Teoria de reactores reales aplicada al tratamiento de elfuentes

1. REACTORES REALES - DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE
RESIDENCIA

2. Si bien el análisis y diseño de sistemas de tratamiento se realiza mediante modelos de
reactores ideales, ningún reactor real coincide con las idealizaciones de mezclado
perfecto y flujo pistón, pero frecuentemente se aproximan de manera satisfactoria a
estos dos casos límite o a alguna combinación de ellos. En otros casos, las desviaciones
son apreciables, generalmente debido a la presencia de zonas estancas, canalizaciones o
recirculaciones internas.

3. Como no es posible conocer el mapa de distribución de velocidades del fluido dentro
del tanque, para identificar estas desviaciones se usa una aproximación que es la
distribución de tiempos de residencia (RTD) obtenida a través de experimentos
estímulo – respuesta.
Un modelo de distribución de Tiempos de Residencia, es un modelo matemático de
orden estadístico, que tiene como finalidad, describir como ocurre el transporte de masa
al interior de un reactor que trabaja en forma continua.
Así, el fluido que ingresa a un reactor se divide en múltiples elementos de volumen,
algunos de los cuales encontrarán enseguida la salida y formarán parte de esa corriente;
y otros elementos se moverán de forma errática describiendo trayectorias a través de
distintas zonas del reactor, permaneciendo tiempos diferentes en el reactor antes de
abandonarlo. La corriente de salida estará entonces integrada por elementos de volumen
que han permanecido en el reactor tiempos diferentes. La distribución de estos tiempos
de residencia en la corriente de salida provee información valiosa acerca del mezclado
del reactor.

4. Un modelo de Distribución de Tiempos de Residencia se deduce experimentalmente
mediante la adición de un trazador junto a la alimentación del reactor
Un trazador es una pequeña porción de una sustancia que se comporta en forma similar al
material de alimentación y que posee una propiedad que lo distingue de él y que permite su
detección a la salida del reactor. Dependiendo del proceso, se pueden utilizar trazadores
cuya propiedad a medir es la conductividad, la absorción de la luz, la concentración de un
determinado catión, o la radioactividad. Por este motivo dependiendo del trazador utilizado,
se requieren diferentes técnicas experimentales. Entre los factores que deben ser
considerados para la selección del trazador para una determinada aplicación se puede
mencionar
• Disponibilidad del trazador
• Equipo de detección
• Límite de detección a baja concentración
• Propiedades físicas similares a las del material que
se transporta
• No debe reaccionar químicamente
• No debe absorberse en las paredes del reactor o en
las partículas

5. El modelo de distribución de tiempos de residencia, se encontrará entre 2 extremos,
definidos por el tipo de flujo que se desarrolla dentro del reactor:
-Flujo pistón, donde todos los elementos de volumen que salen del reactor han
permanecido el mismo tiempo dentro del reactor, tiempo igual al tiempo promedio o
tiempo medio de residencia, lo que implica que no se produce una mezcla hacia adelante o
hacia atrás del material mientras se mueve a través del reactor o;
-Mezcla perfecta, cuando todos los elementos de volumen una vez que ingresan al reactor
y se mezclan instantáneamente, tienen la misma probabilidad de salir en la corriente de
salida
Existen dos formas de inyectar el trazador, una es en forma de pulso, donde una cantidad
de trazador es inyectada en la corriente de alimentación, lo más próximo al ingreso al
reactor y en el menor período de tiempo posible; y la otra forma de inyección se
denomina de tipo escalón, y es cuando la corriente de alimentación es cambiada por una
corriente donde el trazador es alimentado a una concentración constante.

6. Consideremos un reactor, en principio no identificado, con entrada y salida, al cual le
inyectamos un trazador inerte en la corriente de entrada a una concentración constante,
de modo de generar una inyección escalón. Si en cada instante medimos la concentración
de trazador en la corriente de salida, podemos obtener la “Función de respuesta”
𝐹 𝑡 =
𝐶 𝑡
𝐶∗ ; 𝑡 > 0 (1)
Para 𝑡 → ∞, se tendrá que 𝐹 𝑡 = 1.
La función de “distribución de tiempos de residencia” 𝐸 𝑡 se define de modo que el
producto 𝐸 𝑡 𝑑𝑡, representa la fracción de fluido en la corriente de salida que ha
permanecido en el reactor un tiempo comprendido entre 𝑡 y 𝑡 + 𝑑𝑡. La fracción de
corriente de salida que ha permanecido en el reactor un lapso de tiempo 𝑡 es entonces:
‫׬‬0
𝑡
𝐸 𝑡 𝑑𝑡, y para tiempo infinito se debe cumplir que ‫׬‬0
∞
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 = 1

7. Descomponiendo la última integral:
‫׬‬0
∞
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 = ‫׬‬0
𝑡
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 + ‫׬‬𝑡
∞
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 = 1 (2)
Así el primer término representa la fracción de la corriente de salida formada con
elementos con un tiempo de residencia entre 0 𝑦 𝑡, y el segundo término la fracción
formada por elementos de volumen con un tiempo de residencia mayor a 𝑡.
Si tomamos muestras de la concentración de trazador a la salida del reactor para diferentes
tiempos “𝑡”, obtendremos una curva como ésta:

8. ¿Cuál será la contribución de cada uno de los términos de (2) a la concentración de
trazador en la corriente de salida?
𝐶 𝑡 = 𝐶∗
‫׬‬0
𝑡
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 + 0 ‫׬‬𝑡
∞
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 (3)
Es decir, no habrá contribución de trazador a la corriente de salida por parte de
elementos de volumen con tiempos de residencia en el intervalo (𝑡, ∞), será entonces:
𝐹 𝑡 =
𝐶 𝑡
𝐶∗ = ‫׬‬0
𝑡
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 (4)
O lo que es lo mismo,
𝑑𝐹 𝑡
𝑑𝑡
= 𝐸 𝑡 (5)

9. Momentos de la función de distribución de tiempos de residencia
Se define como momento de orden k de una función de distribución a:
𝑚𝑘 = ‫׬‬0
∞
𝑡𝑘
𝐸 𝑡 𝑑𝑡 (6)
El 1º momento de la función de distribución; k=1
El primer momento de la función de distribución de tiempos de residencia es el promedio
de los tiempos de residencia de los elementos de fluido en el reactor, que definimos
como:
𝑡𝑚 = ‫׬‬0
∞
𝑡 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 (7)
Con el valor de 𝑡𝑚, y el caudal de entrada al sistema, puede estimarse el volumen real
del reactor.
𝑉 = 𝑡𝑚 𝐹 (8)

10. 2º momento de la función de distribución de tiempos de residencia
El segundo momento de la función de distribución de tiempos de residencia:
‫׬‬0
∞
𝑡2 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 (9)
Es normalmente utilizado para calcular la varianza de la función de distribución:
𝜎2 = 𝑚2 − 𝑚1
2
= ‫׬‬0
∞
𝑡2 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑡𝑚
2 (10)

11. Función de distribución de tiempos de residencia en reactores ideales
¿Cuál será la respuesta de un CSTR a una inyección escalón de trazador no reactivo?
𝐹, 𝐶0(𝑡)
𝐹, 𝐶(𝑡)
𝑉
Planteamos el balance de trazador:
𝑉
𝑑 𝐶 𝑡
𝑑𝑡
= 𝐹𝐶0 𝑡 − 𝐹𝐶 𝑡 + 𝑉𝑟𝑖 (11)
𝑑 𝐶 𝑡
𝑑𝑡
= 𝐷 𝐶0 𝑡 − 𝐶 𝑡 (12)
𝑑 𝐶 𝑡
𝐶0 𝑡 −𝐶 𝑡
= 𝐷 𝑑𝑡 (13)
Para 𝑡 > 0: 𝐶0 𝑡 = 𝐶∗; →
𝑑 𝐶 𝑡
𝐶∗−𝐶 𝑡
= 𝐷 𝑑𝑡 = −
𝑑 𝐶∗−𝐶 𝑡
𝐶∗−𝐶 𝑡
= −𝑑 𝑙𝑛 𝐶∗ − 𝐶 𝑡 (14)

12. ȁ
𝑙𝑛 𝐶∗ − 𝐶 𝑡 𝐶 𝑡=0
𝐶 𝑡
= −𝐷 ‫׬‬0
𝑡
𝑑𝑡 (15)
Para 𝑡 > 0: 𝐶 𝑡 = 𝐶 𝑡 ; → 𝑡 = 0: 𝐶 𝑡 = 0.
𝑙𝑛
𝐶∗−𝐶 𝑡
𝐶∗ = −𝐷 𝑡 (16)
𝐶∗−𝐶 𝑡
𝐶∗ = 𝑒−𝐷𝑡
(17)
1 − ด
𝐶 𝑡
𝐶∗
𝐹 𝑡
= 𝑒−𝐷𝑡
(18)
𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒−𝐷𝑡 (19)
Así, la función de distribución de tiempos de residencia queda:
𝐸 𝑡 =
𝑑𝐹 𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑 (1−𝑒−𝐷𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐷𝑒−𝐷𝑡
(20)

13. 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20
F(t)=C(t)/C*
Tiempo (h)
Función de respuesta CSTR para distindos valores de
D
0,1
0,25
0,5
0,75
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20
E(t)=Dexp-(Dt)
Tiempo (h)
Función de distribución de tiempos de
residencia de un CSTR para distindos
valores de D
0,1
0,25
0,5
0,75
1

14. Reactor en Flujo Pistón
La respuesta esperada a una inyección de tipo pulso en un rector operando en modo flujo
pistón, es un pico a un tiempo igual al tiempo de residencia medio, y donde no hay
dispersión en torno a este pico:
𝑡 = 𝑡𝑚 (21)
𝜎2
= 0 (22)
Existen otras aproximaciones intermedias a estos dos modelos extremos, el modelo de N
reactores tanque perfectamente agitados en serie; y el modelo de Flujo pistón con
dispersión axial.

15. Para el primero, supongamos que el reactor real se puede modelar como “N” CSTR de
igual volumen (V/N) dispuestos en serie:
𝐹, 𝐶∗
𝐹, 𝐶1(𝑡)
𝑉1 =
𝑉
𝑁
𝐹, 𝐶2(𝑡) 𝐹, 𝐶𝑁(𝑡)
Así el balance de trazador para el primer reactor dará:
𝐹1 𝑡 =
𝐶1(𝑡)
𝐶∗ = 1 − 𝑒
−
𝐹
𝑉1
𝑡
= 1 − 𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
(23)
𝐸1 𝑡 =
𝐹𝑁
𝑉
𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
(24)

16. Para el segundo reactor en serie el balance sería:
𝐹 𝐶1 𝑡 − 𝐶2 𝑡 =
𝑉
𝑁
𝑑𝐶2 𝑡
𝑑𝑡
(25)
Pero 𝐶1 𝑡 = 𝐶∗
(1 − 𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
)
Reemplazando
𝑑𝐶2 𝑡
𝑑𝑡
+
𝐹𝑁
𝑉
𝐶2 𝑡 =
𝐹𝑁
𝑉
𝐶∗(1 − 𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
) (26)
Multiplicando ambos miembros por 𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡 𝑑𝐶2 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡 𝐹𝑁
𝑉
𝐶2 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑒
𝐹𝑁
𝑉 𝑡
𝐶2 𝑡
𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡 𝐹𝑁
𝑉
𝐶∗
(1 − 𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
) (27)
𝑑
𝑑𝑡
𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
𝐶2 𝑡 =
𝐹𝑁
𝑉
𝐶∗
(𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
− 1) (28)

17. Con 𝐶2 0 = 0, integrando entre 𝑡 = 0 𝑦 𝑡.
𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
𝐶2 𝑡 = 𝐶∗
𝑒
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
− 1 −
𝐹𝑁
𝑉
𝑡 (29)
De donde
𝐶2 𝑡 = 𝐶∗
1 − 𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
(30)
y, 𝐹2 𝑡 =
𝐶2(𝑡)
𝐶∗ = 1 − 𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
= 𝐹1 𝑡 −
𝐹𝑁
𝑉
𝑡𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
(31)
𝐸2 𝑡 =
𝐹𝑁
𝑉
𝑡𝐸1 𝑡 (32)
Así, para N tanques,
𝐹𝑁 𝑡 =
𝐶𝑁(𝑡)
𝐶∗ = 𝐹𝑁−1 𝑡 −
𝑡𝑁−1
𝑁−1 !
𝐹𝑁
𝑉
𝑁−1
𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
(33)
𝐸𝑁 𝑡 =
𝐹𝑁
𝑉
𝑁 𝑡 𝑁−1
𝑁−1 !
𝑒−
𝐹𝑁
𝑉
𝑡
(34)

19. Para el caso del modelo de reactor tubular operando en flujo pistón con dispersión
axial, el desarrollo es mas complejo, llegando a la expresión para la función de
distribución de tiempos de residencia:
𝐸𝑇𝐹𝐷𝐴 =
1
2𝑡𝑅
𝑃𝑒
𝜋
1
𝜏
𝑒𝑥𝑝 −
𝑃𝑒(1−𝜏)2
4𝜏
(35)
donde 𝑃𝑒 es el número de Peclet: 𝑃𝑒 =
𝑢𝐿
𝐷
,
y 𝜏 el tiempo de residencia adimensional: 𝜏 =
𝑡
𝑡𝑅
siendo 𝑢 la velocidad media del fluido, 𝐿 la longitud del reactor, 𝐷 el coeficiente de
dispersión axial y 𝑡𝑅 el tiempo de residencia del fluido en el reactor, entendiéndose
como tal la porción del reactor en la que el flujo está totalmente desarrollado. Por lo
tanto, el tiempo de residencia 𝑡𝑅 diferirá del calculado como cociente entre el
volumen de éste (V) y el caudal de alimentación (F).

21. Simulación de reactores reales mediante combinación de elementos ideales
Corriente “by pass”. El esquema sería el siguiente:
𝐹, 𝐶∗
𝐹, 𝐶(𝑡)
𝑉
(1 − 𝛽)𝐹
𝛽𝐹
La corriente antes de ingresar al reactor CSTR, se divide y parte de esta pasa directo a
la salida, mientras que la otra parte ingresa al reactor
Planteemos el balance de trazador en el reactor ideal:
𝛽𝐹 𝐶∗
− 𝐶1(𝑡) = 𝑉
𝑑𝐶1(𝑡)
𝑑𝑡
1 −
𝐶1(𝑡)
𝐶∗ = 𝑒−𝛽𝐷𝑡
𝐶1 𝑡 = 𝐶∗ 1 − 𝑒−𝛽𝐷𝑡

22. Balance en el mezclador
𝐶 𝑡 =
𝛽𝐹𝐶1 t +(1−𝛽)𝐹𝐶∗
𝐹
= 𝛽𝐶1 t + (1 − 𝛽)𝐶∗
𝐶 𝑡 = 𝛽𝐶∗ 1 − 𝑒−𝛽𝐷𝑡 + 1 − 𝛽 𝐶∗
𝐶(𝑡)
𝐶∗ = 𝛽 − 𝛽𝑒−𝛽𝐷𝑡
+ 1 − 𝛽 = 1 − 𝛽𝑒−𝛽𝐷𝑡
𝐶(𝑡)
𝐶∗ = 𝐹 𝑡 = 1 − 𝛽𝑒−𝛽𝐷𝑡
𝐸 𝑡 = 𝐷𝛽2
𝑒−𝛽𝐷𝑡
Determinen la función E(t) para éste caso y grafiquen para varios valores de beta.

23. 𝑑 𝐶 𝑡
𝑑𝑡
=
𝐹
𝛼𝑉
𝐶 ∗ −𝐶 𝑡 +
𝐹′
𝛼𝑉
𝐶1(𝑡) − 𝐶 𝑡
𝐶1(𝑡)
𝐶 (𝑡)
𝑑 𝐶1 𝑡
𝑑𝑡
=
𝐹′
(1 − 𝛼)𝑉
𝐶1(𝑡) − 𝐶 𝑡
𝑝/ 𝑡 = 0 , 𝐶 𝑡 = 𝐶1 𝑡 = 0

24. Problema 3: Un agua residual debe procesarse en forma continua para
reducir la concentración de cierto contaminante al 5 % de su valor inicial. El
caudal a procesar es de 5.0 m3 h-1. Para ello, se dispone de una planta en la
que reactores de distinto tipo y complejidad están interconectados. La
sumatoria de los volúmenes de los reactores es VR = 20.0 m3. Para poder
modelar el conjunto, un ingeniero ambiental decide asimilar la planta a un solo
“reactor real” y medir la respuesta de la planta a la inyección “escalón” de un
trazador inerte. Los resultados de la experiencia se muestran en la Figura 2.
Para el modelado de la planta propone dos alternativas:
1) Dos CSTR dispuestos en paralelo, de volúmenes V1 = 0.4 VR y V2 = 0.6 VR .
Del caudal a procesar F se deriva el 75 % al reactor de volumen V1 y el 25 %
al de volumen V2.
2) Dos CSTR de igual volumen (Vi = VR /2)
dispuestos en serie.
Determine cuál de las alternativas
propuestas representa mejor el
comportamiento de la planta.

25. 0,4 V
0,75 F
0,25 F
0,6 V
𝐶1(𝑡)
𝐶 ∗
= 1 − 𝑒−𝐷1𝑡, 𝐷1 = 0,75𝐹/0,4𝑉
𝐶2(𝑡)
𝐶 ∗
= 1 − 𝑒−𝐷2𝑡
, 𝐷2 = 0,25𝐹/0,6𝑉
𝐶 𝑡 =
0,75𝐹 ∗ 𝐶1 𝑡 + 0,25𝐹 ∗ 𝐶2(𝑡)
𝐹
= 𝐶∗ 0,75 ∗ (1 − 𝑒−1,875𝐷𝑡 + 0,25 ∗ (1 − 𝑒−0,416𝐷𝑡))
𝐶(𝑡)
𝐶∗ = 0,75 ∗ (1 − 𝑒−1,875𝐷𝑡
+ 0,25 ∗ (1 − 𝑒−0,416𝐷𝑡
))

26. 𝐹, 𝐶∗
𝐹, 𝐶1(𝑡)
𝑉1 =
𝑉
𝑁
𝐹, 𝐶2(𝑡)
𝐹2 𝑡 =
𝐶2(𝑡)
𝐶∗
= 1 − 𝑒−
𝐹2
𝑉 𝑡
−
𝐹2
𝑉
𝑡𝑒−
𝐹2
𝑉 𝑡
Asumiendo que la planta puede operarse a una temperatura uniforme y
constante, a la cual rs = -ks, con k = 0.8 min-1, determine si puede lograrse el
objetivo de descontaminación buscado.

27. Problema 4: En la Figura 3.1 se representa la respuesta de un reactor tanque
continuo agitado a la inyección "escalón" de un trazador inerte. El reactor tiene
un volumen de 1000 m3 y el caudal de alimentación es de 500 m3/h.
a) Determine si el reactor real puede modelarse según el esquema de la Figura
3.2, y en tal caso, cuál sería el caudal de "by pass".
b) Opine sobre la conveniencia de utilizar ese reactor para el tratamiento de un
efluente cloacal cuya DQO es de 350 mgO2/L. Ejemplifique cuantitatiamente
adoptando un modelo cinético y sus parámetros típicos disponibles en la
literatura, en términos de DQO. Compare la performance del reactor real con la
que tendría si fuera ideal.
𝐸 𝑡 = 𝐷𝛼2
𝑒−𝛼𝐷𝑡