El documento define el valor esperado como un promedio ponderado que toma en cuenta la probabilidad de cada resultado posible de una variable aleatoria. Explica que los momentos son valores esperados de funciones de la variable y caracterizan su distribución de probabilidad. El segundo momento con respecto a la media se conoce como varianza, y su raíz cuadrada es la desviación estándar. Además, enumera propiedades del valor esperado como operador lineal.

1. Mtro. Martín Gpe. Chac Kantún
IUP-Ingeniería Petrolera
• Valor esperado o media de la variable aleatoria discreta
y de la continua, y su interpretación práctica.
• El valor esperado como operador matemático y sus
propiedades.
• Momentos con respecto al origen y a la media.

2. Definición de Valor esperado:
El valor esperado nace de la práctica de los juegos de azar. El valor esperado (o esperanza)
representa para los jugadores la cantidad que ganarán, o perderán, después de jugar
repetidamente cierto juego.
La esperanza o valor esperado debe interpretarse como un promedio. Imagínese que un
experimento, por ejemplo, un volado, se repite un número grande de veces; algunos volados
se ganan, otros se pierden. La pregunta que se hace el jugador es: Después de la jornada de
juego ¿Cuánto espero haber ganado?
VALOR ESPERADO O MEDIA DE LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y DE
LA CONTINUA, Y SU INTERPRETACIÓN PRÁCTICA.

3. Si dos monedas se lanzan 16 veces y X es el numero de caras que resultan en cada
lanzamiento, entonces los valores de X pueden ser 0, 1 y 2. Suponga que los resultados del
experimento son: cero caras, una cara y dos caras, un total de 4, 7 y 5 veces, respectivamente.
El numero promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es, entonces,
Este es un valor promedio de los datos, aunque no es un resultado posible de {0, 1, 2}.
Por lo tanto, un promedio no es necesariamente un resultado posible del experimento.
Otra interpretación consiste en denominar al valor esperado como un promedio ponderado. A
diferencia del promedio aritmético, el promedio ponderado toma en cuenta la existencia de los
elementos además de su valor a promediar. Obsérvese el siguiente ejemplo:

4. Este método de frecuencias relativas se utiliza para calcular el numero promedio de Caras que
esperaríamos obtener a largo plazo por el lanzamiento de dos monedas. A este Valor promedio se
le conoce como media de la variable aleatoria X o media de la distribución de probabilidad de X, y
se le denota como μx o simplemente como μ cuando es evidente a que variable aleatoria se esta
haciendo referencia.
También es común entre los estadísticos referirse a esta media como la esperanza matemática o el
valor esperado de la variable aleatoria X y denotarla como E(X).

5. Valor esperado de una variable aleatoria X:
 











continuaesXsi;)(
discretaesXsi;)(
dxxxf
xxP
XE
x
Valor esperado de una función g(x) de una variable aleatoria X:
 










continuaesXsi;)()(
discretaesXsi;)()(
)(
dxxfxg
xPxg
XgE
x
El valor esperado es el resultado promedio de una serie de eventos (valores de una variable
aleatoria), considerando la probabilidad de cada uno de ellos.
EL VALOR ESPERADO COMO OPERADOR MATEMÁTICO Y SUS PROPIEDADES.

6. PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO COMO OPERADOR MATEMÁTICO
Si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x); a, b y c son constantes y
g(x) y h(x) son funciones de X, entonces:
ccE ][
bXaEbaXE  ][][
)]([)]([)]()([ xhExgExhxgE 
1.
2.
3.
De los tres anteriores resultados se desprende que el valor esperado es un operador lineal.

7. MOMENTOS CON RESPECTO AL ORIGEN Y A LA MEDIA.
Momentos de la variable aleatoria. Son los valores esperados de ciertas funciones de x; que
forman una colección de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la
distribución de probabilidad de x y especificarlo si todos los momentos de x son conocidos.
A pesar de que los momentos de x pueden definirse alrededor de cualquier punto de
referencia, generalmente se definen alrededor del cero o del valor esperado de x.

8. 








continua.esXsi;)(
discreta.esXsi;)(
]['
x
k
i
i
k
k
k
dxxfx
xPx
XE
i

El momento de orden k respecto al origen de una variable aleatoria se
define como:
Momento cero con respecto al origen:
Primer momento con respecto al origen:
Al primer momento alrededor del cero se le conoce como media o valor esperado de la
distribución y se denota: μ´1=μx=E{x}

9. 










continua.esXsi;)()(
discreta.esXsi;)()(
])[(
x
k
i
i
k
i
K
k
dxxfx
xPx
XE



El momento de orden k respecto a la media de una variable aleatoria se
define como:
Momento cero con respecto a la media:
Primer momento con respecto a la media:

10. Segundo momento con respecto a la media:
Al segundo momento con respecto a la media se le conoce como variancia ó varianza y se
denota por σ2.
La varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución de
probabilidades de ésta. Por ejemplo, para el caso continuo, si la mayor parte del área por
debajo de la curva de distribución se encuentra cercana a la media, la varianza es pequeña; si
la mayor parte del área se encuentra muy dispersa al rededor de la media, la varianza es
grande.
A la raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación estándar y se
denota por σ.

11. PREGUNTAS
1. ¿Definición o concepto de valor esperado?
R: se puede considerar al valor esperado como un promedio ponderado. A diferencia del
promedio aritmético, el promedio ponderado toma en cuenta la existencia de los elementos
además de su valor a promediar.
2. ¿Qué son los Momentos de la variable aleatoria?
R: Son los valores esperados de ciertas funciones de x; que forman una colección de medidas
descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribución de probabilidad de x y
especificarlo si todos los momentos de x son conocidos.
3. ¿Cómo se le conoce al segundo momento con respecto a la media?
R: se le conoce como variancia ó varianza y se denota por σ2.
4. ¿A la raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre?
R: desviación estándar y se denota por σ.
5. ¿Cuáles son las propiedades del Valor Esperado?
R: E[c]=cte,
E[Ax + b]=aE[X] + b,
E[g(x)+h(x)]= , E[g(x)]+E[h(x)]