1. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Ejercicio 1
Se toma una muestra de 10 sin reemplazo de un cuerpo estudiantil de 100 estudiantes de cierta
universidad, se descubre que hay 3 estudiantes extranjeros en la muestra. ¿Cuál sería la
probabilidad aproximada si hay 5 estudiantes extranjeros en la universidad?
DATOS
n=10
N=100
M=5
Se pide calcularla probabilidad aproximadaP(X=3)
SeaX la variable aleatoriadefinidacomoel númerode estudiantesextranjerosen lamuestra.
EntoncesX sigue unadistribuciónHipergeométricadadapor:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
(
𝑀
𝑥
)(
𝑁 − 𝑀
𝑛 − 𝑥
)
(
𝑁
𝑛
)
, 𝑥 = 0,1,2,3,… , 𝑛
Si el tamaño de la muestraesgrande,entonceslavariable aleatoriaZdefinidacomo
𝑍 =
𝑋−𝑛𝑝
√𝑛𝑝(1−𝑝)( 𝑁−𝑛
𝑁−1
)
,
Sigue unadistribuciónaproximadamenteNormal conmedia 𝜇 = 0 y 𝜎 = 1, donde 𝑝 =
𝑀
𝑁
=
5
100
=
0,05. Como el tamaño de la muestra n es pequeño con respecto al tamaño de la población N,
entonces podemos prescindir del factor (
𝑁−𝑛
𝑁−1
).
La ProbabilidadHipergeométricase aproximamediante probabilidades Normales de la siguiente
manera:
𝑃( 𝑋 = 3) ≅ 𝑃 (
𝑥 − 0,5 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝(1 − 𝑝)
≤ 𝑍 ≤
𝑥 + 0,5 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝(1 − 𝑝)
)
𝑃( 𝑋 = 3) ≅ 𝑃 (
𝑥 − 0,5 − 10 ∗ (0,05)
10 ∗ 0,05 ∗ 0,95
≤ 𝑍 ≤
𝑥 + 0,5 − 10 ∗ (0,05)
10 ∗ 0,05 ∗ 0,95
)
𝑃( 𝑋 = 3) ≅ 𝑃(4,21 ≤ 𝑍 ≤ 6,32)
2. 𝑃( 𝑋 = 3) = 𝟎
Nota: La aproximación es muy buena cuando np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5 , por lo tanto el resultado de la
probabilidad hallada en este caso no debe ser nada buena ya que 10*0,05 =0,5 < 5 , aun cuando
10*(0,95) = 9,5 > 5.
Ejercicio 2
La producción de cierto proceso manufacturero es defectuosa en 1%. En una muestra aleatoria
de 200 productos tomada con reemplazo; ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ninguna sea
defectuosa, b) de que a lo sumo 1 sea defectuosa?
DATOS
p = 0,01
n = 200
Se pide calcular:
a) P(X= 0)
b) P(X≤ 1)
SeaX definidacomoel númerode productosdefectuososenlamuestra,entonceslavariable
aleatoriaXsigue unaDistribuciónde ProbabilidadBinomialdadapor:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = (
200
𝑥
)(0,01) 𝑥(1 − 0,01)200−𝑥 ,x = 0,1,2,3, …,200
Resp.a) 𝑃( 𝑋 = 0) = (
200
0
)(0,01)0(1− 0,01)200−0
= (
200
0
)(0,01)0(1− 0,01)200−0
= (0,99)200
= 0,1340
Resp.b) 𝑃( 𝑋 ≤ 1) = 𝑃( 𝑋 = 0) + 𝑃( 𝑋 = 1)
𝑃( 𝑋 ≤ 1) = 0,1340 + (
200
1
) (0,01)1(1− 0,01)200−1
= 0,1340 + 200 ∗ 0,01 ∗ (0,99)199
= 0,1340 + 0,2707
= 0,4047
3. Ejercicio3
Para evitar que lo descubran enla aduana, un viajeroha colocado 6 tabletas de narcótico en una
botellaque contiene 9 píldorasde vitamina que son similaresenapariencia. Si el oficial de la
aduana selecciona3 tabletas aleatoriamente para analizarlas. ¿Cuál es la probabilidadde que el
viajerosea arrestado por posesiónilegal de narcóticos?
DATOS
N = 9
M = 6
n = 3
Se pide calcularla probabilidadde que el viajeroseaarrestadoportráficode narcóticos
DefinamosXcomoel númerode tabletasde narcóticosenla muestra,porlo tantola variable
aleatoriaXsigue unadistribuciónde probabilidadesHipergeométricadadapor:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
(
6
𝑥
) (
9 − 6
3 − 𝑥
)
(
9
3
)
, 𝑥 = 0,1,2,3
El viajeroseráarrestadosi por lomenosencuentraunatabletade narcóticoenla muestra,porlo
tanto se pide hallar:
𝑃( 𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃( 𝑋 < 1)
= 1 − 𝑃( 𝑋 = 0)
= 1 −
(6
0
)(9−6
3−0
)
(9
3
)
= 1 −
1
84
= 0,9891
Ejercicio4
Una cooperativa agrícola sostiene que 25% de las lechosasembarcadas están maduras. Obtenga
las probabilidadesde que entre ocho lechosasembarcadas
a) Como mínimoseisestán maduras
b) Como máximocuatro están maduras
DATOS
p = 0,25
n = 8
Se pide calcular
4. a) 𝑃( 𝑋 ≥ 6)
b) 𝑃( 𝑋 ≤ 4)
Definamos Xcomoel númerode lechosasembarcadasmaduras,porlo tantola variable aleatoria
X sigue unaDistribuciónde ProbabilidadesBinomial dadapor:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = (
8
𝑥
) (0,25) 𝑥(1− 0,25)8−𝑥 , x = 0,1,2,3, …,8
Resp.a)
𝑃( 𝑋 ≥ 6) = 𝑃( 𝑋 = 6) + 𝑃( 𝑋 = 7) + 𝑃( 𝑋 = 8)
= (
8
6
)(0,25)6(0,75)8−6 + (
8
7
)(0,25)7(0,75)8−7 + (
8
8
) (0,25) 𝑥(0,75)8−8
= 28 ∗ (0,00024) ∗ (0,5625) + 8 ∗ (0,000061) ∗ (0,75) + 0,000015
= 0,0042
Resp.b) 𝑃( 𝑋 ≤ 4) = 1 − 𝑃( 𝑋 > 4)
= 1 − [ 𝑃( 𝑋 = 5) + 𝑃( 𝑋 = 6) + 𝑃( 𝑋 = 7) + 𝑃( 𝑋 = 8) ]
= 1 − [(
8
5
) (0,25)5(0,75)8−5 + 0,0042]
= 1 − [0,0232 + 0,0042]
= 0,9726
Ejercicio5
Supongamos que el número de imperfeccionesenunalambre delgadode cobre sigue una
distribuciónPoissoncon una media de 2,3 imperfeccionespormilímetro.
a) Determine la probabilidadde 2 imperfeccionesenunmilímetrode alambre
b) Determine la probabilidadde al menos una imperfecciónen2mm de alambre
DATOS
ƛ1 = 2,3 (Númeromediode imperfeccionespormilímetro)
SeaX el númerode imperfeccionespormilímetro,lacual sigue unaDistribuciónde Probabilidad
de Poisson,dadapor:
