Ejercicios resueltos de distribuciones discretas de probabilidad. Estadística.

1. Ejercicios:
1) Se toma una muestra de 10 sin remplazo de un cuerpo estudiantil de 100
estudiantes de cierta universidad, se descubre que hay 3 estudiantes
extranjeros en la muestra. ¿Cuál sería la probabilidad aproximada si hay 5
estudiantes extranjeros en la universidad?
R= Utilizamos la distribución hipergeometrica
P(X = x) =
(
𝑘
𝑥
).(
𝑁−𝑘
𝑛−𝑥
)
(
𝑁
𝑛
)
N= tamaño de la población
K= n° individuos que…
N= tamaño de la muestra
x= valor que toma la variable
Dónde:
N=100, K=5, n=10, x=3
Sustituimos:
P(X=3) = 0,00638
2) La producción de cierto proceso manufacturero es defectuosa en 1%. En
una muestra aleatoria de 200 productos tomada con reemplazo; ¿Cuál es la
probabilidad de que: a) ninguna sea defectuosa b) de que a lo sumo 1 sea
defectuosa?
R) = Utilizamos la distribución binomial:
𝑃( 𝑥) = (
𝑛
𝑥
) 𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
Dónde: p=0,01, q=0,99, n=200

2. a)𝑃( 𝑋 = 0) = 200𝐶0 (0,01)0
(0,99)200
=1x1x0,1339
=0,1339
b) P(X=0) + P(X=1)
𝑃( 𝑋 = 1) = 200𝐶1 (0,01)1 (0,99)199
=200x0,01x0,1353
=0,2706
Entonces:
P(X=0) + P(X=1) = 0,1339 + 0,2706 = 0,4045
3) Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6
tabletas de narcóticos en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina
que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3
tabletas aleatoriamente para analizarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que el
viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos?
R= P=0,4, q=0.6, n=3
P(X≥1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
Pero si aplicamos la propiedad del complemento:
P(X≥1) =1 – P(X=0)
P(X=0)= 3C0 (0,4)0(0,6)3
=1x1x0,216
=0,216
Entonces 1- 0,216 = 0,784 = P(X≥1) = 0,784

3. 4) Una cooperativa agrícola sostiene que 25% de las lechosas embarcadas
están maduras. Obtenga las probabilidades de que entre 8 lechosas
embarcadas.
 Como mínimo 6 estén maduras
 Como máximo 4 estén maduras
R= Utilizamos la distribución binomial:
𝑃( 𝑥)= (
𝑛
𝑥
) 𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
Dónde: p=0,25, q=0,75, n=8
a) P(X≥6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)
P(X=6)= 8C6 (0,25)6(0,75)2
P
=28x0,000244x0,5625
=0,003845
P(X=7)= 8C7 (0,25)7(0,75)1
=8x0,000061035x0,75
=0,000366
P(X=8)= 8C8 (0,25)8(0,75)0
=1x0,00001528x1
=0,00001528
Entonces:
P(X≥6) = 0,003845 + 0,000366 + 0,00001528 = 0,00423
b) P(X≤4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=0)= 8C0 (0,25)0(0,75)8
=1x1x0,1001
=0,1001
P(X=1)= 8C1 (0,25)1(0,75)7
=8x0,25x0,13348
=0,2669

4. P(X=2)= 8C2 (0,25)2(0,75)6
= 28x0,0625x0,17797
=0,3115
P(X=3)= 8C3 (0,25)3(0,75)5
=56x0,015625x0,23730
=0,2076
P(X=4)= 8C4 (0,25)4(0,75)4
= 70x0,00390625x0,31640
=0,0865
Entonces: P(X≤4) =0,1001 + 0,2669 + 0,3115 + 0,2076 + 0,0865 +
= 0,9726
5) Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de
cobre sigue una distribución poisson con una media de 2,3 imperfecciones
por mm..
a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones de 1mm de alambre
b) Determine la probabilidad de al menos 1 imperfección en dos milímetros
de alambre
R= Utilizamos la distribución poisson
𝑃
( 𝑥) =
𝜆 𝑥 𝑒−𝜆
𝑋!
Dónde: 𝜆=2,3
a) P(X=2) = 2,32
x 𝑒−2,3
/ 2! = 0,10026x5,29/2 =0,2652
b) P(X≥1) =1 – P(X=0)
Pero ahora 𝜆=4,6
P(X=0) = 4,60
𝑥 𝑒4,6
/ 0! = 0,010x1/1 =0,010
Entonces:
P(X≥1) = 1 – 0,010= 0,99