La Derivada

LA DERIVADA Introducción: Fue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Kepler había descubierto medio siglo antes, llegó a la idea de incremento de una función como se nos Ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleración de los cuerpos en movimiento, conceptos básicos de la Dinámica. En el Cálculo Diferencial es fundamental comprender esta idea de incremento que se Asocia a la noción de derivada y ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones a Problemas como determinar la ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores Máximos o mínimos de las funciones. La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se Aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad de un móvil, conocida su ley de Movimiento como también a la solución de otros problemas ligados a economía, demografía, Costos, ingeniería, etc. La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado . 882015-777875 El concepto de derivada está intimamamente ligado a el del límite . Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') : El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta, y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal. Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos): Por lo tanto tendremos que : Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por : Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto) La ecuación de la recta tangente vendrá dada por : Donde la pendiente es : Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto : ¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto? Puesto que la derivada es un límite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo : Sea la función f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3 Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que : f '(1) = 2 · 1 = 2 Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 . Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente, es decir, al aumentar la x aumenta la y. ¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada? Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que f '(-1) = 2 · (-1) = -2 En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente. Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera, vemos que si x0 es positivo, la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente. ¿Qué ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha. Conclusión: la derivada nos puede servir para estudiar las funciones. 1. Tasa de variación media Incremento de una función Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función. Tasa de variación media left0Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir: T.V.M. [a, b] = Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solución T.V.M. [0, 2] = 2. Tasa de variación instantánea. La derivada Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería . Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir: A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0. = Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así: Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1. Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable. Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función en x =0 son 1 y –1.        Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0. Proposición. Toda. Función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso. Ejemplo 2. es continua en 0, pero no es derivable en 0. Aplicación física de la derivada          Consideremos la función espacio E= E(t).          La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0, t] es: vM(t)= que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces: La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea. Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.          Solución          v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4 3. Interpretación geométrica de la derivada La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h. Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto: La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a)) La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar      y - f(a) = f ´(a)(x-a)       . Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a) left0Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1) Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente 4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas La función derivada La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´. Tabla de derivadas de algunas funciones elementales 1) f(x) =k  f´(x) =0 2) f(x) = xn  f´(x) = nxn-1 3) f(x) =  f´(x) = 4) f(x) = ln x  f´(x) = 5) f(x) = ex  = ex 6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x 7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x Reglas de derivación Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica: -(f +g)´= f´(a) + g´(a) -(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a) Además si g(a)0, entonces f/g es derivable en a y se verifica - Ejercicio 6. Calcula la derivada de: a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b) c) h(x) = tan x; d) Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta: a) f(x)=            Observación: la gráfica de esta función es:        b) y = c) g(x)= Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación. Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda, y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f. Regla de la cadena Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable en a y se verifica: (fg)´(a) = f´(g(a)).g´(a) Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función) Derivación logarítmica Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si  y’, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica. Método: Sea 1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos) 2º Se deriva      3º Se despeja y’ [][] Que puede escribirse : Observación. La fórmula por ser muy “compleja HYPERLINK
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[1]” no suele aplicarse es preferible aplicar el método en cada ejercicio. Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue: , y derivando los dos miembros de la igualdad         y’=xx(ln x +1) Derivada de la función inversa Es otra aplicación de la regla de la cadena. Como ff -1= I, se tiene (ff –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando (f –1)’(x)= 1/f ’(f –1)’(x), Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x  x = tg y, y derivando x ’ = 1 +tg2y, de donde: 5. Crecimiento y decrecimiento de una función Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f’(a)>0 entonces f es creciente en el punto a. Figura 1 La demostración de este resultado puede hacerse usando la definición de derivada y e concepto de límite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1). Si f es derivable en un intervalo I y f ’ >0 en ese intervalo entonces f crece en I. El recíproco no se cumple en general. Ejemplo 5. La función y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f ’(0) =0. Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f ‘<0 en todo un intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1) 6. Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo. Figura 2 Condición necesaria de extremo Proposición. Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0. Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo. La condición no es suficiente. Ejemplo 6. La función y =x3 es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin embargo f ’(0)=0. Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese punto es cero (condición necesaria f ‘(0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver figura 2. Condición suficiente de extremo Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0: a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a. b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a. Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones derivables. Se presentarán en tablas estos resultados: f(x)Crece MáximoDecrece f '(x)+0-f ''(x)--- f(x)Decrece MínimoCrece f '(x)-0+f ''(x) + Nota[2]. Cuando busquemos los extremos absolutos de la función f, si esta es continua en un cerrado y derivable en el abierto, buscaremos los valores en que la derivada es cero y los compararemos con los de los extremos, el valor mas grande será el máximo y el más pequeño el mínimo. 7. Algunas “precisiones” sobre los extremos de funciones OBSERVACIÓN 1. Decir que f posee un máximo local en un punto x0, significa que existe un intervalo (x0 - r, x0 + r) tal que f(x)f(x0) para todo x perteneciente al conjunto (x0 - r, x0 + r)  Df . Análogamente para mínimo local. Esta matización en la definición de extremo, de intersecar el entorno con el dominio de f, Df, es esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una función continua, definida en un dominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos por el teorema de Weiertrars que los posee incluso absolutos), cuando éstos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio. OBSERVACIÓN 2. No se deben asociar tanto los extremos locales a las derivadas, ya que éstos pueden encontrarse en los puntos en que la función no es derivable. Ejercicio 13. La función: (su dominio es [-2,3]) Cuya gráfica se adjunta Figura 3 ¿Tiene extremos locales? ¿Tiene extremos absolutos? En caso afirmativo ¿en qué puntos se alcanzan? Razonas las respuestas. Si no tuvieras las gráficas ¿cómo les localizarías? Teniendo expuesto anteriormente deduce razonadamente como se pueden calcular los extremos (absolutos y relativos) de una función. 8. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Una función es convexa HYPERLINK
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[3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a, tal que la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es positiva en dicho intervalo. Figura4 Análogamente se dice que es cóncava cuando dicha diferencia es negativa. Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha. left0Por lo tanto f tiene un punto de inflexión en a si en dicho punto la tangente atraviesa a la gráfica.                      Figura 5 Proposición. Si la función es derivable en a y f’’(a)>0 se verifica que f es convexa en a. Análogamente si f es derivable en a y f’’(a)<0 se verifica que f es cóncava en a. Criterio práctico. Para calcular los puntos de inflexión se halla la derivada segunda de f, se igual a cero y se resuelve la ecuación. En las soluciones de la ecuación se estudia y si cambia la curvatura hay punto de inflexión. f ’’(x)+0-f (x)ConvexaP.infCóncava Ejemplo 8. En la gráfica de la figura se aprecia que la función es cóncava en el punto –1 es convexa en el punto 3/2 y tiene un punto de inflexión en el 0: 9. Aplicación de la derivada a la representación gráfica de funciones El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta: I) Estudio de f (resumen) 1º Dominio de f. 2º Puntos de corte con los ejes. 3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo). 4º Simetrías. - Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas. - Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas - Verticales Si existe a tal que, x =a es la ecuación de una asíntota vertical. - Horizontales Si, y =b es una asíntota horizontal. - Oblicuas Si   y , y =m x +n es una asuntota oblicua. II) Estudio de f’ (resumen) 1º Crecimiento y decrecimiento. Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente. 2º Máximos y mínimos relativos Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0. III) Estudio de f’’(resumen) 1º Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa , f ’’<0 cóncava  2º S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión. Ejemplo 8. Representamos gráficamente la función I) Estudio de f 1º D =R 2º Puntos de corte, el (0, 0) 3º Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0 4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen. 5º Asuntotas. No hay verticales por que el dominio es todo R Horizontales y =0 No hay oblicua. II) Estudio de f ’ , f ’(x)=0  -x2+1=0, de donde x =1 x- -1 1 f '(x) -0+0- f(x) Decrece MínimoCrece MáximoDecrece    1º f decrece en los intervalos]-, -1[ y ]1, [ y crece en ]-1, 1[ 2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto (1, 1/2). III) Estudio de f ’’ f ’’(x)== f ’’(x)=0  x- - 0 + f ’’ -0+0-0  f inflexióninflexióninflexión    En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión La gráfica es: Ejercicio 16. Representar las gráficas de las siguientes funciones: a) ; b) ; c) Ejemplo 9. La gráfica de y = ln (x2+1) es: Ejemplo 10. La gráfica de y =ln (x2-1) 10. Aplicaciones de las derivadas a la resolución de problemas de máximos y mínimos ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DERIVABLE 1. a) Usando la definición, calcula la derivada de f(x)= en x =2. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)= en el punto de abscisa x =2, Solución a) Se verifica f(2)= 0 y por lo tanto: f’(2)== (Se ha simplificado el factor x-2 que estaba en el numerador y el denominador) b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) tiene la expresión: y- f(a)=f’(a)(x-a) (Ya que la derivada en el punto de abscisa x = a, es la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a)) En este caso f(a)=f(2)=0 y f’(2)=1/4 Con lo q sustituyendo en este caso te queda: Y -0 = (1/4)(x-2) (ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2, 0)), Despejando y = (1/4)x -2 (su ecuación explícita) 2. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1. Solución Para que la curva sea “paralela” a la recta, la pendiente de la recta tangente en ese punto debe ser igual a la pendiente de la recta, por lo tanto: -1=-2a.1+5, de donde,   2a=6 y a =3 3. Determinar m para que la tangente a la curva y = -x2-(2m+1)x + m + 2, en x =2, sea paralela a la recta 3x-y +2=0 Solución Para q sean “paralelas” la tangente a la curva y = -x2-(2m+1)x + m + 2, en el punto de abscisa 2, tiene q tener la misma pendiente que la recta 3x-y +2=0, que en este caso vale 3. Como la pendiente es la derivada (en x =2), se tiene: y' = -2x –(2m+1), y’(2)= -4-2m-1=3 de donde        2m=-8 y despejando m =-4 4. Sea la función f(x)= x2+ ax +3, xR. Determinar el valor de a para que la grafica de f tenga una tangente en el punto de abscisa x=1, que sea paralela a la recta 2x+y= 0 Solución (Ver el problema anterior) Si queremos que sea paralela a la recta 2x+y=0, la tangente a la gráfica de f tendrá que tener su misma pendiente. La pendiente de la recta 2x+y= 0 es -2, como la pendiente de la recta tangente a la gráfica es la derivada, por tanto la derivada en x=1 de la función f(x)= x2+ ax +3 debe valer -2. f’(x)=2x+a    y en el punto de abscisa 1,       f’(1)=2+a      2+a=-2,        de donde a=-4 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad. Solución a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece Procedimiento: -Se deriva la función: R`(x)=-0,004x+0,8 -Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta: R`(x)=0 , -Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:                    f                    f ´               +       200    - se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros Solución gráfica 2. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. Solución Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero. V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0 Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1. Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars). Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40 V(0)=40 V(5)=125-225+75+40 =15 V(1)=1-9+15+40= 47 V(6)=216-324+90+40=22 La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15      0       1                       5             6         V’        +    0          -        0        + Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5) Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido. 3. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez? SOLUCIÓN Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v. Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer) La derivada es: v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero) Estudiamos v en los alrededores de 1 v ‘      +        1        -        2 y        crece           decrece Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo: v(x)= (2-x)ex v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0       como da la velocidad 0 aquí se detuvo. LA GRÁFICA: (No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace, vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2) 4. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión Se pide: a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida? b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? c) Cual fue esa cantidad máxima? Solución Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente: Si , su derivada es      f’(t)= Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6 Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo) 0                          6                          12 f ’      +                           -                           Crece hasta el 6 y decrece desde el 6 Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene: a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6 b) en t =6 c) f(6)=10/1=10 NOTA IMPORTANTE: EN ESTE TIPO DE PROBLEMAS CASI NUNCA ES ACONSEJABLE DESARROLLAR EL DENOMINADOR. 5. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible Solución Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 –x, podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2, y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funciones derivables. Derivando: f’(x) = 2x-2(36-x), de donde f’(x) = 4x-72 Para que f tenga un mínimo la derivada debe darnos 0, por lo que 4x-72=0 y despejando x= 18 f es continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36)2>f(18)=2.(18)2 por lo tanto en x=18 tiene el mínimo absoluto. La gráfica es: Observación: Otra forma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice se alcanza su mínimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal. b) Teniendo en cuenta que y= 36 –x, tenemos h(x)= , derivando: , h’(x)=0, elevando al cuadrado ambos miembros y operando se llega a que x=18. La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues: f(18)= , y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible lo alcanza en 0 y 36) la gráfica es: (Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el cálculo de los extremos absolutos, se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice: “toda función continua definida en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo”) Aplicación de la derivada a la representación gráfica de funciones El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta: I) Estudio de f (resumen) 1º Dominio de f. 2º Puntos de corte con los ejes. 3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo). 4º Simetrías. - Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas. - Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas - Verticales Si existe a tal que, x =a es la ecuación de una asíntota vertical. - Horizontales Si , y =b es una asíntota horizontal. - Oblicuas Si   y , y =m x +n es una asuntota oblicua. II) Estudio de f’ (resumen) 1º Crecimiento y decrecimiento. Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente. 2º Máximos y mínimos relativos Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0. III) Estudio de f’’(resumen) 1º Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa, f ’’< 0 cóncava  2º S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión. EJERCICIOS MODELO 1. Representación gráfica de I) Estudio de f -Dominio de f Como f es una función racional, pertenecen al dominio son todos los números reales menos los q anulan al denominador, es decir: D = R- -Puntos de corte a) Con el eje de las ordenadas, OY Si x =0 entonces y = 0, luego pasa por (0, 0) b) Con el eje de abscisas, OX Si y =0 entonces , luego 2x=0, es decir x =0 Observa q da el punto (0, 0) de nuevo, esto quiere decir q la gráfica de f solo corta a los ejes en el origen de coordenadas. - Signo de f (su estudio nos permite ver las regiones donde existe la gráfica y ayuda a posicionar las asíntotas) Para estudiar el signo de f se señalan en la recta los puntos donde no hay función (es decir los q no pertenecen al dominio) y los puntos donde la función es 0, es decir          -1                         0                          1                           la recta queda dividida en 4 regiones donde puede cambiar el signo, basta tomar un punto en cada una de ellas para saber el signo de toda la región (esto mismo haremos para ver el signo de la derivada f’ y de la derivada segunda f’’) f(-2)=, f(-1/2)=, f(1/2)<0, f(2)>0      -            -1                +        0       -        1        +        -Simetrías La función es impar f(-x)==-f(x) - Asíntotas a) Verticales x=1, x=-1 (hay asíntotas en los puntos q no pertenecían al dominio) b) Horizontales luego y=0 es asíntota horizontal, y como la función es racional entonces no hay oblícuas. II) Estudio de la derivada - Monotonía El signo de la derivada nos indica cuando la función crece (si f’ >0) y cuando la función decrece (si f’<0) Los puntos en q la derivada es 0 son posibles puntos extremos (max o mín) y’= (comprueba) que como ves da siempre negativa en su dominio, por lo tanto podemos concluir: a) decreciente en R- b) no tiene ni máximos ni mínimos locales III) Estudio de la derivada segunda Nos permite calcular los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión (condición necesaria q la derivada segunda valga 0) y'’ = Simplificando y agrupando queda: y’’= = , si y’’=0 , x =0 La gráfica es:                  2. Representamos gráficamente la función I) Estudio de f 1º D =R 2º Puntos de corte, el (0, 0) 3º Signo de f, negativa en x< 0 y positiva para x>0 4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas. No hay verticales por que el dominio es todo R Horizontales y =0 No hay oblicua. II) Estudio de f ’ x- -1 1 f '(x) -0+0- f(x) Decrece MínimoCrece MáximoDecrece , f ’(x)=0  -x2+1=0, de donde x =1 1º f decrece en los intervalos ]-, -1[ y ]1, [ y crece en ]-1, 1[ 2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto (1, 1/2). III) Estudio de f ’’ f ’’(x)== f ’’(x)=0  x- - 0 + f ’’ -0+0-0  f inflexióninflexióninflexión   En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión La gráfica es: Ejercicios propuestos 1. Hacer el estudio y comprobar las gráficas: a) b) c) d) y = x3-3x2+2 e) y = ln (x2 -1) f) y = ln (x2+1) EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS (Derivadas) 1. A un vendedor de ordenadores le cuesta 140000 ptas. cada modelo de la marca PCHE-COMPR. Ha comprobado que al precio de 240000 ptas. unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que por cada 2000 ptas. de descuento en el precio puede vender 3 unidades más al mes. Hállese a que precio debe venderlos para obtener el máximo beneficio posible. 2. Se define una función del modo siguiente: F(x)=   a) Hallar el dominio de definición. b) Determinar la función derivada y dar su dominio. 3. Dada la función y=, se pide: a) Representarla gráficamente. b) Ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x=1. c) Hallar sus máximos y mínimos relativos. 4. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x)= 2e-x; b) g(x)= 5. Estudiar los máximos y mínimos de la función: y= ¿los posee absolutos? 6. Representación gráfica de 7. La gráfica de una función entre x=-2 y x=4 es la siguiente: a) ¿En qué puntos no es continua la función? b) ¿En cuáles no es derivable? c) ¿Cuál es su dominio? d) ¿Qué se puede decir de las rectas x=0 y x=2? 9. Hallar a y b para que la función f(x)=x3+ax+b tenga un máximo en el punto (1,1) 10. Estudia y representa 11. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en miles de ptas. viene dada en función de la cantidad que se invierta x, en miles de ptas. por medio de la siguiente expresión:                    R(x)= -0,001x2+0,5x+2,5           a) Deducir razonadamente la cantidad de dinero que le conviene invertir a un cliente en dicho plan . b) ¿Qué cantidad obtendría? 12. El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es:                    y el precio de venta de uno de ellos es (50-x/4) ptas. Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que l beneficio sea máximo. 13. La segunda derivada de un polinomio de 2º grado que pasa por el punto (1,17) es 4. Halla el polinomio si se sabe que tiene un mínimo en x=1. 14. En 1980 se fundó una asociación ecologista. Se sabe que el número de sus miembros ha variado con los años de acuerdo con la función. N(x) = 50(2x3 - 15x2 + 36x + 2) a) Cuántos fueron los socios fundadores? b) En qué períodos de tiempo aumenta el número de socios? 15. En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y, además la suma de sus tres dimensiones debe ser 72. Hallar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo. 16. Dadas las funciones f(x) = 4x – 3 y g(x) = x2 determinar: a) f o f. b) Representar gráficamente la función g o f, especificando en qué punto alcanza los valores extremos. 17. Encontrar las funciones polinómicas cuya derivada segunda sea (x-1). ¿Cuál de ellas tiene un mínimo en el punto (4,-1/3)?. 18. Se quiere cercar un terreno rectangular, situado junto a una carretera. Si la valla que está junto a la carretera cuesta a 2400 ptas. por metro y la del resto a 1200 ptas. , hallar el área del mayor campo que se puede cercar con un presupuesto de 432000 ptas. 19. De todos los rectángulos isósceles de 30 cm de perímetro, ¿cuál es el de área máxima? 20. Hallar el radio y la altura del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en una superficie esférica de 24 cm. de radio. 21 Un jardinero tiene que hacer un jardín con forma de sector circular de 120 m de perímetro. ¿ Qué radio le debe dar para que su superficie sea máxima? Gráficas de ejercicios propuestos. y= y= y= y= y= Gráfica de ejercicio 2 y=2.e-x g(x)= Soluciones gráficas de problemas Solución gráfica del problema 1 B(x)= (100000 – 2000x)(30 – 3x) Solución gráfica problema 11. Solución gráfica del problema 12. B(x)=(50-x/4)x –((1/4)x2 + 35x + 25) Solución gráfica problema 14 DERIVADAS DE PRIMER NIVEL Derivada de una constante Tipo nº 1 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Ejercicio nº 1) Sol: Ejercicio nº 2) Sol: Ejercicio nº 3) Sol: Ejercicio nº 4) Sol: Ejercicio nº 5) Sol: Ejercicio nº 6) Sol: Ejercicio nº 7) Sol: Ejercicio nº 8) Sol: Ejercicio nº 9) Sol: Ejercicio nº 10) Sol: Derivada de una función potencial: Forma simple Tipo nº 2 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos. Ejercicio nº 11) Sol: Ejercicio nº 12) Sol: Ejercicio nº 13) Sol: Ejercicio nº 14) Sol: Ejercicio nº 15) Sol: Ejercicio nº 16) Sol: Ejercicio nº 17) Sol: Ejercicio nº 18) Sol: Ejercicio nº 19) Sol: Ejercicio nº 20) Sol: , Ejercicio nº 21) Sol: Ejercicio nº 22) Sol: Ejercicio nº 23) Sol: Ejercicio nº 24) Sol: Ejercicio nº 25) Sol: Ejercicio nº 26) Sol: Ejercicio nº 27) Sol: Ejercicio nº 28) Sol: Ejercicio nº 29) Sol: Derivada de una función logarítmica: Forma simple Ejercicio nº 30) Sol: Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple Ejercicio nº 31) Sol: Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple Ejercicio nº 32) Sol: Ejercicio nº 33) Sol: Ejercicio nº 34) Sol: Ejercicio nº 35) Sol: Ejercicio nº 36) Sol: Derivada de una función trigonométrica tipo seno Ejercicio nº 37) Sol: Derivada de una función trigonométrica tipo coseno Ejercicio nº 38) Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple Ejercicio nº 39) Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple Ejercicio nº 41) Sol: Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple Ejercicio nº 40) Sol: Regla nº 1 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de la función Derivada de una función potencial: Forma simple Ejercicio nº 1) Sol: Ejercicio nº 2) Sol: Ejercicio nº 3) Sol: Ejercicio nº 4) Sol: Ejercicio nº 5) Sol: Ejercicio nº 6) Sol: Ejercicio nº 7) Sol: Ejercicio nº 8) Sol: POTENCIASSigue recordando:y Ejercicio nº 9) Sol: Ejercicio nº 10) Sol: Ejercicio nº 11) Sol: Ejercicio nº 12) Sol: Ejercicio nº 13) Sol: Ejercicio nº 14) Sol: Ejercicio nº 15) Sol: Ejercicio nº 16) Sol: Ejercicio nº 17) Sol: Ejercicio nº 18) Sol: Ejercicio nº 19) Sol: Ejercicio nº 20) Sol: Ejercicio nº 21) Sol: Regla nº 2 LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones Ejercicio nº 22)    Solución: Ejercicio nº 23) Sol: Ejercicio nº 24) Sol: Ejercicio nº 25) Sol: Ejercicio nº 26) Sol: Ejercicio nº 27) Sol: Ejercicio nº 28) Sol: Ejercicio nº 29) Sol: Regla nº 3 LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función Ejercicio nº 30) Solución: Ejercicio nº 31) Solución: Ejercicio nº 32) Solución: Ejercicio nº 33) Solución: Regla nº 4 LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado Ejercicio nº 34) Solución: Ejercicio nº 35) Solución: Ejercicio nº 36) Solución: Ejercicio nº 37) Solución: Ejercicio nº 38) Solución: Derivada de una función logarítmica: Forma simple Ejercicio nº 39) Sol: Ejercicio nº 40) Sol: AVISOEn las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra , lo que estamos representando es una función que depende de la variable x y que realmente se debe escribir    Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple Tipo nº 3 LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función Ejercicio nº 1) Sol: Ejercicio nº 2) Sol: Ejercicio nº 3) Sol: Ejercicio nº 4) Sol: Ejercicio nº 5) Sol: Ejercicio nº 6) Sol: Ejercicio nº 7) Sol: LOGARITMOSRecuerda de la ESO:El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a Ejercicio nº 8) Sol: Ejercicio nº 9) Sol: Ejercicio nº 10) Sol: Ejercicio nº 11) Sol:    Ejercicio nº 12) Sol:    Ejercicio nº 13) Sol:    Ejercicio nº 14) Sol:    Ejercicio nº 15) Sol:    Ejercicio nº 16) Sol:    Ejercicio nº 17) Sol:    Ejercicio nº 18) Sol:    Ejercicio nº 19) Sol:    Ejercicio nº 20) Sol: Ejercicio nº 21) Sol: TRIGONOMETRÍARecuerda de la ESO:LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el seno del mismo Ejercicio nº 22) Sol: Ejercicio nº 23) Sol: Ejercicio nº 24) Sol: Ejercicio nº 25) Sol: Ejercicio nº 26) Sol: Ejercicio nº 27) Sol: Ejercicio nº 28) Sol: Ejercicio nº 29) Solución: Ejercicio nº 30) Solución: Ejercicio nº 31) Solución: Ejercicio nº 32) Solución: Ejercicio nº 33) Solución: Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta Tipo nº 5 LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función Ejercicio nº 35) Sol: Ejercicio nº 36) Sol: Ejercicio nº 37) Sol: Ejercicio nº 38) Sol: Ejercicio nº 39) Sol: Ejercicio nº 40) Sol: Derivada de una función potencial Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Derivada de una función logarítmica Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Derivada de una función exponencial con base el número e Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Derivada de una función exponencial con base distinta del número e Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Derivada de una función trigonométrica tipo seno Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercici Solución. Derivada de una función trigonométrica tipo coseno Ejercicio Soluciónución: Ejercicio Soluciónución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Derivada de una función trigonométrica tipo tangente Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución: Ejercicio Solución:

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