Cálculo Multivariable Anton Howard
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El documento presenta dos ejemplos de razón de cambio. El primero muestra una fórmula para calcular el índice de temperatura aparente basado en la temperatura real y la humedad relativa. El segundo detalla una ecuación para predecir la demanda mensual de dos marcas de pintura en función de sus precios, y proporciona una fórmula para cómo cambiarán los precios con el tiempo.
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Extremos condiconados
El documento presenta el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar los extremos de una función restringida a un subconjunto. Explica que los extremos se alcanzan en puntos críticos de una función auxiliar y resuelve este problema mediante sistemas de ecuaciones. Además, indica que el método proporciona una condición necesaria pero no suficiente para los extremos.
Ejercicio 6.........
El documento presenta un ejercicio de cálculo de varias variables que involucra calcular el área bajo una curva definida por las funciones x=u/v e y=x entre los límites u=1 a 4 y v=1 a 4. Se calcula la jacobiana para determinar cómo cambia el área elemental bajo transformaciones de coordenadas y luego se integra la función para calcular el área total, el cual resulta ser 6.85.
Ejercicio 3,,,,,,,,,,,,,
El documento presenta el Ejercicio 35 de la página 1009 del libro de cálculo de varias variables de Ron Larson y Bruce Edwards, el cual contiene un problema matemático que requiere ser resuelto.
Ejercicio 4
Un tanque cilíndrico tiene un diámetro de 4 pies y una profundidad de 6 pies. Se necesita calcular el volumen del tanque en unidades cúbicas.
Ejercicio 5...
El documento presenta el cálculo del volumen de un sólido limitado por las funciones Z = 2X y Z = 2X^2 + 2Y^2 entre los límites X = 0 y X = 1. Se utilizan coordenadas cilíndricas y la fórmula para calcular el volumen de una revolución para determinar que el volumen es 0,785.
Regla de-la-cadena
La regla de la cadena establece que si z es una función de x e y, y x y y son funciones de t, entonces z también es una función de t. La derivada de z con respecto a t se calcula aplicando la fórmula de la derivada parcial de z con respecto a x multiplicada por la derivada de x con respecto a t, más la derivada parcial de z con respecto a y multiplicada por la derivada de y con respecto a t. Se proveen dos ejemplos para ilustrar cómo aplicar esta regla al calcular la razón de cambio de una
Vector gradiente
El gradiente es un vector perpendicular a las curvas de nivel en un punto y apunta en la dirección de máxima variación. Su módulo es igual a la derivada direccional máxima. Se anula en puntos estacionarios. El documento también presenta ejemplos de cálculo del gradiente y derivadas parciales de funciones.
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Las derivadas parciales de orden superior son derivadas de funciones de varias variables que se obtienen derivando tantas veces como se indique, manteniendo las demás variables constantes. Se utilizan para graficar funciones tridimensionales y encontrar puntos críticos. El teorema de Schwarz establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.
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Cálculo Multivariable Anton Howard
Se proporciona una hoja metálica de 27 pulgadas de anchura para hacer una artesa doblando dos lados. Se pide encontrar los valores de x e θ que maximicen el área de la sección transversal trapezoidal.
Cálculo Multivariable Anton Howard
Se necesita encontrar el valor de x e θ para maximizar el área de una sección transversal trapezoidal de una artesa hecha de una hoja metálica de 27 pulgadas de ancho doblada hacia arriba en dos lados. El documento proporciona la información necesaria para resolver este problema de optimización geométrica.
Cálculo Multivariable Anton Howard
El documento explica el concepto de derivadas parciales de primer orden y cómo se utilizan para determinar la velocidad o ritmo de cambio de una función de varias variables con respecto a una variable en particular. Proporciona un ejemplo de cómo calcular las derivadas parciales de una función de producción con respecto a dos insumos y obtener la razón de cambio para cada uno. También demuestra las derivadas parciales de la ecuación de los gases ideales.
Cálculo Multivariable Anton Howard
Las curvas de nivel son líneas que conectan puntos de igual altitud o temperatura y se usan en ingeniería y mapas topográficos. Muestran valores constantes de funciones de dos variables y pueden ser círculos, como en un paraboloide abierto cuya superficie está definida por una función donde las curvas de nivel son círculos.
Cálculo Multivariable Anton Howard
El método de los multiplicadores de Lagrange permite encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Se construye una función de Lagrange combinando la función objetivo y la restricción con un multiplicador de Lagrange. Luego se derivan parcialmente e igualan a cero para hallar los puntos críticos, y se evalúan en la función original para determinar si son máximos o mínimos.
Cálculo Multivariable Anton Howard
La derivada direccional de una función f(x,y) en la dirección del vector unitario u = cos(β)i + sen(β)j es igual a fx(x,y)cos(β) + fy(x,y)sen(β). Esto se puede calcular evaluando las derivadas parciales fx y fy en el punto y dirigiendo u. También es igual al producto interno entre el gradiente de f y u. El documento proporciona un ejemplo de cómo calcular la derivada direccional en un punto dado y dirección dada.
Cálculo Multivariable Anton Howard
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La potencia calorífica disipada en una resistencia eléctrica se modela como P=E^2/R. Si inicialmente E=250V y R=12Ω, y luego E disminuye 5V y R disminuye 0.4Ω, se calcula la variación de P usando derivadas parciales. El resultado es que P disminuye en 34.7V.
Cálculo Multivariable Anton Howard
Este documento describe cómo usar diferenciales para aproximar el error máximo en el cálculo del área de un triángulo (A) dados los errores máximos en las mediciones de sus lados (a = 40 pies, b = 50 pies) y el ángulo entre ellos (θ = 30°), que son de 1 pie, 1 pie y 2° respectivamente. Se calculan las derivadas parciales de A con respecto a a, b y θ, se evalúan usando los datos y errores dados, y se usa la fórmula de diferencial total para determinar que el error
Cálculo Multivariable Anton Howard
Este documento describe cómo trazar curvas isotérmicas (curvas de nivel de temperatura) en una placa metálica cuando la función de temperatura es T(x,y)=xy. Se trazan las curvas para T=1, T=2 y T=3. Luego, se analiza la trayectoria que debe seguir una hormiga inicialmente en (1,4) para que la temperatura permanezca constante. La trayectoria es y=4/x y la temperatura es T=4.
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El documento describe la intersección de dos paraboloides definidos por las ecuaciones z = x2 + y2 y z = 4 - x2 - y2. Se desarrollan las ecuaciones de los paraboloides y se grafican para visualizar su intersección. La curva de intersección es una elipse.
Cálculo Multivariable Anton Howard
El documento describe un problema de maximización de área para una artesa trapezoidal hecha de una hoja metálica de 27 pulgadas de ancho. Se doblarán dos lados hacia arriba para formar la artesa. El problema implica encontrar valores para x e θ que maximicen el área de la sección transversal trapezoidal, dada por la fórmula A=2A1+A2.
Cálculo Multivariable Anton Howard
Este documento presenta un ejercicio de cálculo de diferenciales para aproximar el error máximo en el cálculo del área de un triángulo. Se proporcionan los pasos a seguir: 1) calcular las derivadas parciales de la fórmula del área con respecto a los lados y el ángulo del triángulo, 2) evaluar las derivadas con los datos y errores máximos dados, y 3) usar la fórmula de diferencial total para obtener el error máximo aproximado en el área.
Cálculo Multivariable Anton Howard
El documento describe las curvas isotérmicas en una placa metálica donde la temperatura T depende de las coordenadas x e y. Traza las curvas donde T=1, T=2 y T=3. Luego explica que una hormiga debe moverse a lo largo de la curva y=4/x para mantener una temperatura constante de 4 grados desde su punto inicial en (1,4).
Cálculo Multivariable Anton Howard
Este documento describe cómo trazar la región delimitada por dos paraboloides y describir su curva de intersección. Explica que la primera superficie es el paraboloide z = x^2 + y^2 y la segunda es z = 4 - x^2 - y^2. Luego, muestra los pasos para desarrollar las ecuaciones de los paraboloides, graficar sus funciones tridimensionales y determinar su curva de intersección.
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La derivación parcial permite determinar la tasa de cambio de una función de varias variables respecto a una variable en particular, manteniendo las otras constantes. Se calcula derivando la función con respecto a la variable de interés, considerando las demás constantes. En un ejemplo, se determina la tasa de cambio de la producción de una fábrica respecto a los insumos X e Y.
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El gradiente es un vector perpendicular a las curvas de nivel en un punto dado, como (x, y) o (tiempo, temperatura). El gradiente es ortogonal a las superficies de nivel constante y apunta en la dirección de derivada direccional máxima, con un módulo igual a esa derivada máxima. Se anula en puntos estacionarios como máximos y mínimos.
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Este documento explica las derivadas parciales de orden superior y su utilidad. Define una derivada parcial como la derivada de una función de varias variables respecto a una variable manteniendo las demás constantes. Luego, presenta un ejemplo para calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden de una función y verificar que las derivadas mixtas son iguales, lo que demuestra el teorema de Schwarz.
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El documento discute dos temas principales. El primero es el índice de temperatura aparente y cómo se ve afectado más por la temperatura del aire que por la humedad relativa. El segundo es un modelo de demanda para dos marcas de pintura donde la demanda de la primera marca depende de los precios de ambas marcas y disminuye a una tasa de -20 galones/mes por cada dólar de aumento en el precio de la primera marca.
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- 5. 2° Un almacén de pinturas vende dos tipos de marcas de pinturas. Las cifras de venta demuestran que si la primera marca se vende a 𝒙 dólares por galón y la segunda a 𝒚 dólares por galón, la demanda de la primera marca será de: 𝑸 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝒙 𝟐 + 𝟐𝟎𝒚 Galones por mes. Se calcula que dentro 𝒕 de meses el precio de la primera marca será de 𝒙 = 𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟐𝒕 dólares por galón y el precio de la segunda marca de 𝒚 = 𝟔 + 𝟎. 𝟒 𝟐 𝒕 dólares por galón.