GEOMETRIA_ANALITICA_Libro_de_texto_utili.pdf

GEOMETRÍA ANALÍTICA
Libro de texto utilizado en la UAI de la UAGro.
AUTORES:
• ANGELINO FELICIANO MORALES
• RENÉ EDMUNDO CUEVAS VALENCIA
• SEVERINO FELICIANO MORALES

Responsable de la publicación digital: M. en C. Félix Molina Ángel.
Gestión del ISBN: Angelino Feliciano Morales
Revisó: MI. Daniel Feliciano García
Diseño de portada: Arq. Angelino Feliciano García
Responsables de la Reproducción en Discos Compactos:
M. en C. René Edmundo Cuevas Valencia
Juan Carlos Medina Martínez, Director de la UA de Ingeniería.
Sitio WEB: http://ingenieria.uagro.mx/catics
ISBN: 978-607-00-4156-3
El contenido de este E-Book, es con fines educativos, que
impacte en el programa de Ingeniero en computación de la UAI
de la UAGro.
Se permite la reproducción total o parcial del mismo por cualquier
medio, siempre y cuando se cite a los autores.
Chilpancingo de los Bravo Guerrero, México. Febrero de 2011.

Prólogo
Este libro, es el resultado del trabajo colaborativo de algunos integrantes del Cuerpo
Académico (CA) de Tecnologías de la Información y Comunicaciones de la Unidad
Académica de Ingeniería de la UAGro., siendo responsable de la obra literaria el C.
Angelino Feliciano Morales, con el firme propósito de seguir contribuyendo en la
consolidación de esta Unidad Académica y en consecuencia con la Universidad
Autónoma de Guerrero.
Esta obra, se inserta específicamente en el área de Informática Educativa, que forma
parte de nuestra Línea de Generación y Aplicación del Conocimiento, en la cual
participan los CC. René Edmundo Cuevas Valencia y Severino Feliciano Morales.
La elaboración de este libro tiene el propósito de apoyar a los estudiantes de la
comunidad de Ingeniería, sin embargo, puede servir de utilidad para los estudiantes
que cursen la unidad de aprendizaje de Geometría Analítica como un material didáctico
para reforzar las competencias matemáticas.
Una de las características de la mayoría de la población escolar de nuestro estado, es
que son de escasos recursos económicos y por tanto no es fácil dotarse de una buena
bibliografía particular para satisfacer sus necesidades de consulta por lo costoso de los
libros, entonces este e-book es una alternativa que les permitirá cubrir dicha necesidad.
Por otro lado, se sabe que la educación es de vital importancia para el desarrollo
integral del ser humano y esto se logra precisamente alcanzando un buen nivel
académico y el esfuerzo colectivo de los intergrantes del Cuerpo académico está
orientado a contribuir en el mejoramiento académico de los estudiantes y como
consecuencia al desarrollo de nuestra sociedad.
Ahora bien, de ninguna manera se pretende que se tome como un trabajo terminado,
dado que es posible mejorarlo con aportaciones críticas y propositivas de los
profesores y estudiantes.

ÍNDICE
PRIMERA UNIDAD
1.0 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
1.1 Sistema coordenado lineal 01
1.2 Plano cartesiano 02
1.3 Localización de puntos en el plano 03
1.4 División de un segmento en una razón dada 04
1.5 Punto medio de un segmento 06
1.6 Distancia entre dos puntos 07
1.7 Área de un polígono 09
1.8 Inclinación y pendiente de una recta 12
1.9 Rectas paralelas y perpendiculares .14
1.10 Ángulo entre dos rectas 15
SEGUNDA UNIDAD
2.0 LA LÍNEA RECTA
2.1 Ecuación de la recta dado un punto y su pendiente 21
2.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 23
2.3 Ecuación simétrica de la recta 24
2.4 Ecuación general de la recta 26
2.5 Forma normal de la ecuación de la recta 29
2.6 Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma
normal
31
2.7 Distancia de un punto a una recta 32
TERCERA UNIDAD
3.0 LA CIRCUNFERENCIA
3.1 Ecuación ordinaria de la circunferencia 37
3.2 Ecuación general de la circunferencia 38
3.3 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 40
3.4 Ecuación de la tangente a la circunferencia 42
CUARTA UNIDAD
4.0 LA PARÁBOLA
4.1 Ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyos ejes
coinciden con los ejes coordenados. 48
4.2 Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje paralelo a
uno de los ejes coordenados. 50
4.3 Ecuación de la tangente a la parábola 52
QUINTA UNIDAD
5.0 LA ELIPSE
5.1 Ecuación de la elipse de centro en el origen y cuyos ejes focales
coinciden con los ejes coordenados. 57
5.2 Ecuación de la elipse de centro )
,
( k
h
C y ejes paralelos a los
ejes coordenados 61
5.3 Ecuación de la tangente a la elipse 63

SEXTA UNIDAD
6.0 LA HIPÉRBOLA
6.1 Ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes
coordenados
68
6.2 Asíntotas de la hipérbola 70
6.3 Ecuación de la hipérbola de centro )
,
( k
h
C y cuyos ejes son paralelos
a los ejes coordenados 71
6.4 Ecuación de la tangente a la hipérbola. 73
SÉPTIMA UNIDAD
7.0 COORDENADAS POLARES
7.1 Introducción 77
7.2 Relación entre los sistemas de coordenadas cartesianas y polares 78
7.3 Graficación en coordenadas polares 81
Bibliografía

Coordenadas rectangulares
1
1.0 SISTEMA DE COODENADAS RECTANGULARES
La Geometría Analítica es una ciencia que combina el Álgebra y la Geometría,
estableciendo relaciones mutuas entre los lugares geométricos y las ecuaciones que las
representan, mediante métodos y procedimientos algebraicos, estudia las propiedades de
las figuras, contribuyendo a la solución de múltiples problemas geométricos. Además, las
ilustraciones gráficas de las funciones algebraicas y de otra índole, la Geometría Analítica
permite realizar con mayor objetividad y accesibilidad la solución de ciertos problemas.
1.1 SISTEMA COORDENADO LINEAL
La primera relación que se debe establecer de acuerdo con lo expuesto es entre los
números reales y los puntos de una recta. Considerando sobre la recta un punto O ,
llamado origen, situado arbitrariamente y señalando a partir de dicho punto hacia la
derecha y hacia la izquierda, divisiones iguales, de manera que entre cada división se
tome la misma unidad de longitud. Por convención, las divisiones consecutivas situadas a
la derecha de O , se hacen corresponder con los enteros positivos: L
;
3
;
2
;
1 y las
divisiones situadas a la izquierda de O , con los enteros negativos:
L
;
3
;
2
;
1 −
−
− etcétera.
Figura 1
Para el caso de una recta colocada verticalmente, igualmente por convención, los enteros
positivos se ubican arriba del O y los negativos abajo del mismo punto. El punto O
representa el valor cero. Las puntas de las flechas señalan el sentido positivo de las
rectas en ambas figuras.
Figura 2

2
Con el mismo criterio, todos los números reales pueden ser representados en la recta
numérica. Así, los números fraccionarios estarán representados por puntos situados entre
dos divisiones correspondientes a los números enteros.
Respecto a la localización de números irracionales en la recta, es preciso utilizar valores
aproximados. Por ejemplo, el valor numérico de 2 con cuatro decimales es 1.4142,
basta tomar una aproximación de1.4 para representarse en la recta numérica.
1.2 PLANO CARTESIANO
Trazando dos rectas numéricas, perpendiculares, de modo que presenten un origen
común. Las rectas '
XX y '
YY se llaman ejes coordenados, '
XX es el eje X , '
YY es el eje
Y .
Figura 3
Los sentidos positivos de los ejes se indican con puntas de flecha. Si P es un punto del
plano que determinan los ejes coordenados, su distancia al eje Y , se llama abscisa y se
representa por x, y su distancia al eje X se llama ordenada, representándose por y .
La abscisa y la ordenada de un punto reciben el nombre de coordenadas rectangulares
o coordenadas cartesianas. Para expresar un punto P se emplea el símbolo )
,
( y
x
P .
Cuando se tiene un punto fijo, las coordenadas son valores numéricos desconocidos
representados por variables con subíndices o bien por las primeras letras del alfabeto. Por
ejemplo: )
,
( 1
1 y
x
P o )
,
( b
a
P . Para el caso, en que el punto se mueve en el plano, las
coordenadas son desconocidas y se recomienda utilizar variables para representar el
punto P , es decir, )
,
( y
x
P . Con relación a los signos de la abscisa y la ordenada se tienen
las siguientes reglas:
A. La abscisa es positiva a la derecha de '
YY y negativa a la izquierda.
B. La ordenada es positiva arriba de '
XX y negativa debajo.

3
Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, las cuales
se distribuyen de la manera siguiente:
Figura 4
1,3 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO
Para localizar un punto en el plano se realiza el siguiente procedimiento.
Se localiza en el eje “ X ” las unidades que indique el primer elemento de la pareja )
,
( y
x
tomando en cuenta su respectivo signo. De forma similar se hace con el segundo
elemento de dicha pareja. Posteriormente se trazan rectas perpendiculares a los ejes
coordenados y la intersección de estas rectas determinan el punto que se desea localizar.
Ejemplos
1. Localizar el punto ( )
2
,
3
−
P en el plano cartesiano.
Solución
Se localizan 3 unidades negativas a partir del origen sobre el eje X y midiendo sobre la
recta paralela a Y que pasa por P , 2 unidades positivas.
Figura 5
En la figura aparecen indicados
los respectivos signos de la
abscisa y la ordenada en cada
cuadrante.

4
2. En forma similar, localiza en el plano los siguientes puntos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7
,
1
4
,
4
;
0
,
7
;
6
,
1
;
4
,
4 −
−
−
− U
y
T
S
R
Q .
3. Probar gráficamente que los puntos ( ) ( ) ( )
1
,
6
3
,
1
;
7
,
4 −
−
− C
y
B
A están en línea
recta.
4. ¿Cuál es valor de la ordenada en cualquier punto del eje X ?
5. ¿Qué determina la serie de puntos cuya abscisa es en todos ellos igual a 5
− ?
6. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son respectivamente los puntos
( ) ( )
3
,
7
3
,
1 Q
y
P − . ¿Cuáles las coordenadas del tercer vértice? (dos soluciones).
1.4 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
Un punto cualquiera P divide un segmento AB en dos partes AP y PB, que tienen un sentido
determinado.
Figura 6
La razón de los segmentos AP y PB se llama razón de división: es decir, en cualquiera de las tres
situaciones se tiene:
r
PB
AP
= , donde r es la razón de división
¾ Si P está entre A y B , r
PB
AP
= , el valor de r es positivo, porque AP y PB tienen el
mismo sentido.
¾ Si P está antes de A , r
PB
AP
= el valor de r es negativo, porque AP y PB tienen
sentidos opuestos; además r está en intervalo de 0
1 <
<
− x .
¾ Si P está después de B , r
PB
AP
= , r es negativo, porque AP y PB tienen sentidos
opuestos, y el valor de la razón es menor que –1( 1
−
<
r ).
NOTAS : Cuando 1
r −
= será imposible( porque será una indeterminación)
Si P coincide con A , entonces 0
r = .

5
En general, dado el segmento AB donde, )
,
( 1
1 y
x
A y )
,
( 2
2 y
x
B , siendo )
,
( y
x
P el punto de
división, entonces se tiene:
Figura 7
Utilizando conocimientos de proyecciones se obtiene:
r
'
'
'
'
PB
AP
=
=
B
P
P
A
(1.1)
r
'
'
'
'
'
'
'
'
PB
AP
=
=
B
P
P
A
(1.2)
Analizando (1.1) se tiene:
1
'
'
x
x
P
A −
= (1.3)
x
x
B
P −
= 2
'
'
(1.4)
Sustituyendo (1.3) y (1.4) en (1.1) se obtiene:
r
PB
AP
2
1
=
−
−
=
x
x
x
x
Por tanto:
x
x
x
x
r
−
−
=
2
1
(1.5)
Despejando la variable x nos queda.
2
1
2
1
2
1
r
)
1
(
r
r
x
x
r
x
x
x
rx
x
rx
x
x
x
+
=
+
+
=
+
−
=
−
1
r
,
1
r 2
1
−
≠
+
+
=
r
x
x
x (1.6)
De la expresión (1.2) por un razonamiento similar se concluye que:
1
r
,
1
2
1
−
≠
+
+
=
r
ry
y
y (1.7)

6
Ejemplo
1. Determinar las coordenadas del punto M que divide en la razón de 2:3 al segmento que
une los puntos ( )
2
,
6
−
A y ( )
7
,
4
B
Solución
Como la razón es positiva, entonces el punto M se localiza entre el punto A y el punto B,
tal como se observa en la gráfica.
Calculando el valor de x .
2
5
10
2
3
8
18
3
2
3
3
3
8
3
18
3
2
1
3
8
6
3
2
1
)
4
(
3
2
6
x
−
=
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
=
+
+
−
=
+
+
−
=
x
Calculando el valor de y .
Figura 8
4
5
20
2
3
14
6
3
2
3
3
3
14
3
6
3
2
1
7
3
2
2
=
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
y
)
(
y
Por tanto el )
4
,
2
(−
M satisface la condición.
2. Calcular las coordenadas del punto P de la recta que une los puntos ( )
6
,
4 −
−
A y
( )
2
,
8 −
B . De manera que AP = 3PB.
3. Conociendo ( )
6
,
3
M − y ( )
2
,
5
N , determinar el punto ( )
y
x,
P sobre la prolongación de
MN, que diste el doble de M que de N.
1.5 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
En general, la obtención de las coordenadas cartesianas del punto medio de un segmento,
se considera como el promedio de las abscisas y de las ordenadas de los extremos, y se
determina por medio de las siguientes fórmulas:
2
2
1 x
x
x
+
=
2
2
1 y
y
y
+
= (1.8)
Ejemplo: determinar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos
)
2
,
4
(−
A y )
,
B( 8
6 − .

7
Solución
Aplicando las fórmulas de punto medio, se tiene:
3
2
6
1
1
8
2
1
2
2
2
6
4
−
=
−
=
+
−
=
=
=
+
−
=
y
x
Por tanto, el punto medio es :
)
3
,
1
( −
M , tal como se ilustra en la gráfica.
Figura 9
1.6 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si se desea determinar la distancia entre los puntos ( )
1
1, y
x
P y ( )
2
2, y
x
Q , entonces se
debe trazar por P , una recta paralela al eje X y por Q otra recta paralela al eje Y . Estas
rectas se cortan en el punto ( )
1
2, y
x
R , formando el triángulo rectángulo PQR .
Figura 10
Por el teorema de Pitágoras, se obtiene: 2
2
)
(
)
( QR
PR
PQ +
= (1.9)
De acuerdo a la figura 10, se tiene: 1
2 x
x
PR −
= y 1
2 y
y
QR −
= .
Luego, sustituyendo en (1.9), 2
1
2
2
1
2 )
y
(y
)
x
(x
PQ −
+
−
= (1.10).
La expresión (1.10), también puede escribirse como: 2
2
1
2
2
1 )
y
(y
)
x
(x
PQ −
+
−
=

8
En consecuencia, la distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados de las diferencias de las correspondientes coordenadas.
Caso particular
Si uno de los puntos está en el origen y ( )
1
1, y
x
P es el otro punto, entonces la fórmula se
reduce a: 2
2
y
x
OP +
= (1.11)
Ejemplos
1. Determinar la distancia del origen al punto ( )
8
,
6
P .
Solución
Utilizando la fórmula (11), se tiene:
10
100
64
36
8
6 2
2
2
2
=
=
+
=
+
=
+
= y
x
OP
Figura 11
2. Calcular la distancia entre los puntos ( )
5
,
3 −
−
A y ( )
6
,
4 −
B .
Solución
Utilizando la fórmula (1.3) se tiene:
2
1
2
2
1
2 )
(
)
( y
y
x
x
AB −
+
−
=
2
2
))
5
(
6
(
))
3
(
4
( −
−
−
+
−
−
=
2
2
)
5
6
(
)
3
4
( +
−
+
+
=
50
1
49
)
1
(
7 2
2
=
+
=
−
+
=
Figura 12
3. Calcular el perímetro del triángulo determinado por los vértices
( ) ( ) ( )
5
,
3
2
,
4
;
2
,
1 −
−
− C
y
B
A .
4. Verificar que el triángulo formado por los vértices
( ) ( ) ( )
4
,
9
2
,
2
;
2
,
1 C
y
B
A −
− corresponden a un triángulo rectángulo.
5. Verificar que el cuadrilátero formado por los vértices:
( ) ( ) ( ) ( )
2
,
2
5
,
0
;
6
,
3
;
3
,
1 −
S
y
R
Q
P determinan un paralelogramo.
6. Calcular las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son:
( ) ( ) ( )
3
,
6
7
,
6
;
5
,
2 −
− R
y
Q
P .

9
1.7 ÁREA DE UN POLÍGONO
Convencionalmente se ha establecido que, si un móvil recorre el perímetro o contorno de
una figura en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj, el área debe
considerase positiva. Pero, si se hace, siguiendo el mismo sentido del movimiento de las
manecillas, el área será negativa.
Es sabido que, existen varias formas para determinar el área de un polígono, sin embargo,
en el presente material se obtendrá una fórmula que permita calcular el área de un
triángulo en función de las coordenadas de sus vértices. Sean
( ) ( ) ( )
3
3
2
2
1
1 ,
,
;
, y
x
R
y
x
Q
y
x
P y los vértices de un triángulo cualquiera.
Figura 13
Trazando las proyecciones de '
'
;
' QQ
y
RR
PP perpendiculares al eje X , resulta que el
área del triángulo PQR
Δ puede expresarse como:
Q
Q
P
P
trapecio
del
área
Q
Q
RR
trapecio
del
área
R
R
PP
trapecio
del
área
PQR
l
de
Área
'
'
'
'
'
'
−
+
=
Δ
(1.12)
Esto es:
( ) ( )
2
2
2
2
'
'
'
2
'
'
´
'
'
2
'
'
'
'
3
1
3
3
1
1
1
3
1
3
3
1
3
1
y
x
y
x
y
x
y
x
x
x
y
x
x
y
R
P
RR
R
P
PP
R
P
RR
PP
R
R
PP
trapecio
del
Área
−
+
−
=
−
+
−
=
×
+
×
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
(1.13)
En forma similar se obtiene:
2
2
'
'
'
2
'
'
'
'
'
2
'
'
'
'
2
3
2
2
3
3
3
2 y
x
y
x
y
x
y
x
Q
R
QQ
Q
R
RR
Q
R
QQ
RR
Q
Q
RR
trapecio
del
Área
−
+
−
=
×
+
×
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
(1.14)
2
2
'
'
'
2
'
'
'
'
'
2
'
'
'
'
2
1
2
2
1
1
1
2 y
x
y
x
y
x
y
x
Q
P
QQ
Q
P
PP
Q
P
QQ
PP
Q
Q
PP
trapecio
del
Área
−
+
−
=
×
+
×
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
(1.15)

10
Sustituyendo las ecuaciones (1.13), (1.14) y (1.15) en (1.12), se obtiene:
2
3
1
2
3
1
2
1
3
3
2
2
1 y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
PQR
del
Área
−
−
−
+
+
=
Δ (1.16)
Para mayor facilidad, la ecuación (1.16) puede expresarse en forma de determinante,
quedando de la siguiente manera:
2
2
1 3
1
2
3
1
2
1
3
3
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
PQR
del
Área
−
−
−
+
+
=
=
Δ (1.17)
Esta fórmula es aplicable para cualquier polígono. Por ejemplo, véase, el procedimiento
para calcular el área de un pentágono.
Figura 14
La fórmula se expresa de la siguiente forma:
5
5
4
4
1
1
4
4
3
3
1
1
3
3
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A +
+
= (1.18)
En general, la fórmula para calcular el área de un polígono, queda:
1
1
3
3
2
2
1
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A
n
n
M
M
=

11
Ejemplos
1. Calcular el área del triángulo de vértices: ( ) ( ) ( )
4
,
3
1
,
5
;
5
,
2 −
− C
y
B
A .
Solución
Graficando los puntos se tiene:
Figura 15
Aplicando la fórmula, queda:
( )
( ) ( ) 2
2
3
3
2
2
1
1
5
.
28
2
57
2
20
37
2
20
37
2
8
3
25
15
20
2
2
)
4
(
2
)
1
)(
3
(
)
5
(
5
)
5
)(
3
(
)
4
(
5
)
1
(
2
5
2
4
3
1
5
5
2
2
1
2
1
u
u
y
x
y
x
y
x
A
=
=
+
=
−
−
=
+
−
−
−
+
+
=
+
−
+
−
−
−
−
+
+
=
−
−
−
=
=
2. Determinar el área del polígono cuyos vértices:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
,
2
1
,
5
;
7
,
2
;
5
,
2
;
2
,
5 −
−
−
− E
y
D
C
B
A .
3. Calcular el área del polígono cuyos vértices:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
,
4
1
,
2
;
2
,
3
;
2
,
1
;
4
,
3 E
y
D
C
B
A −
−
−
− .

12
1,8 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
Se llama ángulo de inclinación de un segmento, al ángulo formado por el lado positivo del
eje X y el segmento, el cual se representa por el símbolo θ , este ángulo se debe
considerar con dirección contraria a las manecillas del reloj.
Figura 16
La pendiente de una recta no vertical es la tangente trigonométrica del ángulo θ que se
forma con la dirección positiva del eje X , esto es: θ
tan
=
m . El ángulo de inclinación del
segmento puede tomar cualquier valor entre π
θ ≤
≤
0 o bien ( o
o
180
0 ≤
≤θ ). La pendiente
de una recta puede expresarse en términos de dos puntos cualesquiera de dicha recta.
Sean los puntos )
, y
(x
) y Q
, y
P(x 2
2
1
1 dos puntos cualesquiera de la recta L , entonces
se tiene: θ
tan
1
2
1
2
=
−
−
=
x
x
y
y
m (1.19)
Figura 17
Si la recta es vertical, entonces todos los puntos tienen la misma primera coordenada, es
decir, el valor del denominador de la ecuación de la pendiente es cero y por tanto el
cociente es una indeterminación. Así pues, las rectas verticales no tienen pendiente(o
pendiente infinita).

13
NOTAS:
™ Cuando la recta L es paralela al eje X , o coincide con el eje X , entonces el
valor de la pendiente es cero.
™ Si la inclinación de un ángulo está comprendido entre
2
0
π
θ <
< ( o
90
0 <
<θ ),
entonces la pendiente es positiva.
™ Si el ángulo de inclinación está comprendido entre π
α
π
<
<
2
( o
o
180
90 <
<θ ),
entonces la pendiente es negativa.
Ejemplos:
1. Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos:
)
2
,
4
(
)
6
,
5
( −
Q
y
P .
Solución
Graficando los puntos y la recta en el plano cartesiano, tal como se aprecia en la figura 18.
Figura 18
A simple vista, el ángulo es menor que
2
π
, entonces la pendiente debe ser positiva.
Aplicando las fórmulas que permiten determinar el valor de la pendiente y el ángulo de
inclinación de la recta, se obtiene.
9
4
9
4
5
4
6
2
1
2
1
2
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
m
x
x
y
y
m
5
4
7
5
23
4182
.
0
9
4
tan
9
4
tan
1
′
′
′
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
−
o
θ
θ
θ
radianes
2. Obtener la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos
)
3
,
7
(
)
5
,
1
( −
− Q
y
P

14
1.9 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Si dos rectas forman un ángulo de )
180
ó
(0
radianes
ó
0 o
o
π , entonces se deduce que
éstas rectas no se intersectan entre si y por tanto se les llama rectas paralelas, luego
entonces tienen la misma inclinación y la misma pendiente, así pues, dos o más rectas
son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, pero si las rectas forman un
ángulo de )
90
(
radianes
2
o
π
, entonces se dice que las rectas son perpendiculares y sus
pendientes son recíprocas y de signo contrario, es decir el producto de las pendientes
de las dos rectas es igual a 1
− . ( 1
2
1 −
=
m
m ).
Ejemplos
1. Prueba que la recta que pasa por los puntos )
2
,
6
(
)
5
,
1
( −
−
− Q
y
P es paralela a la
recta que pasa por los puntos )
1
,
5
(
S
)
4
,
2
( −
−
− y
R .
Solución
Graficando los puntos y las respectivas rectas en el plano cartesiano, se tiene.
Figura 19
Aplicando la fórmula (1.19) para calcular las pendientes y poder analizar las condiciones
de paralelismo.
7
3
2
5
4
1
7
3
1
6
5
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
=
+
+
−
=
−
−
=
=
=
+
+
−
=
−
−
=
=
x
x
y
y
m
m
x
x
y
y
m
m
RS
PQ
Como las pendientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas.
2. Prueba que la recta que pasa por los puntos )
3
,
5
(
)
3
,
4
( Q
y
P −
− es perpendicular
a la recta que pasa por los puntos )
2
,
4
(
S
)
7
,
2
( −
− y
R .
3. Determinar que la figura formada por los vértices 0)
R(1,
y
)
4
,
4
(
,
)
3
,
5
( Q
P −
corresponden a un triángulo rectángulo.

15
1.10 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Dos rectas ( )
2
1 l
y
l que se cortan forman ángulos suplementarios ( )
2
1 θ
θ y ; cada uno de
ellos puede ser considerado como el ángulo formado por dichas rectas y se miden en
dirección contraria a las manecillas de un reloj (dirección positiva). La recta a partir de la
cual se mide el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ángulo se
llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y
pendiente final.
Sean las rectas 2
1 l
y
l de inclinación 1
α y 2
α ; cuyas pendientes son 1
m y 2
m ,
respectivamente.
Figura 20
Por Geometría elemental se tiene: un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de
los ángulos interiores no adyacentes a éste. Por tanto, en el triángulo ABC se obtiene el
ángulo 1
θ
=
ACB , luego:
1
1
2 θ
α
α +
= despejando 1
θ , queda
1
2
1 α
α
θ −
=
Aplicando la tangente a los dos miembros de la ecuación, se tiene.
( )
2
1
1 tan
tan α
α
θ −
= aplicando la identidad ( )
1
2
1
2
2
1
tan
tan
1
tan
tan
tan
α
α
α
α
α
α
+
−
=
− , se tiene:
1
2
1
2
1
tan
tan
1
tan
tan
tan
α
α
α
α
θ
+
−
= , pero se sabe que: 2
2
tan m
=
α y 1
1
tan m
=
α , luego:
1
2
1
2
1
1
tan
m
m
m
m
+
−
=
θ . (1.20)
Esta misma fórmula es aplicable para calcular el ángulo 2
α .

16
Ejemplos
1. Calcular la medida del ángulo interior del triángulo en el vértice P , sabiendo que los
vértices del triángulo son: ( ) ( ) ( )
0
,
1
4
,
4
;
3
,
5 R
y
Q
P −
Solución
Graficando los puntos, se tiene:
Figura 21
Calculando las pendientes de los lados del triangulo, se obtiene:
4
3
5
1
3
0
1 −
=
−
+
=
= m
mPR ;
3
4
1
4
0
4
2 =
−
−
=
= m
mRQ y 7
1
7
5
4
3
4
3 −
=
−
=
−
+
=
= m
mPQ
Aplicando la fórmula
1
2
1
2
1
1
tan
m
m
m
m
+
−
=
θ , se tiene:
( )
)
1
(
tan
1
tan
1
4
25
4
25
4
21
1
4
25
7
4
3
1
7
4
3
1
tan
1
3
1
3
1
−
=
=
=
=
+
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
−
=
+
−
=
θ
θ
θ
m
m
m
m
o
45
7858
.
0 =
= rad
θ
2. Determinar el valor de las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son:
( ) ( ) ( )
1
,
2
3
,
8
;
6
,
2 −
−
C
y
B
A
3. Determinar la pendiente de la recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos
( ) ( )
2
,
3
4
,
5 −
−
− B
y
A
4. Calcular la medida de los ángulos interiores del triángulo, cuyos vértices son los
puntos: ( )
1
,
2
−
P ; ( )
4
,
3
Q y ( )
2
,
5 −
R .
5. Comprobar que los puntos ( )
1
,
1
P , ( )
3
,
5
Q , ( )
0
,
8
R y ( )
2
,
4 −
S son vértices de un
paralelogramo y calcular la medida del ángulo obtuso.

17
Problemas propuestos
1. Localiza los siguientes puntos.
( ) ( ) ( )
2
,
3
3
7
,
2
9
;
2
,
3
1
;
4
,
5
;
2
,
3 −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
− E
y
D
C
B
A
2. ¿Cuál es valor de la ordenada en cualquier punto del eje de X ?
3. ¿Cuál coordenada es nula en un punto cualquiera del eje Y ?
4. Que determina el conjunto de puntos cuya abscisa es en todos ellos igual a 5
− .
5. Probar gráficamente que los puntos ( ) ( ) ( )
1
,
6
3
,
1
;
7
,
4 −
−
− C
y
B
A están en línea recta.
6. Probar gráficamente que el punto ( )
3
,
2 −
−
O es el centro de la circunferencia que pasa
por los puntos ( ) ( ) ( )
7
,
6
1
,
2
;
1
,
6 −
−
− R
y
Q
P .
7. Un cuadrado mide 6 unidades. Cuáles son las coordenadas de sus vértices: si un
vértice es el origen y dos de sus lados coinciden con '
' OY
y
OX .
8. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son respectivamente los puntos
( ) ( )
3
,
7
3
,
1 B
y
P − ). ¿Cuáles son las coordenadas del tercer vértice? (dos soluciones).
9. Los puntos ( ) ( ) ( )
4
,
2
0
,
4
;
0
,
0 −
− C
y
B
A son vértices de un paralelogramo. Determinar
cuáles son las coordenadas del cuarto vértice. (tres soluciones).
10.Obtener las coordenadas del punto de división del segmento AB en cada uno de los
siguientes incisos.
a. ( ) ( )
2
1
2
,
3
4
,
6 =
−
− r
Q
y
P
b. ( ) ( )
5
4
7
,
6
2
,
3 =
−
− r
Q
y
P
c. ( ) ( )
2
3
5
,
4
4
,
2 −
=
r
Q
y
P
11.Determinar las coordenadas del punto del segmento que une ( ) ( )
4
,
9
12
,
6 −
−
− Q
y
P y
que se encuentra a cuádruple distancia de P que de Q .
12.Determinar la longitud de los segmentos que unen cada par de puntos.
a. ( ) ( )
4
,
5
2
,
3 −
−
−
− B
y
A
b. ( ) ( )
6
,
5
4
2
,
5 B
y
A −

18
c. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
5
,
4
1
3
2
,
2
1
B
y
A
13. Calcular el valor del perímetro de los siguientes triángulos, cuyos vértices son:
a. ( ) ( ) ( )
3
,
4
3
,
2
;
5
,
1 −
− C
y
B
A
b. ( ) ( ) ( )
7
,
9
1
,
1
;
2
,
3 C
y
B
A −
−
c. ( ) ( ) ( )
2
,
3
1
,
5
;
2
,
9 −
−
− C
y
B
A
14. Probar que los siguientes vértices determinan triángulos isósceles.
a. ( ) ( ) ( )
5
,
3
2
,
4
;
2
,
1 −
−
− C
y
B
A
b. ( ) ( ) ( )
7
,
5
1
,
3
;
8
,
4 −
− C
y
B
A
c. ( ) ( ) ( )
2
,
5
4
,
6
;
6
,
1 C
y
B
A −
−
−
15. Probar que el triángulo formado por los 3 puntos dados en cada caso, es un triángulo
rectángulo.
a. ( ) ( ) ( )
4
,
9
2
,
2
;
2
,
1 C
y
B
A −
−
b. ( ) ( ) ( )
3
,
3
6
,
8
;
1
,
1 −
− C
y
B
A
c. ( ) ( ) ( )
1
,
1
3
,
3
;
8
,
6 −
− C
y
B
A
16. Probar que el cuadrilátero cuyos vértices son: ( ) ( ) ( ) ( )
2
,
2
5
,
0
;
6
,
3
;
3
,
1 −
D
y
C
B
A
determinan un paralelogramo.
17. Verificar que la circunferencia cuyo centro es ( )
1
,
2 −
O pasa por los puntos
( ) ( ) ( )
5
,
5
4
,
2
;
2
,
6 −
−
− R
y
Q
P .
18. Calcular las coordenadas del punto equidistante de los puntos
( ) ( ) ( )
1
,
1
7
,
7
;
6
,
0 R
y
Q
P −
−
19. Calcular las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son:
( ) ( ) ( )
3
,
6
7
,
6
;
5
,
2 −
− R
y
Q
P .
20. Dado que los siguientes vértices ( ) ( ) ( ) ( )
7
,
8
10
,
1
;
1
,
2
;
4
,
5 S
y
R
Q
P −
−
− determinan un
paralelogramo. Probar que sus diagonales se cortan mutuamente por mitad.
21. Determinar el área de los siguientes polígonos formados por sus respectivos vértices.
a. ( ) ( ) ( )
8
,
4
3
,
2
;
2
,
5 −
−
− R
y
Q
P
b. ( ) ( ) ( ) ( )
3
,
5
0
,
2
;
7
,
4
;
2
,
9 −
− S
y
R
Q
P
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
,
9
T
y
5
,
0
S
;
0
,
4
R
;
7
,
2
Q
;
7
,
6
P −
−
−
−

19
22. El área del triángulo cuyos vértices son: ( ) ( ) ( )
2
,
4
,
2
;
6
, R
y
a
Q
a
P es 2
28u . Determinar
el valor de a . (dos soluciones).
23. Determinar la inclinación de cada recta según la pendiente dada.
a. 1
=
m
b. 1
−
=
m
c. 8
.
1
=
m
d.
3
3
=
m
e.
3
3
−
=
m
24. Calcular las pendientes de los lados del triángulo cuyos vértices son:
( ) ( ) ( )
10
,
7
7
,
2
;
4
,
4 −
−
− C
y
B
A
25. Determinar las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son:
( ) ( ) ( )
1
,
2
3
,
8
;
6
,
2 −
−
C
y
B
A .
26. Probar que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )
5
,
4
2
,
1
;
1
,
10
;
8
,
7 −
−
− D
y
C
B
A son vértices consecutivos
de un paralelogramo.
27. Comprobar que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )
1
,
6
7
,
4
;
0
,
3
;
4
,
3 D
y
C
B
A −
−
− son vértices de un
trapezoide.
28. Comprobar que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )
2
,
4
0
,
8
;
3
,
5
;
1
,
1 −
S
y
R
Q
P son vértices de un
paralelogramo y calcular la medida del ángulo obtuso.

La línea recta
21
2.0 LA LÍNEA RECTA
Considerando que todos tienen una idea intuitiva de lo que es una línea recta y de acuerdo
a los Axiomas Euclides, se enuncian las siguientes propiedades.
™ Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta.
™ Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o bien son paralelas.
Desde el punto de vista analítico, una línea recta es una ecuación lineal o de primer grado
en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya
ecuación es de primer grado en dos variables es una línea recta.
Una línea recta, queda perfectamente determinada si se conocen dos condiciones, las
cuales son:
™ Conociendo dos de sus puntos: )
, y
(x
) y Q
, y
P(x 2
2
1
1 .
™ Conociendo un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular).
Figura 22
La pendiente o el coeficiente angular de una línea recta es la tangente del ángulo que la
recta forma con el sentido positivo del eje X . La magnitud de la pendiente m puede ser
positiva o bien negativa. Si el ángulo θ es agudo, entonces la pendiente será positiva,
pero si el ángulo θ es obtuso, entonces la pendiente será negativa.
2.1 ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE
Sea la recta AB de pendiente m que pasa por el punto fijo )
,
( 1
1
1 y
x
P y )
,
( y
x
P es otro
punto de coordenadas desconocidas que se localiza sobre la misma recta, entonces la
expresión
1
1
x
x
y
y
m
−
−
= es la pendiente de la recta que pasa por el punto )
,
( 1
1
1 y
x
P . Quitando
el denominador, se obtiene: )
( 1
1 x
x
m
y
y −
=
− . (2.1)

La línea recta
22
La expresión (2.1), es la ecuación de la recta solicitada, la cual debe satisfacer todos los
puntos )
,
( y
x
P que están sobre la recta; tal como se aprecia en la figura 23.
Figura 23
Ejemplos
1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto )
1
,
2
(
P y cuya pendiente es
2
3
=
m .
Solución
Graficando la recta que pasa por el punto )
1
,
2
(
P y cuya pendiente es:
2
3
=
m .
Procedimiento:
Se localiza el punto )
1
,
2
(
P en el plano. A partir de este punto, se avanza 2 unidades
hacia la derecha, después 3 unidades hacia arriba. En seguida, se procede a trazar la
recta que pasa por )
1
,
2
(
P , a la cual se le va calcular la ecuación.
Figura 24
Ahora, se procede a calcular la ecuación de la recta, utilizando la fórmula de punto-
pendiente: )
( 1
1 x
x
m
y
y −
=
−

La línea recta
23
Sustituyendo el punto )
1
,
2
(
P y el valor de la pendiente
2
3
=
m en la fórmula, queda:
)
2
(
2
3
1 −
=
− x
y realizando operaciones, se obtiene.
0
4
2
3
0
2
2
6
3
6
3
2
2
)
2
(
3
)
1
(
2
=
−
−
=
+
−
−
−
=
−
−
=
−
y
x
y
x
x
y
x
y
2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto )
2
,
4
( −
P y cuya pendiente es
5
3
−
=
m .
3. Obténgase la ecuación de la recta que pasa por el punto )
3
,
4
( −
−
P , sabiendo que
forma un ángulo de
4
3π
con la dirección positiva del eje de las X .
2.2 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Geométricamente, una recta queda perfectamente definida por dos puntos cualesquiera y
analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada
conociendo las coordenadas de dos puntos. Sea la recta AB que pasa por los puntos
)
,
( 1
1 y
x
P y )
,
( 2
2 y
x
Q , siendo )
,
( y
x
R otro punto de la recta, tiene por ecuación:
1
2
1
1
2
1
2
1 )
( x
x
x
x
x
x
y
y
y
y ≠
−
−
−
=
− (2.2)
Figura 25

La línea recta
24
Ejemplos:
1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos )
3
,
3
(−
P y )
1
,
2
(
Q .
(bosquejar la gráfica).
Solución
Aplicando la fórmula; )
( 1
1
2
1
2
1 x
x
x
x
y
y
y
y −
−
−
=
− ; se tiene:
)
3
(
3
2
3
1
3 +
+
−
=
− x
y
)
3
(
5
2
3 +
−
=
− x
y
0
9
5
2
0
6
2
15
5
6
2
15
5
)
3
(
2
)
3
(
5
=
−
+
=
+
+
−
−
−
=
−
+
−
=
−
y
x
x
y
x
y
x
y
Figura 26
2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos )
3
,
4
(
P y )
2
,
1
( −
Q . (bosquejar
la gráfica).
3. Obtener la ecuación de la recta perpendicular mediatriz del segmento que une los
puntos )
3
,
4
(−
P y )
7
,
6
(
Q . (bosquejar la gráfica).
2.3 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
Sea 0
≠
a y 0
≠
b los segmentos de una recta determinada sobre los ejes X y Y ; es decir,
sus intersecciones con los ejes coordenados, entonces )
0
,
(a
A y )
,
0
( b
B son dos puntos
de la recta. Por tanto, el problema de obtener la ecuación de una recta, cuando se
conocen los segmentos que intersectan los ejes coordenados se reduce a calcular la
ecuación de una recta que pasa por dos puntos, esto es:
( )
( )
( )
a
x
a
b
y
a
x
a
b
y
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
0
0
0
1
1
2
1
2
1
aplicando la fórmula (2.2) y simplificando, queda
ab
ay
bx
ab
bx
ay
=
+
+
−
=
ordenando términos, se tiene:

La línea recta
25
ab
ab
ab
ay
ab
bx
=
+ dividiendo por ab se obtiene la ecuación solicitada
1
=
+
b
y
a
x
(2.3)
Graficamente, se ilustra con la figura 27
Figura 27
Ejemplos:
1. Determinar la ecuación simétrica de la recta cuya intersección con el eje X es 2 y que
pasa por el punto )
3
,
0
( −
P . (Bosquejar la gráfica)
Solución
Dado que 2
=
a y 3
−
=
b ; entonces al sustituir en
la fórmula, se tiene:
1
=
+
b
y
a
x
1
3
2
=
−
+
y
x
ésta es la ecuación simétrica de la
recta
Figura 28
2. Expresar en forma simétrica la ecuación de la recta 18
3
6 =
− y
x (Bosquejar la gráfica).
3. Calcular los puntos de intersección de la recta 0
6
8
5 =
−
+ y
x con los ejes
coordenados.

La línea recta
26
2.4 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Por lo estudiado en los temas precedentes, se concluye que la ecuación de una recta es
una ecuación de primer grado con dos variables. Recíprocamente, toda ecuación de
primer grado con dos variables representa una recta.
La ecuación general de primer grado es de la forma:
0
=
+
+ c
by
ax (2.4)
donde a o b debe ser diferente de cero y c puede o no ser cero.
™ Si 0
=
b , entonces 0
≠
a y la ecuación general se reduce a la forma:
a
c
x −
= ; esta
ecuación es de la forma k
x = , es decir; es una recta paralela al eje Y .
™ Si 0
≠
a y 0
≠
b , pero 0
=
c , entonces la ecuación (2.4) se reduce a: x
b
a
y −
= , es
decir; son de la forma mx
y = , las cuales pasan por el origen.
™ Si 0
≠
b , entonces la ecuación (2.4) se reduce a
b
c
x
b
a
y −
−
= ; la cual es de la forma
b
mx
y +
= y por tanto, esta expresión es la ecuación de la recta, cuya pendiente es
b
a
m −
= y cuya ordenada al origen es
b
c
− .
Ejemplos
1. Expresar en la forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto )
2
,
3
(
A y
es paralela a la recta de la ecuación: 0
24
4
3 =
−
− y
x
Solución
Se debe despejar y de la ecuación dada para obtener en valor de m .
24
3
4 +
−
=
− x
y multiplicando por ( )
1
− y realizando las operaciones, queda:
6
4
3
4
24
4
3
24
3
4
−
=
−
=
−
=
x
y
x
y
x
y
Por tanto la pendiente es:
4
3
=
m
Luego se aplica la formula (2.1), para obtener la ecuación general de la recta, a partir de:
)
2
,
3
(
A y
4
3
=
m .

La línea recta
27
( )
( ) ( )
0
1
4
3
0
8
4
9
3
9
3
8
4
3
3
2
4
3
4
3
2
=
−
−
=
+
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
Por tanto, la ecuación solicitada es: 0
1
4
3 =
−
− y
x
Graficando las dos ecuaciones, se tiene:
Figurah29
2. Calcular los valores de los coeficientes de la ecuación general de una recta que pasa
por los puntos )
4
,
1
(−
P y )
2
,
3
( −
Q . (Bosquejar la gráfica).
3. Determinar la ecuación de la perpendicular mediatriz del segmento que une los puntos.
( ) ( )
3
,
8
1
,
2 −
B
y
A .
4. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )
5
,
4 −
−
P y es paralela a la
recta de ecuación 0
10
2
5 =
−
− y
x .
5. Si un lado de un paralelogramo está determinado por el segmento que une los puntos
( ) ( )
6
,
7
1
,
2 Q
y
P . Obténgase la ecuación del lado opuesto, si se sabe que pasa por el
punto )
6
,
4
(
R .

La línea recta
28
1. Conociendo un punto de la recta y la pendiente o bien el ángulo de inclinación que
forma con la dirección positiva del eje X , obtener la ecuación correspondiente en cada
uno de los incisos.
a. ( ) 2
;
4
,
3 =
m
A .
b. (
2
1
;
4
3
;
4
1
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
A
c. ( )
4
3
;
2
,
4
π
α =
−
−
A
d. ( )
3
;
0
,
2
π
α =
−
A
2. Obtener la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos.
a. ( ) ( )
2
,
3
2
,
1 −
− B
y
A
b. ( ) ( )
4
.
3
,
8
.
6
6
.
4
,
2
.
3 −
−
− B
y
A
c. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
3
1
2
1
3
2
,
B
y
,
A
3. Determinar la ecuación de la perpendicular mediatriz del segmento que une cada par
de puntos.
a. ( ) ( )
3
,
8
1
,
2 −
B
y
A
b. ( ) ( )
2
,
7
4
,
1 B
y
A −
−
c. ( ) ( )
3
,
4
1
,
8 −
−
−
− B
y
A
4. Desde el punto ( )
6
,
5 −
P se traza una perpendicular a la recta que pasa por los puntos
( ) ( )
3
,
6
1
,
4 B
y
A −
− . Obténgase la ecuación de ésta perpendicular.
5. Los vértices de un triángulo son: ( ) ( ) ( )
6
,
2
2
,
3
;
4
,
5 −
− R
y
Q
P
. Obténgase las
ecuaciones de las medianas y las ecuaciones de las alturas del triángulo.

La línea recta
Elaboró: afmorales 29
2.5 FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
Considerando el segmento OP de longitud l y uno de sus extremos siempre en el origen,
como se lustra en la figura 29.
Figura 30
La posición exacta de este segmento de recta en el plano coordenado está determinado por
el ángulo w, que es ángulo positivo engendrado por el radio vector OP al girar alrededor del
origen. La longitud ρ se considera siempre positiva y la variación de los valores del ángulo
w está comprendido entre )
360
0
(
2
0 o
o
w
w ≤
≤
≤
≤ π . Luego, para el par de valores ρ y w la
recta l trazada por ( )
y
x
P , es perpendicular a OP . La ecuación de la recta l se obtiene
mediante la fórmula de punto pendiente trabajada en el epígrafe (2.1). Para cualquier
posición de la recta l , se tiene: senw
y
w
x ρ
ρ =
= ;
cos . Por tanto, las coordenadas del punto
son: ( )
senw
w
P ρ
ρ ,
cos .
Para las posiciones de la recta l , el ángulo de inclinación del segmento OP es w; su
pendiente es la w
tan y el ángulo varía entre )
180
0
(
0 o
o
w
w ≤
≤
≤
≤ π . Cuando el ángulo varía
entre )
360
180
(
2 o
o
w
w ≤
≤
≤
≤ π
π su pendiente será ( ) ϑ
θ
π tan
tan
tan =
+
=
w . Por tanto,
cualquier posición de la recta OP tiene como pendiente w
tan . Dado que la recta l es
perpendicular a OP entonces su pendiente es w
w
cot
tan
1
−
=
− .
Sustituyendo las nuevas coordenadas en la fórmula )
( 1
1 x
x
m
y
y −
=
− , se tiene:
( )
w
x
senw
w
senw
y cos
cos
ρ
ρ −
−
=
− realizando operaciones, se obtiene:
( ) 0
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
=
+
−
+
+
−
=
−
w
w
sen
ysenw
w
x
w
w
x
w
sen
ysenw
ρ
ρ
ρ
ρ
0
cos =
−
+ ρ
ysenw
w
x (2.5)
De la figura se tiene:
w
p
x
implica
p
x
w
psenw
y
implica
p
y
w
sen
cos
;
cos
;
=
=
=
=

La línea recta
Ejemplos
1. Determinar la ecuación de la recta que dista 4 unidades del origen, si la recta normal
tiene un ángulo de inclinación de
6
5π
.
Solución
Como 4
150
6
5
=
=
= ρ
π
y
w o
y utilizando la fórmula 0
cos =
−
+ ρ
ysenw
w
x , se tiene:
0
4
6
5
6
5
cos =
−
+
π
π
ysen
x , pero
2
1
6
5
2
3
6
5
cos =
−
=
π
π
sen
y , luego se obtiene:
0
4
2
1
2
3
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− y
x , simplificando se tiene:
0
4
2
1
2
3
=
−
+
− y
x ecuación de la recta en su forma normal
0
8
3 =
+
− y
x ecuación de la recta en su forma general
Figura 31
2. En un círculo de de centro en el origen y radio igual 5. Determina la ecuación de su
tangente en el punto ( )
4
,
3
−
P .
Solución
0
5
5
4
5
3
=
+
− y
x ecuación de la tangente en su forma normal
0
3
4 =
+ y
x ecuación de la recta del segmento OP .

La línea recta
2.6 REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A LA
FORMA NORMAL
Sabiendo que la forma general de la ecuación de una recta es: 0
=
+
+ C
By
Ax y la forma
normal de la ecuación de una recta es: 0
cos =
−
+ p
yenw
w
x . Si ambas ecuaciones
representan la misma recta, entonces sus coeficientes deben ser proporcionales, por tanto.
C
p
B
senw
A
w −
=
=
cos
Representando el valor común de estas razones por K entonces:
KA
w =
cos (2.6)
KB
senw = (2.7)
KC
p −
= (2.8)
Elevando al cuadrado las dos primeras ecuaciones y sumando se obtiene
2
2
2
cos A
K
w =
2
2
2
B
K
w
sen =
( )
( ) 1
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
+
B
A
K
B
A
K
w
sen
w
0
;
1
1
2
2
2
2
2
2
2
≠
+
+
±
=
+
=
B
A
B
A
K
B
A
K
Sustituyendo el valor de K en las ecuaciones (2.6), (2.7) y (2.8), se obtiene
2
2
2
2
2
2
;
cos
B
A
c
p
B
A
B
senw
B
A
A
w
+
±
−
=
+
±
=
+
±
= y
Por tanto, la recta definida por la forma general tiene por ecuación en la forma normal.
2
2
2
2
2
2
B
A
c
y
B
A
B
x
B
A
A
+
±
+
+
±
+
+
±
(2.9)
Donde el signo del radical debe sujetarse a las siguientes condiciones:
I. Si 0
≠
C , el signo del radical es opuesto a C .
II. Si 0
=
C y 0
≠
B , el radical y B tienen el mismo signo.
III. Si 0
=
= B
C , el radical y A tienen el mismo signo.

La línea recta
Ejemplos
1. Expresar en la forma normal la ecuación 0
12
4
3 =
−
+ y
x y determinar los valores de:
ρ
y
w .
Solución
Como 0
≠
C se tiene: 5
25
16
9 =
=
+ . Luego, se divide la ecuación por 5 y se procede
a expresar la ecuación en la forma normal.
0
5
12
5
4
5
3
=
−
+ y
x de donde se obtiene:
5
3
cos =
w y
5
4
=
senw .
Luego:
5
12
5
12
y
9273
.
0
9273
.
0
1301
.
53
1301
.
53
)
8000
.
0
(
)
6000
.
0
(
cos 1
1
=
=
=
=
=
=
=
= −
−
ρ
ρ y
radianes
w
radianes
w
w
w
sen
w
w
o
o
Figura 32
2. Expresar la ecuación: 0
15
3
4 =
−
− y
x en su forma normal.
3. Expresar la ecuación: 0
6
4
3 =
−
− y
x en su forma normal
2.7 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dado un punto de coordenadas conocidas, se puede determinar la distancia a una recta de
ecuación dada, utilizando la forma normal de la ecuación de la recta. Sean ( )
1
1, y
x
P un punto
fijo y la recta L cuya ecuación es: 0
=
+
+ C
By
Ax .
Figura 33

La línea recta
Sea PQ la distancia a la recta L , entonces se tiene:
α
α
sec
cos
PR
PR
PQ =
= y
α
2
tan
1+
=
PR
PQ .
Utilizando la identidad: α
tan
=
−
=
B
A
m se tiene:
2
2
1
B
A
PR
PQ
+
= . Luego 2
2
.
B
A
B
PR
PQ
+
=
De la ecuación de la recta se tiene: 0
,
1 ≠
−
−
= B
con
B
C
x
B
A
y
Las coordenadas del punto R son: ( )
y
x
R ,
1 y como pertenece a la recta L , se tiene:
B
C
x
B
A
y
RC −
−
=
= 1 .
Luego
B
C
x
B
A
y
RC
PC
PR +
+
=
=
−
= 1
1 .
Sustituyendo el valor de PR se obtiene: 2
2
1
1
2
2
1
1
B
A
C
By
Ax
B
A
B
B
C
x
B
A
y
PQ
+
+
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
= .
Por tanto la distancia PQ de la recta dada 0
=
+
+ C
By
Ax al punto ( )
1
1, y
x
P se obtiene
mediante la fórmula: 2
2
1
1
B
A
C
By
Ax
PQ
d
+
±
+
+
=
= .
El signo del radical se elige de acuerdo a lo explicado en el epígrafe 2.6.
¾ Si la recta no pasa por el origen, la distancia es positiva si el punto P y el origen están
en lados opuestos; y será negativa si setán del mismo lado de la recta.
¾ Si la recta pasa por el origen, la distancia es positiva si el punton P está arriba de la
recta; y será negativa abajo de la recta.
¾ En el caso de no ser una distancia dirigida, se considerará con signo positivo, esto es:
2
2
1
1
B
A
C
By
Ax
d
+
+
+
=
Ejemplos
1. Calcular la distancia del punto ( )
2
,
5
P a la recta 0
6
3
2 =
−
+ y
x .
Solución
Sustituyendo el pundo ( )
2
,
5
P y los coeficientes de la ecuación en la fórmula, se tiene:
13
10
13
6
6
10
9
4
6
)
2
(
3
)
5
(
2
2
2
1
1
=
−
+
=
+
−
+
=
+
±
+
+
=
B
A
C
By
Ax
d

La línea recta
El signo positivo de la distancia indica que el punto y el origen están en lados opuestos de la
recta, tal como se ilustra en la figura 34.
Figura 34
2. Calcular la distancia del punto ( )
6
,
7 −
P a la recta 0
12
4
3 =
−
+ y
x .
3. Los vértices de un triángulo son: ( ) ( ) ( )
1
,
3
0
,
4
;
3
,
2 −
− C
y
B
A , determinar la longitud de
la altura del vértice A sobre el lado BC .

La línea recta
Problemas propuestas
1. Obtener la ecuación de la recta en su forma normal (bosquejar su gráfica).
a. 3
;
6
=
= ρ
π
w
b. 9
;
2
3
=
= ρ
π
w
c. 2
;
4
5
=
= ρ
π
w
d. 5
;
6
11
=
= ρ
π
w
e. )
cuadrante
2
(
5
;
5
3
cos do
=
−
= ρ
w
2. Expresar en la forma normal la ecuación de la recta (bosquejar sus gráfica).
a. 60
12
5 =
+ y
x .
b. 0
6
2
3 =
+
− y
x
c. 1
3
4
=
+
y
x
d. ( )
2
4
3
−
= x
y
e.
7
5
24 −
=
y
x
3. Obtener la ecuación de la recta en su forma normal, a partir de la siguiente información.
a. ( )
2
1
y
5
,
3 =
−
− m
P
b. ( ) ( )
1
,
4
y
5
,
1 Q
P
4. Calcular la distancia entre la recta y el punto dado.
a. ( )
2
,
9
;
0
30
12
5 P
y
x =
−
+
b. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
+
2
1
,
3
;
0
12
4
3 P
y
x
5. Determinar las longitudes de las alturas del triángulo de vértices:
( ) ( ) ( )
1
,
2
5
,
1
;
2
,
4 −
−
− C
y
B
A .

La circunferencia
37
3.0 LA CIRCUNFERENCIA
En la prehistoria, con la invención de la rueda se dio inicio el desarrollo de la tecnología
que se tiene actualmente, por ello, la Circunferencia es un elemento geométrico de gran
importancia. La circunferencia, está presente en la vida cotidiana de la sociedad, gracias a
esto se pueden desarrollar técnicas de gran precisión con productos como: Cds, relojes,
etc. También proporciona seguridad a la hora de comprar objetos como: una bicicleta, ya
que se sabe que en ella han trabajado ingenieros que conocen muy bien la Circunferencia,
lo cual garantiza la calidad del producto.
Además, es común ver en los libros de Geometría que se define al círculo como el
conjunto de puntos en un mismo plano, de los cuales uno de ellos se le llama centro y los
otros tienen la propiedad de equidistar de éste. Siguiendo con esta idea, se aprecia que se
habla del interior y exterior de un círculo; y que el nombre de circunferencia es utilizado
para designar la longitud de un círculo; por tanto la circunferencia se define como: “el
lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que se
conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto
fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio”.
Circunferencia
Figura 35
3.1 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Sea )
,
( y
x
P un punto cualquiera de la circunferencia de centro )
,
( k
h
C y radio r , entonces
por la definición de la circunferencia, el punto )
,
( y
x
P debe satisfacer la condición
geométrica: CP
r =
Aplicando la fórmula de distancia entre dos
puntos y de acuerdo a la figura 25 se tiene.
)
(
)
( 2
2
r
k
y
h
x
CP =
−
+
−
=
Elevando al cuadrado, queda.
2
2
2
)
(
)
( r
k
y
h
x =
−
+
− (3.1)
Figura 36 La ecuación (3.1) se llama ecuación
ordinaria de la circunferencia.

La circunferencia
38
Notas
™ Cuando el centro coincide con el origen, entonces la ecuación se reduce a:
2
2
2
r
y
x =
+
™ Si 0
=
r , entonces la ecuación se reduce a: 0
2
2
=
+ y
x y representa un punto.
Ejemplos:
1. Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5
unidades.
Solución
Como 5
=
r y )
0
,
0
(
C , entonces se tiene:
25
2
2
=
+ y
x
Figura 37
2. Dado el punto )
4
,
2
( −
−
C y radio 3
=
r . Obtener la ecuación de la circunferencia.
3. Obténgase la ecuación de la circunferencia con centro en )
4
,
2
( −
C y radio 3
=
r .
4. Dada la ecuación 0
3
4
6
2
2
=
−
+
+
+ y
x
y
x . Determinar el radio r , centro C y la gráfica
de la circunferencia.
5. Si la ecuación 0
6
5
12
3
3 2
2
=
+
−
+
−
− y
x
y
x representa una circunferencia, entonces
obténgase el centro C , radio r y respectiva gráfica.
3.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia y ordenando términos, se obtiene:
2
2
2
)
(
)
( r
k
y
h
x =
−
+
−
2
2
2
2
2
2
2 r
k
yk
y
h
xh
x =
+
−
+
+
−
0
2
2 2
2
2
2
2
=
−
+
+
−
−
+ r
k
h
ky
hx
y
x
Este resultado se puede escribir en la siguiente forma:
0
2
2
=
+
+
+
+ F
Ey
Dx
y
x (3.2)
donde: h
D 2
−
= , k
E 2
−
= y 2
2
2
r
k
h
F −
+
=

La circunferencia
39
Por tanto, la ecuación (3.2) se le llama ecuación general de la circunferencia. Ahora se
procede a verificar que toda ecuación general representa una circunferencia. Esto se
comprueba pasando de la ecuación general a la forma ordinaria de la ecuación.
F
Ey
y
Dx
x
F
Ey
Dx
y
x
−
=
−
+
+
+
=
+
+
+
+
2
2
2
2
0
(3.3)
Completando cuadrados en la ecuación general, se obtiene:
F
E
D
E
Ey
y
D
Dx
x −
+
=
+
+
+
+
+
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
F
E
D
E
y
D
x
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ (3.4)
La ecuación (3.4) está en la forma ordinaria, donde las coordenadas del centro y el radio
son: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
2
,
2
E
D
C y F
E
D
F
E
D
r 4
2
1
4
4 2
2
2
2
−
+
=
−
+
= (3.5)
Comparando las ecuaciones (3.1) y (3.4), se aprecia que el valor de la expresión
F
E
D 4
2
2
−
+ es determinante para la ecuación de la circunferencia, la cual tiene tres
posibilidades.
™ Si 0
4
2
2
>
−
+ F
E
D , la ecuación (3.4) representa una circunferencia real de centro
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
2
,
2
E
D
C y radio F
E
D
r 4
2
1 2
2
−
+
= .
™ Si 0
4
2
2
=
−
+ F
E
D , la ecuación (3.4) representa un solo punto, es decir, una
circunferencia de radio cero ( 0
=
r ) con centro en el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
2
,
2
E
D
C .
™ Si 0
4
2
2
<
−
+ F
E
D , la ecuación (3.4) reprenda una circunferencia imaginaria, es
decir no existe lugar geométrico en el campo de los números reales.

La circunferencia
40
Ejemplos:
15
6
10
2
2 2
2
=
−
+
−
+ y
x
y
x reducirla a la forma ordinaria y
representarla gráficamente.
Solución.
Dividiendo por 2, y organizando la ecuación, se tiene:
2
15
3
5 2
2
=
+
+
− y
y
x
x
4
9
4
25
2
15
4
9
3
4
25
5 2
2
+
+
=
+
+
+
+
− y
y
x
x
16
2
3
2
5
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
− y
x
Por tanto el centro y el radio son: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
3
,
2
5
C y 4
=
r
Figura 38
97
108
48
36
36 2
2
=
+
−
+
+ y
x
y
x reducirla a la forma ordinaria y
representarla gráficamente.
3. Obtener la ecuación, centro y calcular el perímetro de la circunferencia que pasa por
los puntos )
3
,
2
(−
P , )
4
,
1
(
Q y cuyo centro esta sobre la recta: 5
4
3 =
+ y
x
3.3 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS
Es sabido que por un punto pueden pasar una infinidad de rectas, en cambio por dos
puntos sólo puede pasar una sola recta. En el caso de la circunferencia por uno y dos
puntos pueden pasar una infinidad de circunferencias, pero por tres puntos no alineados
sólo puede pasar una sola circunferencia. Además, estos tres puntos determinan un
triángulo, cuyas mediatrices se intersectan en un punto denominado circuncentro. Por
tanto con las ecuaciones de dos mediatrices es suficiente para obtener el punto de
intersección.
Ejemplos
1. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos. )
2
,
1
( −
P ,
)
4
,
3
( −
Q y )
0
,
5
(
R .

La circunferencia
41
Solución
El punto medio y la pendiente del segmento PQ , son: punto medio ( )
3
,
2 −
A ; pendiente
1
1 −
=
m . Ahora, el punto medio y la pendiente del segmento QR , son: punto medio
( )
2
,
4 −
B ; pendiente 2
3 =
m . Graficando los puntos dados; los puntos medios de las dos
rectas mediatrices y haciendo centro en el punto de intersección, se obtiene la figura 37.
Figura 39
Como la pendiente del segmento PQ es 1
1 −
=
m ; entonces la pendiente de la
perpendicular mediatriz es: 1
2 =
m . Aplicando la fórmula de punto pendiente, se obtiene la
ecuación: 5
=
− y
x y se le llama ecuación c. Utilizando el mismo criterio con el segmento
QR ; se tiene: la pendiente de la mediatriz es
2
1
4 −
=
m . Luego, al aplicar la fórmula de
punto pendiente, se llega a la ecuación 0
2 =
+ y
x y se le llama ecuación d. Resolviendo el
sistema de ecuaciones de c y d , se obtiene el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
5
,
3
10
C que es el centro de la
circunferencia.
Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene la longitud del radio:
( )
9
50
9
25
9
25
3
5
3
10
5
2
2
2
2
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
= r
CP .
Por tanto, la ecuación de la circunferencia es:
9
50
3
5
3
10
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− y
x o bien
0
25
10
20
3
3 2
2
=
+
+
−
+ y
x
y
x
2. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: )
1
,
2
(
P , )
3
,
4
(−
Q y
)
5
,
6
(−
R .

La circunferencia
42
3.4 TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA
La obtención de la ecuación de la recta tangente a la circunferencia se simplifica
considerablemente aplicando la propiedad que dice: “la tangente a una circunferencia
es perpendicular al radio trazado al punto de contacto”.
Para resolver este tipo de problemas existe otro procedimiento, que es aplicable a todas
las cónicas, el cual consiste en combinar la ecuación de la recta b
mx
y +
= con la
ecuación de la cónica y obligar a que la expresión 0
4
2
=
− ac
b . Las coordenadas del punto
de contacto T deben satisfacer la ecuación b
mx
y +
= lo cual proporciona otra ecuación
que combinada con la ecuación 0
4
2
=
− ac
b , permite calcular la pendiente, la ordenada al
origen de la ecuación de la recta tangente y en consecuencia su ecuación. En este caso
se tienen, tres posibilidades.
™ Ecuación de la tangente a la circunferencia, dada la ecuación y el punto de
contacto.
™ Ecuación de la tangente a la circunferencia, dada la ecuación y la pendiente de la
recta tangente.
™ Ecuación de la tangente a una circunferencia, dada la ecuación y un punto exterior.
Ejemplo
1. Sea la ecuación de la circunferencia 0
45
4
8
2
2
=
−
−
−
+ y
x
y
x y )
6
,
3
(−
T el punto de
tangencia, determinar la ecuación de recta tangente.
Solución
Siendo la recta tangente perpendicular al radio que va del punto de contacto al centro de
la circunferencia, entonces se necesita calcular primero las coordenadas del centro,
después la pendiente m del radio CT
r = , luego se aplica la condición de
perpendicularidad que dice: “si dos rectas son perpendiculares entonces sus pendientes
son recíprocas y de signo contrario”.
Reduciendo la ecuación de la circunferencia a la forma ordinaria, se tiene:
65
)
2
(
)
4
( 2
2
=
−
+
− y
x
de donde: )
2
,
4
(
C
por tanto, la pendiente del radio es:
7
4
7
4
4
3
2
6
1
2
1
2
1 −
=
−
=
−
−
−
=
−
−
=
x
x
y
y
m
Luego, la pendiente de la recta tangente es:
4
7
2 =
m .

La circunferencia
43
Ahora, se procede a determinar la ecuación de la recta tangente con la fórmula (2.1) de de
la unidad anterior.
)
3
(
4
7
6 +
=
− x
y realizando operaciones y simplificando, queda:
0
45
4
7 =
+
− y
x
Figura 40
2. Determinar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia
0
15
6
8
2
2
=
+
+
−
+ y
x
y
x , cuya pendiente es 3. Representar geométricamente las
respectivas ecuaciones.
3. Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto ( )
5
,
8 −
T a la
circunferencia 0
15
6
8
2
2
=
+
+
−
+ y
x
y
x .

La circunferencia
44
1. Determinar la ecuación general de la circunferencia de cada uno de los siguientes
incisos y representarlas gráficamente.
a. ( ) 3
4
,
2 =
r
y
C
b. ( ) 2
5
5
,
5 =
r
y
C
c. ( ) 53
7
,
2 =
− r
y
C
d.
2
3
2
5
,
2
7
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− r
y
C
e. ( ) 5
3
,
2 =
r
y
C
2. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro ( )
5
,
4
C ; cuyo radio es igual a 3
unidades de longitud y representarla geométricamente.
3. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
3
-
,
3
2
C ; cuyo radio es igual a
5 unidades y representarla geométricamente.
4. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos ( ) ( )
5
,
4
3
,
2 −
Q
y
P .
Determinar la ecuación de la circunferencia y representarla geométricamente.
5. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto ( )
5
,
7 −
P ; cuyo centro
es el punto de intersección de las rectas 0
2
5
2
0
10
9
7 =
+
−
=
−
− y
x
y
y
x y
representarla geométricamente.
6. Determinar el perímetro de la circunferencia que tiene por ecuación
,
0
62
20
30
25
25 2
2
=
−
−
+
+ y
x
y
x y representarla geométricamente.
7. Obtener el área del círculo determinada por la ecuación ,
0
103
12
72
9
9 2
2
=
+
−
+
+ y
x
y
x y
8. Verificar que las ecuaciones: 0
13
12
16
4
4 2
2
=
+
+
−
+ y
x
y
x ;
0
55
36
48
12
12 2
2
=
+
+
−
+ y
x
y
x , representan circunferencias concéntricas y bosquejar su
gráfica.
9. Determinar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos
( ) ( ) ( )
6
,
4
4
,
1
;
2
,
2 Q
y
Q
P −
− y representarla geométricamente.
10.Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 0
20
6
8
2
2
=
+
−
−
+ y
x
y
x
en el punto ( )
5
,
3
T . Representar geométricamente las respectivas ecuaciones.

La circunferencia
45
11.Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia
0
25
6
12
2
2
=
+
−
−
+ y
x
y
x cuya la pendiente sea igual a 2. Representar
geométricamente las respectivas ecuaciones.
12.Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto ( )
7
,
2
−
P a la
circunferencia 0
12
8
2
2
2
=
+
−
+
+ y
x
y
x . Representar geométricamente las respectivas
ecuaciones.

La parábola
47
4.0 LA PARÁBOLA
La parábola aparece en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se aprecia claramente
cuando se lanza un balón bombeado o se golpea una pelota de tenis. La curva que
describe la pelota en su movimiento, es una trayectoria parabólica. Al dibujar este
desplazamiento, se puede considerar la representación gráfica de una función que asigna
a cada desplazamiento horizontal "
"x y altura "
" y alcanzada por la pelota. Una vez
situada la parábola en un sistema de coordenadas cartesianas, se distinguen dos hechos.
Primero: se tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota
alcanza la altura máxima; este punto es el vértice de la parábola. Segundo: cuando las
alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes
de la abcisa del vértice. La parábola es una de las curvas con mayor utilidad en la
tecnología actual. Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar la señal
de televisión emitida vía satélite. Con ella se pueden ver emisoras de televisión de todas
partes del mundo. De igual forma, la parábola también se emplea para fabricar faros de
automóviles. La ecuación de la parábola se deduce a partir de su definición como el lugar
geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especifica.
Definición:
Figura 41
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz. Designando por F al foco y con l , la
directriz de la parábola. La recta α coincide con el eje X y pasa por F , además, es
perpendicular a l y se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la
directriz de la parábola. El punto V es el punto medio del segmento AF y se llama vértice
de la parábola. El segmento 2
1B
B que une dos puntos diferentes de la parábola se llama
cuerda, en particular una cuerda ( 2
1C
C ) que pasa por el foco F se llama cuerda focal. La
cuerda focal 2
1L
L perpendicular al eje se llama lado recto ( LR ). Si P es un punto
cualquiera de la parábola, entonces la recta FP que une el foco F con el punto P se
llama radio focal ó radio vector.
La parábola, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta.

La parábola
48
4.1 ECUACION DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE, UN EJE
COORDENADO
Considerando la parábola de vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje X ,
entonces el foco F está sobre el eje X . Sean )
0
,
(p
F sus respectivas coordenadas, por
definición de la parábola se tiene: la ecuación de la recta directriz l es p
x −
= . Sea
)
,
( y
x
P un punto cualquiera de la parábola y por el punto P , se traza el segmento PA
perpendicular a l .
Por definición de la parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica.
PA
FP = . (4.1)
dado que: PA
FP = , entonces al utilizar la definición de
distancia entre dos puntos se obtiene:
2
2
2
)
(
)
( p
x
y
p
x +
=
+
− elevando al cuadrado
2
2
2
)
(
)
( p
x
y
p
x +
=
+
− desarrollando binomios, se tiene:
2
2
2
2
2
2
2 p
px
x
y
p
px
x +
+
=
+
+
− simplificando, queda
px
y 4
2
= (4.2)
Figura 42
Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y x deben ser del mismo
signo, esto significa que se tienen dos posibilidades.
¾ Si 0
>
p , se deben excluir todos los valores negativos de x , y todo el lugar
geométrico se localiza a la derecha del eje Y ; es decir, la gráfica es una curva
abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y , hacia arriba y
hacia abajo del eje X .
¾ Si 0
<
p , todos los valores positivos de x se deben excluir y todo el lugar geométrico
esta ubicado a la izquierda del eje Y .
Dado que la abscisa del foco es p , entonces la longitud del lado recto es igual al valor
absoluto de p
4 . Si el eje coincide con el eje Y , entonces la ecuación es:
py
x 4
2
= . (4.3)

La parábola
49
Ejemplos
1. Dada la ecuación x
y 12
2
= , determinar su posición en el plano, el foco, lado recto y las
ecuaciones de la directriz y el eje de simetría.
Solución
Para determinar el foco se considera la expresión
12
4 =
p
3
12
4
=
=
p
p
despejando p , queda.
Por tanto, las coordenadas del foco son:
)
0
,
3
(
F , tal como se aprecia en la figura.
El lado recto es: 12
)
3
(
4
4 =
=
= p
LR
La ecuación de la directriz es: 3
−
=
x
El eje de simetría es: 0
=
y Figura 43
2. Sea la ecuación 0
4
2
=
+ y
x , obtener el foco, el lado recto, la ecuación de la directriz, el
eje de simetría y bosquejar su gráfica de la ecuación.
3. Dados )
0
,
0
(
V , )
0
,
4
(−
F . Obténgase el lado recto, la ecuación de la parábola, la
ecuación de directriz y bosquejar la gráfica de la ecuación.
4. Dados )
0
,
0
(
V , la ecuación de la directriz, 2
−
=
y . Determinar el foco, el lado recto, la
ecuación de la parábola y trazar la gráfica de la ecuación.
5. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje Y , además
pasa por el punto )
2
,
4
( −
Q . Obtener las coordenadas del foco, la ecuación de la
parábola, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y bosquejar la gráfica de
la parábola.

La parábola
50
4.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN Y EJE
PARALELO A UNO DE LOS EJES COORDENADOS
Considerando la parábola de vértice en el punto )
,
( k
h
V y cuyo eje es paralelo al eje X .
Si los ejes coordenados son trasladados, de tal manera que el nuevo origen '
O coincida
con el vértice )
,
( k
h
V , entonces la ecuación de la parábola, el foco y la ecuación de la
directriz son: )
(
4
)
( 2
h
x
p
k
y −
=
− , )
,
( k
p
h
F + y p
h
x −
= . (4.4)
Figura 44
™ Si 0
>
p las ramas de parábola abren hacia la derecha y si 0
<
p las ramas de la
parábola abren hacia la izquierda.
™ En forma similar, si el vértice es el punto )
,
( k
h
V y cuyo eje es paralelo al eje Y ,
entonces la ecuación de la parábola, foco y ecuación de la directriz son:
)
(
4
)
( 2
k
y
p
h
x −
=
− , )
,
( p
k
h
F + , p
k
y −
= . (4.5)
™ Si 0
>
p , las ramas de la parábola abren hacia arriba y si 0
<
p , las ramas de la
parábola abren hacia abajo.
Ejemplos
1. Dados )
3
,
2
(
V , )
3
,
6
(
F . Determinar la ecuación de la parábola, la ecuación de la
directriz, el lado recto y bosquejar la gráfica de la ecuación.
Solución
Como el eje es paralelo al eje X , entonces la ecuación es de la forma:
)
2
(
4
)
3
( 2
−
=
− x
p
y
Para calcular el valor de p considérese la siguiente expresión
4
4
2
6 =
=
−
=
= VF
p

La parábola
51
La ecuación de la directriz es: 2
4
2 −
=
−
=
−
= p
h
x
El lado recto es: 16
16
)
4
(
4
4
: =
=
=
p
LR
Por tanto, la ecuación de la parábola es:
0
41
16
6
0
32
16
9
6
0
32
16
9
6
)
2
(
16
9
6
2
2
2
2
=
+
−
−
=
+
−
+
−
=
−
=
+
−
−
=
+
−
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
La gráfica se muestra a continuación
Figura 45
2. Dados )
5
,
2
(−
V , la ecuación de la directriz 8
=
y . Determinar el foco, el lado recto, la
ecuación de la parábola y bosquejar la gráfica de la ecuación.
44
8
4
2
=
+
−
− x
y
y . Obtener el vértice, el foco, la ecuación de la
directriz, lado recto y bosquejar la gráfica de la ecuación.
17
4
6
2
=
+
−
+ y
x
x . Obtener el vértice, el foco, la ecuación de la
directriz, lado recto y bosquejar la gráfica de la ecuación.
sustituyendo el valor de p , y realizando las
operaciones indicadas, queda:

La parábola
52
6.0 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A LA PARÁBOLA
De igual manera que en la circunferencia, una recta L es tangente a la parábola en un
punto T si intersecta únicamente en un sólo punto (T ) y todos los demás puntos de la
recta tangente están en una misma región determinada por la parábola
Considerando las diferentes ecuaciones de la parábola, se tienen las fórmulas respectivas
que permiten calcular la ecuación de la recta tangente en los puntos indicados. En
particular cuando se conoce el punto de tangencia o el valor de la pendiente, las fórmulas
de las ecuaciones de la recta tangente se especifican en la siguiente tabla.
Parábola con vértice en
el origen y fuera del
origen.
Ecuación de la recta
tangente, dado el punto de
tangencia T x1, y1
( ).
tangente, dado el valor de
la pendiente m.
px
y 4
2
= ( )
1
1 2 x
x
p
yy +
=
m
p
mx
y +
=
py
x 4
2
= ( )
1
1 2 y
y
p
xx +
= 2
pm
mx
y −
=
( ) ( )
h
x
p
k
y −
=
− 4
2
( )( ) ( )
h
x
x
p
k
y
k
y 2
2 1
1 −
+
=
−
−
( )
m
p
h
x
m
k
y +
−
=
−
( ) ( )
k
y
p
h
x −
=
− 4
2
( )( ) ( )
k
y
y
p
h
x
h
x 2
2 1
1 −
+
=
−
− ( ) 2
pm
h
x
m
k
y −
−
=
−
Respecto a la ecuación de la recta tangente a la parábola desde un punto exterior a la
curva, se aplicará el criterio establecido para la circunferencia.
Ejemplos
1. Determinar la ecuación de la recta de pendiente 2 que es tangente a la curva y
x 8
2
=
Solución
Como 8
4 =
p , entonces 2
=
p ; luego, utilizando la fórmula 2
pm
mx
y −
= se obtiene:
)
4
(
2
2
)
2
(
2
2 2
−
=
−
=
x
y
x
y
Por tanto, la ecuación es: 8
2 −
= x
y
Para calcular el punto de tangencia se debe resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:
8
2
8
2
−
=
=
x
y
y
x
La solución del sistema de ecuaciones es: ( )
8
,
8
T .

La parábola
53
El foco de la parábola es: ( )
2
,
0
F .
La ecuación de la directriz de la parábola es: 2
−
=
y .
La gráfica de la parábola y la recta tangente, se ilustran a continuación.
Fig 46
2. Calcular la ecuación de la tangentea la parábola 0
15
12
6
2
=
−
−
− x
y
y en el punto
( )
3
,
1 −
T .
3. Obténgase la ecuación de la recta tangente a la parábola x
y 6
2
= . Sabiendo que debe
ser trazada desde el punto exterior ( )
1
,
4
−
P .

La parábola
54
1. Determinar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de cada una
de las siguientes ecuaciones.
a y
x 12
2
=
b x
y 8
2
=
c 0
6
2
=
+ y
x
2. Obtener los elementos de la parábola con vértice en el origen:
a Ecuación de la directriz 5
−
=
y
b )
1
,
0
( −
F
c Ecuación de la directriz 0
4 =
+
y
3. Determinar los elementos de la parábola, sabiendo que el eje coincide con el eje X y
que pasa por el punto ( )
4
,
2
−
P .
4. Dado ( ) ( )
2
,
5
4
,
5 −
F
y
V . Determinar la ecuación de la parábola, ecuación de la
directriz, la longitud del lado recto y representar su gráfica en el plano.
5. Dado ( )
2
,
4 −
V y la ecuación de la directriz 6
=
x . Obtener el valor de p , la ecuación
de la parábola, el foco, el lado recto y representar la gráfica en el plano.
6. Dada la ecuación .
0
92
24
4
2
=
−
−
+ y
x
x Calcular el vértice, el valor de p , el foco, el
lado recto, la ecuación de la directriz y representarla geométricamente.
0
45
6
12
2
=
+
−
+ y
x
y Calcular el vértice, el valor de p , el foco, el
lado recto, la ecuación de la directriz y representarla geométricamente.
8. Obténgase la ecuación de la tangente a la parábola x
y 9
2
= en el punto ( )
6
,
4
T .
9. Obténgase la ecuación de la tangente a la parábola x
y 9
2
= que es perpendicular a la
recta 11
3
2 =
+ y
x .
10.Obténgase la ecuación de la tangente a la parábola ( ) ( )
1
8
2
2
+
=
− x
y en el punto
( )
10
,
7
T .
11.Obténgase la ecuación de la tangente a la parábola 0
8
12
4
2
=
−
+
+ y
x
x que es
paralela a la recta 0
11
9
3 =
−
+ y
x .
12.Obténgase las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto ( )
1
,
1
−
P a la
parábola 0
6
4
2
=
+
−
+ x
y
y .

La elipse
55
5.0 LA ELIPSE
La elipse tiene propiedades de reflexión similares a la parábola, por ejemplo, cuando se
coloca un emisor de ondas en un foco, éstas se reflejarán en las paredes de la elipse y
convergerán en el otro. También, se puede mencionar la aplicación de este concepto en la
formulación de las leyes de Kepler.
Kepler (1571-1630) determinó que los movimientos de los planetas se rigen por leyes
matemáticas. Esta aplicación de la matemática para describir fenómenos naturales fue
muy novedosa en su época. La primera ley de Kepler establece que los planetas
describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. La elipse es un lugar
geométrico que en el plano cumple la siguiente condición: la suma de la distancia de uno
de los dos focos a cualquier punto de la elipse y la distancia de ese mismo punto de la
elipse al otro foco es siempre la misma cantidad, es decir 2
1 l
l + .
Figura 47
La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de la elipse en
tiempos iguales. Esta ley de áreas equivale a que la velocidad angular de un planeta, varía
en su movimiento alrededor del Sol. Es decir, que cuando el planeta está más alejado del
Sol (afelio), su velocidad es menor que cuando está más cerca de éste (perihelio). Las
regiones coloreadas en anaranjado y verde (de igual área) son barridas en tiempos
iguales. En el mismo tiempo, en la región anaranjada, el planeta debe recorrer un arco de
elipse de mayor longitud, por lo que debe ir más rápido.
Figura 48

La elipse
56
La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo de revolución de un
planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse. Su ecuación se escribe
como: 3
2
R
P = . Donde P , el periodo de tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta
alrededor del Sol; R es la distancia entre el centro de la elipse y el extremo más alejado
de la trayectoria que describe la elipse (llamado semieje mayor).
Figura 49
La elipse se define como: “el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es
siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos”.
Figura 50
Los puntos fijos se llaman focos y se representan por 1
F y 2
F ; la recta l que coincide con
el eje X pasa por los focos se le denomina eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos
puntos 1
A y 2
A llamados vértices. El segmento 2
1 A
A comprendido entre los vértices se le
llamará eje mayor. El punto C del eje focal es el punto medio del segmento que une los
dos focos y se le denominará centro. La recta '
l que coincide con el eje Y pasa por C y
es perpendicular al eje focal se le llamará eje normal. El eje normal '
l corta a la elipse en
dos puntos 1
B y 2
B , y el segmento 2
1B
B se llama eje menor. Al segmento 2
1G
G que une
dos puntos cualesquiera de la elipse se denomina cuerda. En particular una cuerda que
pasa por los focos 2
1E
E se llama cuerda focal.

La elipse
57
Una cuerda focal 2
1L
L que es perpendicular al eje focal se le denomina lado recto. Una
cuerda 2
1D
D que pasa por el punto C se le llama diámetro. Si P es un punto cualquiera
de la elipse, entonces los segmentos P
F1 y 2
PF que une los focos con el punto P se les
denominan radio vectores de P .
5.1 ECUACION DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y CUYOS EJES
FOCALES CONCIDEN CON LOS EJES COORDENADOS.
Considerando la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X . Los
focos 1
F y 2
F están sobre el eje X . Como el centro O es el punto medio del segmento
2
1F
F , entonces las coordenadas de 1
F y 2
F son 0
,
(c y 0
,
( c
− respectivamente, siendo c
una constante positiva. Sea )
,
( y
x
P un punto cualquiera de la elipse, entonces por la
definición de elipse se tiene que el punto )
,
( y
x
P debe satisfacer la condición geométrica.
a
P
F
P
F 2
2
1 =
+ , donde a es una constante positiva mayor que c .
Figura 51
A partir de la figura, se deduce la ecuación de la elipse:
a
PF
P
F 2
2
1 =
+ sea la condición geométrica. (5.1)
Utilizando el concepto de distancia entre dos puntos, se tiene.
a
y
c)
(x
y
c)
(x 2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
− (5.2)
2
2
2
2
2 y
c)
(x
a
y
c)
(x +
+
−
=
+
2
2
2
2
2
2
2
4
4 y
c)
(x
y
c)
(x
a
a
y
c)
(x +
+
+
+
+
−
=
+
− reduciendo términos semejantes
2
2
2
2
2
4
4 c)
(x
y
c)
(x
a
a
c)
(x +
+
+
+
−
=
− desarrollando los binomios
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2 c
cx
x
y
c)
(x
a
a
c
cx
x +
+
+
+
+
−
=
+
− simplificando la ecuación
cx
a
y
c)
(x
a 4
4
4 2
2
2
+
=
+
+ dividiendo la ecuación por 4, queda.
cx
a
y
c)
(x
a +
=
+
+ 2
2
2
nuevamente elevando al cuadrado

La elipse
58
2
2
2
4
2
2
2
2
)
( x
c
cx
a
a
y
c)
(x
a +
+
=
+
+ desarrollando el binomio nuevamente
2
2
2
4
2
2
2
2
2
)
2
( x
c
cx
a
a
y
c
cx
(x
a +
+
=
+
+
+
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2 x
c
cx
a
a
y
a
c
a
cx
a
x
a +
+
=
+
+
+ simplificando, queda
2
2
4
2
2
2
2
2
2
c
a
a
y
a
x
c
x
a −
=
+
− factorizando 2
2
y a
x , se obtiene
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
a
y
a
c
a
x −
=
+
− como c
a > entonces 0
2
2
>
− c
a
haciendo 2
2
2
c
a
b −
= y sustituyendo, se tiene
2
2
2
2
2
2
b
a
y
a
b
x =
+ dividiendo por 2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
y
a
b
a
x
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+ simplificando se obtiene la ecuación de la elipse
Por tanto,
b
y
a
x
1
2
2
2
2
=
+ es la ecuación solicitada. (5.3)
Como a y a
− son las intersecciones con el eje X , entonces las coordenadas de los
vértices 1
A y 2
A son )
0
,
(a y )
0
,
( a
− respectivamente y la longitud de 2
1 A
A es igual a a
2 .
Las intersecciones con el eje Y son b y b
− . Por tanto, las coordenadas de los extremos
1
B y 2
B del eje menor son , b)
(0 y b)
, −
0
( respectivamente y la longitud del eje menor es
b
2 . De la ecuación (5.3) se tiene que, la elipse es simétrica con respecto a los ejes
coordenados y al origen, despejando y de la ecuación (5.3) se obtiene.
2
2
x
a
a
b
y −
±
= (5.4)
De (5.4) se obtienen valores de x en el intervalo a
x
a ≤
≤
− . Al despejar x de la ecuación
(5.3) se obtiene 2
2
y
b
b
a
x −
±
= (5.5)
En (5.5) se tienen valores de y en el intervalo b
y
b ≤
≤
− .
Como la abcisa del foco es c .Si en la (5.4) se sustituye x por ese valor se obtienen las
coordenadas correspondientes, las cuales son:
a
b
y
b
a
b
y
c
a
a
b
y
2
2
2
2
±
=
±
=
−
±
=
Por tanto, longitud del lado recto es
a
b
LR
2
2
= y las coordenadas de los extremos del lado
recto son: ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
2
2
2
2
,
,
,
y
,
,
, .

La elipse
59
Un elemento importante de la elipse es su excentricidad, la cual se define como la razón
a
c
y se representa usualmente por la letra e ; esto es: 1
<
=
a
c
e (5.6)
Ahora, se analizará el caso en que el centro de la elipse está en el origen, pero su eje
focal coincide con el eje Y , entonces las coordenadas de los focos son: , c)
(0 y c)
,
0
( − .
En esta situación, se utiliza el mismo procedimiento empleado en la deducción de la
ecuación (5.3), es decir, se obtiene la siguiente ecuación de la elipse:
a
y
b
x
1
2
2
2
2
=
+ (5.7)
Ejemplos:
1. Calcular la ecuación de la elipse, el lado recto, la excentricidad, los vértices y bosquejar
la gráfica, a partir de la siguiente información. 12
2 =
a , 10
2 =
c y el eje mayor coincide
con el eje X .
Solución.
Como el eje de la elipse coincide con el eje X , entonces la ecuación es de la forma:
b
y
a
x
1
2
2
2
2
=
+
Por tanto, se necesitan calcular los valores de a , b y c .
6
12
2
=
=
a
a
despejando a
5
10
2
=
=
c
c
despejando c
luego, se despeja b de la siguiente expresión.
2
2
2
c
b
a +
=
25
36
2
2
2
2
2
2
−
=
−
=
=
−
b
c
a
b
b
c
a
11
±
=
b
Figura 52
Por tanto, los elementos de la elipse son:
y
x
1
11
36
2
2
=
+ ó 0
396
36
11 2
2
=
−
+ y
x

La elipse
60
6667
.
3
3
11
6
22
6
)
11
(
2
2 2
=
=
=
=
=
a
b
LR
1
6
5
<
=
=
a
c
e
)
0
,
6
(
)
0
,
6
( 2
1 y −
A
A
)
11
,
0
(
)
11
,
0
( 2
1 −
B
B y
)
0
,
5
(
)
0
,
5
( 2
1 y −
F
F
Las coordenadas de los extremos del lado recto
son: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
11
,
5
y
6
11
,
5
;
6
11
,
5
;
6
11
,
5 S
R
Q
P .
2. Dada la siguiente información: )
8
0
8
0 2
1 −
,
(
A
) y
,
(
A , )
,
(
F 6
0
1 y )
,
(
F 6
0
2 − .
Determinar, los vértices 2
1 y B
B , el lado recto, la excentricidad, la ecuación de la
elipse y bosquejar la gráfica.
25
4 2
2
=
+ y
x . Obtener los vértices 2
1 y A
A ; 2
1 y B
B ; los focos
2
1 y F
F ; el lado recto, la excentricidad y trazar la gráfica.
8
16 2
2
=
+ y
x . Determinar los vértices 2
1 y A
A ; 2
1 y B
B ; los focos
2
1 y F
F ; el lado recto, la excentricidad y trazar la gráfica de la ecuación.
5. Dados el )
,
(
F 3
0
1 y la excentricidad
2
1
=
e . Obtener los vértices 2
1 y A
A ; 2
1 y B
B ; el
lado recto; la ecuación y bosquejar su gráfica.

La elipse
61
5.2 ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO )
,
( k
h
C Y EJES PARALELOS A LOS
EJES COORDENADOS
Considerando la elipse de centro en el punto )
,
( k
h
C y cuyo eje focal es paralelo al eje X .
Sean a
2 y b
2 las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. Si
los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen '
O coincida con el
centro )
,
( k
h
C de la elipse, entonces con referencia a los nuevos ejes la ecuación es:
1
)
(
)
(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
k
y
a
h
x
(5.8)
Figura 53
Los vértices y los focos son: )
,
(
)
,
( 2
1 k
a
h
A
k
a
h
A −
+
)
,
(
)
,
( 2
1 b
k
h
B
b
k
h
B −
+
)
,
(
)
,
( 2
1 k
c
h
F
k
c
h
F −
+
En forma similar se puede obtener la ecuación de la elipse de centro )
,
( k
h
C y cuyo eje
focal sea paralelo al eje Y . Por tanto, la ecuación es: 1
)
(
)
(
2
2
2
2
=
−
+
−
a
k
y
b
h
x
(5.9)
Los vértices son: )
,
(
)
,
( 2
1 a
k
h
A
a
k
h
A −
+
)
,
(
)
,
( 2
1 k
b
h
B
k
b
h
B −
+
Los focos son:
)
,
(
)
,
( 2
1 c
k
h
F
c
k
h
F −
+

La elipse
62
Ejemplos:
1. Dados )
5
,
7
(−
C , 10
2 =
a , 6
2 =
b y cuyo eje es paralelo al eje X . Obténgase la
ecuación de la elipse, los vértices 2
1 y A
A , 2
1 y B
B , 2
1 y F
F , lado recto, la
excentricidad y trazar la grafica de la figura.
Solución
Como el eje de la elipse es paralelo al eje X , entonces la ecuación es de la
forma: 1
)
(
)
(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
k
y
a
h
x
Luego 5
=
a , 3
=
b
El valor de c , se obtiene de la expresión 2
2
2
c
b
a +
=
4
16
9
25
2
2
=
=
−
=
−
=
∴ b
a
c
Sustituyendo estos valores en la forma de la ecuación
1
9
)
5
(
25
)
7
( 2
2
=
−
+
+ y
x
desarrollando los binomios y realizando las operaciones, se
obtiene:
( ) ( )
225
625
250
25
441
126
9
1
225
25
10
25
49
14
9
2
2
2
2
=
+
−
+
+
+
=
+
−
+
+
+
y
y
x
x
y
y
x
x
225
625
441
250
126
25
9 2
2
=
+
+
−
+
+ y
x
y
x
0
841
250
126
25
9 2
2
=
+
−
+
+ y
x
y
x ecuación general de la elipse.
Luego, se procede a calcular los vértices
)
5
,
2
(
)
5
,
5
7
(
)
,
( 1
1
1 −
=
+
−
=
+ A
A
k
a
h
A
)
5
,
12
(
)
5
,
5
7
(
)
,
( 2
1
2 −
=
−
−
=
− A
A
k
a
h
A
)
8
,
7
(
)
3
5
,
7
(
)
,
( 1
1
1 −
=
+
−
=
+ B
B
b
k
h
B
)
2
,
7
(
)
3
5
,
7
(
)
,
( 2
1
2 −
=
−
−
=
− B
B
b
k
h
B
En seguida se obtienen los focos y LR.
)
5
,
3
(
)
5
,
4
7
(
)
,
( 1
1
1 −
=
+
−
=
+ F
F
k
c
h
F
)
5
,
11
(
)
5
,
4
7
(
)
,
( 2
1
2 −
=
−
−
=
− F
F
k
c
h
F
5
18
5
)
9
(
2
2 2
=
=
=
a
b
LR ,
5
4
=
=
a
c
e .
Figura 54

La elipse
63
2. Dados )
8
,
2
(
1
A , )
2
,
2
(
2 −
A , )
6
,
2
(
1
F , )
0
,
2
(
2
F . Obténgase el centro )
,
( k
h
C , la
ecuación de la elipse, los vértices 2
1 y B
B , lado recto, la excentricidad y trazar la
gráfica de la figura.
29
18
8
3
2 2
2
=
+
−
−
+ y
x
y
x . Determinar los elementos de la elipse y
36
24
36
4
9 2
2
=
+
−
+
+ y
x
y
x Obténgase los elementos de la elipse y
7.0 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A LA ELIPSE
De igual forma que en la circunferencia, una recta L es tangente a la elipse en el punto T
si intersecta únicamente en un sólo punto (T ) y todos los demás puntos de la recta
tangente están en una misma región determinada por la elipse.
Considerando las diferentes ecuaciones de la elipse, se tienen las fórmulas respectivas
Elipse con vértice en
el origen y fuera del
origen.
Ecuación de la recta tangente,
dado el punto de tangencia
( )
1
1, y
x
T .
tangente, dado el valor de la
pendiente m .
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x 1
2
1
2
1
=
+
b
yy
a
xx 2
2
2
b
m
a
mx
y +
±
=
1
2
2
2
2
=
+
a
y
b
x 1
2
1
2
1
=
+
a
yy
b
xx 2
2
2
a
m
b
mx
y +
±
=
( ) ( ) 1
2
2
2
2
=
−
+
−
b
k
y
a
h
x ( )( ) ( )( ) 1
2
1
2
1
=
−
−
+
−
−
b
k
y
k
y
a
h
x
h
x ( ) 2
2
2
b
m
a
h
x
m
k
y +
±
−
=
−
( ) ( ) 1
2
2
2
2
=
−
+
−
a
k
y
b
h
x ( )( ) ( )( ) 1
2
1
2
1
=
−
−
+
−
−
a
k
y
k
y
b
h
x
h
x ( ) 2
2
2
a
m
b
h
x
m
k
y +
±
−
=
−
Respecto a la ecuación de la recta tangente a la elipse desde un punto exterior a la curva,
se aplicará el criterio establecido para la circunferencia.

La elipse
64
Ejemplos
1. Determinar la ecuación de la recta tangente a la elipse 18
9 2
2
=
+ y
x en el punto
( )
3
,
1
−
T .
Solución
Como el eje mayor coincide con el eje Y , se debe aplicar la fórmula 1
2
1
2
1
=
+
a
yy
b
xx
.
Sustituyendo el punto de tangencia, se obtiene:
−1x
2
+
3y
18
=1
realizando las operaciones indicadas, queda
−1x
2
+
3y
18
=1
−9x +3y
18
=1
−9x +3y =18
dividiendo por 3 queda:
6
3 =
+
− y
x
Por tanto, la ecuación de la tangente es: 6
3 +
= x
y
La gráfica de la elipse y la recta tangente, se ilustran a continuación.
Fig 55
2. Obtener la ecuación de la tangentea la elipse 1
1
4
2
2
=
+
y
x
en el punto ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
3
,
1
T .
3. Obténgase la ecuación de la recta tangente a la elipse 0
16
8
8
4 2
2
=
+
+
−
+ y
x
y
x . En el
punto ( )
4
,
2 −
T .

La elipse
65
1. Dados los siguientes elementos de la elipse: ( ) ( ) ( )
0
,
3
0
4
;
0
4 1
2
1 F
y
,
A
,
A − . Determinar
la ecuación, los demás elementos de la figura y representarla geométricamente.
0
400
16
25 2
2
=
−
+ y
x Calcular los elementos de la elipse y
3. Dados los elementos de la elipse: ( ) ( )
3
2
0
2
;
0
2 2
1 =
− e
y
,
F
,
F . Obtener los demás
elementos faltantes.
4. Dados los siguientes elementos de la elipse: ( ) ( )
1
1
;
1
5 2
1 ,
F
,
F y el diámetro focal mide 6
unidades. Obtener la ecuación de la elipse, así como los demás elementos respectivos
y representar su gráfica en el plano.
5. Dados los elementos de la elipse: ( ) ( ) 8
2
3
;
8
3 2
1
2
1 =
B
B
y
,
F
,
F . Obtener la ecuación de
la elipse, así como los elementos faltantes y representar su gráfica en el plano.
0
311
50
64
25
16 2
2
=
−
+
+
+ y
x
y
0
92
36
32
9
16 2
2
=
−
−
−
+ y
x
y
8. Dados los elementos de la elipse: ( ) ( )
3
1
1
7
;
1
1 2
1 =
e
y
,
A
,
A . Obtener los demás
elementos faltantes y representarla geométricamente en el plano.
9. Determinar la ecuación de la recta tangente a la elipse 0
16
4 2
2
=
−
+ y
x en el punto
( )
3
2
,
1
T .
10.Calcular la ecuación de la recta perpendicular a 0
9
2 =
−
+ y
x y tangente a la elipse
48
4
3 2
2
=
+ y
x
11.Obténgase la ecuación de la recta paralela a 0
58
12
5 =
+
− y
x y tangente a la elipse
92
8
5 2
2
=
+ y
x .
12.Determinar la ecuación de la recta tangente a la elipse
( ) ( ) 1
21
2
28
3
2
2
=
−
+
− y
x
en el punto
( )
5
,
7
T .

La hipérbola
67
6.0 LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono
circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono. Tiene propiedades de
reflexión análogas a las de la elipse, por ejemplo, si se dirige un haz de luz en dirección
del foco 1
F se reflejará antes de llegar a él en dirección de 2
F . A continuación se enuncia
la definición del lugar geométrico.
Definición:
Figura 56
Los puntos fijos llamados focos, se designarán por 1
F y 2
F . La constante se acostumbra
representarla por a
2 . La línea recta que pasa por los focos coincide con el eje X se llama
eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos 1
A y 2
A , llamados vértices. El
Segmento 2
1 A
A se le denomina eje transverso. El punto medio C del eje transverso se
llama centro. La recta ( '
l ) que pasa por C y es perpendicular al eje focal (l ) se denomina
eje normal. El eje normal no corta a la hipérbola; sin embargo, el segmento 2
1B
B que tiene
a C como punto medio se le llama eje conjugado. El segmento que une dos puntos
cualesquiera de la hipérbola se denomina cuerda (
'
2
1C
C ), estos puntos pueden estar en la
misma rama ó bien un punto puede estar en una rama y el otro en la otra rama. Una
cuerda que pasa por un foco ( 2
1E
E ) se conoce como cuerda focal. Una cuerda focal que
es perpendicular al eje focal se llama lado recto ( 2
1L
L ). Una cuerda que pasa por C se le
denomina diámetro ( 2
1D
D ). Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, entonces los
segmentos P
F1 y 2
PF que unen los focos con dicho punto P se llaman radios vectores.
La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad
constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. k
P
F
P
F =
− 1
2 ,
es decir 2
1F
F
k < .

La hipérbola
68
6.1 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CUYOS EJES COINCIDEN CON LOS EJES
COORDENADOS
Considerando la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X ,
los focos 1
F y 2
F están sobre el eje X . Como el centro O es el punto medio del segmento
2
1F
F , entonces las coordenadas de los focos son )
0
,
(
1 c
F y )
0
,
(
2 c
F − respectivamente,
siendo c una constante positiva. Sea )
y
,
(x
P un punto cualquiera de la hipérbola,
entonces el punto P debe satisfacer la condición geométrica:
a
P
F
P
F 2
2
1 =
− (6.1)
Donde a es una constante positiva, y c
a 2
2 < .
Figura 57
La condición (6.1) es equivalente a:
a
P
F
P
F 2
2
1 =
− (6.2)
a
P
F
P
F 2
2
1 −
=
− (6.3)
La ecuación (6.2) es verdadera cuando el punto P está sobre la rama izquierda y la
ecuación (6.3) es verdadera cuando el punto P está sobre la rama derecha. Considerando
la definición, se de deduce la ecuación de la hipérbola de la siguiente manera.
a
y
c
x
y
c
x 2
)
(
)
( 2
2
2
2
=
+
+
−
+
−
2
2
2
2
)
(
2
)
( y
c
x
a
y
c
x +
+
+
=
+
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
4
4
)
( y
c
x
y
c
x
a
a
y
c
x +
+
+
+
+
+
=
+
− desarrollando los binomios
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
4
4
2 c
cx
x
y
c
x
a
a
c
cx
x +
+
+
+
+
+
=
+
− simplificando
2
2
2
)
(
4
4
4 y
c
x
a
a
cx +
+
=
−
− multiplicando por ( )
1
− y dividiendo por 4, se obtiene
2
2
2
)
( y
c
x
a
a
cx +
+
−
=
+ nuevamente elevando al cuadrado
( )
2
2
2
4
2
2
2
)
(
2 y
c
x
a
a
cx
a
x
c +
+
=
+
+ desarrollando el binomio por el lado derecho

La hipérbola
69
( )
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2 y
c
cx
x
a
a
cx
a
x
c +
+
+
=
+
+ realizando operaciones por el lado derecho
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2 y
a
c
a
cx
a
x
a
a
cx
a
x
c +
+
+
=
+
+ simplificando
2
2
2
2
2
2
4
2
2
y
a
c
a
x
a
a
x
c +
+
=
+ agrupando términos semejantes, se obtiene
4
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
a
y
a
x
a
x
c −
=
−
− factorizando los términos comunes
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
a
y
a
x
a
c −
=
−
−
pero 2
2
2
a
c
b −
= , por tanto, se tiene
2
2
2
2
2
2
b
a
y
a
x
b =
− sustituyendo 2
b y dividiendo por 2
2
b
a , se tiene
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
b
a
y
a
b
a
x
b
=
− simplificando, se obtiene la ecuación de la hipérbola
1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x
(6.4)
De la ecuación (6.4) se tiene que las intersecciones con el eje X son a y a
− . Por tanto,
las coordenadas de los vértices son: )
0
,
(
1 a
A y )
0
,
(
2 a
A − respectivamente, la longitud del
eje transverso, es igual a a
2 . Aunque no existen intersecciones con el eje Y , los dos
puntos )
0
1 , b
(
B y b)
,
(
B −
0
2 se consideran como extremos del eje conjugado. En
consecuencia, la longitud del eje conjugado es b
2 . La ecuación (6.4) muestra que la
hipérbola es simétrica con respecto a los ejes coordenados y al origen. Despejando y de
la ecuación (6.4) resulta.
2
2
a
x
a
b
y −
±
= (6.5)
Para que los valores de y sean reales, x debe estar en el intervalo a
x −
≤
<
∞
− y
∞
<
≤ x
a . Despejando x de la ecuación (6.4 se obtiene.
2
2
b
y
b
a
x +
±
= (6.6)
donde x es real para cualquier valor de y .
Las ecuaciones (6.5) y (6.6), junto con la simetría del lugar geométrico, muestran que la
hipérbola no es una curva cerrada, sino que consta de dos ramas diferentes, una se
extiende hacia la derecha, arriba y abajo del eje X , y la otra se extiende hacia la izquierda
y por arriba y por abajo del eje X .
Sustituyendo c
x = en la ecuación (6.5), se tiene:
a
b
b
a
b
a
c
a
b
y
2
2
2
2
±
=
±
=
−
±
= de donde
se obtiene que el lado recto es
a
b2
2
y la excentricidad está definida por:
1
>
=
a
c
e
Si el centro de la hipérbola está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y ,
entonces su ecuación es: 1
2
2
2
2
=
−
b
x
a
y
. (6.7 )

La hipérbola
70
6.2 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA
Transformando la ecuación (6.5) en 2
2
1
x
a
x
a
b
y −
±
= . (6.8)
Si un punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abcisa x
aumenta numéricamente sin límite, entonces el radical de la ecuación (6.8) se aproxima
cada vez más a la unidad; y por tanto, tomar la forma de x
a
b
y ±
= (6.9)
Las ecuaciones x
a
b
y = y x
a
b
y −
= , se denominan asíntotas de la hipérbola.
De igual manera, las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola, cuando el eje focal
coincide con el eje Y , son: x
b
a
y ±
= (6.10)
Ejemplos:
1. Dado )
0
,
3
(
1
F , )
0
,
3
(
2 −
F y 4
2 =
a . Obtener la ecuación de la hipérbola, así como los
demás elementos faltantes y trazar su gráfica.
Solución:
Por la información proporcionada, se deduce que el eje focal de la hipérbola coincide con
el eje X . Por tanto la ecuación es de la forma: 1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x
Luego, se tiene:
3
6
2
2
1
=
=
=
c
c
F
F
2
4
2
=
=
a
a
Luego, 5
4
9
2
2
=
−
=
−
= a
c
b
5
4
2
2
=
−
y
x
o bien 0
20
4
5 2
2
=
−
− y
x
5
2
)
5
(
2
2 2
=
=
=
a
b
LR
1
2
3
>
=
=
a
c
e
Los vértices son: )
0
,
2
(
)
0
,
( 1
1 A
a
A =
y
)
0
,
2
(
)
0
,
( 2
2 −
=
− A
a
A
Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son: )
5
,
0
(
)
,
0
( 1
1 B
b
B =
y )
5
,
0
(
)
,
0
( 1
2 −
=
− B
b
B

La hipérbola
71
Las asíntotas son: x
x
a
b
y
2
5
=
=
x
x
a
b
y
2
5
−
=
−
= .
Figura 58
2. Dados los siguientes elementos )
7
,
0
(
1
A , )
7
,
0
(
2 −
A , )
0
,
5
(
1
B y )
0
,
5
(
2 −
B . Obtener la
ecuación de la hipérbola, así como los demás elementos restantes y trazar su gráfica.
9
4 2
2
=
− y
x . Obténganse los elementos de la hipérbola y
bosquéjese su gráfica.
4
4 2
2
=
+
− y
x . Obténganse los elementos de la hipérbola y
bosquéjese su gráfica.
6.3 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CUYOS EJES SON PARALELOS A LOS EJES
COORDENADOS
Considerando la hipérbola de centro )
,
( k
h
C y eje focal paralelo al eje X . Sean a
2 la
longitud del eje transverso, b
2 la longitud del eje conjugado y la longitud entre los focos es
c
2 respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo
origen '
0 coincida con el punto )
,
( k
h
C de la hipérbola, entonces la ecuación es de la
forma: 1
)
(
)
(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
k
y
a
h
x
(6.11)
Las asíntotas son de la forma: ( )
h
x
a
b
k
y −
±
=
− (6.12)
Los vértices son: ( )
k
a
h
A
y
k
a
h
A ,
)
,
( 2
1 −
+
Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son: ( )
b
k
h
B
y
b
k
h
B −
+ ,
)
,
( 2
1 .
Los focos son: )
,
(
1 k
c
h
F + y )
,
(
2 k
c
h
F −

La hipérbola
72
En forma similar, se puede obtener la ecuación de la hipérbola de centro )
,
( k
h
C y cuyo
eje focal sea paralelo al eje Y . Por tanto, la ecuación es de la forma:
1
)
(
)
(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
h
x
a
k
y
(6.13)
Las asíntotas son: ( )
h
x
b
a
k
y −
±
=
− (6.14)
Los vértices son de la forma: )
,
(
1 a
k
h
A + ; )
,
(
2 a
k
h
A −
Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son; )
,
(
1 k
b
h
B + ; )
,
(
2 k
b
h
B −
Los focos son: )
,
(
1 c
k
h
F + ; )
,
(
2 c
k
h
F −
Ejemplos
1. Dada la siguiente información: )
5
,
3
(
C , 4
2 =
a , 6
2 =
b y cuyo es paralelo al eje X .
Obténgase los demás elementos y trazar su gráfica.
Solución
De la información proporcionada se tiene:
2
=
a , 3
=
b y 13
=
c
Por tanto la ecuación es: 1
9
)
5
(
4
)
3
( 2
2
=
−
−
− y
x
ó bien 0
55
40
54
4
9 2
2
=
−
+
−
− y
x
y
x
Los vértices de la hipérbola son.
)
5
,
5
(
)
5
,
2
3
(
)
,
( 1
1
1 A
A
k
a
h
A =
+
=
+
)
5
,
1
(
)
5
,
2
3
(
)
,
( 2
2
2 A
A
k
a
h
A =
−
=
−
Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son
)
8
,
3
(
)
3
5
,
3
(
)
,
( 1
1
1 B
B
b
k
h
B =
+
=
+
)
2
,
3
(
)
3
5
,
3
(
)
,
( 2
2
2 B
B
b
k
h
B =
−
=
−
Las coordenadas de los focos.
)
5
,
13
3
(
)
,
( 1
1 +
=
+ F
k
c
h
F
)
5
,
13
3
(
)
,
( 2
2 −
=
− F
k
c
h
F

La hipérbola
73
El lado recto es 9
2
)
9
(
2
2 2
=
=
=
a
b
LR
La excentricidad es: 1
2
13
>
=
=
a
c
e
Las asíntotas son:
0
19
2
3
0
1
2
3
=
−
+
=
+
−
y
x
y
x
La gráfica es:
Figura 59
2. Dados los elementos )
5
,
4
(
1 −
F , )
3
,
4
(
2 −
−
F y A2(−4, −1). Obténgase los demás
elementos de la hipérbola y trazar su gráfica.
3. Dada la siguiente ecuación: 0
113
8
54
4
9 2
2
=
+
+
−
− y
x
y
x . Obtener los elementos
faltantes de la hipérbola y bosquejar su gráfica.
0
41
36
4
9 2
2
=
−
+
−
− y
x
y
x Calcular los elementos de la hipérbola,
las asíntotas de la figura y representarla geométricamente.
6.4 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A LA HIPÉRBOLA
De igual forma que en la circunferencia, una recta L es tangente a la hipérbola en el punto
T , si intersecta únicamente en un sólo punto (T ) y todos los demás puntos de la recta
tangente están en una misma región determinada por la elipse.
Considerando las diferentes ecuaciones de la elipse, se tienen las fórmulas respectivas

La hipérbola
74
Tipo de hipérbola Tangencia en ( )
1
1, y
x
T Tangente con pendiente m
1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x 1
2
1
2
1
=
−
b
yy
a
xx 2
2
2
b
m
a
mx
y −
±
=
1
2
2
2
2
=
−
b
x
a
y 1
2
1
2
1
=
−
b
xx
a
yy 2
2
2
a
m
b
mx
y −
±
=
( ) ( ) 1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
k
y
a
h
x ( )( ) ( )( ) 1
2
1
2
1
=
−
−
−
−
−
b
k
y
k
y
a
h
x
h
x ( ) 2
2
2
b
m
a
h
x
m
k
y −
±
−
=
−
( ) ( ) 1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
h
x
a
k
y ( )( ) ( )( ) 1
2
1
2
1
=
−
−
−
−
−
b
h
x
h
x
a
k
y
k
y ( ) 2
2
2
a
m
b
h
x
m
k
y −
±
−
=
−
Respecto a la ecuación de la recta tangente a la hipérbola desde un punto exterior a la
curva, se aplicará el criterio establecido para la circunferencia.
Ejemplos
1. Determinar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 36
9
4 2
2
=
− y
x en el punto
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
8
,
5
T .
Solución
Utilizando la fórmula 1
2
1
2
1
=
−
b
yy
a
xx
y sustituyendo el punto de tangencia, se obtiene:
1
9
6
5
1
3
2
9
5
1
4
3
8
9
5
=
−
=
−
=
−
y
x
y
x
y
x
realizando las operaciones indicadas, queda
9
6
5 =
− y
x
6
5 =
− y
x
Los vértices son ( ) ( )
0
,
3
0
,
3 2
1 −
A
y
A
Los extremos del eje conjugado son: ( ) ( )
2
,
0
2
,
0 2
1 −
B
y
B

La hipérbola
75
La gráfica de la elipse y la recta tangente, se ilustran a continuación.
Fig 60
2. Obtener la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 30
5
3 2
2
=
− y
x y perpendicular
a la recta 0
7 =
+
− x
y .
3. Obténgase la ecuación de la recta tangente a la hipérbola ( ) ( ) 4
3
3
5
2
2
=
−
−
+ y
x . En el
punto ( )
5
,
9
−
T .

La hipérbola
76
1. Dados los siguientes elementos de la hipérbola: ( ) ( ) 4
2
0
,
4
;
0
,
4 2
1 =
− a
y
F
F . Obtener
la ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos
respectivos y representar su gráfica en el plano.
2. Dados los siguientes elementos de la hipérbola: ( ) ( )
3
,
0
;
3
,
0 2
1 −
A
A y la distancia focal
es igual 10. Obtener la ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los
demás elementos respectivos y representar su gráfica en el plano.
3. Dada la ecuación: .
0
1225
49
25 2
2
=
+
− y
x Determinar las asíntotas de la figura, así
como los demás elementos faltantes y trazar la gráfica del lugar geométrico.
4. Dada la ecuación: .
0
16
4 2
2
=
−
− y
x Determinar las asíntotas de la figura, así como los
demás elementos faltantes y trazar la gráfica del lugar geométrico.
5. Dados los elementos de la hipérbola: ( ) ( ) 6
4
,
5
;
12
,
5 2
1
2
1 =
−
− B
B
y
F
F . Calcular la
ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos
faltantes y representar su gráfica en el plano.
6. Dados los elementos de la hipérbola: ( ) ( ) ( )
4
,
4
4
,
3
;
4
,
5 1
2
1 −
−
−
− A
y
F
F . Calcular la
ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos
faltantes y representar su gráfica en el plano.
0
68
36
8
9
4 2
2
=
−
−
−
− y
x
y
x Calcular los elementos de la hipérbola,
las asíntotas de la figura y representarla geométricamente.
0
225
54
16
9 2
2
=
+
−
− x
y
x Calcular los elementos de la hipérbola, las
asíntotas de la figura y representarla geométricamente.
9. Obtener la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 30
5
2 2
2
=
− y
x en el punto
( )
2
,
5 −
T .
10.Determinar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 16
5
4 2
2
=
− y
x desde el
punto exterior ( )
10
,
7 −
P .
11.Calcular la ecuación de la recta tangente a la hipérbola Dada la
0
12
4
3
2
3 2
2
=
−
−
+
− y
x
y
x en el punto ( )
1
,
2
T .

Coordenadas polares
77
7.0 COORDENADAS POLARES
7.1 INTRODUCCIÓN
En este material, se han utilizado coordenadas rectangulares para localizar puntos y
graficar algunos lugares geométricos en el plano, ahora introduciremos un tipo distinto de
coordenadas, llamadas “coordenadas polares”, con las cuales, es posible describir de
manera sencilla otros tipos de curvas que en coordenadas cartesianas tienen cierto grado
de dificultad.
En un sistema de coordenadas polares, un punto puede ser localizado por medio de una
red de circunferencias concéntricas con centro en 0 ; llamado polo y semirrectas o rayos
que se originan en 0. Tómese como eje de referencia una semirrecta horizontal ( )
OA
dirigida hacia la derecha de 0 la cual llamaremos eje polar. Especificando una distancia
dirigida r a partir de 0 , y un ángulo θ medido en radianes, cuyo lado inicial sea el eje
polar y como lado terminal, el rayo OP .
Figura 61 Figura 62
La posición del punto P con relación al eje polar y al polo queda determinada cuando se
conocen θ
y
r ; en particular, r se llama radio vector y θ ángulo polar, ángulo vectorial o
argumento de P . Las coordenadas polares de un punto se denotan por ( )
θ
,
r . La línea
recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama el eje a ( )
o
90
2
π
.
Notas: en coordenadas polares se adoptan las siguientes convenciones.
¾ Si el ángulo 0
>
θ , se mide en sentido opuesto al giro de las manecillas de un reloj, a
partir del eje polar. Pero, si 0
<
θ ; entonces se miden en el mismo sentido.
¾ Para ubicar un punto ( )
θ
,
r
− se mide r a lo largo del rayo π
θ +
¾ Las coordenadas del polo son ( )
θ
,
0
O , donde θ puede ser cualquier ángulo.

Coordenadas polares
78
Ejemplos: graficar los siguientes puntos.
1. ( ) ( )
2
,
6
75
,
7
,
4
7
,
5
,
6
,
4 S
y
R
R
P o
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
π
.
Figura 63
Nota: la descripción de un punto en coordenadas polares, no es única; es decir, un punto
( )
θ
,
r y ( ) Z
;
2
, ∈
+ n
n
r π
θ ; son equivalentes.
2. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
13
,
2
6
5
,
2
;
6
7
,
2
;
6
11
,
2
;
6
,
2
π
π
π
π
π
T
y
S
R
R
P
7.2 RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS Y
POLARES.
En algunas ocasiones es recomendable utilizar coordenadas polares y cartesianas es un
mismo problema. Para efectuar la transformación se debe conocer las relaciones que
existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto
del lugar geométrico.
Figura 64

Coordenadas polares
79
Las relaciones se obtienen cuando el polo y el eje polar se hacen coincidir con el origen y
la parte positiva del eje X del sistema rectangular, tal como se ilustra en la figura 63. Sea
P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares ( )
y
x, y por coordenadas
polares ( )
θ
,
r . Por tanto de la 64, se deducen las siguientes relaciones:
θ
θ rsen
y
r
y
sen =
→
= (7.1)
θ
θ cos
cos r
x
r
x
=
→
= (7.2)
( ) ( ) R
∈
∀
=
∴ r
rsen
r
y
x ,
,
cos
, θ
θ
De la figura 64 se obtiene
→
=
+ 2
2
2
r
y
x 2
2
y
x
r +
= (7.3)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
= −
x
y
x
y 1
tan
tan θ
θ (7.4)
2
2
y
x
r +
=
∴ y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= −
x
y
1
tan
θ (7.5)
Consideremos primero, el paso de una ecuación rectangular a una ecuación en forma
polar, ésta ecuación contiene las variables y
x y . Por tanto, al sustituir la y
x y por sus
valores de las ecuaciones (7.1) y (7.2) se obtiene la ecuación polar, aunque no siempre en
su forma más simple. Veamos ahora la transformación de una ecuación polar a su forma
rectangular. La ecuación contiene las variables θ
y
r , y pueden usarse las ecuaciones
(7.1) ; (7.2); (7.3) ; (7.4) y (7.5) que contienen las θ
y
r en función de y
x y .
Ejemplos
1. Determinar las coordenadas polares del punto P cuyas coordenadas rectangulares
son: ( )
3
,
1 − .
Solución
Sabiendo que 3
1 −
=
= y
x y , se tiene:
( )
3
5
3
tan
1
3
tan
tan
2
3
1
1
1
1
2
2
π
θ
θ
θ
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
+
=
+
=
−
−
−
x
y
y
x
r
Por lo tanto las coordenadas polares son: ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
5
,
2
,
π
θ P
r
P .

Coordenadas polares
80
Ahora, representemos gráficamente la información obtenida.
Figura 65
2. Obtener las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
2
,
4
π
.
Solución
Como
3
2
4
π
θ =
= y
r se tiene:
3
2
2
3
4
3
2
4
2
2
1
4
3
2
cos
4
cos
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
π
θ
π
θ
sen
rsen
y
r
x
Por tanto las coordenadas rectangulares son: ( ) ( )
3
2
,
2
, −
= P
y
x
P .
Figura 66
3. Obtener la ecuación cartesiana de la siguiente ecuación polar
θ
cos
1
1
−
=
r .
4. Determinar la ecuación polar de la siguiente ecuación cartesiana 3
+
= x
y .

Coordenadas polares
81
7.3 GRAFICACIÓN EN COORDENADAS POLARES
La grafica de una ecuación polar se puede trazar ubicando los puntos en el sistema polar y
después se unen para bosquejar la grafica de la misma forma que en coordenadas
rectangulares. Los valores del argumento deben estar comprendidos en el intervalo
π
θ 2
0 ≤
≤ , pero si el argumento queda fuera del intervalo se ajustará al intervalo indicado
y el valor de r depende de la longitud del radio vector.
Ejemplos
1. Graficar la ecuación θ
sen
r = .
Solución
Construyamos la tabla de valores
θ θ
sen
r = θ θ
sen
r =
0 0000
.
0 12
/
13π 2588
.
0
−
12
/
π 2588
.
0 6
/
7π 5000
.
0
−
6
/
π 5000
.
0 4
/
5π 7071
.
0
−
4
/
π 7071
.
0 3
/
4π 8660
.
0
−
3
/
π 8660
.
0 12
/
17π 9659
.
0
−
12
/
5π 9659
.
0 2
/
3π 0000
.
1
−
2
/
π 0000
.
1 12
/
19π 9659
.
0
−
12
/
7π 9659
.
0 3
/
5π 8660
.
0
−
3
/
2π 8660
.
0 4
/
7π 7071
.
0
−
4
/
3π 7071
.
0 6
/
11π 5000
.
0
−
6
/
5π 5000
.
0 12
/
23π 2588
.
0
−
12
/
11π 2588
.
0 π
2 0000
.
0
π 0000
.
0
Figura 67

Coordenadas polares
82
2. Graficar la ecuación θ
cos
1+
=
r
Solución
Construyamos la tabla de valores
θ θ
cos
1+
=
r θ θ
cos
1+
=
r
0 0000
.
2 12
/
13π 0341
.
0
12
/
π 9659
.
1 6
/
7π 1340
.
0
6
/
π 8660
.
1 4
/
5π 2929
.
0
4
/
π 7071
.
1 3
/
4π 5000
.
0
3
/
π 5000
.
1 12
/
17π 7412
.
0
12
/
5π 2588
.
1 2
/
3π 0000
.
1
2
/
π 0000
.
1 12
/
19π 2588
.
1
12
/
7π 7412
.
0 3
/
5π 5000
.
1
3
/
2π 5000
.
0 4
/
7π 7071
.
1
4
/
3π 2929
.
0 6
/
11π 8660
.
1
6
/
5π 1340
.
0 12
/
23π 9659
.
1
12
/
11π 0341
.
0 π
2 0000
.
2
π 0000
.
0
Luego, se construye la gráfica.
Figura 68
3. Graficar θ
2
sen
r =
4. Graficar ( )
θ
sen
r −
= 1
3
5. θ
2
cos
2
=
r

Coordenadas polares
83
1. Construye el triángulo, cuyos vértices son: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
,
4
4
7
,
2
;
3
,
5
π
π
π
R
y
Q
P .
2. Obtener las coordenadas polares de los siguientes puntos, dados en coordenadas
rectangulares.
a. ( )
2
,
2
P
b. ( )
3
,
2
−
Q
c. ( )
2
,
3 −
R
d. ( )
1
,
3 −
S
e. ( )
3
3
,
3
T
3. Determinar las coordenadas rectangulares de los siguientes puntos, dados en
coordenadas polares.
a. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
,
1
π
b. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
,
2
π
c. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
13
,
2
π
d. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
3
,
1
π
e. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
,
3
π
4. Determínese la ecuación en la forma polar de las siguientes ecuaciones dadas en
coordenadas rectangulares.
a. 0
2
5 =
− y
x
b. 2
=
+ y
x
c. 0
2
2
2
=
−
+ x
y
x
d. 10
6
4
2
2
=
+
−
+ y
x
y
x
e. 0
6
3
2 2
2
=
−
− y
x
5. Obténgase la ecuación en el sistema rectangular de las siguientes ecuaciones dadas
en coordenadas polares.
a. θ
cos
5
=
r
b. 7
=
θ
rsen
c. θ
θ cos
+
= sen
r
d. θ
θ cos
r
rsen =
e. 2
2
cos
2
=
θ
r

Bibliografía
Bibliografía
1. Caballero, A. y colaboradores., (1989). Geometría Analítica, México, Editorial, Esfinge.
2. De la Borbolla, F.J.;(1988). Geometría Analítica, Estado de México, Editorial, Esfinge.
3. Lehmann, C.H; (1981). Geometría Analítica. México, D. F., Editorial, Limusa.
4. de Oteyza, E. y colaboradores, (1994). Geometría Analítica. Nacaulpan de Juárez,
Estado de México. Editorial, Prentice Hall.
5. Riddle, D. F., (1997). Geometría Analítica. México, D.F., Editorial, Thomson.
6. Bohuslov, R., (1970). Geometría Analítica. México, D. F., Editorial Uteha
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