Este documento proporciona información sobre el sistema octal, el álgebra de Boole y su aplicación en informática y circuitos digitales. Explica cómo funcionan los sistemas de numeración octal y binario, cómo convertir entre ellos y con el sistema decimal. También define las operaciones lógicas básicas, puertas lógicas y funciones del álgebra de Boole, que se usan para analizar y diseñar sistemas digitales.

1. INFORMÁTICA
Carrera: Bioingeniería e Ing. En
Agroindustria
Profesora: Lic. S. Vanesa Torres

2. IMPORTANTE
Mail contacto:
informatica.unvime@gmail.com
Blog Materia
http://bioingeniriayagroindustria.blogspot.com.ar/

3. TEMAS
Sistema Octal
Algebra de Boole

4. SISTEMA OCTAL
Es un sistema posicional de numeración en el que
su base es 8, por tanto, utiliza 8 símbolos
diferentes para la representación de cantidades.
Estos símbolos son:
0 1 2 3 4 5 6 7
En informática, a veces se utiliza la numeración
octal en vez de la hexadecimal

5. SISTEMA OCTAL
Los números octales pueden construirse a partir
de números binarios agrupando cada tres dígitos
consecutivos de estos últimos (de derecha a
izquierda) y obteniendo su valor decimal.
Por ejemplo, el número binario para 74 (en
decimal) es 1001010 (en binario), lo
agruparíamos como 1 001 010. De modo que el
número decimal 74 en octal es 112.

6. CARACTERÍSTICAS
Se compone de ocho símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
Una ventaja es que sólo utiliza dígitos y no letras
u otro tipo de caracteres.
El valor de cada una de las posiciones viene
determinado por las potencias de base 8.
La numeración octal es tan buena como la
binaria y la hexadecimal para operar con
fracciones, puesto que el único factor primo para
sus bases es 2.
Los dígitos del sistema octal tienen el mismo
valor que los del sistema decimal dígitos.

7. CONVERSIÓN DECIMAL - OCTAL
Un método para convertir un número decimal en
un número octal es el método de la división
sucesiva por 8.
Ejemplo: Convertir 359 a base 8
8
8
359
7 44
4 5
359(10) = 547(8)

8. CONVERSIÓN DE OCTAL – DECIMAL
Ya que el sistema de numeración octal es un sistema
de base ocho, cada posición sucesiva de dígitos es una
potencia superior de ocho, empezando por el digito
situado más a la derecha con 80. La evaluación de un
número octal en términos de su equivalente decimal
se consigue multiplicando cada digito por su peso y
sumando los productos.
Ejemplo: Convertir 2374(8) a decimal
Peso: 83 82 81 80
Numero Octal: 2 3 7 4
2374(8) = (2 x 83) + (3 x 82) + (7 x 81) + (4 x 80)
= (2 x 512) + (3 x 64) + (7 x 8) + (4 x 1)
= 1024 + 192 + 56 + 4
= 1276(10)

9. CONVERSIÓN OCTAL - BINARIO
Ya que cada digito octal se puede representar mediante
un numero binario de 3 dígitos, es fácil convertir a
binario un numero octal. Para convertir un número octal
en un número binario, simplemente se reemplaza cada
digito octal por el correspondiente grupo de tres bits.
Ejemplo 1: Convertir 13(8) a binario.
1 3
001 011
Ejemplo 2: Convertir 7508 a binario:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
Y, por tanto: 750(8) = 111101000(2)

10. CONVERSIÓN DE BINARIO - OCTAL
La conversión de un numero binario a un numero octal es el
inverso de la conversión de octal a binario. Para convertir a
binario se comienza por el grupo de tres bits más a la derecha
y moviéndose de derecha a izquierda, se convierte cada grupo
de 3 bits en el digito octal equivalente. Si para el grupo más a
la izquierda no hay disponibles tres bits, se añade uno o dos
ceros para completar el grupo, estos ceros no afectan al valor
del numero binario.
Ejemplo: Convertir 110101(2) a octal
110 101
6 5
110101(2) = 65(8)
Ejemplo: Convertir 101001011(2) a octal
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
Y, de ese modo: 101001011(2) = 513(8)

11. HEXADECIMAL - OCTAL
Para realizar la conversión de Hexadecimal a
Octal, se realiza lo siguiente:
Primero se convierte la cantidad hexadecimal a
binario. (Se debe reemplazar el dígito hexadecimal
por los cuatro dígitos binarios correspondientes).
Después se convierte de binario a octal. (Se debe
agrupar la cantidad binaria en grupos de 3 en 3,
iniciando por el lado derecho, si al terminar de
agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue
ceros a la izquierda).
Por último se sustituye el valor octal correspondiente
por los 3 dígitos binarios

12. HEXADECIMAL - OCTAL
Ejemplo: 6BD
Proceso:
Tomamos los números en ese orden y cada uno lo
convertimos a binario por separado:
6 B D
0110 1011 1101
Ahora agrupa de 3 en 3 (comienza de izquierda a
derecha), convierte de binario a octal.
011 010 111 101
3 2 7 5
Por tanto: 6BD=3275

13. ÁLGEBRA DE BOOLE
Conocer el Álgebra de Boole, sus teoremas y las
funciones lógicas
Comprender su aplicación a los circuitos digitales

14. DEFINICIÓN
UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE
ELEMENTOS C={0,1} Y LOS OPERADORES
BINARIOS (Λ o “.”) y (V o “+”) y (¬ o “ ‘ ”)
DEFINIDOS DE LA SIGUIENTE FORMA
A B A Λ B A V B ¬ A
0 0 0 0 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 0

15. PROPIEDADES
QUE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:
I. PROPIEDAD CONMUTATIVA:
A V B = B V A A + B = B + A
A Λ B = B Λ A A . B = B — A
II. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
A Λ (AVC)= AΛB V AΛC A—(B+C) = A—B + A—C
AV (BΛC) =(AVB) Λ (AVC) A + B—C = (A+B)—(A+C)

16. PROPIEDADES
ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES
A V 0= A A + 0 = A
A Λ 1= A A — 1 = A
SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A,
DENOMINADO ¬ A o A’
A V ¬A=1 A + A’ = 1
A Λ ¬A =0 A — A’ = 0

17. TEOREMAS
TEOREMA 1: el elemento complemento ¬ A (A’) es único.
TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento
de B se verifica:
A V 1 =1 A+1 = 1
A Λ 1 =1 A— 0 = 0
TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento
del otro.
¬ 0 = 1 0’=1
¬1 = 0 1’=0
TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de
B, se verifica:
A V A= A A+A=A
A Λ A= A A— A=A

18. TEOREMAS
TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se
verifica:
¬(¬A)=A (A’)’ = A
TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B,
se verifica:
AVA Λ B=A A+A— B=A
A Λ(A VB)=A A—(A+B)=A
TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:
AV¬A Λ B= A V B A + A’—B = A + B
A Λ(¬A V B)= A Λ B A — (A’ + B) = A — B

19. TEOREMAS
TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores
binarios (+) y (—) cumple la propiedad asociativa:
A V (B V C)= (A V B) V C A+(B+C) = (A+B)+C
A Λ(B Λ C)=(A Λ B) Λ C A—(B—C) = (A—B)—C
LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se
verifica:
¬(AVB)= ¬A Λ ¬B (A+B)’ = A’—B’
¬(A Λ B)=¬A V ¬B (A—B)’ = A’ + B’

20. APLICACIÓN DEL ALGEBRA DE BOOLE
Los circuitos electrónicos se dividen en dos
categorías: digitales y analógicos.
La electrónica digital utiliza magnitudes
digitales que toman valores discretos.
La electrónica analógica emplea magnitudes
analógicas que toman valores continuos.

21. APLICACIÓN DEL ALGEBRA DE BOOLE
En las aplicaciones electrónicas, los datos
digitales se pueden procesar de forma más fiable
que los datos analógicos. Cuando es necesario
su almacenamiento, el ruido (fluctuaciones de
tensión no deseadas) no afecta a las señales
digitales tanto como a las señales analógicas.

23. SEÑALES DIGITALES
La información binaria que manejan los sistemas
digitales aparece en forma de señales digitales que
representan secuencias de bits.
Cuando la señal está a nivel ALTO, se representa con
1 binario, mientras que si la señal está a nivel BAJO,
lo indica un 0 binario.
Cada bit dentro de una secuencia ocupa un
intervalo de tiempo definido denominado periodo del
bit.
En los sistemas digitales, todas las señales se
sincronizan con una señal de temporización básica de
reloj.
El reloj es una señal periódica en la que cada
intervalo entre impulsos (el periodo) equivale a la
duración de 1 bit.

25. VARIABLES LÓGICAS
Variable Lógica
Representa un suceso o magnitud que toma
valores entre dos posibles.
Los dos valores son excluyentes entre ellos.
Los dos valores se expresan mediante proposiciones.
Las proposiciones se pueden clasificar como
verdaderas o como falsas.

26. FUNCIONES LÓGICAS
Funciones Lógicas
Cuando se combinan proposiciones se forman
funciones lógicas o proposiciones lógicas.
Por ejemplo: “si la bombilla no está fundida y el
interruptor está dado, la luz está encendida”.
Las dos primeras proposiciones son las
condiciones de las que depende la proposición “la
luz está encendida”. Ésta es cierta sólo si las dos
primeras lo son.
Por tanto, una función lógica calcula el valor de
una variable (dependiente) a partir de otra u otras
variables (independientes).

27. ALGEBRA DE BOOLE
Hacia 1850, el matemático y lógico irlandés
George Boole (1851-1864), desarrolló un sistema
matemático para formular proposiciones lógicas
con símbolos, de manera que los problemas
pueden ser escritos y resueltos de una forma
similar al álgebra tradicional.

28. ALGEBRA DE BOOLE
El Álgebra de Boole se aplica en el análisis y el
diseño de los sistemas digitales.
Una variable booleana es cualquier símbolo que en
un instante determinado sólo puede tomar uno de dos
valores: 0 y 1.
Existen varios tipos de circuitos lógicos que se
utilizan para implementar funciones lógicas u
operaciones lógicas. Estos circuitos son los elementos
básicos que constituyen los bloques sobre los que se
construyen sistemas digitales más complejos, como
por ejemplo una computadora.

29. FUNCIONES LÓGICAS
Las operaciones lógicas pueden representarse a
través de símbolos gráficos y de tablas de verdad.
Las líneas conectadas a la izquierda de cada símbolo son
las entradas (input) y las líneas a la derecha son las salidas
(output).
El funcionamiento de las puertas, operaciones y funciones
lógicas se describe con las tablas de verdad.
Son representaciones tabulares que especifican la salida de
la puerta o función lógica para todas las posibles
combinaciones de entradas.

30. PUERTAS LÓGICAS
Puertas Lógicas: circuitos que aceptan valores
lógicos a la entrada y producen valores lógicos a la
salida. Un circuito que realiza una operación lógica
determinada (NOT, AND, OR) se llama puerta lógica.
Lógica Combinatoria: cuando en un circuito lógico
el estado de las salidas depende sólo del estado de las
entradas, es decir combinaciones de diferentes valores
lógicos a la entrada de un circuito lógico hacen que
aparezcan distintos valores lógicos a la salida. En este
curso se tratará la Lógica Combinatoria.
Lógica Secuencial: si el estado de la salida depende
del estado de las entradas y también del estado
anterior del circuito. Esta lógica no se tratará.

31. PUERTA AND
La puerta AND es una de las puertas básicas con
la que se construyen todas las funciones lógicas.
Tiene dos o más entradas y una única salida.
Realiza la operación que se conoce como
multiplicación lógica.
Símbolo lógico estándar:

32. PUERTA AND - FUNCIONAMIENTO
En una puerta AND de dos entradas:
La salida AB es un nivel ALTO si A y B están a nivel
ALTO.
La salida AB es un nivel BAJO si:
A es un nivel BAJO
B es un nivel BAJO o
si A y B están a nivel BAJO

33. ECUACIÓN LÓGICA
La ecuación lógica AND de dos variables se
representa:
Colocando un punto entre las dos variables: A—B
Escribiendo las letras juntas sin el punto: AB
La multiplicación booleana sigue las mismas
reglas básicas que la multiplicación binaria:
0— 0 = 0
0— 1 = 0
1— 0 = 0
1— 1 = 1
Ecuación lógica o expresión booleana:
X = AB X = A—B

34. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Un sistema de alarma para el cinturón de
seguridad:
Si el interruptor de puesta en marcha está
activado y el cinturón está desabrochado, durante
30 segundos:
Se produce una alarma audible.

35. PUERTA OR
Es otra de las puertas básicas con las que se
construyen todas las funciones lógicas.
Tiene dos o más entradas y una única salida.
Realiza la operación que se conoce como suma
lógica.
Símbolo lógico estándar:

36. FUNCIONAMIENTO
En una puerta OR de dos entradas:
La salida es un nivel ALTO si cualquiera de las
entradas, A o B, o ambas, están a nivel ALTO.
La salida es un nivel BAJO si ambas entradas, A y B,
están a nivel BAJO.

37. ECUACIÓN LÓGICA
La ecuación lógica OR de dos variables se
representa:
Colocando un + entre las dos variables: A+B
La suma booleana es similar a la suma binaria,
con la excepción de que no existe acarreo:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Ecuación lógica o expresión booleana:
X = A+B

38. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Sistema de alarma y detección de intrusión.
Genera una alarma cuando la puerta o las
ventanas están abiertas.

39. CONTINUARA...