Este documento define las variables aleatorias y describe sus propiedades. Explica que una variable aleatoria es una función que asigna valores aleatorios a los resultados de un experimento. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. También describe la función de probabilidad y distribución acumulada de probabilidad de una variable aleatoria discreta, incluyendo sus propiedades y cómo calcular probabilidades. Finalmente, da un ejemplo de calcular probabilidades para el número de productos defectuosos.

1. TEMA 2
VARIABLE ALEATORIA
1

2. Definición de variable aleatoria
Sea un experimento y el espacio muestral Ω asociado a ese
experimento, la variable aleatoria es una función real “X” del
espacio muestral que está aplicado en el conjunto de los
números reales tal que a cada elemento ω,
ω Ω∈ se le asocia un número real X IR.∈
Ω
ω
X={(ω,X) ⁄ X(ω)= X, X IR,∈ ω Ω}∈
2
X X

3. 3
El dominio de la variable aleatoria (va) X es el espacio
muestra Ω
El rango Rx de la (va) son todos los valores posibles, es decir
Rx={x IR/ x= X(∈ ω),ω Ω}∈
Ejemplos de variables aleatorias:
El numero de personas que llega a un supermercado en un
periodo de tiempo dado.
El numero de piezas defectuosas obtenidas en una muestra
de 200 unidades de un proceso productivo.
El tiempo que tardan en ser atendidos las personas que
llegan a un banco

4. Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es discreta, si el rango de
“X” es un conjunto contable finito o mesurable. Ej:
Se lanza 2 dados y observar los números que aparecen
en las caras superiores. Determine las siguientes variables
aleatorias:
X: suma de los números que aparecen en las caras
superiores de los dos dados.
Y: diferencia de los números que aparecen en las caras
superiores de los dos dados.
Z: máximo de los dos números que aparecen en las caras
superiores de los dos dados
4

5. Función de probabilidad de una variable aleatoria
discreta
Se llama función de probabilidad de la variable
aleatoria “X” a la función de probabilidad de X
(P[X]) definida por la siguiente regla de
correspondencia.
P [x] = P[ X = Xi ]
Esta función de probabilidad satisface las
siguientes condiciones:
P(x)>0 x R(x)∀ ∈
∑P(x)= ∑_P(X j ) = 1
P(x)= 0 si x ≠Xj
5

6. Distribución acumulada de probabilidad
La función de distribución acumulada de una
variable aleatoria x, simbolizada por F(x) es una
función F: del conjunto de los números reales que
está aplicado en el intervalo [0,1].
Al conjunto de pares X P(x) se le denomina∶
Distribución de probabilidades de la variable
aleatoria discreta X, y se la representa en una tabla.
X X1 X2 ……… ……… Xn
P(x) P(x1) P(x2) ………. ………. P(xn)
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7. La regla de correspondencia de una distribución
acumulada de probabilidad es
F(x)=P[ X≤ x(i)] F: R→[0,1]
F(x) simboliza la probabilidad de que la variable
aleatoria X toma valores menores o iguales a x.
X X1 X2 …………. Xn
P(x) P(x1) P(x2) ………… P(xn)
F(x) F(x1) F(x2) ……….. F(xn) = 1
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8. Propiedades de la distribución acumulada de
probabilidad
1.- F(x) es una función no decreciente, esto es si
para todo x1, x2 pertenece al conjunto de los
números reales con x1< x2 entonces F(x1)≤ F(x2)
x1,x2 R ; x∈ 1 <x2 → F(x1)≤F(x2)
2.- F(x) es una función continua por la derecha, esto
es:
Lim F(x1 )=F(x2 )
x→xo⁡
3.- Lim F(x)= 0 Lim F(x)= 1
x→ -oo x→ +oo⁡ ⁡ 8

9. 4.- a,b R /a<b se tiene que P[a<x≤ b]=F(b)-F(a)∀ ∈
5.- a,b R /a≤b se tiene que P[a≤ x≤ b]=F(b)-F(a)+ P[x=a]∀ ∈
6.- a,b R /a<b se tiene que P[a<x<b]=F(b)-F(a) - P[x=b]∀ ∈
7.- b R se tiene que P[x>b]=1-F(b)∀ ∈
Ejemplo
Luego de producir el ultimo producto del día en una fabrica,
se observa que se han manufacturado 4 del producto A y 4
del producto B. Como uno de los talleres de facturación
estuvo fallando, se sospecha que la mitad de la producción
sea defectuosa. Obtenga la distribución de probabilidad del
numero de defectuoso provenientes del producto A, al
extraer 4 productos y someterlos a prueba.
Calcular las probabilidades: P[0<x≤ 2], P[1≤ x≤ 3], P[0<x<3],
P[x>2] 9

10. 4.- a,b R /a<b se tiene que P[a<x≤ b]=F(b)-F(a)∀ ∈
5.- a,b R /a≤b se tiene que P[a≤ x≤ b]=F(b)-F(a)+ P[x=a]∀ ∈
6.- a,b R /a<b se tiene que P[a<x<b]=F(b)-F(a) - P[x=b]∀ ∈
7.- b R se tiene que P[x>b]=1-F(b)∀ ∈
Ejemplo
Luego de producir el ultimo producto del día en una fabrica,
se observa que se han manufacturado 4 del producto A y 4
del producto B. Como uno de los talleres de facturación
estuvo fallando, se sospecha que la mitad de la producción
sea defectuosa. Obtenga la distribución de probabilidad del
numero de defectuoso provenientes del producto A, al
extraer 4 productos y someterlos a prueba.
Calcular las probabilidades: P[0<x≤ 2], P[1≤ x≤ 3], P[0<x<3],
P[x>2] 9