Este documento describe las propiedades básicas de la circunferencia, incluyendo su definición, elementos, propiedades de posiciones relativas entre circunferencias, teoremas relacionados con ángulos y tangentes, y problemas resueltos que ilustran cómo aplicar estas propiedades.

1. CIRCUNFERENCIA
TEORÍA
PROPIEDADES –PROBLEMAS RESUELTOS

2. CIRCUNFERENCIA.-Esunlugargeométricodeunconjuntodeinfinitospuntosqueequidistandeunpuntosituadoenelcentro.

3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIAA
B
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB
( )
Centro

T

Punto de tangenciaQ 
P

Radio
Arco BQ
Cuerda PQ

4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radiotrazadoalpuntodetangenciaesperpendicularalarectatangente. LR

5. 02.-Radioodiámetroperpendicularaunacuerda
labiseca(divideendossegmentoscongruentes).
P
QMQ PM PQ R

6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
C D
 
Si : AB // CD mAC mBD

7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentes
Arcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
Si : AB CD mAB mCD

8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.-CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.-Tienen el mismo centro.
r
d = Cero ; d : distancia

9. Distancia entre
los centros (d)
02.-CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.-No tienen punto en común.
d > R + r
Rr

10. d = R + r
03.-CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.-Tienen Un punto común que es la de tangencia.
R
r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)

11. d
d = R -r
04.-CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.-Tienen un punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de tangencia

12. 05.-CIRCUNFERENCIAS SECANTES.-Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
( R –r ) < d < ( R + r )
Distancia entre
los centros (d)

13. 06.-CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.-Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.
d2= R2+ r2
Distancia entre
los centros (d)

14. 06.-CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.-No tienen puntos comunes.
d
d < R -r
d: Distancia entre los centros

15. 1.-Desdeunpuntoexterioraunacircunferenciasepuedetrazardosrayostangentesquedeterminandossegmentoscongruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
BP
R
R

16. 2.-TANGENTES COMUNES EXTERIORES.-Son congruentes
AB = CD
A
BCDR
R
r
r

17. 3.-TANGENTES COMUNES INTERIORES.-Son congruentes. AB = CD
A
BC
D
R
R
r
r

18. TEOREMADEPONCELET.-Entodotriángulorectángulo,lasumadelongitudesdecatetosesigualalalongituddelahipotenusamaseldobledelinradio.
a + b = c + 2r
a + b = 2 ( R + r ) ab
cr
R
R
Inradio
Circunradio

19. TEOREMADEPITOT.-Entodocuadriláterocircunscritoaunacircunferencia,secumplequelasumadelongitudesdelosladosopuestossoniguales. a + c = b + d
da
b
c
Cuadrilátero circunscrito

21. 1.-MEDIDADELÁNGULOCENTRAL.-Esigualalamedidadelarcoqueseopone. AB
C
r
r= mAB

22. A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
2
mAB mCD

23. A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2
mAB

24. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB

25. A
C B
2
mABC
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.

26. A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
+ mAB = 180°
2
mACB - mAB

27. A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mAB - mCD

28. A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
2
mAB - mBC

30. 50°
70º+x
X
R
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
70 º x
2
140 º 2x
m PQS
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = x
Se traza la cuerda SQ
2
mQRS
m PQS
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.

31. 20°
70°
X
R X = 40°
Q
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQR
70 º mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.

32. x
130°
A
C
B
D
X = 40°
2
130 50
50° X
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
P
Resolviendo:
APD = x
Medida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior
90
2
130 mBC
mBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

33. x
X = 18°
2
54 X
X
M
N
54°
x
x
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
A P
B
APN = x
Se traza el radio OM:
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN.

34. x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°
2
110
X
A
B
C
P
Q
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Resolviendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la m PRQ.

35. Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
AX
PResolución

36. RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X P
C
140º
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
2
mAB
70 º mAB=140º

37. Calcularlamedidadelángulo“x”
Problema Nº 07
B
A
X
P
130º
Resolución

38. RESOLUCIÓN
B
A
130º C X P
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
X = 80º
2
mAB
130 º mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º

39. Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Problema Nº 08
25
5
A
B
C
Resolución

40. Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 RESOLUCIÓN
2
5
5A
B
C
a
ba + b = 14
(1)
(2)
Reemplazando (1)en (2)
(2p) = 14 + 10

41. X
PLANTEAMIENTO
QR
S
80º
P
a
a
Problema Nº 09Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .
Resolución

42. 2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida del ángulo exterior:
X
a 80
2
140 80
2
º º º
X = 30º
En la circunferencia:
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º P
a
a

43. P
Q
R
S2
3
PLANTEAMIENTO
Problema Nº 10
EnuncuadriláteroABCDmQ=mS=90ºsetrazaladiagonalPR.LosinradiosdelostriángulosPQRyPRSmiden3cmy2cmrespectivamente.SielperímetrodelcuadriláteroPQRSes22cm.CalculelalongituddePR
Resolución

44. Teorema de Poncelet:
a
b
cd
PQRa + b = PR+2(3)
+
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6cm
Dato:
a + b + c + d = 22cm
PSRc + d = PR+2(2) 22 = 2PR + 10
RESOLUCIÓN
P
Q
R
S
23