electroestatica. ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA / DENSIDAD DE ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO. ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA. CAMPO ELÉCTRICO DE UN ESFERA CONDUCTORA. POTENCIAL ELÉCTRICO EN LA SUPERFICIE DE LA ESFERA. DIFERENCIAL DE ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA ALMACENADA. AISLANTES,CONDUCTORES.

1. FISICA 3
Elaborado por los profesores del curso
(basado en el material del prof. Richard Moscoso)
CAPÍTULO 1: ELECTROSTÁTICA
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA /
DENSIDAD DE ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO

2. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
2
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
Hemos visto que cuando desplazamos
una carga, a velocidad constante, entre
dos puntos en una región con un
campo eléctrico, se realiza un trabajo
dado por la siguiente expresión:
VB − VA =
WA−B
FEXT
q
𝐖𝐀−𝐁
𝐪
= 𝐪 𝐕𝐁 − 𝐕𝐀
TRABAJO PARA DESPLAZAR UNA CARGA
PUNTUAL ENTRE DOS PUNTOS “A” Y “B”
VB − VA =
WA−B
q
q
CAMBIO DE NOTACIÓN

3. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
3
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
El trabajo realizado contra el campo incrementa la energía
potencial electrostática de la carga.
Esto significa que toda distribución de carga tiene una
energía potencial electrostática almacenada o de manera
equivalente podemos pensar que para formarla se debe
realizar un trabajo.
¿CÓMO SE FORMA EL SISTEMA DE
CARGAS ELÉCTRICAS DE LA FIGURA?
𝐪𝟏
𝐪𝟐
𝐫𝟏𝟐
𝟏
𝟐

4. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
4
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
(I.) Traer la primera carga (q1) del infinito hasta el punto (1):
𝐪𝟏
𝟏 ∞
W∞−1
q1
= 0
W∞−1
q1
= q1 V1 − V∞
(II.) Traer la segunda carga (q2) del infinito hasta el punto (2):
𝐪𝟏
𝐪𝟐
𝐫𝟏𝟐
𝟏
𝟐 ∞
W∞−2
q2
= q2
1
4πε0
q1
r12
W∞−2
q2
= q2 V2 − V∞
TODOS LOS PUNTOS DEL
ESPACIO SE ENCUENTRAN
AL MISMO POTENCIAL
ELÉCTRICO porque no hay
carga externa que genere
campo eléctrico
CONSIDERAR
𝐕 ∞ = 𝟎
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA
CARGA PUNTUAL (generado por q1)

5. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
5
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
(III.) Trabajo total:
WTOTAL
SIST
= q2
1
4πε0
q1
r12
WTOTAL
SIST
= W∞−1
q1
+ W∞−2
q2
La ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA ALMACENADA POR
UN SISTEMA (U) se define como el trabajo necesario para traer
cada una de las cargas eléctricas que forman dicho sistema
desde el infinito hasta sus posiciones en dicho sistema.
ENERGÍA POTENCIAL
ELECTROSTÁTICA ALMACENDA

6. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
6
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
EJEMPLO:
Calcular la energía almacenada por una
distribución de tres cargas puntuales.
(I.) Traer la primera carga (q1) del infinito hasta el punto (1):
W∞−1
q1
= 0
W∞−1
q1
= q1 V1 − V∞
(II.) Traer la segunda carga (q2) del infinito hasta el punto (2):
W∞−2
q2
= q2 V2 − V∞
W∞−2
q2
= q2
1
4πε0
q1
r12

7. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
7
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
(III.) Traer la tercera carga (q3) del infinito hasta el punto (3):
W∞−3
q3
= q3 V3 − V∞
(IV.) Trabajo total: WTOTAL
SIST
= W∞−1
q1
+ W∞−2
q2
+ W∞−3
q3
𝐔 =
𝟏
𝟒𝛑𝛆𝟎
𝐪𝟏𝐪𝟐
𝐫𝟏𝟐
+
𝟏
𝟒𝛑𝛆𝟎
𝐪𝟏𝐪𝟑
𝐫𝟏𝟑
+
𝟏
𝟒𝛑𝛆𝟎
𝐪𝟐𝐪𝟑
𝐫𝟐𝟑
W∞−3
q3
= q3
1
4πε0
q1
r13
+
1
4πε0
q2
r23
SUPERPOSICIÓN

8. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
8
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
Generalizando para una DISTRIBUCIÓN
DISCRETA de n cargas eléctricas:
U ≡ WTOTAL
SIST
= ෍
i=1
n
W∞→i
qi
NOTA: Análogamente del resultado
anterior, se obtiene la expresión
equivalente:
U =
1
2
෍
i≠j
1
4πε0
qiqj
rij
El factor ½ aparece debido a que los valores para los subíndices
ij son iguales a los términos ji (NO IMPORTA EL ORDEN DE
COMO SE TRAE LAS CARGAS)
¿CÓMO SE CALCULA LA ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA?

9. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
9
EJERCICIO 28
Calcular la energía almacenada o el trabajo
necesario para cargar una esfera conductora
neutra de radio “a = R” con carga Q de
manera uniforme. Considerar V(∞) = 0.

10. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
10
EJERCICIO 28 (SOLUCIÓN)
SITUACIÓN GENÉRICA: Asumimos que la esfera tiene una carga q < Q y
traemos un dq desde el infinito hasta la superficie.
Como en un conductor la carga se encuentra en la superficie, entonces
podemos formar el sistema trayendo diferenciales de carga desde el infinito
hasta la superficie de la esfera.
𝐝𝐪
∞
R
W∞−SUPERFICIE
dq
= dq VSUPERFICIE − V∞
dW = dq 𝐕𝐒𝐔𝐏𝐄𝐑𝐅𝐈𝐂𝐈𝐄
𝐪
¿CUÁNTO VALE EL POTENCIAL ELÉCTRICO
EN LA SUPERFICIE DE LA ESFERA?

11. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
11
EJERCICIO 28 (SOLUCIÓN)
En el “EJERCICIO 24” se demostró :
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA
ESFERA CONDUCTORA
V(r) =
VSUPERFICIE =
q
4πε0R
dW = dq
q
4πε0R
Del resultado anterior (r = R):
Reemplazando:
Integrando: U ≡ W =
1
4πε0R
න
0
Q
q dq U =
1
4πε0R
Q2
2
𝐔 =
𝐐𝟐
𝟖𝛑𝛆𝟎𝐑
SITUACIÓN
GENÉRICA
𝐐 → 𝐪
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
ALMACENADA POR UNA ESFERA CONDUCTORA
Q
4πε0r
; r ≥ R
Q
4πε0R
; 0 < r < R
NOTA: La energía U será positiva inclusive si la carga Q es negativa.

12. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
12
EJERCICIO 28 - ANEXO
¿CÓMO SE CALCULA LA ENERGÍA POTENCIAL
ELECTROSTÁTICA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA?
𝐝𝐖 = 𝐝𝐪 𝐕 − 𝐕∞
DIFERENCIAL DE ENERGÍA POTENCIAL
ELECTROSTÁTICA ALMACENADA
Para una DISTRIBUCIÓN CONTINUA de carga se plantea el
diferencial de trabajo necesario para traer un diferencial de carga:
𝐝𝐔 ≡

13. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
13
EJERCICIO 29
Ahora queremos calcular la energía
almacenada o el trabajo necesario para
cargar una esfera neutra de radio “a = R”
con una densidad de carga volumétrica ρ
constante. Considerar V(∞) = 0.
NOTA: Se concluye que la esfera ES AISLANTE (NO ES CONDUCTORA).

14. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
14
EJERCICIO 29 (SOLUCIÓN)
SITUACIÓN GENÉRICA: Asumimos que la esfera está cargada hasta un
radio r < R y traemos un dq de manera que se incrementa el volumen
cargado en un diferencial de volumen dV (cascarón esférico diferencial).
𝐝𝐪
∞
r
W∞−SUPERFICIE
dq
= dq VSUPERFICIE − V∞
dW = dq 𝐕𝐒𝐔𝐏𝐄𝐑𝐅𝐈𝐂𝐈𝐄
¿CUÁNTO VALE EL POTENCIAL ELÉCTRICO
EN LA SUPERFICIE DE LA ESFERA “r”?
A diferencia de la esfera conductora, esta vez queremos cargar la esfera con
densidad de carga volumétrica . Esto implica que los diferenciales de carga
deben traerse desde el infinito hasta el interior de la esfera.
𝐝𝐫
CASCARÓN ESFÉRICO
DIFERENCIAL
ρ

15. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
15
EJERCICIO 29 (SOLUCIÓN)
En el “EJERCICIO 24” se demostró :
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA
ESFERA AISLANTE
V(r) =
VSUPERFICIE =
ρr2
3ε0
dW = 𝐝𝐪
ρr2
3ε0
Del resultado anterior (r = R):
Reemplazando:
SITUACIÓN
GENÉRICA
𝐑 → 𝐫
ρR3
3ε0r
; r ≥ R
−
ρr2
6ε0
+
ρR2
2ε0
; 0 < r < R
¿CÓMO REEMPLAZAR EL
DIFERENCIAL DE CARGA?
dq = ρdV
dq = ρ 4πr2
dr

16. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
16
EJERCICIO 29 (SOLUCIÓN)
Integrando: U ≡ W =
4πρ2
3ε0
න
0
R
r4
dr U =
4πρ2
3ε0
R5
5
𝐔 =
𝟒𝛑𝛒𝟐
𝐑𝟓
𝟏𝟓𝛆𝟎
Reemplazando: dW = ρ 4πr2
dr
ρr2
3ε0
NOTA: Energía potencial electrostática en función de la carga
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
ALMACENADA POR UNA ESFERA AISLANTE
U =
4πρ2
R5
15ε0
𝛒 =
𝐐
𝟒
𝟑 𝛑𝐑𝟑
U =
3Q2
20πε0R

17. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
17
EJERCICIO 29 - ANEXO
Comparar la energía almacenada por una esfera conductora y
una aislante de igual radio R y con la misma carga Q
Si ambas se cargan con la misma carga, se necesita
más energía para cargar la esfera aislante.
UAISLANTE
UCONDUCTORA
=
3Q2
20πε0R
Q2
8πε0R
=
6
5
UAISLANTE
UCONDUCTORA
> 1

18. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
18
DENSIDAD DE ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO
Hemos visto que toda distribución de carga tiene energía potencial
electrostática. A partir de esto analizamos el siguiente caso:
Una esfera neutra no produce campo eléctrico, pero
si cargamos la esfera producimos una distribución
de carga y ésta genera un campo eléctrico.
PROCESO
DE CARGA
ത
𝐄
A partir de esto se concluye que la energía (potencial
electrostática) debe estar almacenada en el campo eléctrico.

19. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
19
DENSIDAD DE ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO
A partir de la teoría general (ecuaciones de Maxwell) se puede
demostrar la siguiente expresión:
DENSIDAD DE ENERGÍA
DEL CAMPO ELÉCTRICO
Se define la DENSIDAD DE ENERGÍA DEL CAMPO
ELÉCTRICO como la energía almacenada en el campo
eléctrico (U) por unidad de volumen. ([uE] = J/m3)
𝐮𝐄 =
𝐝𝐔
𝐝𝐕
𝐮𝐄 =
𝟏
𝟐
𝛆𝟎
ത
𝐄 𝟐
NOTA: Para calcular la energía total dU = uE dV U = න
V
uE dV

20. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
20
EJERCICIO 30
Una esfera conductora de radio “a = R”
está cargada con carga Q.
a) Hallar el campo eléctrico y su
densidad de energía en todo el
espacio.
b) Hallar la energía almacenada por
integración de la densidad de energía.

21. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
21
EJERCICIO 30a (SOLUCIÓN)
0 ; 0 < r < R
Q
4πε0r2
ො
r ; r ≥ R
ഥ
E(r) =
En el “EJERCICIO 12” se demostró :
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA
ESFERA CONDUCTORA
Reemplazando en la densidad de energía del campo eléctrico: 𝐮𝐄 =
𝟏
𝟐
𝛆𝟎
ത
𝐄 𝟐
1
2
ε0(0)2 ; 0 < r < R
uE(r) =
1
2
ε0
Q
4πε0r2
2
; r ≥ R
𝟎 ; 𝟎 < 𝐫 < 𝐑
𝐮𝐄(𝐫) = 𝐐𝟐
𝟑𝟐𝛑𝟐𝛆𝟎𝐫𝟒
; 𝐫 ≥ 𝐑

22. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
22
EJERCICIO 30b (SOLUCIÓN)
Para obtener la energía almacenada en el campo
eléctrico necesitamos integrar en todo el espacio. Por
otro lado, como la densidad de energía solo depende
de la distancia radial usamos dV = 4πr2
dr.
U = න
V
uE dV
= න
0
R
uE 4πr2
dr + න
R
∞
uE 4πr2
dr
Reemplazando: U = න
0
R
(0) 4πr2
dr + න
R
∞
Q2
32π2ε0r4
4πr2
dr
U =
Q2
8πε0
න
R
∞
1
r2
dr U =
Q2
8πε0
−
1
r R
∞
𝐔 =
𝐐𝟐
𝟖𝛑𝛆𝟎𝐑
Integrando:
U = න
0
∞
uE 4πr2
dr

23. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
23
EJERCICIO 30 - ANEXO
Notar que la energía almacenada en el campo
eléctrico por una esfera conductora coincide con el
resultado obtenido en el “EJERCICIO 28” a partir
del trabajo requerido para formar dicha esfera
conductora.
U =
Q2
8πε0R
Se verifica la validez de la expresión para la densidad de
energía del campo eléctrico.

24. Semestre 2021 - 1
Electrostatica
24
EJERCICIO 30 (PROPUESTO)
Una esfera aislante de radio “a = R” está cargada
uniformemente con una carga Q en todo su
volumen.
a) Hallar el campo eléctrico y su densidad de
energía en todo el espacio.
b) Hallar la energía almacenada por integración
de la densidad de energía. Comparar con el
resultado del “EJERCICIO 29”.