Este documento presenta un algoritmo basado en optimización por colonia de hormigas para detectar el clique (subgrafo completo) con la mayor interconectividad en un grafo. El algoritmo imita el comportamiento de las hormigas al depositar y evaporar feromonas a lo largo de los caminos para guiar la búsqueda hacia cliques óptimos. Los experimentos muestran que el algoritmo puede encontrar el clique máximo conocido en un grafo completo de 100 nodos.

1. Detecci´on de comunidades
B´uqueda del Clique con la mayor Interconectividad en un Grafo
utilizando Optimizaci´on basado en Colonia de Hormigas
Rodrigo L´opez Far´ıas1
Juan J. Flores 2
14 de octubre de 2016
Universidad Michoacana de San Nicol´as de Hidalgo
1
Centro de Informaci´on y C´omputo
rdglpz@gmail.com
2
Posgrado de Ingenier´ıa El´ectrica
juanfie@umich.mx

2. Tabla de Contenidos
1. Introducci´on
2. Los Cliques en los Grafos
3. Algoritmo para la detecci´on de un clique
4. Optimizaci´on por colonia de Hormigas
5. Experimentos y Resultados
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3. Introducci´on

4. Introducci´on
• El problema de b´usqueda del clique tiene muchas aplicaciones como
por ejemplo: bioinform´atica, b´usqueda de estructuras y redes en
qu´ımica computacional, y detecci´on de comunidades redes sociales.
Figura 1: Ejemplo de una red compleja
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5. Introducci´on
• Los algoritmos tradicionales enfrentan el obst´aculo del alto costo
computacional, y no escalabilidad para la b´usqueda de ciertas
estructuras en grafos [5].
• El uso de heur´ısticas como Optimizaci´on basada en Colonia de
Hormigas (OCH) son adecuados para resolver de manera aproximada
este problema.
• OCH Ha demostrado en la pr´actica su capacidad para resolver
problemas NP-Completos y NP-Duros presentes en grafos como la
b´usqueda del camino m´as corto, el problema del viajero y b´usqueda
de comunidades.
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6. Introducci´on
Que es OCH?
• Es una metaheuristica que aproxima la soluci´on.
• Es bio-inspirada, propuesta por Dorigo et al 1991.
• Se basa en la imitaci´on del comportamiento de las hormigas.
• Las hormigas sirven a su comunidad llevando comida.
• El uso de las feromonas como transmisi´on de conocimiento son de
gran utilidad para su sobrevivencia.
• Estas feromonas son depositadas a lo largo del camino de la hormiga.
• Sirven a la hormiga para seleccionar aquel que fu´e recorrido
recientemente.
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7. Puntos clave
• Que es un clique?.
• C´omo se detecta un clique.
• C´omo se mide la optimalidad o calidad de un clique.
• Principio de Optimizaci´on con Colonia de Hormigas.
• Feromonas como componente de aprendizaje.
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8. Los Cliques en los Grafos

9. Grafos y Clique
Los cliques ”viven”dentro de los grafos los cuales son definidos como:.
Definition
Grafo: Es un par ordenado G = (V , E) donde:
• V es un conjunto de v´ertices
• Eij ∈ E Son el conjunto de aristas que relacionan el nodo i con el
nodo j.
• En caso de los grafos con pesos: cij es el costo o peso de traslado de
un v´ertice i a un vertice j.
Definition
Clique
Es un sub-grafo completo no dirigido G con un conjunto de V v´ertices
los cuales todos est´an conectados entre s´ı.
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10. Ejemplo: Soluci´on del Clique Ck mas grande de un grafo no
dirigido
Ck es el clique k que contiene |Ck | elementos, En este caso el clique con
los v´ertices de color rojo es definido por Ck = {v5, v1, v2} donde el
tama˜no de la comunidad es la cardinalidad |Ck | = 3
Figura 2: Clique
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11. Soluci´on del Clique de tama˜no 3 con la suma de pesos m´axima
Ck es el clique k que ademas de contener el n´umero m´aximo de nodos,
tambi´en es el mayor interconectado de todos,
• c1 = {vg , vb, vg }, Suma de pesos 13
• c2 = {vb, ve, vf }, Suma de pesos 13
• c3 = {vf , ve, vd }, Suma de pesos 103
• c4 = {vc , ve, vd }, Suma de pesos 220
Suma de pesos (Mas
adelante se utiliza como la
funci´on de aptitud o
(Fitness))
(|Ck |−1)
j=1
|Ck |
j=i+1
cij vi vj
2010
100
100
4 3
2
c
eba
g
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12. El problema se va haciendo intratable
El problema se vuelve mas complicado con solo 10 nodos si se trata de
un grafo completo.
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13. Algoritmo para la detecci´on de
un clique

14. Algoritmo para la detecci´on de un clique
10/23

15. Construcci´on del clique
• Se inicializa el clique como vac´ıo. Ck = {}
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16. Construcci´on del clique
• Se inicializa el clique como vac´ıo. Ck = {}
• Se selecciona al azar un v´ertice vi de grafo G
(en este caso v1), y se agrega a Ck = {v1}
11/23

17. Construcci´on del clique
• Se inicializa el clique como vac´ıo. Ck = {}
• Se selecciona al azar un v´ertice vi de grafo G
(en este caso v1), y se agrega a Ck = {v1}
• Se seleccionan los v´ertices adyacentes y se
marcan como candidatos.
Candidatos = {v5, v2}
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18. Construcci´on del clique
• Se inicializa el clique como vac´ıo. Ck = {}
• Se selecciona al azar un v´ertice vi de grafo G
(en este caso v1), y se agrega a Ck = {v1}
• Se seleccionan los v´ertices adyacentes y se
marcan como candidatos.
Candidatos = {v5, v2}
• Se selecciona un v´ertice de candidatos al azar,
en este caso v5 y se guarda en Ck = {v1, v5}.
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19. Construcci´on del clique
• Se inicializa el clique como vac´ıo. Ck = {}
• Se selecciona al azar un v´ertice vi de grafo G
(en este caso v1), y se agrega a Ck = {v1}
• Se seleccionan los v´ertices adyacentes y se
marcan como candidatos.
Candidatos = {v5, v2}
• Se selecciona un v´ertice de candidatos al azar,
en este caso v5 y se guarda en Ck = {v1, v5}.
• Se guardan los nodos adyacentes del nodo
candidato seleccionado v5. ({v1, v2})
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20. Construcci´on del clique
• Se inicializa el clique como vac´ıo. Ck = {}
• Se selecciona al azar un v´ertice vi de grafo G
(en este caso v1), y se agrega a Ck = {v1}
• Se seleccionan los v´ertices adyacentes y se
marcan como candidatos.
Candidatos = {v5, v2}
• Se selecciona un v´ertice de candidatos al azar,
en este caso v5 y se guarda en Ck = {v1, v5}.
• Se guardan los nodos adyacentes del nodo
candidato seleccionado v5. ({v1, v2})
• Se actualiza
Candidatos = (v2) = Candidatos ∩ {v1, v2}
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21. Construcci´on del clique
• Se inicializa el clique como vac´ıo. Ck = {}
• Se selecciona al azar un v´ertice vi de grafo G
(en este caso v1), y se agrega a Ck = {v1}
• Se seleccionan los v´ertices adyacentes y se
marcan como candidatos.
Candidatos = {v5, v2}
• Se selecciona un v´ertice de candidatos al azar,
en este caso v5 y se guarda en Ck = {v1, v5}.
• Se guardan los nodos adyacentes del nodo
candidato seleccionado v5. ({v1, v2})
• Se actualiza
Candidatos = (v2) = Candidatos ∩ {v1, v2}
• Se repite la operaci´on hasta que
Candidatos = {}
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22. Optimizaci´on por colonia de
Hormigas

23. Soluci´on: Optimizaci´on por colonia de Hormigas
Comportamiento natural de la colonia de hormigas.
Gracias a la feromona y su volatilidad, las hormigas tienden a encontrar
caminos eficientes.
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24. Comportamiento Natural de las hormigas
Este comportamiento es ´util para encontrar soluciones en grafos para
diversos problemas cl´asicos como el camino mas corto entre dos puntos
donde la funci´on objetivo es la suma de los pesos de los aristas recorridos.
Las feromonas se distribuyen a lo largo del grafo seg´un la calidad de la
soluci´on.
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25. Algoritmo B´asico OCH
1. Inicializa el grafo asignando cero feromona en todos los aristas.
2. Repetir
3. Situar cada hormiga en un v´ertice de manera aleatoria.
4. Para cada hormiga, generar una soluci´on tomando caminos con
probabilidad seg´un la cantidad de feromona.
5. Evaluar cada soluci´on acorde a la funci´on objetivo.
6. Depositar feromona en los nodos/aristas seg´un a la calidad de la
soluci´on.
7. Evaporizar feromona y actualizar.
8. Actualizar BestFitness con la mejor soluci´on hasta el momento.
9. Fin Repetir
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26. Feromona como componente de aprendizaje
Si la hormiga se encuentra en un v´ertice vj , la probabilidad de seleccionar
la ruta a vi es:
p(vi ) =
τα
i
vj ∈Candidatos τα
j
donde τ es la feromona depositada en v´ertice i, α es un par´ametro que
pondera exponencialmente los factores de la feromona,
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27. Actualizaci´on de las feromonas
Los rastros de feromona se actualizan en dos pasos:
(a): La feromona se refuerza inversamente proporcional a la diferencia de
la mejor soluci´on y la soluci´on encontrada.
τi = τi +
1
1 + (BestFitness − Fitness(Ck ))K
(b): La persistencia/evaporaci´on de la feromona est´a dada por
τi = τi ∗ ρ
D´onde 0 < ρ < 1
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28. Actualizaci´on de las feromonas (a)
Con la constante K > 1 se regula la penalizaci´on a las malas soluciones.
Figura 5: Efecto constante K
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29. Funci´on objetivo
Sea Ck = (V , E ) un sub-grafo completo el cual la suma de sus aristas
esta dada por
Fitness(Ck ) =
(|Ck |−1)
j=1
|Ck |
j=i+1
cij vi vj
donde Ck es un clique o sub-grafo completo de tama˜no q = |Ck |, y cij
son los pesos que existen en las conexiones de vi a vj .
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30. 19/23

31. Experimentos y Resultados

32. Resultados
Experimentos.
La instancia para probar el algoritmo es un grafo completo G=(V,E) con
100 vertices, donde la suma de los v´ertices M´aximo Clique
Ck,optimo = {21, 22, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 99}, todos los dem´as aristas
no contenidas en Coptimo son asignados valores con una distribuci´on
aleatoria uniforme [0,29]. Los par´ametros de OCH son:
• Iteraciones = 500
• K = 20
• Q = 10
• α = 1
Se program´o en Python utilizando librer´ıas networkx (manejo de grafos) y
numpy (paquete n´umerico)
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33. Resultados
Figura 6: Desempe˜no del algoritmo con diferentes valores en los par´ametros
21/23

34. Resultados
Figura 7: Gr´afico de convergencia para k = 20
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35. Resultados
Figura 8: Gr´afico de convergencia para k = 30
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36. Preguntas?
Interesados en las diapositivas o c´odigo.
Mandar email a rdglpz@gmail.com
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37. References I
• C. Solnon and S. Fenet, A study of ACO capabilities for solving the
maximum clique problem, Journal of Heuristics, pp. 1 31, 2006.
• Solnon and D. Bridge, Chapter I An Ant Colony Optimization
Meta-Heuristic for Subset Selection Problems, pp. 1 23
• W. Dai, S. Liu, and S. Liang, An improved ant colony optimization
cluster algorithm based on swarm intelligence, Journal of Software,
vol.6 4, no. 4, pp. 299 306, 2009.
• M. Hinne and E. Marchiori, Cutting graphs using competing ant
colonies and an edge clustering heuristic, Evolutionary Computation
in Combinatorial Optimization 2011.
• S. Sadi, . Etaner-Uyar, and . G. U, COMMUNITY DE- TECTION
USING ANT COLONY OPTIMIZATION TECHNIQUES, Proc. Int.
Conf. Soft Computing, 2009.

38. References II
• B. Alidaee, F. Glover, G. Kochenberger, and H. Wang, Solving the
maximum edge weight clique problem via unconstrained quadratic
pro- gramming, European Journal of Operational Research, vol. 181,
no. 2, pp. 592 597, Sep. 2007.
• R. Battiti and M. Protasi. Reactive local search for the maximum
clique problem. Algorithmica, 29(4):610 637, 2001.
• A. Grosso, M. Locatelli, and F. Della Croce. Combining swaps and
node weights in an adaptive greedy approach for the maximum
clique problem. Journal of Heuristics, 10(2):135 152, 2004
• E. Marchiori. Genetic, iterated andmultistart local search for the
maxi- mum clique problem. In S. Cagnoni, J. Gottlieb, E. Hart, M.
Middendorf, and G.R. Raidl, editors, Applications of Evolutionary
Computing, Pro- ceedings of EvoWorkshops 2002: EvoCOP,
EvoIASP, EvoSTim, volume 2279 of lncs, pages 112 121.
Springer-Verlag, 2002