No puedo determinar cuál llegará primero con certeza con la información dada. Aunque todos tienen la misma masa y radio, otros factores como la forma, superficie de contacto, centro de masa, etc. también afectarán la velocidad con que ruedan y lleguen abajo. Se necesitaría más detalles sobre la forma y características de cada objeto para predecir cuál será el más rápido.
2. Marcos Guerrero
2
Energia cinética rotacional
Dejando a energia cinética
de traslación de la i-ésima
partícula como energía
cinética de rotación de la
i-ésima partícula, tenemos
1
2
mivi
2
=
1
2
mi (riω)2
Ahora todas las partículas
tienen la misma rapidez angular
ω, por los tanto, la energía
cinética de rotación total del
cuerpo es la suma de las
energías cinéticas de rotación
de todas sus partículas:
KR =
1
2
m1r1
2
ω2
+
1
2
m2r2
2
ω2
+... =
1
2
miri
2
ω2
i=1
i=n
∑
3. Marcos Guerrero
3
Sumando el factor común de esta expresión tenemos
I= Momento de
inercia
KR =
1
2
( miri
2
)ω2
i=1
i=n
∑
KR =
1
2
Iω2
I = miri
2
i=1
i=n
∑ Momento de inercia
Energia cinética rotacional
El momento de inercia
sólo depende de la
geometría del cuerpo y
de la posición del eje de
giro; pero no depende de
las fuerzas que intervienen
en el movimiento.
4. Marcos Guerrero
4
Explique ¿cómo se modifica la ley de conservación
de la energía cuando se estudia cuerpos rígidos y
que tienen solamente energía cinética de rotación?
5. Marcos Guerrero
5
Momento de inercia o inercia rotacional
La suma de las masas de las partículas por el cuadrado de su distancia
al eje de rotación, se llama momento de inercia o inercia rotacional que
se denota como I.
La inercia rotacional es una medida
que indica la resistencia de los cuerpos
a cambiar su estado de movimiento
rotacional.
10. Marcos Guerrero
10
Imaginemos que dividimos a un cuerpo en pequeños elementos de masa
dm, de modo que todos los puntos de un elemento estén prácticamente
a la misma distancia perpendicular del eje de rotación.
∫= dmrI 2
La densidad de masa por unidad de volumen, p=dm/dV, así que:
∫= dVrI ρ2
Si la densidad de un cuerpo es uniforme
∫= dVrI 2
ρ
N O T A : S i e m p r e
debemos escoger
dV de modo que
todos los puntos
estén casi a la
misma distancia del
eje de rotación.
13. Marcos Guerrero
13
Teorema de los ejes paralelos
Relación simple entre el momento de inercia de un cuerpo de
masa M alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el
momento de inercia alrededor de cualquier otro eje paralelo al
original pero desplazado una distancia d.
cmI
pI
2
MdII cmp +=
14. Marcos Guerrero
14
Escribiendo una expresión para el momento de inercia de la tajada
alrededor del eje que pasa por el centro de masa en O es:
cmI
∑ +=
i
iiicm yxmI )(
22
])()[(
22
∑ −+−=
i
iiip byaxmI
∑∑ ∑∑ ++−−+=
i
i
i i
ii
i
iiiiip mbaymbxmayxmI ])(22)[( 2222
El momento de inercia de la tajada alrededor del eje que pasa por P es:
Expandiendo los cuadrados y reagrupando:
cmI
proporcionales a las
coordenadas de centro
de masa por lo tanto
son ceros
2
d
Queda demostrado que:
2
MdII cmp +=
21. Marcos Guerrero
21
Momento de torsión o torque
Medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar
la rotación de un cuerpo
τ = rFSenφ
→→→
= Fxrτ
Unidad en el SI: Nm
29. Marcos Guerrero
29
Condiciones de equilibrio mecánico
Primera condición: equilibrio de traslación
Para un cuerpo extendido, el centro de masa del cuerpo tiene cero
aceleración si la resultante de todas las fuerzas externas que
actúan sobre el cuerpo es cero.
0=∑
→
F
0=∑
→
x
F 0=∑
→
y
F 0=∑
→
z
F
Donde la sumatoria incluye solo las fuerzas externas
30. Marcos Guerrero
30
Segunda condición: equilibrio de rotación
Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener tendencia a
comenzar a girar alrededor de ningún punto, así que la suma
de momentos de torsión externos alrededor de cualquier
punto debe ser cero.
0=∑
→
τ
31. Marcos Guerrero
31
Situaciones donde existe
equilibrio mecánico .
!
τ∑ =
!
0
!
F∑ =
!
0
Si sobre un cuerpo actúan 3
fuerzas complanares y el
cuerpo está en equilibrio
mecánico, entonces las
líneas de acción de los 3
fuerzas se interseptan en un
punto.
32. Marcos Guerrero
32
0
Si un cuerpo está en
equilibrio mecánico con
respecto a un punto O,
entonces está en equilibrio
mecánico con respecto a
cualquier otro punto O´
0
0
33. Marcos Guerrero
33
Centro de gravedad
Punto donde toda la fuerza gravitacional de un sistema se concentra
Definición
xcg =
w1x1 + w2 x2 + w3x3 +...
w1 + w2 + w3 +...
=
wi xi
i
∑
wi
i
∑
ycg =
w1y1 + w2 y2 + w3y3 +...
w1 + w2 + w3 +...
=
wi yi
i
∑
wi
i
∑
zcg =
w1z1 + w2z2 + w3z3 +...
w1 + w2 + w3 +...
=
wizi
i
∑
wi
i
∑
34. Marcos Guerrero
34
Momento de torsión gravitacional
→→→→→
×=×= gmrwr iiiiiτ
...2211 +×+×==
→→→→→→
∑ gmrgmr
i
ττ
El momento de torsión total debido a las
fuerzas gravitacionales que actúan sobre
todas las partículas es:
→→→
×++= grmrm ...)( 2211
→→
×= ∑ grm
i
ii )(
Ahora multiplicamos y dividimos para la
masa total del sistema:
36. Marcos Guerrero
36
Localización y uso del centro de gravedad
• Podemos usar consideraciones de simetría para encontrar el centro
de gravedad, en caso de cuerpos homogéneos.
• Para cuerpos irregulares , es posible encontrar el centro de
gravedad dividiendo el cuerpo en piezas simétricas.
39. Marcos Guerrero
39
Estabilidad e inestabilidad
La estabilidad tiene que ver con la altura a la que se encentra el
centro de gravedad con respecto a la base de apoyo y el ancho de
la base de apoyo
46. Marcos Guerrero
46
Resolución de problemas de equilibrio de cuerpos rígidos
Recordar
0=∑
→
x
F 0=∑
→
y
F
0=∑
→
zτ
(Primera condición de equilibrio, fuerzas en el plano xy)
(Segunda condición de equilibrio, fuerzas en el plano xy)
• Una vez que se escoge un punto, se deberá usar el mismo punto para
calcular todos los momentos de torsión que actúan sobre el cuerpo.
• Es conveniente escoger un punto que simplifique los cálculos lo más
posible.
56. Marcos Guerrero
56
Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido
La Segunda Ley de Newton para la
componente tangencial de una
partícula es:
tan,11tan,1 amF =
Podemos expresar esta relación en
términos de la aceleración angular:
zrmrF α2
111tan,1 =
La ecuación anterior no es mas que el momento de torsión de la fuerza
neta respecto al eje de rotación:
zzz rmI αατ 2
1111 ==
Escribiendo una ecuación para todas las partículas, tenemos:
zzz Irm αατ == ∑∑ )(
2
111
60. Marcos Guerrero
60
Trabajo y potencia en movimiento rotacional
El trabajo dW efectuado por mientas un
punto del borde se mueve una distancia ds es:
θRdds =
→
tanF
es el momento de torsión debido a la
fuerza , así que:
RF
→
tan →
tanF
θτ ddW z=
El trabajo total W efectuado por el momento de
torsión durante un desplazamiento angular
Y es:
1θ
2θ
∫=
2
1
θ
θ
θτ dW z
61. Marcos Guerrero
61
Si el momento de torsion es constante y el cambio de Angulo es finito,
es decir:
12 θθθ −=Δ
El trabajo efectuado por un momento de torsion constante es:
θτθθτ Δ=−= zzW )( 12
62. Marcos Guerrero
62
Transformamos el integrando de la ecuación antes mencionada, en una
integral sobre así:zω
zzzzz dId
dt
d
Id
dt
dW
IdId ωωω
θ
θθαθτ ==== )(
Dado que es el momento de torsion neto. Integrando la ecuación
anterior tenemos, el trabajo total efectuado:
2
1
2
2
2
1
2
12
1
ωωωω
ω
ω
IIdIW zztot −== ∫
θτ ddW z=Si dividimos ambos términos de esta ecuación entre el
intervalo dt:
dt
d
dt
dW
z
θ
τ=
Obtenemos la rapidez con la que se efectúa trabajo o POTENCIA:
zτ
zzP ωτ=
67. Marcos Guerrero
67
Explique ¿cómo se modifica la ley de conservación
de la energía cuando se estudia cuerpos rígidos
que tienen energía cinética de rotación y energía
potencial gravitacional?
69. Marcos Guerrero
69
MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
Consideremos una partícula representativa de
masa su velocidad relativa a un marco
inercial es:
im vi
→
→→→
+= 'icmi vvv
La energia cinética de esta partícula la podemos
expresar de la siguiente manera:
)').('(
2
1 →→→→
++= icmicmii vvvvmK
)'.''.2.(
2
1 →→→→→→
++= iiicmcmcmii vvvvvvmK
)''2(
2
1 22
iicmcmii vvvvmK ++=
→→
70. Marcos Guerrero
70
La energía cinética total es la suma de todas las energías cinéticas
para todas las partículas del cuerpo. Si expresamos los tres términos de
la ecuación como sumas individuales, tenemos:
K = Ki∑ = (
1
2
mivcm
2
∑ )+ (mi∑ vcm
→
.v i '
→
)+ (
1
2
mi∑ vi '2
)
K = Ki∑ =
1
2
( mi∑ )v2
cm + vcm
→
. (mi∑ v i '
→
)+ (
1
2
mi∑ vi '2
)
K = Ki∑ =
1
2
( mi∑ )v2
cm + vcm
→
. (mi∑ v i '
→
)+
1
2
( mi∑ ri
2
)ω2
73. Marcos Guerrero
73
vcm = Rω
vt = 2vcm
acm = Rα
at = 2acm
Σ
!
F = m
!
acm
Σ
!
τ = Icm
!
α
¿Qué tipo de fricción actúa en rodadura?
74. Marcos Guerrero
74
Explique ¿cómo se modifica la ley de conservación
de la energía cuando se estudia cuerpos rígidos
que tienen energía cinética de rotación y traslación
y energía potencial gravitacional?
78. Marcos Guerrero
78
Movimiento angular (L)
El análogo del momento lineal o
cantidad de movimiento de una
partícula el es movimiento angular.
→→→→→
×=×= vmrprL
smkg /. 2
Unidades:
Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo usando la regla de la
derivada de un producto:
)()()()(
→→→→
→
→→
→→
×+×=×+×= amrvmv
dt
vd
mrvm
dt
rd
dt
Ld
La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular de una
partícula es igual al momento de torsión de la fuerza neta que actúa
sobre ella.
→→→
→
=×= τFr
dt
Ld
79. Marcos Guerrero
79
Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría
→→
= ωIL
Si la cantidad de movimiento angular
total del sistema es L y la suma de
momentos externos es, entonces:∑
→
τ
dt
Ld
→
→
=∑τ
Por ultimo si el sistema de partículas es un
cuerpo rígido que gira alrededor de un eje
de simetría (el eje z). Por lo tanto:
zIατ =∑
→
80. Marcos Guerrero
80
Conservación de la cantidad de movimiento
Si el momento de torsión externo neto que actúa sobre un sistema es
cero, la cantidad de movimiento angular total del sistema es constante
(se conserva)
zz II 2211 ωω =
Considere dos cuerpos A y B que interactúan entre si.
dt
Ld B
AsobreB
→
→
=τ
dt
Ld A
BsobreA
→
→
=τ
Por tercera ley de newton:
AsobreBBsobreA FF
→→
−=
AsobreBBsobreA
→→
−= ττ
81. Marcos Guerrero
81
Por lo tanto, si sumamos las ecuaciones anteriores tenemos:
0=+
→→
dt
Ld
dt
Ld BA
Dado que es la cantidad de movimiento angular total
del sistema
BA LL
→→
+
→
L
0=
→
dt
Ld
“Momento de torsión externo neto cero”