cónicas ejercicios resueltos y por resolver

Lic. Pedro O. Gonz lez Cordero
á 1
CÓNICAS
Por:Pedro González Cordero

á 2
Pedro Orlando González Cordero
Licenciado en Educación, Física y Matemáticas
U n ivers id ad C at ó lica A nd rés B ello
Profesor de Estadísticas
Un iver sid ad Simó n Bo lívar
Profesor de Física y Matemáticas
In st it u t o U n iversit a rio D r F ed erico R ivero Palacio
ÍNDICE
RECTAS……………………………………...3
CIRCUNFERENCIA ………………………..11
ELIPSE ……………………………………….14
HIPÉRBOLA ….…………………………...23
PARÁBOLA ………………………………..24

á 3
RECTAS
Sistema coordenado en el plano. En un sistema coordenado lineal, cuyos puntos están
restringidos a estar sobre una recta,
Para extender la utilidad del método analítico, consideraremos ahora un sistema
coordenado en el cual un punto puede moverse en todas direcciones manteniéndose
siempre en un plano. Este se llama sistema coordenado-bidimensional o plano , y es el
sistema coordenado usado en la Geometría analítica plana la Geometría analítica
plana.
El primer ejemplo que estudiaremos de uno de estos sistemas, y, además, el más
importante, es el sistema coordenado rectangular, familiar al estudiante desde su
estudio previo de Álgebra y Trigonometría. Este sistema, indicado en la figura 1,
consta de dos rectas dirigidas X’ X y Y’ Y , llamadas ejes de coordenadas,
perpendiculares entre sí. La recta X’ X se llama eje X (abscisa); Y’ Y es el eje Y
(ordenada); y su punto de intersección 0, el origen. Estos ejes coordenados dividen al
plano en cuatro regiones iguales llamadas cuadrantes numerados tal como se indica
en la figura 1. La dirección positiva del eje X es hacia la derecha; la dirección positiva
del eje Y, hacia arriba.
Todo punto P del plano puede localizarse por medio del sistema rectangular. En
efecto, se traza P A perpendicular al eje X y P B perpendicular al eje Y. La longitud
del segmento dirigido OA se representa por z y se
llama abscisa de P; la longitud del segmento
dirigido OB se representa por y y se llama
ordenada de P. Los dos números reales, z y y,
se llaman coordenadas de P y se representan por
( z , y ). Las abscisas medidas sobre el eje X a la
derecha de 0 son positivas y a la izquierda son
negativas; las ordenadas medidas sobre Y arriba
de 0 son positivas y abajo son negativas. Los
signos de las coordenadas en los cuatro
cuadrantes están indicados en la figura 1. Es
evidente que a cada punto P del plano coordenado
le corresponden uno y solamente un par de
coordenadas ( z , y ) . Recíprocamente , un par de
coordenadas ( z , y ) cualesquiera determina uno y
solamente un punto en el plano coordenado.
Dadas las coordenadas ( z , y ) , z ≠ y , quedan determinados dos puntos, uno de
coordenadas (z , y ) y otro de coordenadas ( y , z ) que son diferentes. De aquí que
sea importante escribir las coordenadas en su propio orden, escribiendo la abscisa en
el primer lugar y la ordenada en el segundo. Por esta razón un par de coordenadas en
el plano se llama un par ordenado de números reales. En vista de nuestra discuai6n
anterior, podemos decir que el sistema coordenado rectangular a el plano establece
una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par ordenado de
números reales.
La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto.
Por ejemplo, para trazar el punto ( -5 , -6 ), señalaremos primero el punto A, sobre el
eje X, que está 5 unidades a la izquierda de 0; después, a partir de A, sobre una
paralela al eje Y , mediremos seis unidades hacia abajo del eje X , obteniendo así al
punto P(- 5 , - 6 ) . La construcción está indicada en la figura 2, en la que se han
trazado también los puntos (2, 6) , (- 6 , 4 ) y (4, - 2 ).
Figura 1

á 4
El trazado de los puntos se facilita notablemente usando papel coordenado
rectangular, dividido en cuadrados iguales por
rectas paralelas a los ejes coordenados. La
figura 2 es un modelo de papel
de esta clase. Se recomienda a1 estudiante el
empleo de papel coordenado milimetrado
cuando se requiera un trazado de gran
exactitud.
Si consideramos solamente aquellos puntos
cuyas ordenadas son cero, veremos que todos
ellos estén sobre el eje X, y el sistema
coordenado plano se reduce a l sistema
coordenado lineal. Por lo tanto, el sistema
coordenado lineal es, simplemente, un caso
especial del sistema plano .
Otro sistema plano que tendremos ocasi ón de
usar es el sistema de coordenadas polares. Las coordenadas polares se estudiaron
más adelante en un capitulo especial. El lector deber á observar que en los sistemas
coordenados que han sido estudiados, se establece una correspondencia entre los
puntos y el conjunto de los números reales. No se ha hecho menci ón de los números
complejos del Álgebra. Como nuestros sistemas coordenados no especifican nada para
los números complejos , no consideraremos tales n úmeros en nuestro estudio de la
Geometría analítica.
El sistema coordenado, que caracteriza a la Geome tría introducido por primera vez en
1637 por el matemático francés René Descartes (1596-1650). Por esta razón, la
Geometría analítica se conoce también con el nombre de Geometría cartesiana.
Por la parte que toma en la unificaci ón de las diversas ramas de las matem áticas, la
introducción de la Geometría analítica representa uno de los adelantos más
importantes en el desarrollo de la s matemáticas.
En Geometría pura, el estudiante recordar á que, generalmente, era necesario aplicar
un método especial o un artificio, a la soluci ón de cada problema; en Geometr ía
analítica, por el contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver muy
fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema
coordenado. El estudiante debe tener siempre presente que est é siguiendo un curso
de Geometría analítica y que la soluci6n de un problema geom étrico no se ha
efectuado por Geometría analítica si no se ha emplea do un sistema coordenado.
Según esto, un buen plan para comenzar la soluci ón de un problema es trazar un
sistema de ejes coordenados propiamente designados . Esto es de particular
importancia en los primeros pasos de la Geom etría analítica, porque un defecto muy
común del principiante es que si el problema que trata de resolver se le dificulta, est e
propenso a caer en los métodos de la Geometría pura.
Distancia entre dos puntos dados. Sean P 1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) dos puntos dados
cualesquiera. Vamos a determinar la distancia d entre P 1 y P 2 , siendo d=|P1 P2| .Por
P1 P 2 tracemos las perpendiculares P 1 A y P 2 D a ambos ejes coordenados, como se
muestra en la figura, y sea E su punto de intersección. Consideremos el triángulo
rectángulo P1 P2 . Por el teorema de Pitágoras, tenemos: d2
=P1 P2
2
=EP2
2
+P1 E2
teorema 1.
Figura 2

á 5
Las coordenadas de los pies de las
perpendiculares a los ejes
coordenados son A(x1 , 0), B(0,y1 ),
C(x2 ,0), D(0, y2 ) . Luego, por el
teorema 1 tenemos
EP2=AC=x2−x1
EP1=BD=y2−y1
sustituyendo en (1), obtenemos:
d
2
=(x2−x1)
2
+( y2− y1)
2
Este resultado se enuncia como
sigue :
TEOREMA 2: La distancia d entre
dos puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 )
está dada por la fórmula d=√(x2−x1)2
+( y2− y1)2
Ejercicio Resuelto:
Demostrar que los puntos P 1 ( 3, 3 ) ; P2 ( -3, 3 ) y el punto P3 ( - 3√3 , 3√3 ) son
vértices de un triángulo equilátero.
Solución. El triángulo del problema es el indicado en la figura. Por el teorema 2,
tenemos:
|P1 P2
|=√(3+3)
2
+(3+3)
2
=6√2
|P3 P2|=√(3√3−3)
2
+(−3√3−3)
2
=√27−18√3+9+27+18√3+9=√36+36=6√2
|P3 P1|=√(−3√3−3)
2
+(3√3−3)
2
=6 √2
Queda demostrado que el triángulo es equilátero porque todos sus lados son iguales.
Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son
( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) son:
x=
x2+x1
2
, y=
y2+ y1
2
Pendiente de una recta. Dos rectas al
cortarse forman dos pares de ángulos
opuestos por el vértice (fig. 11 ) . Por
tanto, la expresión “el ángulo comprendido
entre dos rectas” es ambigua, ya que tal
ángulo puede ser el α o bien su
suplemento el β . Para hacer una distinción entre estos dos ángulos, consideramos
que las rectas estén dirigidas y luego establecemos la siguiente: Se llama ángulo de
inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando

á 6
ésta se considera dirigida hacia arriba. Así, el ángulo de inclinación de la recta 1 (fig.
12) es α, y el de l' es α'. Evidentemente, α puede tener cualquier valor comprendido
entre 0° y 180°; es decir, su intervalo de variación está dado por
0° ≤ α ≤ 180°
Para la mayor parte de los problemas de Geometría
analítica, emplearemos más la tangente del ángulo de
inclinación que el ángulo mismo . Según esto :
Se llama pendiente o coeficiente angular de una
recta a la tangente de su ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta se designa comúnmente
por Ia letra m. Por tanto, podemos escribir
m=tg(α)
Si α es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta l en la figura; si α' es
obtuso, como para la recta l', la pendiente es negativa. Cualquier recta que coincida o
sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de
90°. Como tg 90° no está definida, la pendiente de una recta paralela al eje Y no
existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda recta perpendicular al eje X no
tiene pendiente. El estudiante recordará, probablemente, la igualdad tg 90 ° = ∞, , cuyo
significado debe considerar muy cuidadosamente ya que ∞ no es un número. Esta
igualdad es una manera simbólica de expresar que, a medida que el ángulo a se
aproxima más y más a 90°, tg α se hace y permanece mayor que cualquier número
positivo por grande que se suponga.
Si P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la
pendiente de la recta es:
m=
y2− y1
x2−x1
; x2 ≠ x1
Ejercicio Resuelto. Hallar la pendiente y el ángulo de
inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 6 ) .
(5, -2)
Solución. Esta recta se muestra en la figura, tenemos,
para la pendiente,
m=
6−(−2)
1−5
=
8
−4
=−2
tenemos. para ángulo de inclinación.
a = arc tg ( - 2) = 116°34’.
Un ángulo especificado α formado por dos rectas está dado por la ecuación
tgα=
m2−m1
1+m1m2
;m1 m2≠1
en donde m1 es la pendiente inicial y m2 la pendiente final correspondiente al ángulo α

á 7
Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado por ellas es 0° o 180°. Para de los
dos casos, la fórmula se reduce a tg0°=
m2−m1
1+m1 m2
→0=
m2−m1
1+m1 m2
→0=m2−m1→m1=m2 es
decir , las pendientes son iguales.
Recíprocamente , si m1 = m2 , se reduce a tg(0°)=0.
Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo comprendido entre ellas es de 90°. En
este caso, como no puede usarse la relación de la tangente del ángulo para hallar el
valor de 0, la escribiremos en la forma inversa Cotangente del ángulo
Ctgα=
1+m1 m2
m2−m1
;m1≠m2
m1m2+1=0→m1m2=−1
Ejercicio Resuelto. Hallar el i n g u l o a g u d o del paralelogramo cuyos vkrtices son
A ( - 2 . 1 ) , B ( 1 , 5 ) . C(10. 7) y D ( 7 . 3 ) .
Solución: El primer paso es indicar la direcci ón positiva del ángulo que se busca que,
en este caso, es el ángulo C de la siguiente figura. Entonces el lad o BC da la
pendiente inicial m1 y el lado CD la pendiente final m 2 .
Tenemos para las pendientes:
m1=
7−5
10−1
=
2
9
; m1=
7−3
10−7
=
4
3
tgα=
4
3
−
2
9
1+
4
3
2
9
→tg α=
36−6
27+8
→tgα=
30
35
→tgα=
6
7
, donde C=40°36’
Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos
y su direcci6n. Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar perfectamente
determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de
inclinación (y, por tanto, su pendiente).

á 8
La recta que pasa por el punto dado P 1 ( x1 , y1 ) y tiene la pendiente dada m, tiene por
ecuación:
y2−y1=m(x2−x1)
Ejercicio: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un
ángulo de inclinación de 135°.
Solución. La recta cuya ecuación se busca es la trazada en la figura. La pendiente de
esta recta es
m=tg (135°)=-1
la ecuación de la recta es
y−(−1)=−1(x−4)
en conclusión su ecuación general es
x + y – 3 = 0
La ecuación de la recta. Una recta es o no p aralela
al eje Y. Si es paralela a l eje Y su ecuación es de la
forma x = k; si no es paralela a dicho eje, su
pendiente está definida por su ecuación. Como todas
las rectas caen bajo una de estas dos
clasificaciones, cualquiera otra forma de la ecuaci6n
de una recta debe reducirse, necesariamente, a una
de estas dos formas. Para algunos tipos de
problemas, sin embargo, son m ás convenientes otras
formas; a continuación consideramos algunas de
ellas.
Ecuación de la recta dada su pendiente y su
ordenada en el origen. Ecuación canónica de la
recta. Consideremos una recta 1 ( vea la figura) cuya pendiente es m y cuya ordenada
en el origen, es decir , su inter sección con el eje Y, es b. Como s e conoce b , el punto
cuyas coordenadas son (0, b) est á sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a
hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto (0, b ) y tiene una pendiente
dada. La ecuación buscada es:
y−b=m(x−0)
o sea;
y=m x+b
La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación
y=m x+b

á 9
1.- Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta
s ≡ 2x + y + 2 = 0.
Respuesta: 2x + y -7=0
2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta
que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2).
Respuesta: m=
2−1
−2−4
=−
1
6
y+3=−
1
6
(x−2) x−6 y−16=0
3.- Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que
tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales.
Calcular las coordenadas del vértice C.
Respuesta:
4.- La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx
+ 2y - 13 = 0. Calcula m y n.
Respuesta:
5.- Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la
ecuación de la mediana que pasa por el vértice B.
Respuesta:
6.- Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r ≡ 2 x + y - 12
= 0.
Respuesta:

á 10
7.- Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x - y - 1 = 0 y pasa por el
punto P(-3,2).
Respuesta:
8.- Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6
unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
Respuesta:
9.- Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los
puntos A(1, 2) y B(-2, 5).
Respuesta:
10.- Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2 x + m y -8 = 0, determinar m para que
formen un ángulo de 45°.
11.- Se tiene el cuadrilátero ABCD de vértices son A(3,0), B(1,4), C(-3,2) y D(-1,-2).
Calcular su área.
12.- Una recta es perpendicular a otra de ecuación r ≡ 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4
unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

á 11
CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se
conserva siempre a un distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo
se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.
Ecuación canónica de la circunferencia
Supongamos que O tiene coordenada (h,k)
La distancia entre los puntos P(x,y) de la
circunferencia y el punto C(h,k), la cual denotamos
como “r”, está dada por:
r2
= ( x − h ) 2
+ ( y − k ) 2
, Ecuación canónica de una
circunferencia. Para r2
> 0 .
Entonces, tenemos:
Un tipo especial de circunferencia es aquella que
tiene por ecuación:
x2
+ y2
= r2
Es decir, una circunferencia con centro O (0,0) , el
origen: Despejando y , obtenemos las ecuaciones de
las semicircunferencias superior e inferior.
Ejercicio Resuelto: Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro
el punto O (4,2) y radio 3
Solución:
Reemplazando en (x−h)2
+(y−k)2
=r2
tenemos:
( x − 4)2
+ ( y − 2)2
= 32
( x − 4)2
+ ( y − 2)2
= 9 La ecuación canónica pedida.
Ahora, en la ecuación canónica del ejemplo anterior ( x − 4)2
+ ( y − 2)2
= 32
al
resolver los cuadrados y reducir los términos semejantes se obtiene:
x 2
− 8x + 16 + y 2
− 4y + 4 = 9
x 2
+ y 2
− 4x − 4y + 11 = 0
Se puede decir, entonces que la ecuación General de una circunferencia es de forma:
x 2
+ y 2
+ Cx + Dy + F = 0 O también: Ax 2
+ Ay 2
+ Cx + Dy + F = 0
Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar la circunferencia o descubrir sus
elementos (centro y radio) a partir de la ecuación general, deberíamos llevar la
ecuación a su forma canónica completando trinomios cuadrados perfectos.

á 12
Ejercicio Resuelto: Graficar la circunferencia que
tiene por ecuación
x 2
+ y 2
− 4 x + 6 y − 12 = 0
Solución: La ecuación general dada, la transformamos
a la ecuación canónica completando cuadrados
( x2
− 4 x + 4 )+( y 2
+ 6 y + 9) =12+4+9
(x − 2)2
+(y + 3)2
= 25
La circunferencia de radio r = 5 y centro C(2,− 3)
No toda ecuación de la forma representará una circunferencia.
Ax2
+Ay2
+Cx+Dy+F= 0
Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene r 2
= 0 , es decir resulta
(x − h)2
+ ( y − k )2
= 0 , el lugar geométrico es el punto O ( h , k ) .¿Por qué?
Si r2
< 0 , la ecuación no representa lugar geométrico.
Ejercicio Resuelto: Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a
los puntos ( 1, 2 ); ( 3, 0 ) y ( 3 +√3 ,3)
Solución: Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación.
En este caso empleamos la ecuación general x 2
+ y2
+ Cx + Dy + F= 0 .
Reemplazando las coordenadas de los puntos dados:

á 13
Ejercicios Resueltos
1.- Indicar si la ecuación: , corresponde a una
circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
Respuesta:
2.- Calcula la posición relativa de la circunferencia y la recta
.
Respuesta:
3.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0),B(2,3),(1,3).
Respuesta:
4.- Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(2,-3) y es
tangente al eje de abscisas.
5.- Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(-1, 4) y es
tangente al eje de ordenadas.
6.- Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de
intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
7.- Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación
, y que pasa por el punto (-3,4).

á 14
ELIPSE
es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la
suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, de ese plano es siempre
igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define
como el conjunto de puntos P (x,y) tales que la suma de su distancia a F 1 con su
distancia a F2 es igual a 2 a . Es decir:
Elipse= { P(x,y) / d(P,F1 )+d(P,F2 )=2a}
A F1 y F2 se les denomina focos de la elipse y “a” representa la medida del semieje
mayor de la elipse.
Ecuación Canónica
Sean F1 (−c,0) y F2 (c,0),
observe el gráfico:
De la definición tenemos:
d(P,F2 )+d(P,F1 )=2a
√(x−c)
2
+( y−0)
2
+ √(x+c)
2
+( y−0)
2
=2a
Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
(√(x−c)
2
+ y
2
)
2
=(2a−√(x+c)
2
+ y
2
)
2
(x−c)2
+ y2
=4 a2
−4a√(x+c)2
+ y2
+(x+c)2
+ y2
x
2
−2xc+c
2
+ y
2
=4a
2
−4 a√(x+c)
2
+ y
2
+x
2
+2 xc+c
2
+ y
2
4 a√(x+c)
2
+ y
2
=4a
2
+4 xc
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
a
2
(√(x+c)
2
+ y
2
)
2
=(a
2
+xc)
2
a
2
(x
2
+2xc+c
2
+ y
2
)=a
4
+2a
2
xc+c
2
x
2
a2
x2
+2a2
xc+a2
c2
+a2
y2
=a4
+2a2
xc+c2
x2
a
2
x
2
−c
2
x
2
+a
2
y
2
=a
4
−a
2
c
2

á 15
(a2
−c2
) x2
+a2
y2
=a2
(a2
−c2
)
Dividiendo a
2
(a
2
−c
2
)
(a
2
−c
2
) x
2
a2
(a2
−c2
)
+
a2
y2
a2
(a2
−c2
)
=
a
2
(a
2
−c
2
)
a2
(a2
−c2
)
x
2
a2
+
y
2
(a2
−c2
)
=1
Finamente, llamando b2
=a2
−c2
tenemos
x2
a2
+
y2
b2
=1 Ecu ació n can ó n ica d e la elip s e co n cen t ro O( 0,0) eje f o cal h o rizo nt al
“ b ” representa la longitud del semieje menor, Observe la gráfica anterior.
Aquí el lado recto tiene dimensión
2b2
a
Para los casos generales tenemos:
Suponga que el vértice es el punto V(h,k) , y que el eje focal sea horizontal entonces
su ecuación sería:
(x−h)
2
a2
+
( y−k)
2
b2
=1
Y su gráfica sería:
Observación: La dirección del eje focal está indicada por el término que tiene el
mayor denominador, es este caso ese sería el valor de “a 2
”. Observe también que a>b.

á 16
Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería:
( y−k)2
a
2
+
(x−h)2
b
2
=1
Y su gráfica sería:
Ejercicio Resuelto: Graficar la Elipse que tiene por ecuación
25x2
+ 16y2
+ 100x − 96y − 156 = 0 .
Indique todos sus elementos.
Solución:
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando
cuadrado
25 x2
+ 4x + 4 + 16y2
− 6y + 9 = 156 + 100 + 144
25 ( x + 2 )2
+ 16 ( y − 3 )2
= 400
Ahora dividimos para 400
25(x+2)
2
400a2
+
16( y−3)
2
400b2
=
400
400
(x−h)
2
a2
+
( y−k)
2
b2
=1
La última ecuación nos indica que la elipse tiene:
1. Centro 0(− 2,3)
2. Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino que
contiene a “ y ” Entonces a2
= 25 a = 5
⇒

á 17
3. b2
= 16 b = 4
⇒
4. Lo anterior nos permite calcular el valor de c.
c=√a2
−b2
c=√25−16
c=3
Por lo tanto la gráfica sería:
Ejercicio Resuelto:
Hallar la ecuación general de la Elipse cuye eje mayor mide 20 unidades y los focos
son los puntos de coordenadas ( 0 , 5√3 ) y ( 0 ,− 5√3 ) .
Solución:
Primero representamos en el plano cartesiano los
puntos dados.
Observamos que la elipse tiene como eje focal, el
eje y, que c = 5√3 .
Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades,
entonces a = 10
Esto, nos permite calcular b :
b 2
= a 2
− c 2
b 2
= ( 10 ) 2
− ( 5√3 )2
b 2
= 100 − 75
b 2
= 25 b = 5
⇒

á 18
Finalmente la ecuación de la elipse sería:
y2
100
+
x2
25
=1 4x2
+y2
=100
Ejercicio Resuelto: Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10
km. Y el eje menor 6km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro
de la pista en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos.
Solución:
Representando en el plano cartesiano la información proporcionada, tenemos:

á 19

á 20

á 21

á 22
1.- Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos:
F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Respuesta:
2.-Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4,
2).
Respuesta:
3.-Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y
focos.
Respuesta:
4.- Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las
siguientes elipses.
a) b)
c) d)

á 23
HIPÉRBOLA
1.- Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las
siguientes hipérbolas.
a) b) C ) Pasa por los puntos
Respuestas:
a)
b)
c)
2.-Determina la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por el punto y su
excentricidad es . Respuesta:
3.-Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco dista de los
vértices de la hipérbola 50 y 2.
Respuesta:
4.-Determina la posición relativa de la recta x + y - 1 =0 con respecto a la hipérbola x 2
- 2y2
= 1
Respuesta:
5.-Determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la
excentricidad de las siguientes hipérbolas:
a)
b)

á 24
PARÁBOLA
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia
de una recta fija, situada en el plano , es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no
pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
Sea L una recta y sea F un punto. La parábola se define
como el conjunto de puntos P (x,y) tal que su distancia al
punto F es igual a su distancia a la recta L. Es decir:
Parábola={ P(x,y)/d(P,F) = d(p,l) }
Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta L
se le denomina directriz de la parábola.
Ecuación canónica: Supongamos que F tiene coordenadas
ecuación y = − p con p > 0 . Observe la gráfica:
Observe que d(P,F)=√(x−0)
2
+( y− p)
2
y que
d(P, L)=|y+P| como por definición esas
distancias son iguales, las igualo queda √(x−0)
2
+( y−p)
2
=|y+P| elevo al cuadrado
en ambos miembros (x−0)2
+( y−p)2
=( y+P)2
al resolver los productos notables queda
x
2
+ y
2
−2 py+ p
2
= y
2
+2 py+ p
2
simplificando y sumando terminos semejantes queda
x
2
=+4 py
Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas
V(0,0). A la recta perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le
denomina Eje Focal. Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y.
Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba. Al segmento de recta
perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos
puntos de la parábola, se denomina lado recto y tiene una medida de 4 p .
¡Demuéstrele!
Suponga ahora que el vértice no es el origen, que tenemos V (h,k), entonces su
ecuación sería:
(x−h)
2
=4 p( y−k)

á 25
otro caso similar tenemos:
(x−h)2
=−4 p( y−k)
Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo.
Si la parábola tiene ecuación (y−k) 2
= 4p (x−h) , Su eje focal será horizontal y además
será cóncava hacia la derecha:
Si la parábola tiene ecuación (y−k) 2
= −4p(x−h) . Su eje focal será horizontal , pero
ahora será cóncava hacia la izquierda:

á 26
La ecuación general de la parábola será de la forma:
Ax2
+By2
+Cx+Dy+F=0 con A = 0 o B = 0 pero no ambos. Es decir tendremos ecuaciones
de la forma Ax2
+Cx+Dy+F=0 o de la forma By2
+Cx+Dy+F=0, según sea la dirección del
eje focal.
O más simplemente x2
+ Cx + Dy + F =0
y2
+ Cx + Dy + F = 0
Graficar la parábola que tiene por ecuación 4x 2
−20x −24y +97 =0 . Indique
coordenadas del vértice, coordenadas del foco, ecuación de la recta directriz.
Solución:
Despejando la variable cuadrática para completarle cuadrados y agrupando, tenemos:
4x2
−20x −24y +97 =0
4
4
(x
2
−5 x+
25
4
)=
24
4
y−
97
4
+
25
4
(x−
5
2
)
2
=6 y−18→(x−
5
2
)
2
=6( y−3)
Se deduce entonces que:
1. La parábola tiene vértice V (
5
2
,3) .
2. El eje focal es paralelo al eje y

á 27
3. La parábola es cóncava
hacia arriba
4. p=
3
2
debido a que
6=4p.Realizando su gráfica
tenemos:
Hallar la ecuación general de la parábola que tiene foco el punto de coordenadas
(−3,−2) y directriz la recta con ecuación x = 1.
Solución
En primer lugar representamos el
foco y la directriz en el plano
cartesiano.
Concluimos que:
1. El vértice debe tener
coordenadas ( − 1 , − 2 )
2. El eje focal es paralelo al eje
x (abscisa)
3. La parábola es cóncava hacia
la izquierda.
4. p = 2 , distancia del vértice al
foco o distancia del vértice a la
directriz.
5. La ecuación de trabajo es (y−k) 2
= −4p(x−h)
Bien, reemplazando los valores en la ecuación de trabajo, tenemos:
(y+2)2
=−4(2)(x+1)
y2
+4y+4=−8x−8
8x+y2
+4y+12=0
Ejercicios Resueltos: Un puente colgante de 120 m de longitud tiene trayectoria
parabólica sostenida por torres de igual altura si la directriz se encuentra en la
superficie terrestre y el punto más bajo de cada cable está a 15 m de altura de dicha
superficie, hallar la altura de las torres.

á 28
Solución
Primero hacemos una representación gráfica de la información proporcionada,
trabajando en el plano cartesiano, es mejor poner el vértice en el origen:
La ecuación de la trayectoria sería:
x2
=4(15) y
x2
=60 y
Utilizando la ecuación de la trayectoria determinamos “y”:
x
2
=60 y
60
2
=60 y
y=60
Por lo tanto la altura de las torres sería:
h=y+p
h=60+15
h=75
Ejercicios Resueltos: Hallar la ecuación de la parábola que tiene eje focal vertical y
contiene los puntos ( − 1,5 ) , ( 3,1 ) y ( 7,5 ) .
Solución:
Ya que tiene eje focal vertical empleamos la ecuación x 2
+Cx+Dy+F= 0 ¿Porqué?).
Cómo los puntos pertenecen a la parábola, las coordenadas deben satisfacer su
ecuación. Reemplazando y simplificando:

á 29

á 30
1.- Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas,
indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la
directriz.
a)
Respuesta:
b)
Respuesta:
2.- Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
a) De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
Respuesta:
b) De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
Respuesta:

á 31
3.-Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la
directrices de las parábolas:
a)
Respuesta:
b)
Respuesta:
4.- Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1),
B(-2, 3), C(16, 6).
Respuesta:

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