Clase 6

Inferencia estadística
Universidad de la Sierra Sur
Licenciatura en Enfermería
1
Intervalos de confianza
tamaño de la muestra y métodos de muestreo
Pruebas de hipótesis
Distribución t
Distribución Ji-cuadrada

2
La inferencia estadística es el procedimiento por medio
del cual se llega a conclusiones acerca de una población
con base en la información que se obtiene a partir de una
muestra seleccionada de esa población

3
 El administrador de un gran hospital Ie interesa saber la edad
promedio de los pacientes internados en el transcurso de un
año
 Decide examinar una muestra de los registros a partir de la
cual sea posible calcular una estimación de la edad promedio
de los pacientes internados en ese año

4
 La inferencia estadística consta de dos elementos
 Estimación puntual y por intervalo
 Prueba de hipótesis
 Estimación puntual es un solo valor numérico utilizado para
estimar el parámetro correspondiente de la población
 Una estimación por intervalo consta de dos valores numéricos
que definen un intervalo que, con un grado especifico de
confianza, se considera que incluye al parámetro por
estimar

Estimadores puntuales
 Estimación puntual
Característica Parámetro Estimador
Media
Proporción
Total


n
i
ix
n
x
1
1


N
i
ix
N 1
1



n
i
ix
n
p
1
1
ˆ

N
i
ix
N
p
1
1


n
i
ixT
1
ˆ

N
i
ixT
1

Estimadores puntuales
 Estimación puntual
Característica Parámetro Estimador
Varianza
Desviación
estándar
N
x
N
i i

 1
2
2
)( 

1
)(
1
1
2
2






n
xx
s
n
i i
N
x
N
i i

 1
2
)( 

1
)(
1
1
2






n
xx
s
n
i i

7
 Una estimación por intervalo consta de dos valores
numéricos que definen un intervalo que, con un grado
especifico de confianza, se considera que incluye al
parámetro por estimar
 Para realizar estimación por intervalo debemos suponer que
se cumple una condición
 LAVARIABLE DE INTERÉSTIENE SE COMPORTA
COMO UNAVARIABLEALEATORIA QUETIENE UNA
DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD

8
 Es decir, que el comportamiento de distribucional de
probabilidad de X es parecido a la distribución normal
X

9
 Teorema:
 Si Y~N(µ, σ), entonces Ῡ~N(µ, σ/√n)
 Entonces el intervalo de confianza está formado por
estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)
 donde
 El coeficiente de confiabilidad se define como el valor a la
izquierda de z donde está 1-α/2 y a la derecha en que se
encuentra α/2 del área bajo la curva
 Comúnmente valores para α son: .01, .05 y .10

El error estándar de un estimador del parámetro es la desviación
estándar del estimador
Parámetro Estimador Error estándar Estimador del error
estándar
µ
P
T

11
 Ejemplo: (DanielW.)
 Un fisioterapeuta desea estimar por intervalo, media de
fuerza máxima de un musculo particular en cierto grupo de
individuos. Se supone que los valores de dicha fuerza
muestran una distribución aproximadamente normal
 Una muestra de 15 individuos que participaron en el
experimento presento una media de 84.3 y una varianza de
144
 Calcular el intervalo de confianza con α=0.05 para la media
poblacional

12
 Solución:
 Recordar que
 n = 15 individuos
 Media muestral = 84.3
 Varianza muestral =144

13
 Solución:
 Recordar que
 n = 15 individuos
 Media muestral = 84.3
 Varianza muestral =144
 84.3 ±1.96(3.0984)
 84.3 ± 6.072
 (78.23, 90.37)

INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis
 El propósito de la prueba de hipótesis es ayudar al
investigador a tomar una decisión acerca de una población
mediante el examen de una muestra de ella
 “La hipótesis de investigación es la conjetura o suposición
que motiva la investigación”
 “Las hipótesis estadísticas se establecen de tal forma que
pueden ser evaluadas por medio de técnicas estadísticas
adecuadas”

 Es importante aclarar que cuando la hipótesis nula no es rechazada,
tampoco se puede decir que se acepta
 Se debe decir que la hipótesis nula "no se rechaza“
 Error en la toma de decisión
 Condiciones en las que es posible cometer un error de tipo I o un error de
tipo II.
Condición de la hipótesis nula
Verdadera Falsa
Acción
posible
No rechazar H0 Acción correcta Error tipo II
Rechazar H0 Error tipo I
Acción
correcta

Pasos para la prueba de hipótesis
 Datos
 Supuestos (restricciones)
 Hipótesis
 Estadística de prueba
 Distribución de la estadística de
prueba
 RegIa de decisión
 Cálculo de la estadística de prueba
 Decisión estadística
 Conclusión

 Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución
normal
 Juegos de hipótesis
 La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la
hipótesis nula H0:µ = µ0
Prueba de hipótesis para la media de una
población
1. H0 : µ = 0, Ha : µ ≠ 0
2. H0 : µ ≥ 0, Ha : µ < 0
3. H0 : µ ≤ 0, Ha : µ > 0
1. H0 : µ = µ0 , Ha : µ ≠ µ0
2. H0 : µ ≥ µ0 , Ha : µ < µ0
3. H0 : µ ≤ µ0 , Ha : µ > µ0

Estadística de prueba bajo Ho
cuando n es grande (>30)
Cuando H0 es verdadera, tiene
una distribución t de Student
con n -1 grados de libertad Cuando H0 es verdadera, sigue una
distribución normal estándar
Prueba de hipótesis para la media de una población
ns
x
z
/
0

ns
x
t
/
0


 Un grupo de investigadores está interesado en conocer la edad media de
cierta población
 Los datos disponibles son las edades de una muestra aleatoria de 10
individuos, extraída de la población de interés
 A partir de esta muestra se encontró que la media es igual a 27 y cuya
varianza es igual a 20
 Los investigadores preguntan lo siguiente: ¿Se puede concluir que la
edad media de la población es diferente de 30 años?
 Solución:
 Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media

 Solución:
 Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
n
x
z
/
0




 Solución:
10/20
3027
/
0 



n
x
z



 Solución:
12.2
4142.1
3
10/20
3027
/
0







n
x
z



 Solución:
 Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, se puede
rechazar la hipótesis nula porque -2.12 está en la región de rechazo. Se
puede decir que el valor calculado de la prueba estadística tiene un
nivel de significación de 0.05

 Solución:
 Conclusión. Se concluye que µ no es igual que 30 y que las
acciones del investigador deberán estar de acuerdo con esta
conclusión
 Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ <
30?
 Solución:
 Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30
 Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que -
2.12 < -1.645.

 Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ < 30?
 Solución:
 Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30
 Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que -
2.12 < -1.645.

 Un hospital privado desea ofrecer tarjetas de crédito a sus
pacientes. El gerente del hospital asume que el gasto mensual de
los pacientes en dicho hospital es mayor a $1000. Para confirmar
su hipótesis selecciona a 15 pacientes y encuentra que el gasto
promedio es de $1030 con una desviación estándar de $50. ¿la
información obtenida en la muestra apoya la suposición del
gerente?
Ejemplo: prueba de hipótesis para la media

 Solución:
 Hipótesis: H0: µ ≤ 1000 vs Ha: µ > 1000
32.2
90.12
30
15/50
10001030
/
0





nS
x
t


 Solución:
 Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la distribución
t con 14 grados de liberta y un nivel de significancia de 0.05, la regIa
de decisión, es, rechazar la hipótesis nula porque 2.32 está en la
región de rechazo

 Solución:
 Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la
distribución t con 14 grados de liberta y un nivel de
significancia de 0.05, la regIa de decisión, es, rechazar la
hipótesis nula porque 2.32 está en la región de rechazo
 Conclusión:

 Ejercicio: tomado de DanielW.
 Un estudio tiene como propósito averiguar los factores
asociados con las discrepancias entre los niveles de
carboxihemoglobina y el estado de tabaquismo autodeclarado
 Una muestra de 3918 no fumadores autodeclarados presentó
un nivel medio de carboxihemoglobina de 0.9 con una
desviación estándar de 0.96
 Se pretende saber si es posible concluir que la media de la
población es menor que 1. Sea α =.01.
Ejercicio: prueba de hipótesis para la media

 Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución
normal
 Cuando se dispone de una muestra lo suficientemente grande se
aplica el teorema del límite central
 La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la hipótesis
nula H0:ρ = ρ0
La estadística de prueba es:
Cuando H0 es verdadera, sigue aproximadamente una distribución normal
estándar
Prueba de hipótesis para la proporción de una población
n
z
)1(
ˆ
00
0






 Como director de las operaciones de mercadeo para una cadena
minorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma se
han graduado de la universidad. Usted intenta establecer una política
respecto a la estructura de precios sobre esta proporción. Una
muestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen grado
universitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre la
proporción de todos los clientes son graduados de la universidad?
 Solución:
 Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60
Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción
n
z
)1(
ˆ
00
0






 Como director de las operaciones de mercadeo para una cadena
minorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma se
han graduado de la universidad. Usted intenta establecer una
política respecto a la estructura de precios sobre esta proporción.
Una muestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen grado
universitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre la
proporción de todos los clientes son graduados de la universidad?
 Solución:
 Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60
88.0
800
)60.01(*60.0
60.0615.0
)1(
ˆ
00
0







n
z



 Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, no se
puede rechazar la hipótesis nula porque 0.88 está en la región de
NO rechazo.
 Conclusión: Se puede decir que no hay suficiente evidencia
para decir que el 60% de los clientes son graduados
universitarios

 La prueba de hipótesis involucra la diferencia entre las medias de
dos poblaciones
 Se utiliza con más frecuencia para determinar si es razonable o no
concluir que las dos medias son distintas entre sí
 En tales casos, se puede formular una u otra de las siguientes,
hipótesis:
Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones
1. H0 : µ1 = µ2 , Ha : µ1 ≠ µ2
2. H0 : µ1 ≥ µ2 , Ha : µ1 < µ2
3. H0 : µ1 ≤ µ2 , Ha : µ1 > µ2
1. H0 : µ1 - µ2 = 0, Ha : µ1 - µ2 ≠ 0
2. H0 : µ1 - µ2 ≥ 0, Ha : µ1 - µ2 < 0
3. H0 : µ1 - µ2 ≤ 0, Ha : µ1 - µ2 > 0

Varianzas poblacionales Varianzas poblacionales
conocidas desconocidas pero iguales
Si H0 es verdadera, la estadística
de prueba sigue una distribución
normal estándar Cuando H0 es verdadera, sigue
una distribución t de Student con
. n 1 +n2 -2 grados de libertad
Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos
poblaciones
2
2
2
1
2
1
02121 )()(
nn
xx
z





2
2
1
2
02121 )()(
n
s
n
s
xx
t
pp




2
)1()1(
21
2
22
2
112



nn
snsn
sp

Varianzas poblacionales Varianzas poblacionales conocidas
desconocidas pero diferentes
Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos
poblaciones
2
2
2
1
2
1
02121 )()(
'
n
s
n
s
xx
t





 Una compañía de golf desea ver si el tiempo promedio que
requieren los hombres para jugar los 18 hoyos es diferente al de las
mujeres. Se mide el tiempo de 50 partidos dobles de hombres y 45
de mujeres obteniendo:
 En base a los resultados de la muestra, ¿que se puede concluir?
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para comparar dos
medias
Hombres Mujeres
Ῡ = 3.5 horas Ῡ = 4.9 horas
S = 0.9 horas S = 1.5 horas

 Solución:
 Hipótesis: H0: µH = µM vs Ha: µH ≠ µM
 Supuestos: se desconocen las varianzas pero se asumen diferentes
 Se rechaza Ho con una confianza del 5%, dado que -5.45<-1.96 y
se concluye que los tiempos promedios son diferentes entre
hombres y mujeres
Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos medias
45.5
45
)5.1(
50
)9.0(
0)9.45.3()()(
' 22
2
2
2
1
2
1
02121







n
s
n
s
xx
t


 La prueba que se utiliza con más frecuencia con relación a la
diferencia entre las proporciones de dos poblaciones es aquella
en la que su diferencia es cero
 Es posible efectuar pruebas tanto unilaterales como bilaterales
 La estadística de prueba es:
 donde
Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos
poblaciones
21 ˆˆ
02121
ˆ
)()ˆˆ(




z
21
ˆˆ
)1()1(
ˆ 21
nn

 




21
21
nn
xx




 donde x1 y x2 son, respectivamente, el número de la primera y
segunda muestra que poseen la característica de interés
 Por lo tanto, Z sigue una distribución aproximadamente
normal estándar si la hipótesis nula es verdadera
Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos
poblaciones

Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos
proporciones
 Un minorista desea probar la hipótesis de que la proporción de sus
clientes masculinos, quienes compran a crédito, es igual a la
proporción de mujeres que utilizan el crédito. Él selecciona 100
clientes hombres y encuentra que 57 compraron a crédito mientras
que 52 de las 110 mujeres lo hicieron.
 Solución:
 La hipótesis es:
 Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
H0 : ρH = ρM , Ha : ρH ≠ ρ
M
21
ˆˆ
)1()1(
ˆ 21
nn

 




21
21
nn
xx




proporciones
 Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
41.1
069.0
473.057.0
ˆ
)()ˆˆ(
21 ˆˆ
02121







z
069.0
110
)48.0(52.0
100
)48.0(52.0)1()1(
ˆ
21
ˆˆ 21





nn

 
52.0
210
5257
21
21






nn
xx


proporciones
Decisión : No se rechaza la hipótesis nula, ya que la
estadística calculada es menor al valor crítico de la tabla Z
Conclusión no existe evidencia para afirmar que la
proporción de hombres y mujeres que compran a crédito
sean diferentes

Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS
Cuando los datos disponibles para el análisis de una
muestra aleatoria simple extraída de una población que
siguen una distribución normal, la estadística de prueba
para la hipótesis acerca de la varianza de una población es
la cual cuándo Ho es verdadera, sigue una distribución χ2
con n -1 grados de libertad
222
/)1(  sn

Ejemplo tomado de DanielW
El propósito de un estudio de fue examinar la liberación de
mediadores generados nuevos y preformados en respuesta a la
inhalación de un alérgeno en primates alérgicos. Los individuos
estudiados eran 12 monos macacos adultos machos. Entre los
datos reportados por los investigadores estaba un error estándar
de la media muestral es .4 para uno de los mediadores. Se
pretende saber si es posible concluir a partir de estos datos que
la variancia de la población es diferente de 4. alfa = 0.05

Hipótesis:
Estadística de prueba:

Hipótesis:
4:
4:
2
1
2
0




H
H

Hipótesis:
4:
4:
2
1
2
0




H
H
222
/)1(  sn

Hipótesis:
4:
4:
2
1
2
0




H
H
28.54/92.1)112(/)1( 222
  sn

Regla de decisión:
No se rechaza Ho porque 3.816 < 5.28 < 21.920
• Conclusión:
Con base en estos datos, no es posible concluir que la
variancia de la población es diferente de 4

Prueba de hipótesis para comparar DOSVARIANZAS
 Las decisiones referentes a la comparación de variancias de
dos poblaciones se basan por lo general en la prueba del cociente
de dos varianzas
 La hipótesis nula que indica que las varianzas de dos
poblaciones son iguales
 Cuando son satisfechas ciertas suposiciones, la cantidad
sigue una distribución F con los grados de libertad n1-1 en el
numerador y n2-1 en el denominador
2
2
2
2
2
1
2
1
/
/


s
s

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