Este documento describe la teoría de Rankine de las presiones de tierra activa y pasiva. Explica que la presión activa de tierra (σ'a) es la presión que ejerce el suelo sobre un muro que se está moviendo hacia atrás, mientras que la presión pasiva de tierra (σ'p) es la presión que ejerce el suelo sobre un muro que se está moviendo hacia adelante. Proporciona fórmulas para calcular σ'a y σ'p en función de la profundidad, la cohesión del suelo, el á

1. PRESIÓN LATERAL DE
TIERRA

2. PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSOPRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO
o
h
oK
'
'
σ
σ
=
Peso especifico del suelo = γ
τ f = c + σ tanφ
σ´h = Koσ´o
z
A
B
y
oo σσ =′
hh σσ =′

3. Como σ´o = γz, tenemos
σ´h = Ko (γz)
Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la
relación empírica (Jaki,1944)
Ko = 1 – sen φ
Donde φ = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,
Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para Ko :




+=
100
(%)
42.044.0
IP
Ko

4. Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como
OCR =
presión de preconsolidación
presión de sobrecarga efectiva presente
La magnitud de Ko en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores
mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.
Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por
( ) ( ) OCRKK daeconsolidanormalmentodadapreconsolio =

5. PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECOPRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO
H
Peso específico del suelo = γ
Ko γ H
2
2
1
HKP oo γ=
3
H

6. H
H1
H2
Ko( γH1 + γ’H2)
Peso específico saturado
del suelo = γsat
Peso específico del suelo = γ
γwH2
KoγH1
Nivel de Agua
freática
-(a) (b)
F
E
J K
A
B
I
G
z
+
C
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTEPRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE
SUMERGIDOSUMERGIDO

7. =
H1
H2
KoγH1
Distribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergidoDistribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido
Ko( γH1 + γ’H2) + γwH2
(c)

8. Presión efectiva vertical = )( 11 HzHo −′+=′ γγσ
[ ])( 11 HzHKK oooh −′+=′=′ γγσσ
)( 1Hzu w −= γ
uhh +′= σσ
[ ] )()( 111 HzHzHK wo −+−′+= γγγ
2
221
2
1 )(
2
1
2
1
HKHHKHKP woooo γγγγ +′++=
[ ] 2
2
2
221
2
1 2
2
1
HHHHHKP woo γγγγ +′++=
o
Presión efectiva horizontal =
Presión total horizontal =

9. TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
Peso especifico del suelo = γ
τ f = c + σ tanφ
σ´h
z
A
B
A´
B´
(a)
∆L
σ´O
Presión activa de tierra de RankinePresión activa de tierra de Rankine

10. Esfuerzo normal
(b)
Presión activa de tierra de RankinePresión activa de tierra de Rankine
c
A
φ
φ Esfuerzonormal
D´
D
O
C
τ f = c + σ tanφ
σ′OKoσ′O
σ′a
a
b

11. TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
OCAO
CD
AC
CD
sen
+
==φ
Pero
CD = radio del círculo de falla =
2
ao σσ ′−′
AO = c cot φ
y
2
ao
OC
σσ ′+′
=
Por lo que
2
cot
2
ao
ao
c
sen
σσ
φ
σσ
φ
′+′
+
′+′
=

12. 22
cos aoao
senc
σσφσσφ
′−′
=
′+′
+o
o
φ
φ
φ
φσσ
sen
c
sen
sen
oa
+
−
+
−
′=′
1
cos
2
1
1
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
Pero
σ′o = presión de sobrecarga efectiva vertical = γz






−=
+
−
2
45tan
1
1 2 φ
φ
φ
sen
sen
y






−=
+ 2
45tan
1
cos φ
φ
φ
sen

13. Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos






−−





−=′
2
45tan2
2
45tan2 φφ
γσ cza
La Variación de σ′a con la profundidad. Para suelos sin cohesión, c = 0 y






−′=′
2
45tan2 φ
σσ oa






−=
′
′
=
2
45tan2 φ
σ
σ
o
a
aK
La razón de σ′a respecto a σ′o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,
Ka,o

14. aKc2−
γ
c2
tan )
2
45(
φ
+
z
(c)
aa KczK 2−γ
(d)
2
45
φ
+
2
45
φ
+
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA

15. ESTADO PASIVO DE RANKINEESTADO PASIVO DE RANKINE
Peso especifico del suelo = γ
τ f = c + σ tanφ
σ´h
z
A
B
A´
B´
(a)
∆L
σ´O
Presión pasiva de tierra de RankinePresión pasiva de tierra de Rankine

16. Esfuerzo Normal
τ f = c + σ tanφ
EsfuerzoNormal
σ′o
φ
φ O
Presión pasiva de tierra de RankinePresión pasiva de tierra de Rankine
C
D
D′
A
(b)
σ′p
b
Koσ′o
a

17. 





++





+′=′
2
45tan2
2
45tan2 φφ
σσ cop






++





+=
2
45tan2
2
45tan2 φφ
γ cz
La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee






+′=′
2
45tan2 φ
σσ op
o






+==
′
′
2
45tan2 φ
σ
σ
p
o
p
K
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA

18. z
pKc2 pzKγ
(c)
(d)
2
45
φ
−
2
45
φ
−
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA

19. EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MUROEFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO
Muro de retención en voladizoMuro de retención en voladizo

20. 245 φ
+ 245 φ
+
z
C´
A
H
A´
B
(a)
La
∆La

21. 2
45
φ
−
H
A
∆Lp
A ″
Lp
C″2
45
φ
−
2
45
φ
−
Rotación de un muro sin fricción respecto al fondoRotación de un muro sin fricción respecto al fondo
(b)

22. Presión activa σ′a
Presión en reposo
Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muroVariación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro
Presión pasiva
σ′p
Presióndetierra
Inclinación
del muro
∆La
H
Inclinación
del muro
∆LP
H

23. DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRADIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA
MUROS DE RETENCIÓNMUROS DE RETENCIÓN
RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENORELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO
zKaaa γσσ =′= (Nota: c = 0)
HKaa γσ =
2
2
1
HKP aa γ=
Caso Activo

24. Cuña de
falla
H
2
45
φ
+
γ
φ
c = 0
3
H
(a)
H
KaγH
Pa
σa=σ′a

25. Cuña de falla
H
2
45
φ
−
γ
φ
c = 0
(b)
KpγH
3
H
Pp
H
σp=σ′p
Caso Pasivo
HKppp γσσ =′=
2
2
1
HKP pp γ=

26. RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDORELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDO
SOBRECARGASOBRECARGA
Caso Activo
oaa K σσ ′=′
qKaaa =′= σσ
y
( )1Hqoo γσσ +=′=
( )1HqKaaa γσσ +=′=
y
Donde σ′o y σ′a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0
qoo =′= σσ
A la profundidad z = H1,

27. Donde γ′= γsat - γw. La Variación de σ′a con la profundidad se muestra .
La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta
linealmente con la profundidad. En z = H,
2Hu wγ=
El diagrama de la presión lateral total σa´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza
Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,
( ) 2
221
2
1
2
1
2
1
HKHHKHkqHKP waaaaa γγγγ +′+++=
( )21 HHqo γγσ ′++=′
y
( )21 HHqKaa γγσ ′++=′
A la profundidad z = H,

28. H1
H2
H
45+ φ
2
Z
Nivel del Agua Freática
Cuña de
falla
Sobrecarga = q
γsat
φ
(a)

29. +
H1
H2
( )21 HHqKa γγ ′++
qKHK aa +1γ
aσ′
=
2Hwγ
u σa
( )1HqKa γ+ 22 HHK wa γγ +′
(b) (c) (d)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDistribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno
De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecargaDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga
qKa

30. Caso Pasivo
opp pK σσ ′=′
( ) 2
221
2
1
2
1
2
1
HKHHKHKqHKP wppppp γγγγ +′+++=
RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTALRELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL
Caso Activo
azaa KcK 2−=′ γσ
02 =− aoa KczK γ
a
o
K
c
z
γ
2
=
o
Para la condición no drenada, esto es,φ = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada)
tenemos
γ
u
o
c
z
2
=
Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una
Profundidad zo

31. H1
H2
H
45 - φ
2
Z
Nivel del Agua Freática
Cuña de falla
Sobrecarga = q
γsat
φ
(a)
γ
φ

32. +
H1
H2
( )21 HHKp γγ ′+
qKHK aa +1γ
pσ′
=
2Hwγ
u σp
( )1HqKp γ+ 22 HHK wp γγ +′
(b) (c) (d)
qKa
pqK
Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDistribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno
De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecargaDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga

33. H
45+ φ
2
Cuña de
falla
(a)
Z

34. HKaγ
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conDistribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con
relleno de un suelo cohesivorelleno de un suelo cohesivo
aKc2−
(d)
aa KcHK 2−γ
H - =
aKc2
zo
H - zo
σa
(c)(b)

35. La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de
presión total
cHKHKP aaa 2
2
1 2
−= γ
Para la condición φ = 0
HcHP ua 2
2
1 2
−= γ
( ) 







−−=
a
aaa
K
c
HcKHKP
γ
γ
2
2
2
1
γ
γ
2
2
22
2
1 c
cHKHK aa +−=
Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como
no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de
grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(γ √Ka) y , H es
la única considerada. En este caso

36. Para la condición φ = 0,
γ
γ
2
2
22
2
1 u
ua
C
HcHP +−=
Caso Pasivo
Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva de
Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]
cKzK ppp 2+=′ γσ
En z = 0,
cKpp 2=σ
Y en z = H,
cKHK ppp 2+= γσ

37. H
45 - φ
2
Cuña de
falla
(a)
Z
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conDistribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con
Relleno de un suelo cohesivoRelleno de un suelo cohesivo
(b)
σp
pKc2 HKpγ

38. La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de
presión como
cHKHKpP pp 2
2
1 2
+= γ
Para la condición φ = 0, Kp = 1 y
HcHP up 2
2
1 2
+= γ
EJEMPLO
Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la
figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante
Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos
zKK aoaa γσσ =′=′
3
1
301
301
1
1
=
°+
°−
=
+
−
=
sen
sen
sen
sen
Ka
φ
φ

39. 5 m
γ = 15.7 KN/m3
φ = 30°
c = 0
(a)
5 m
26.2kN/m2
(b)
65.5 KN/m2
1.67 m
1.67 m
5 m
235.5 kN/m2
(c)
588.8 kN/m

40. El diagrama de la distribución de presión se muestra
Fuerza activa
( )( )2.265
2
1
=aP
mkN /5.65=
La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del
muro.
Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que
zKK poppp γσσσ =′==′
3
5.01
5.01
1
1
=
−
+
=
−
+
=
φ
φ
sen
sen
Kp
En z = 0, σ′p = 0; en z = 5m, σ′p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.
La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora
( )( ) mkNPp /8.5885.2355
2
1
==
La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.

41. EJEMPLO 2
Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?
Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces
( )zKKhh ooo γσσσ =′==′
φsenKo −=1
o
5.0301 =°−= senKo
Y en z = 0, σ′h = 0; en 5m, σ′h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2
El diagrama de distribución de presión total se muestra
( )( ) mkNPo /3.983.395
2
1
==
EJEMPLO 3
Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada (φ = 0)
del relleno, determine los siguientes valores:
a. La profundidad máxima de la grieta de tensión
b. Pa antes de que ocurra la grieta de tensión
c. Pa después de que ocurra la grieta de tensión

42. 5 m
39.3 kN/m2
98.3 KN/m
1.67 m
Arcilla blanda saturada
γ = 15.7 kN/m3
φ = 0
Cu = 17 kN/m2
6 m
(a)
2.17m
3.83m
60.2 kN/m2
(b)
34 kN/m2

43. Solución Para φ = 0, Ka = tan2
45° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos
ua cz 2−= γσ
En z = 0,
( )( ) 2
/341722 mkNcua −=−=−=σ
En z = 6m,
( )( ) ( )( ) 2
/2.6017267.15 mkNa =−=σ
La variación de σa con la profundidad se muestra
a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a
( )( ) m
c
z u
o 17.2
7.15
1722
===
γ
b. Antes de que ocurra la grieta de tensión
HcHP ua 2
2
1 2
−= γ
o
( )( ) ( )( ) mkNPa /6.78617267.15
2
1 2
=−=

44. c. Después de que ocurre la grieta de tensión,
( )( ) mkNPa /3.1152.6017.26
2
1
=−=
Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación
EJEMPLO 4
Se muestra un muro de retención sin fricción.
a. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión.
b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?
Solución
a. Dado φ = 26°, tenemos
39.0
261
261
1
1
=
°+
°−
=
+
−
=
sen
sen
sen
sen
Ka
φ
φ
De la ecuación
aoaaa KcK 2−′==′ σσσ

45. 153.6 kN/m2
51.2kN/m2
(c)
4 – z = 2.96m
17.31kN/m2
(b)
z=1.04m
-6.09kN/m2
4m
γ = 15kN/m3
φ = 26°
c = 8kN/m2
(a)
q = 10 kN/m2

46. En z = 0
( )( ) ( )( ) 2
/09.699.99.339.0821039.0 mkNaa −=−=−==′ σσ
En z = 4 m
( ) ( )( )[ ] ( )( ) 99.93.2739.0821541039.0 −=−+==′ aa σσ
2
/31.17 mkN=
De este diagrama vemos que
zz −
=
4
31.1709.6
o
mz 04.1=
Después de que ocurre la grieta de tensión
( )( ) ( )( ) mkNzPa /62.2531.1796.2
2
1
31.174
2
1
=





=−=

47. Dado φ = 26°, tenemos
56.2
5616.0
4384.1
261
261
1
1
==
°−
°+
=
−
+
=
sen
sen
sen
sen
Kp
φ
φ
De la ecuación
( )( ) ( ) 2
/2.516.256.25856.221056.2 mkNpp =+=+==′ σσ
De nuevo, en z = 4m, σo = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2
y
( )( ) ( ) 2
/8.204856.227056.2 mkNpp =+==′ σσ
En z = 0, σ′o = 10 Kn/m2
y
cKK poppp 2+′==′ σσσ
La distribución de σp (=σ′p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es
( )( ) ( )( ) mkNPp /5122.3078.2046.1534
2
1
42.51 =+=+=

48. EJEMPLO
Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria
De muro. Determine también la posición de la resultante
Solución dado c = 0, sabemos que σ′a = Kaσ′o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de
presión activa de tierra de Rankine es
( )
3
1
301
301
1
=
°+
°−
==
sen
sen
KK aa
1.2m
Arena
γ1 = 16.5kN/m3
, φ1 = 30°, c1= 0
Nivel agua freática6m
(a)
Arena
γ2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3
φ2 = 35°
C2 = 0
Murosinfricción

49. Para el estrato inferior,
( ) 271.0
5736.1
4264.0
351
351
2 ==
°+
°−
==
sen
sen
KK aa
En z = 0, σo = σ′o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior),
σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2
( ) ( ) 2
1 /6.68.19
3
1
mkNK oaaa =





=′=′= σσσ
De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2
, y
( ) ( )( ) 2
2 /37.58.19271.0 mkNK oaaa ==′′= σσσ
En z = 6 m,
( )( ) ( )( ) 2
/87.6481.92.198.45.162.1 mkNo =−+′σ
y
( ) ( )( ) 2
2 /58.1787.64271.0 mkNK oaa ==′=′ σσ

50. La variación de σ′a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son
como sigue
En z = 0, u = 0
En z = 1.2m, u = 0
En z = 6m, u = (4.8)(γw) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2
(b) (c)
+
5.371.2
0
6
17.58 47.1
6
1.2
0
σ′a (kN/m2
) u (kN/m2
)
z(m)
z(m)
6.6

51. 1.2
6
1.8m
64.685.37
6.6
σa (kN/m2
)0
z(m)
=
(d)
Pa
1
2
3
La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de σ ( presión activa total) entonces
( )( ) ( )( ) ( )( )37.568.648.4
2
1
37.58.42.16.6
2
1
−





++





=aP
mkN /08.17234.14278.2596.3 =++=
La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Así
entonces
( )( ) ( )
mz 8.1
08.172
3
8.4
34.1424.278.25
3
2.1
8.496.3
=






++





+
=

52. MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓNMURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN
3
H
(a) Caso activo (+δ)
C
B
H
A′
DA
(b)
2
45
φ
+
2
45
φ
+
+δ
Pa

53. 3
H
(c) Caso activo (-δ)
C
B
H
A′
DA2
45
φ
+
2
45
φ
+
-δ
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

54. (e)
3
H
(d) Caso pasivo (+δ)
C
B
H
A′
DA2
45
φ
−
2
45
φ
−
+δ
Pp
3
H
(f) Caso pasivo (-δ)
C
B
H
A2
45
φ
−
-δ
2
45
φ
−
A′
A′

55. TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMBTEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB
Caso Activo
θ
H
W
90+ θ- β
90 - θ + α
δ
Pa
β
β - α
D
A
C
φ
F
B
α
(a)
Presión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzasPresión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzas
90 + θ + δ - β + φ
F
β - φ
W
90 - θ - δ
Pa
(b)

56. La ley de los senos, tenemos
( ) ( )φβφβδθ −
=
+−++ sen
P
sen
W a
90
o
( )
( )
W
sen
sen
Pa
φβδθ
φβ
+−++
−
=
90
La ecuación precedente se puede escribir en la forma
( ) ( ) ( )
( ) ( )





+−++−
−−−
=
φβδθαβθ
φβαθβθ
γ
90cos
coscos
2
1
2
2
sensen
sen
HPa
Donde γ = peso especifico del relleno. Los valores de γ, H, θ, α, φ, y δ son constantes, y es la unica
Variable. Para determinar el valor crítico de β para Pa, máxima, tenemos
0=
βd
dPa

57. Después de resolver la Ec., cuando la relación de β se sustituye en la Ec., obtenemos la presión
activa de tierra de Coulomb como
2
2
1
HKP aa γ=
Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
coscos
1coscos
cos






−+
−+
++
−
=
αθφδ
αφφδ
θδθ
θφ
sensen
Ka
Caso Pasivo
2
2
1
HKP pp γ=
Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
coscos
1coscos
cos






+−
+−
−−
+
=
αθφδ
αφφδ
θδθ
θφ
sensen
Kp

58. θ
H
W
90 + θ + β
90 - θ + α
β
A
C
B
α
(a)
Pp
δ
φ F
F
[180 - (90 - θ + δ) – (β + φ)]
Pp
90 - θ + δ
β + φ
W
(b)
Presión pasiva de coulomb:
(a) Cuña de falla de prueba
(b) Polígono de fuerzas

59. ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓNANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓN
2
2
1
HKP aa γ=
Donde






−=
+
−
=
2
45tan
1
1 2 φ
φ
φ
sen
sen
Ka
H
Wc
B
3
H
δ
Pa (coulomb)
A
(a)
H
Wc
B
A
(o)
Wc
3
H
Ws
Pa (Rankine)
C1
KaγH

60. H
Wc
3
H
δ
Pa (coulomb)
A
(o)
α
(b)
H
Wc
B
A
Wc
3
H′
Ws
Pa (Rankine)
C2
H′
α
α
Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granularAnálisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granular
α
B

61. El valor de Pa(Rankine) se da por la relación
2
2
1
HKP aa
′= γ
Donde 2BCH =′ y
φαα
φαα
α 22
22
coscoscos
coscoscos
cos
−+
−−
=
2
45(tan
1
1 2 φ
φ
φ
−=
+
−
=
sen
sen
Ka
Donde α = talud de superficie del terreno