El gradiente es un vector perpendicular a las curvas de nivel en un punto y apunta en la dirección de máxima variación. Su módulo es igual a la derivada direccional máxima. Se anula en puntos estacionarios. El documento también presenta ejemplos de cálculo del gradiente y derivadas parciales de funciones.

1. VECTOR
GRADIENTE

2. De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra
normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está
estudiando, llámese (x, y), (x, y, z), (tiempo, temperatura),
etcétera.
Propiedades
 El gradiente verifica que:
 Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por
∅=cte.
 Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
 Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
 Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos
de silla).

3. Ejercicio:
-Calcular la gradiente de la función
Solución:

4. -Reemplazando:

5. Ejercicio2:
Seconsideraalafunción 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦
+
𝑥
𝑦
+ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +3𝑦 𝜋 .
Calcular:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥2 ,
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
, 𝑓𝑥 0,1 ,𝑓𝑦 1,0 ,𝑓𝑥𝑥 1,1 𝑓𝑥𝑦 0,−1

6. Solución: 𝑓𝑥 𝑓𝑥
 Primero desarrollando las derivadas parciales:

𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦𝑒 𝑥𝑦
+
1
𝑦
+ 2𝜋cos⁡( 2𝑥 + 3𝑦 𝜋)

𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥𝑒 𝑥𝑦
−
𝑥
𝑦2 + 3𝜋cos⁡((2𝑥 + 3𝑦)𝜋

𝜕2 𝑓
𝜕𝑥2 = 𝑦2
𝑒 𝑥𝑦
− (2𝜋)2
𝑠𝑒𝑛( 2𝑥 + 3𝑦 𝜋)

𝜕2 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑥𝑦 𝑥𝑦
−
1
𝑦2 + 6𝜋2
𝑠𝑒𝑛( 2𝑥 + 3𝑦 𝜋)
 Evaluando en los puntos dados

7. 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑦2
 Evaluando en los puntos dados
 𝑓𝑥 0,1 = 1 + 1 + 2𝜋 cos 3π = 2 − 2𝜋
 𝑓𝑦 1,0 = 0 + 0 + 3𝜋 = 3𝜋
 𝑓𝑥𝑥 1,1 = 2.72 + 0 = 2.72
 𝑓𝑥𝑦 −1,−1 = 2.72 + 1 − 1 + 53.85 = 58.57