estadistica

2. Funciones de
Probabilidad
Prof. Claudia Retamoso Llamas

3. Variables aleatorias
¿Qué es una variable aleatoria (v.a)?
Es una función que asocia un número real
con cada elemento del espacio muestral.
Notación:
Se utiliza una letra mayúscula, es decir X,
para denotar una variable aleatoria; y su
correspondiente letra minúscula, x en este
caso, para uno de sus valores.

4. La v.a puede ser discreta o continua.
Si un espacio muestral
contiene un número finito de
posibilidades, o una serie
interminable de tantos
elementos como números
enteros existen, se llama
espacio muestral discreto.
Si un espacio muestral
contiene un número infinito de
posibilidades igual al número
de puntos en un segmento de
línea, se le llama espacio
muestral continuo.
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5. Variables cuantitativas
Discretas
No existen valores
intermedios entre dos
valores consecutivos de la
variable
Continuas
Existen valores intermedios
entre dos valores
consecutivos de la variable

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https://www.youtube.com/watch?v=7mF89j-rCoE
¿Qué es una función de probabilidad?
Es una función que asigna probabilidades a los diferentes sucesos
de la variable aleatoria.
S: Espacio muestral
X: Variable aleatoria (mayúscula)  Resultado de lanzar un dado
Asignar un
número real a
cada suceso de S
1
2
3
4
5
6
x: Valores variable aleatoria
f f(x): función de
probabilidad

7. Tabla y gráfica de función de probabilidad y su acumulada
x f(x) F(x)
1 0.167 0.167
2 0.167 0.333
3 0.167 0.500
4 0.167 0.667
5 0.167 0.833
6 0.167 1.000

8. Distribuciones discretas de probabilidad
Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores
con cierta probabilidad (como se explico anteriormente). Al
lanzar una moneda tres veces, la variable X, que representa el
número de caras, toma el valor de 2 con 3/8 de probabilidad,
pues 3 de los 8 puntos muestrales igualmente probables
tienen como resultado dos caras y una cruz.
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9. El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de
probabilidad, una función de masa de probabilidad o una
distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
si, para cada resultado x posible,
1. f(x) ≥ 0
2.
3.
La función de la distribución acumulativa F(x) de una variable
aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) es

10. Ejemplo 1
El empleado de un almacén regresa tres cascos de seguridad al azar a tres
obreros de un taller siderúrgico que ya los habían probado. Si Smith, Jones y
Brown, en ese orden, reciben uno de los tres casos, liste los puntos muestrales
para los posibles órdenes en que el empleado del almacén regresa lo cascos,
después calcule el valor m de la variable aleatoria M que representa el número de
emparejamientos correctos.
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Espacio muestral m
SJB 3
SBJ 1
BJS 1
JSB 1
JBS 0
BSJ 0
m f(m) F(m)
0 0.333 0.333
1 0.500 0.833
3 0.167 1.000

12. Un embarque de 20 computadores portátiles similares para una tienda minorista
contiene 3 que están defectuosas. Si una escuela compra al azar 2 de estas
computadoras, calcule la distribución de probabilidad para el número de
computadoras defectuosas. (Variable discreta hipergeométrica)
Ejemplo 2
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13. x f(x) F(x)
0 0.716 0.716
1 0.268 0.984
2 0.016 1.000

14. Distribuciones continuas de probabilidad
Una variable aleatoria continua tiene una probabilidad 0 de
adoptar exactamente cualquiera de sus valores. En
consecuencia, su distribución de probabilidad no se puede
presentar en forma de tabla.
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Considérese una variable aleatoria cuyos
valores son las estaturas de todas las
personas mayores de 21 años. Entre
cualquiera dos valores de la variable hay
un número infinito de posibilidades. Así
como la probabilidad de encontrar una
persona con estatura exacta de 164 cm
es 0.
En este sentido en las variables aleatorias
continuas se habla de intervalos

15. La función f(x) es una función de densidad de probabilidad
(PDF en inglés) y se construye de manera que el área bajo
su curva limitada por el eje x sea igual a 1, cuando se
calcula en el rango de X para el que se define f(x).
Para la variable aleatoria continua X,
definida en el conjunto de números
reales, se cumple:

16. Ejemplo 3
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Suponga que el error en la temperatura de
reacción en °C, en un experimento de
laboratorio controlado, es una variable
aleatoria continua X que tiene la función de
densidad de probabilidad
a) Verifique que f(x) es una función de
densidad
b) Calcule P(0<X≤1)

17. Área = 1
a) Realizar la integral entre los límites de la función para corroborar que el
área bajo la curva sea 1
b) La probabilidad entre 0 y 1 está dada por:

18. La función de distribución acumulada F(x) (CDF en inglés), de
una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x),
es
Se puede decir también que la probabilidad en un rango a, b
está dada por, teniendo en cuenta que exista la derivada:

19. Ejemplo 4
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Suponga que el error en la temperatura de
reacción en °C, en un experimento de
laboratorio controlado, es una variable
aleatoria continua X que tiene la función de
densidad de probabilidad
a) Calcule F(x)
b) Calcule P(0<X≤1)

20. a) Para -1 < x < 2
Por lo tanto,
b) La probabilidad entre 0 y 1 es

22. Ejercicios Libro Walpole et al (2012)

29. Media o valor esperado de X
Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad
f(x). La media o valor esperado de X es:
Para la variable aleatoria discreta:
Para la variable aleatoria continua:

30. Ejemplo 5
Una inspectora de calidad obtiene una
muestra de un lote que contiene 7
componentes; el lote contiene 4
componentes buenos y 3 defectuosos. La
inspectora toma una muestra de 3
componentes. Calcule el valor esperado del
número de componentes buenos en esta
muestra.
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Sea X el número de componentes buenos
en la muestra. La distribución de
probabilidad de X es:

31. Aplicando la función de probabilidad para cada valor del
espacio muestral se tiene que:
Por lo tanto la media de la variable aleatoria discreta es:
De esta manera, si de un lote de 4 componentes buenos y
3 defectuosos, se seleccionará al azar, una y otra vez, una
muestra de tamaño 3, ésta contiene en promedio 1.7
componentes buenos.

32. Ejemplo 6
Sea X la variable aleatoria que denota la vida en horas de cierto
dispositivo electrónico. La función de densidad de probabilidad es
Calcule la vida esperada para esta clase de dispositivo
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En promedio el dispositivo dura 200 horas

33. Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad
f(x). El valor esperado de la variable g(X) es
Para la variable aleatoria discreta:
Para la variable aleatoria continua:

34. Ejemplo 7
Suponga que el número de automóviles X
que pasa por un local de lavado de autos
entre las 4:00 p.m. y las 5:00 p.m. de
cualquier viernes soleado tiene la
siguiente distribución probabilidad:
x P (X = x)
4 0.083
5 0.083
6 0.250
7 0.250
8 0.167
9 0.167
Sea g(X) = 2X – 1 la cantidad de dinero en dólares que el
administrador paga al operador. Calcule las ganancias esperadas
del operador en este periodo específico
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36. Varianza de variables aleatorias
Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x)
y media m. La varianza de X es:
Para la variable aleatoria discreta:
Para la variable aleatoria continua:
La raíz cuadrada positiva de la varianza, s, se llama
desviación estándar de X.

37. Ejemplo 8
Suponga que la variable aleatoria X representa el número de automóviles que se utilizan
con propósitos de negocios oficiales en un día de trabajo dado. La distribución de
probabilidad para:
x f(x)
1 0.3
2 0.4
3 0.3
Empresa A Empresa B
x f(x)
0 0.2
1 0.1
2 0.3
3 0.3
4 0.1
Demuestre que la varianza de la
distribución de probabilidad para
la empresa B es mayor que la de la
empresa A
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38. LQQD 𝑩
𝟐
𝑨
𝟐

39. Ejercicios Libro Walpole et al (2012)

44. Funciones de
Probabilidad
Prof. Claudia Retamoso Llamas