La derivada

LA DERIVADA
ANÁLISIS MATEMÁTICO 1

CONTENIDO DEL TEMA
• Concepto de derivada. El problema de la tangente.
• Definición general de la derivada.
• Derivada de una función en un punto. Interpretación
geométrica
• Aplicaciones de la derivada.
• Relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función.
• Teoremas fundamentales sobre las derivadas.
• Reglas principales de derivación de funciones.

• Derivada de algunas funciones simples.
• Derivada de una función compuesta, inversa, implícita,
logarítmica, exponencial, potencial.
• Derivada de funciones trigonométricas inversas.
• Derivada fundamentales.
• Derivadas parciales.
• Funciones compuestas varias variables.
• Extremos locales de funciones de varias variables y extremos
condicionados.

CONCEPTO DE DERIVADA. EL PROBLEMA DE
LA TANGENTE

La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para
calcular respuestas de una función a la que se le están alterando
sus valores iniciales. La derivada de una función esta representada
gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier
curva (función), el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el
cual esta siendo estudiada la función recibe el nombre de
Derivada.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
DE INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Geométricamente, la derivada de una función F(x) en un punto
dado a da la pendiente de la recta tangente a F(x) en el punto a.

La recta dibujada forma un cierto ángulo que llamamos B.
Evidentemente, este ángulo estará relacionado con el pendiente
de la recta, que hemos dicho que el valor de la derivada en el
punto de tangencia.
Por lo tanto podemos concluir:
Tan B = F’ (a)

APLICACIONES DE LA DERIVADA
• Recta tangente: La pendiente de la recta tangente a la gráfica
de f en el punto (a, f(a)) es f’(a).
• Velocidad: si un punto P se mueve a lo largo de una recta
coordenada de manera que el tiempo t su coordenada es S(t),
entonces su velocidad al tiempo a es S’ (a).

RELACIÓN ENTRE LA CONTINUIDAD Y LA
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN
La función derivada no siempre existe, puede suceder que en
algún punto el limite no pueda ser calculado.
Sin embargo existen unas condiciones que nos permiten
asegurar la existencia de la función derivada.
Cuando ello sucede se dice que la función F(x) es derivable.

Sea la función definida a trozos:
El punto X=0 es especial ¿existe la derivada en este punto?
Para ver si la derivada existe en el punto X=0 se utiliza el
siguiente método: se busca el valor de la derivada acercándose al
punto X=0 por la izquierda y luego por la derecha.
Si los dos valores existen y coinciden diremos que la función es
derivable en X=0.
Veamos el ejemplo.

Una función derivable en el punto a es también continua en este
punto a.
El reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un
punto no tiene que ser derivable en ese punto
Estudiemos la continuidad y derivabilidad de las siguientes
funciones

TEOREMAS FUNDAMENTALES SOBRE LAS
DERIVADAS
• Teorema 1 : la derivada de una función constante es cero.
Ejemplo: Si F(x)=8 entonces F’(x)=0
• Teorema 2: si F(x)=X entonces f es derivable sobre R y Dxx=1.
Ejemplo: Dyy=1.
• Teorema 3: si F(x)= 𝑥 𝑛 con n ∈ Q y X pertenece al conjunto A en
el que 𝑥 𝑛 esta bien definida, entonces f es derivable en A y
Dx 𝑥 𝑛
= N 𝑥 𝑛−1
.
Ejemplo: Si F(x)= 𝑥2 entonces F’(x)= 2𝑥2−1 = 2𝑥1 = 2x

• Teorema 4: si la función F es derivable sobre un intervalo K y c es
un numero natural, entonces la función g para la que g(x)=c f(x)
es derivable sobre K, además Dx[c f(x)] = c Dx f(x).
Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante
por una función derivable, es igual al producto de la constante por
la derivada de la función.
Ejemplo: 5. Si f(x) = 5x entonces f’(x) = 5 Dxx = 5 · 1 = 5.
• Teorema 5: Si f y g son dos funciones derivables sobre un
intervalo K, entonces la función h = f + g es derivable sobre K y
además Dx [f(x) + g(x)] = Dxf(x) + Dxg(x), para x ∈ K.
Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es
igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones.

Ejemplo:
Dx [𝑥3+𝑥7] = Dx 𝑥3+ Dx 𝑥7= 3𝑥2+7𝑥6.
Teorema 6: Si f y g son funciones derivables sobre un intervalo K
entonces la función H = f · g es derivable sobre K, y además
para cualquier x ∈ K se tiene que Dx [F(x) . G(x)]= F(x) Dx
g(x)+g(x)Dxf(x).
Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es
igual al producto de la primera función por la derivada de la
segunda, más el producto de la segunda función por la
derivada de la primera.
Ejemplo:

• Teorema 7: Si f y g son dos funciones derivables y si g(x) ≠ 0
sobre un intervalo K entonces la función h =
𝑓
𝑔
es derivable para
cualquier 𝑥 ∈ K y se tiene
Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es
igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador,
menos el numerador multiplicado por la derivada del
denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

REGLAS PRINCIPALES DE DERIVACIÓN DE
FUNCIONES
• 1.Para una constante ''a'':
·Si f(x)=a, su derivada es f '(x)=0
• Ejemplo:
• → Si f(x)=16, su derivada es f '(x)=0
• 2. Para la función identidad f(x)= x.
• ·Si f(x)= x, su derivada es f '(x)= 1.
• Ejemplo:
• →Si f(x)= x,su derivada es f '(x) =1

• 3.Para una constante ''a'' por una variable ''x'':
• ·Si f(x)=ax, su derivada es f '(x)=a
• Ejemplo:
• →Si f(x)= 7x, su derivada es f '(x)= 7
• 4.Para una varibale ''x'' elevada a una potencia ''n'':
• ·Si f(x)=xⁿ, su derivada es f '(x)= nxⁿˉ¹
• Ejemplo:
• →Si f(x)= x², su derivada es f '(x)= 2x

• 5.Para una constante ''a'' por una varibale ''x' elevada a una
potencia ''n''
• ·Si f(x)= axⁿ su derivada es f '(x)= anxⁿ̄ˉ¹
• Ejemplo:
• →Si f(x) = 4x², su derivada es f '(x)= 8x
• 6. Para una suma de funciones:
• ·Si f(x) = u(x) +v(x), su derivada es f '(x) = u'(x) + v'(x)
• Ejemplo:
• →Si f(x)= 3x²+4x, su derivada es f '(x) = 6x+4
•

• 7.La regla de producto.
• ·Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la
multiplicación de polinomios, como por ejemplo: f(x)=(2x³+3)(3x³-
5); la regla de producto es :
• Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:
• La función: f(x) = uv
Su derivada: f '(x) = u'v +uv'
• Veamos un ejemplo:
• ¿Cuál es la derivada de f(x)= (2x³+3)(3x³-5)?
• →Solución:
• f(x)= (2x³+3)(3x³-5)
• f(x)= (6x²)(3x³-5) + (2x³+3)(12x³)
• Si es fácil simplificar la expresión,entonces debe simplificarse.

• 8. La regla de cociente.
• ·Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división
de polinomios, como por ejemplo: f (x)= 2x³+3/3x²-5; la regla de
cociente es:
• Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:
• La función: f(x)= u/v
• Su derivada: f '(x)= u'v- uv'/v²
• Veamos un ejemplo:
¿Cuál es la derivada de f(x) = 2x³+3/3x²-5?
• →Solución:
• f(x) = 2x³+3/3x²-5
• f '(x)= (6x²)(3x²-5)-(2x³+3)(12x³)/(3x²-5)²
• Si es fácil simplificar la expresión, entonces debe simplificarse.

•
9.Regla de cadena.
• ·Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un
polinomio elevado a una potencia como por ejemplo: f(x) = (2x³+3)³;
la regla de cadena es:
• Si ''u'' es el polinomio:
• La función: f(x)= uⁿ̄
• Su derivada: f '(x) = n(u)ⁿˉ¹(u')̄
• Veamos un ejemplo:¿Cuál es la derivada de f(x) = (2x³+3)³?
→Solución:
• f(x)=(2x³+3)³
• f '(x)=3(2x³+3)²(6x²)
• f '(x)=18x²(2x³+3)²

DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES
SIMPLES
• Ejemplos:
• F(𝑥) = 2𝑥6
+4𝑥2
• F’(x)= 12𝑥5 + 8𝑥
• G(𝑥) = 7𝑥6-5𝑥8+9𝑥3+14𝑥-2
• G’(x)= 42𝑥5 − 48𝑥7 + 27𝑥2 + 14

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA
Si 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓−1
(y) =
1
𝑓′(𝑥)
Ejemplo si 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 1 encuentre f’ (y)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓−1 (y)=
1
3𝑥

FUNCIÓN IMPLÍCITA
• 𝑥3 − 𝑦5 + 3𝑥2 − 6𝑦 = 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′ ?
3𝑥2 − 5𝑦4. 𝑦′ + 6𝑥 − 6𝑦′ = 0
−5𝑦4. 𝑦′ − 6𝑦′ = −3𝑥2 − 6𝑥
(*-1)
5𝑦4
. 𝑦′
+ 6𝑦′
= 3𝑥2
+ 6𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥2
+ 6𝑥
5𝑦4 + 6

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥 𝑑
𝑑𝑥
𝑒 𝑣 = 𝑒 𝑣. 𝑣′
F’(x)= 𝑒3𝑥
. 3
Ejemplo 2: f x = 𝑒 𝑥2+5𝑥−2
f’(x)=𝑒 𝑥2+5𝑥−2 . (2x+5)

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
Ejemplo: 𝑦 = 𝑥 + 5 3 𝑦′ = 𝑛 𝑢 𝑛−1 (𝑢′)
Y’ = 3 (x+5)3−1 1
Y’=3 (x+5)2

DERIVADA DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Derivada de la función arcoseno
F(𝑥)= arc sen u f’(𝑥)=
𝑢′
1−𝑢2
Derivada de la función arcocoseno
F(𝑥)= arc cos f’(𝑥)=−
𝑢′
1−𝑢2
Derivada de la función arcotangente
F(𝑥)= arc tg u f’(𝑥)= −
𝑢′
1+𝑢2

Derivada de la función arcocotangente
F(𝑥)= arc cotg u f’(𝑥)=−
𝑢′
1+𝑢2
Derivada de la función arcosecante
F(𝑥)= arc sec u f’(𝑥)=
𝑢′
1−𝑢2
Derivada de la función arcocosecante
F(𝑥)= arc cosec u f’(𝑥)=−
𝑢′
1−𝑢2

DERIVADAS FUNDAMENTALES
• Explicita: una función explicita es aquella donde la ‘y’ esta
despejada. Gráficamente la derivada de una función es la
pendiente de la recta tangente a una curva en un punto
determinado de dicha curva la nomenclatura para indicar la
derivada de una función puede ser de tres formas: y, dydx, f(𝑥).
Ejemplo: cuando derivamos con respecto a x
f(𝑥) = 9𝑥^2
F’(𝑥) = 18𝑥

• Sucesivas: si derivamos la derivada de una función, derivada
primera, obtenemos una función que se llama derivada
segunda, f’’ (𝑥). Si volvemos a derivar obtenemos la derivada
tercera, f’’’(𝑥) y así sucesivamente.
Ejemplo: calcular las derivadas 1ª,2ª,3ª y 4ª de:
f(𝑥)= 2𝑥3
-15𝑥2
+36𝑥-12
f’(𝑥)= 6𝑥2
-30x+36
f’’(𝑥)=12𝑥-30
f’’’(𝑥)=12
𝑓 𝑖𝑣
(𝑥)=0

DERIVADAS PARCIALES
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su
derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras
como constantes. Las derivadas parciales son útiles en calculo
vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se
representa con cualquiera de las siguientes notaciones
equivalentes:
𝑎𝑓
𝑎𝑥
= axf =f’x

BIBLIOGRAFÍA
• https://www.hiru.eus/es/matematicas/derivada-de-una-
funcion
• https://www.youtube.com/user/julioprofe
• https://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n
• http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_v
v.htm

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