Las derivadas parciales de orden superior son derivadas de funciones de varias variables que se obtienen derivando tantas veces como se indique, manteniendo las demás variables constantes. Se utilizan para graficar funciones tridimensionales y encontrar puntos críticos. El teorema de Schwarz establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.

1. DERIVADAS PARCIALES DE
ORDEN SUPERIOR

2. Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada
respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de
orden superior comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se
efectúa derivando tantas veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en
cálculo vectorial y geometría diferencial.
Representación:

3. Utilidad:
Para graficar una función tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina:

4. Teorema de schwarz (igualdad de las derivadas mixtas).

5. Ejercicios de aplicación:
Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden y muestre que las
derivadas mixtas son iguales:
Función:
Derivada de orden superior respecto de x.
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2

6. Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto
de x.
Siendo
Simplificar
𝑢 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2

7. Paso 2: Derivar parcialmente la función en segundo orden respecto de x.
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦))
en x, “(𝑓𝑥𝑥)” es:

8. Derivada de orden superior respecto de y.
Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función de primer orden respecto de y.
Paso 2: Derivar parcialmente la función de segundo orden respecto de y.

9. El resultado de la derivada parcial de segundo orden
de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en y, “(𝑓𝑦𝑦)” es:
Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑥𝑦):
Función:
Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función respecto
de x.
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2

10. Paso 2: Derivar parcialmente la función respecto y.
El resultado de la derivada parcial de segundo
orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en xy, “(𝑓𝑥𝑦)” es:

11. Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función
respecto de y.
Paso 2: Derivar parcialmente la función
respecto de X.
Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑦𝑥):

12. 𝑓𝑦𝑥 = 𝑓𝑥𝑦
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función
(𝑓(𝑥;𝑦)) en yx, “(𝑓𝑦𝑥)” es:
Finalmente, tomando en cuenta las derivadas parciales de orden superior
mixtas, se puede afirmar que son iguales. Lo que se comprueba el teorema de
schwarz siendo la función continua.