El documento trata sobre el tema de la derivada de una función. Explica la definición matemática de la derivada, su interpretación geométrica, y cómo se puede usar para calcular la recta tangente y normal. También describe algunas aplicaciones de la derivada en economía, física e ingeniería para modelar problemas. Finalmente, presenta tres ejercicios de práctica sobre derivadas para que los estudiantes los resuelvan.

1. Matemáticas para ingenieros 1
Derivada de una función.
http://derivando01.blogspot.com/2015/11/que-es-una-derivada-la-derivada-una.html

2. Temario:
• Teorema del valor intermedio
• Derivada
- Interpretación geométrica
- Definición matemática
• Recta tangente y normal
• Ejercicios
• Conclusiones
https://sites.google.com/site/cd121lopezpfabian/unidad-iv-derivadas/4-1-definicion-de-grafica-
de-derivadas?tmpl=%2Fsystem%2Fapp%2Ftemplates%2Fprint%2F&showPrintDialog=1

3. Datos/Observaciones
Logro de la sesión:
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante conoce, analiza e interpreta
la derivada para la solución de ejercicios y problemas de contexto.

4. Utilidad
La derivada de una función permite modelar los problemas de las ciencias básicas:
Economía, Física, Biología, Química; y de las ciencias aplicadas e ingeniería.
• Se utiliza en la economía para resolver problemas de optimización, determinación de
máximos y mínimos y realizar cálculos marginales entre otros.
• Se utiliza en la física con respecto a la termodinámica, resistencia de materiales,
electrostática entre otros.
• Se utiliza en las ingeniería para estudiar la contaminación, reducir costes al fabricar
un producto, tratamientos de aguas residuales y representar fenómenos mediante las
ecuaciones diferenciales.
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5. Datos/Observaciones
Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado [𝑎; 𝑏] entonces:
• 𝑓 tomará cada valor entre𝑓 𝑎 y 𝑓(𝑏).
• Para cualquier 𝐿 ∈ [𝑓 𝑎 ; 𝑓 𝑏 ] existe por lo menos un valor 𝑥0 en [𝑎; 𝑏]
tal que 𝑓 𝑥0 = 𝐿
Teorema del valor intermedio (TVI)
x
y
𝑥0
f (𝑏)
f (𝑎)
𝑎 𝑏
L
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Demuestre que la ecuación 𝑥5 = 4𝑥 − 2 tiene una solución en el
intervalo 0; 1 .

6. Datos/Observaciones
Derivada de una función
Interpretación geométrica
𝑚𝐿𝑠
=
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 − 𝑥0 → 0 𝑚𝐿𝑇
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
𝑚𝐿𝑇
= 𝑓′(𝑥0)

7. Datos/Observaciones
Definición matemática
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
(𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍)
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒉 = 𝒙 − 𝒙𝟎
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
(𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍)
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe 𝑓′
𝑥0 .
Al proceso de calcular la derivada se llama
diferenciación.
Notaciones.
Si y = f(x), algunas notaciones de la derivada de
f en x son:
𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐷𝑥𝑦 = 𝑓´(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥𝑓(𝑥)
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1. Calcule 𝑓′(1).

8. Datos/Observaciones
Reglas de derivación
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
Sea 𝑐 una constante
𝟏
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = 𝑛. 𝑥𝑛−1
𝟐
Sea 𝑛 una constante
Si f y g son diferenciables y c es una constante,
entonces
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝟑
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:

9. Datos/Observaciones
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
𝟒
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ′𝑔 𝑥 + 𝑔 𝑥 ′ 𝑓 𝑥
𝟓
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑓 𝑥 ′𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥 ′ 𝑓 𝑥
𝑔2 𝑥
6
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:

10. Datos/Observaciones
Aplicaciones
𝐿𝑇: 𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)
Sea 𝑃 = (𝑥0; 𝑓 𝑥0 ) un punto de tangencia
Recta Tangente
Recta Normal
𝐿𝑁: 𝑦 − 𝑓 𝑥0 =
1
𝑓′(𝑥0)
(𝑥 − 𝑥0)
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 2. Determine la recta tangente y recta normal en 𝑥 = 1.

11. Datos/Observaciones
Ahora pongamos en práctica lo aprendido, para ello
deberás hacer lo siguiente:
1. Desarrollarás con tu docente los ejercicios 1 y 2.
2. Se resolverá el ejercicio 3 de forma individual o grupal, una vez
terminado, subirá la solución del ejercicio al foro de la sesión 1 de la
semana 7 para que el docente valide el desarrollo y realice la
retroalimentación.

12. Datos/Observaciones
Ejercicio 1
Demuestre que la ecuación 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 3 =0 tiene una solución en el
intervalo 0; 2 .

13. Datos/Observaciones
Ejercicio 2
Derivar las siguientes funciones
𝑎) 𝑓 𝑥 = −𝑥4
+ 8𝑥2
+ 15
𝑏) 𝑔 𝑥 =
3𝑥4 − 5𝑥 + 1
𝑥7 + 𝑥2 + 𝑥

14. Datos/Observaciones
AHORA TE TOCA A TI!

15. Datos/Observaciones
Ejercicio 3
Un comercio abre sus puertas a olas nueve de la mañana y cierra
cuando se han marchado todos los clientes. El numero de clientes
viene dado por la función 𝑐 𝑡 = −𝑡2 + 8𝑡 siendo 𝑡 el numero de horas
transcurridas desde la apertura
a. Grafique la función 𝑐 𝑡
b. Grafique la recta tangente a 𝑐 𝑡 en 𝑥 = 4
c. Indique la hora donde se tiene la mayor cantidad de cliente

16. • Aplicamos las reglas de derivación para calcular la
derivada de cualquier función de manera sencilla.
• La pendiente de la recta tangente y recta normal
de una función en un punto, esta se puede
encontrar derivando la función y evaluar en el
punto dado.
Conclusiones:

17. Consulte, desarrolle las actividades y
practique……
Muchas gracias!
“Hay dos maneras de vivir la vida: una
como si nada fuese un milagro, la otra
como si todo fuese un milagro.”
Albert Einstein