pfm

1. DERIVADAS PARCIALES
DE PRIMER ORDEN

2. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una
de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivación parcial.
Definición:
Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las
funciones definidas como:

3. Observación:
La definición indica que para calcular ∂f /∂x se considera y constante derivando con respecto a
x y para calcular ∂f /∂y se considera x constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse
por tanto las reglas usuales de derivación.
Problemas:
En una fabrica la producción P está relacionada con la cantidad de los insumos X e Y por
la relación 𝒑 = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 𝟐
𝒚 + 𝒚 𝟑
. Determine la razón de cambio de la producción respecto de
cada uno de los insumos cuando los niveles de estos son de x=20 e y=10. Además de una
interpretación a su resultado.

4. Producción de la fábrica
Derivando parcialmente con respecto al insumo "x"
e "y"
Remplazando x=20 e y=10
Manteniendo el insumo "y" constante, la razón de cambio de la producción con
respecto al insumo "X" es de 1280.
Manteniendo el insumo "x" constante, la razón de
cambio de la producción con respecto al insumo "Y" es
de 1500.

5. La ley de los gases ideales 𝒑𝑽 = 𝒏𝑹𝑻 (en la que los números 𝒏 𝒚 𝑹 toman valores constantes)
relaciona las variables de presión 𝒑, volumen 𝒗 y temperatura 𝑻 de un gas.
a) Explicite (despeje) cada una de las tres variables como función de las otras dos.
𝒑(𝑻;𝑽) =
𝒏𝑹𝑻
𝑽
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝑽(𝑻;𝒑) =
𝒏𝑹𝑻
𝒑
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏
𝑻(𝑽;𝒑) =
𝒑𝑽
𝒏𝑹
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂

6. b) Demuestre que
𝝏𝒑
𝝏𝑽
.
𝝏𝑽
𝝏𝑻
.
𝝏𝑻
𝝏𝒑
= −𝟏
𝝏𝒑
𝝏𝑽
=
−𝒏𝑹𝑻
𝑽 𝟐
𝝏𝑽
𝝏𝑻
=
𝒏𝑹
𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒑
=
𝑽
𝒏𝑹
−𝒏𝑹𝑻
𝑽 𝟐 .
𝒏𝑹
𝒑
.
𝑽
𝒏𝑹
= −𝟏
−𝒏𝑹𝑻
𝑽 𝟐
.
𝑽
𝒑
= −𝟏
−𝒏𝑹𝑻
𝒏𝑹𝑻
𝒑
𝟐 .
𝒏𝑹𝑻
𝒑
𝒑
= −𝟏