electroestatica

1. SOLUCIÓN AL EXAMEN PARCIAL DE LA ASIGNATURA FUNDAMENTOS
FÍSICOS DE LA INGENIERÍA DE LA E.T.S.I.T.
Ejercicio 2. Una carga toral Q está distribuida en el volumen de una esfera
no conductora de radio R, con una densidad volúmica de carga no
uniforme dada por: ( )22
rRA)r( −=ρ para r<R y 0)r( =ρ para r>R, siendo r
la distancia al centro de la esfera y A una constante negativa (A<0).
a) Calcule el valor de la constante A en función de la carga total Q y del
radio de la esfera R.
b) Calcule el vector campo electrostático en cualquier punto del espacio.
c) Calcule el potencial electrostático en cualquier punto del espacio.
d) Determine la energía electrostática total correspondiente a la
distribución de carga dada.
(a) Teniendo en cuenta la simetría esférica del problema, la carga total se
calculará integrando la densidad de carga a la esfera de radio R, tomando el
elemento de volumen en coordenadas esféricas. Por tanto:
)C(AR
15
8
drrdrrRA4drr4)rR(Ad)r(Q 5
R
0
R
0
R
0
422222
.Distr
π=








−π=π−=τρ=
∫ ∫ ∫∫
y despejando la constante A de esa última expresión, se obtiene:
5
R
Q
8
15
A
π
=
(b) Nuevamente vamos a hacer uso de que el problema tiene simetría esférica.
Esto implica que el campo electrostático va a ser radial y por tanto, podremos
calcularlo haciendo uso de la ley de Gauss, siendo la superficie Gaussiana una
esfera. Como el campo es radial, en cada punto de la esfera el campo
electrostático y el vector Sd

serán paralelos, y además, y debido también a la
simetría del problema, el campo sólo dependerá de la coordenada esférica
radial, la cual es constante en la superficie gaussiana, lo que implica que el
campo también. Con todo ello tendremos entonces que el flujo del campo
eléctrico lo podremos escribir siempre como:
∫ π⋅=⋅
S
2
r4ESdE


2. • Calculemos primero el campo para puntos exteriores a la distribución, esto es
r>R. La carga encerrada por la superficie gaussiana será la carga total de la
distribución. Por tanto, el campo será:
( )1
r2
0
II NCu
r
1
4
Q
E −
⋅
πε
=

• Calculemos a continuación el campo para puntos interiores a la distribución, es
decir, r<R. Ahora debemos tener en cuenta que la carga que encierra la
superficie gaussiana no es la carga total sino una fracción de ella que
dependerá del radio de la superficie gaussiana escogida. Esta carga es:
)C(Q
R
r3
R
r5
2
1
drr4)r('Q
r
0
5
5
3
3
2
⋅





−=πρ=
∫
El campo electrostático en esta región será entonces:
)NC(u
R
r3
R
r5
8
Q
E 1
r5
3
3
0
I
−






−
πε
=

(c) Calculemos en primer lugar el potencial para puntos internos a la
distribución (r<R).
I5
4
3
2
0
III C
R4
r3
R2
r5
8
Q
CldE)r(V +





−
πε
−=+⋅−=
∫

Para puntos externos a la distribución, tenemos:
II
0
IIIIII C
r4
Q
CldE)r(V +
πε
=+⋅−=
∫

Ahora bien como la distribución es acotada el potencial en el infinito es nulo
con lo que la constante en el potencial en puntos externos, IIC , es cero. Falta
por determinar la constante del potencial en los puntos internos de la
distribución, pero para ello basta con aplicar la condición de continuidad del
potencial en la superficie de la distribución de carga, es decir en r=R:
R
1
4
Q
C
R4
3
R2
5
8
Q
0
I
0 πε
=+





−
πε
−
)V(
R32
Q15
C
0
I
πε
=
luego el potencial viene dado por:

3. 








>
πε
<
πε
+





−
πε
−
=
Rr
r4
Q
Rr
R32
Q15
R4
r3
R2
r5
8
Q
)r(V
0
0
5
4
3
2
0
(d) La energía la calculamos a partir de la siguiente expresión:
dr
R32
Q15
R4
r3
R2
r5
8
Q
r)rR(A2dV
2
1
U
0
5
4
3
2
0
R
0
222
int 





πε
+





−
πε
−−π=τρ=
∫∫τ
Ejercicio 3. Una esfera maciza conductora de radio R, descargada, se
rodea de una corona esférica concéntrica de radios 2R y 3R, también
conductora y con carga Q.
a) Calcule el potencial electrostático al que se encuentra la esfera maciza
conductora, V1, en función de R y Q.
A continuación se conecta la esfera maciza a un nuevo potencial 2V1.
b) Calcule la carga de la esfera maciza en esta nueva situación.
c) Calcule el potencial de la corteza esférica, indique cuál es su carga y
cómo se encuentra distribuida.
d) La capacidad del conjunto formado por los dos conductores. (Ayuda:
La capacidad del conjunto será la suma de las capacidades de cada
uno de los conductores).
(a) Denotamos como la región I el interior de la esfera maciza, como región II la
región comprendida entre la esfera maciza y la superficie interna del conductor
externo, la región III como la de la corteza esférica y la región IV como la
externa al sistema de ambos conductores.
Del enunciado del problema tendremos entonces que los campos en las
regiones I, II y III es nulo. Por Gauss y teniendo en cuenta la simetría esférica
del problema el campo en la región IV será:
)NC(
r4
Q
E 1
2
0
IV
−
πε
=

4. y el potencial en esa región, teniendo en cuenta que la distribución está
acotada, vendrá dado por:
)V(
r4
Q
V
0
IV
πε
=
Por continuidad del potencial, se tiene que )R3r(V)R3r(V IVIII === , con lo
que:
)V(
R12
Q
)R3r(V
0
III
πε
==
y teniendo en cuenta que entre los dos conductores no hay campo, entonces el
potencial no puede variar y por tanto el potencial de la esfera maciza
conductora será precisamente el calculado anteriormente:
1
0
I V)V(
R12
Q
V =
πε
=
(b) En este segundo apartado, al conectarse la esfera maciza a un potencial
1V2 aparecerá en ella una carga neta que denotaremos como 1Q . Por
inducción electrostática se inducirá una carga 1Q− en la superficie interna del
conductor externo y también una carga 1Q en la superficie externa de ese
mismo conductor. Los nuevos potenciales serán ahora:
r4
QQ
VCV
C
r4
Q
VCV
0
1
IVIIIIII
II
0
1
IIII
πε
+
==
+
πε
==
y las constantes las calcularemos haciendo uso de las condiciones de
continuidad y de la condición que nos impone el problema (esta es, que el
potencial de la esfera maciza sea ahora 1V2 ).
)V(
R12
QQ
C)R3r(V)R3r(VR3r
0
1
IIIIVIII
πε
+
=⇒===⇒=
R12
QQ
C
R8
Q
)R2r(V)R2r(VR2r
0
1
II
0
1
IIIII
πε
+
=+
πε
⇒===⇒=
R8
Q
R4
Q
R12
QQ
C)Rr(V)Rr(VRr
0
1
0
1
0
1
IIII
πε
−
πε
+
πε
+
=⇒===⇒=
pero por el enunciado del problema se tiene que:
)V(
R6
Q
V2C
0
1I
πε
==

5. entonces:
)C(Q
5
2
Q
R8
Q
R4
Q
R12
QQ
R6
Q
1
0
1
0
1
0
1
0
=⇒
πε
−
πε
+
πε
+
=
πε
y el potencial de la corona esférica será entonces:
)V(
R60
Q7
R12
Q
5
2
Q
R12
QQ
V
000
1
IV
πε
=
πε
+
=
πε
+
=
(d) La capacidad de la esfera conductora maciza vendrá dada por:
)F(
5
R12
R6
Q
Q
5
2
V
Q
C 0
0
I
1
1
πε
=
πε
==
y la capacidad de la corteza esférica será:
)F(R12
R12
QQ
QQ
V
QQ
C 0
0
1
1
IV
1
2 πε=
πε
+
+
=
+
=
y la capacidad total será la suma de ambas:
)F(
5
R72
CCC 0
21
πε
=+=

6. entonces:
)C(Q
5
2
Q
R8
Q
R4
Q
R12
QQ
R6
Q
1
0
1
0
1
0
1
0
=⇒
πε
−
πε
+
πε
+
=
πε
y el potencial de la corona esférica será entonces:
)V(
R60
Q7
R12
Q
5
2
Q
R12
QQ
V
000
1
IV
πε
=
πε
+
=
πε
+
=
(d) La capacidad de la esfera conductora maciza vendrá dada por:
)F(
5
R12
R6
Q
Q
5
2
V
Q
C 0
0
I
1
1
πε
=
πε
==
y la capacidad de la corteza esférica será:
)F(R12
R12
QQ
QQ
V
QQ
C 0
0
1
1
IV
1
2 πε=
πε
+
+
=
+
=
y la capacidad total será la suma de ambas:
)F(
5
R72
CCC 0
21
πε
=+=