
;
1
(
)
1
;
1
;
1
(
;
216
)
6
)(
6
(
6
)
( 


n
Por comprensión se tiene:
}
6
;...;
2
;
1
6
;...;
2
;
1
6
;...;
2
;
1
;
)
;
;
{( 



 k
j
i
k
j
i
Ejercicio 12.-
Se prueba un Disco Duro en una computadora y se
anota el instante en que deja de funcionar, hallar el
espacio muestral asociado.
Solución.-
En este caso el espacio muestral es infinito no
numerable; pues es un intervalo no acotado
superiormente.
 
0
; 

 t
t ; 

)
(
n
donde t es el instante en que deja de funcionar el DD.
En general los espacios muestrales que conducen a
intervalos o unión de intervalos son espacios
muestrales infinitos no numerables.
Ejercicio 13.-
Un dado tiene el número 4 en tres de sus caras, el
número 5 en dos de ellas, y el número 6 en la cara
restante. Se lanza el dado, hallar el espacio muestral
asociado.
Solución.-
El espacio muestral en este caso tiene tres resultados
posibles; es decir 

 4; 5; 6 ; 3
)
( 

n
Ejercicio 14.-
De acuerdo al ejemplo anterior supongamos que el
dado se lanza dos veces; hallar el espacio muestral
asociado.
Solución.-

89. 89
Como en el primer lanzamiento pueden ocurrir 3
resultados posibles y como en el segundo lanzamiento
también; en total tenemos 9
3
3 
x resultados posibles y
el espacio muestral es:


 (4;4) (4;5) (4;6) (5;4) (5;5) (5;6) (6;4) (6;5) (6;6) ;
9
3
)
3
(
3
)
( 2




n
Ejercicio 15.-
Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. El
dado es especial; pues en todas sus caras aparece un
punto (1); la moneda también es muy particular; pues
en ambos lados muestra sello (s). ¿Es un experimento
aleatorio?
Solución.-
Para que sea un experimento aleatorio debe tener dos
condiciones:
a) Aleatoriedad
b)Repetición
Evidentemente posee la condición b); pues el
experimento se puede repetir muchas veces y en
condiciones similares.
Sin embargo no posee la condición a); pues no hay
aleatoriedad, pues siempre va a aparecer un único
resultado (1;s); más bien se trata de un experimento
determinístico; pues el resultado se puede anticipar
antes de hacer el experimento.
Ejercicio 16.-
Se va a seleccionar un comité representativo de tres
personas de un total de diez, supongamos que dentro
de las personas seleccionadas no existe ningún cargo
jerárquico; describir por comprensión el espacio
muestral asociado y el cardinal asociado.
Solución.-
Como existen 10 personas y el comité representativo
debe estar integrado por tres y no hay ningún cargo

90. 90
entre ellos, se tendrán que calcular combinaciones de
10 tomados de tres (no importa el orden), es decir:
120
6
)
8
)(
9
(
10
)!
3
10
(
!
3
!
10
3
10












casos posibles; en este caso
el espacio muestral es:


 (P1P2P3) (P2 P3 P5) …(P8 P9 P10 ; 120
)
( 

n
Ejercicio 17.-
Se tienen dos esferas numeradas por 3 y el 4 ; las
cuáles se colocarán aleatoriamente en tres cajas 2
,
1 y
3; la esfera debe ser colocada exactamente en una
caja. Describir el espacio muestral asociado y el
cardinal asociado.
Solución.-
La primera esfera puede ser colocada en cualquiera de
las tres cajas; una vez hecho esto la segunda esfera
puede ser colocada de 2 formas posibles, luego el total
de formas es 6
)
2
(
3  formas distintas; obviamente
siempre un buzón estará vacía, en este caso:


 (3 4 --) (4 3 --) (3 – 4) (4 –3) (-- 3 4) (-- 4 3) ; 6
)
( 

n
Ejercicio 18.-
Se tienen tres cartas A;B y C ; las cuáles se colocarán
aleatoriamente en tres buzones 2
,
1 y 3; cartas deben
ser colocadas en un solo buzón; hallar su espacio
muestral asociado.
Solución.-
En este caso sólo tenemos tres casos posibles y son


 (ABC -- --) (-- ABC --) (-- -- ABC) ;
3
)
( 

n
Ejercicio 19.-
Dos personas P1 y P2; las cuáles ingresarán
aleatoriamente por tres puertas 2
,
1 y 3 ; si ambas
personas pueden ingresar por una misma puerta o por

91. 91
puertas separadas. Hallar el espacio muestral asociado
y su cardinal.
Solución.-
La primera persona puede ingresar de tres maneras
posibles, la segunda carta también de tres maneras
posibles, luego el total de maneras es 9
)
3
(
3 
formas posibles; en este caso:


 (P1 P2 -) (P2 P1 -) (P1 – P2) (P2 –P1) (- - P1P2) (- P2 P1)
(P1P2 - -) (- P1P2 -) (- - P1P2) 
9
)
( 

n
Ejercicio 20.- Una máquina produce tuercas de
precisión milimétrica. Estos se clasifican como
defectuosos (d) y buenos (b).
En la línea de producción se van revisando la tuercas,
la fabricación continua hasta encontrar dos tuercas
defectuosas consecutivas o de lo contrario se haya
verificado cuatro artículos, cualquiera que ocurra
primero.
Hallar el espacio muestral asociado.
Solución.-
Tenemos.


 dd, bdd, dbdd, dbdb, dbbd, dbbb, bdbd, bdbb,
bbdd,bdbd, bbbd, bbbb 
Ejercicio 21.- (*)
Una caja tiene n esferas; de las cuales k son de color
negro; donde n
k  . Se escogen esferas una por una
sin reemplazamiento; hasta que se encuentra una
esfera de color negro, Hallar espacio muestral asociado
a este experimento aleatorio
Solución.-
Se tienen n esferas; k de color negro y k
n son de
otro color distinto; sean los sucesos:


N esfera escogida sea de color negro ;


O esfera seleccionada es de otro color ;
entonces:

92. 92


 
ON
OOO
OOON
OON
ON
N ...
,
,
,
,
,  ; donde el
último suceso elemental ON
OOO... , incluye k
n letras
O (otro color) y la última es N (color negro)
Ejercicio 22.- (*)
Bajo las mismas condiciones del ejemplo anterior,
supongamos que se extraen las esferas un por una y
sin reemplazamiento hasta obtener las k esferas de
color negro. Hallar el espacio muestral asociado.
Solución.-
Es una extensión del ejemplo anterior; consideremos
los siguientes sucesos elementales:
N
NNN...
1 
 , donde existe k veces la letra N ; en este
caso se han requerido exactamente k ensayos las k
esferas negras.
2
 = NN
ONNN... ; en este caso se han requerido 1

k
ensayos para obtener las k esferas negras; los
primeros k ensayos hay una O y el resto son N ; es
decir 1

k letras N ; el último ensayo es una letra N
El suceso elemental 2
 puede generar otros k sucesos
elementales; pues en los k primeros ensayos la letra O
puede cambiar en k posiciones posibles; el último
ensayo siempre debe ser N .
Ejercicio 23.-
Sea un espacio muestral  y consideremos i
A , 3
.
2
.
1

i
tres sucesos contenidos en este espacio muestral,
expresar en términos de la teoría de conjuntos lo
siguiente:
a) Al menos uno de los tres sucesos ocurre.
b) Exactamente uno de tres sucesos ocurre.
c) Exactamente dos de los tres sucesos ocurre.
d) Por lo menos uno de los tres sucesos ocurre.
e) No ocurren más de dos sucesos simultáneamente.
Solución.-
a) )
( 3
2
1 A
A
A 
