El documento aborda los sistemas de coordenadas en geometría, que son utilizados para determinar la posición de puntos en un espacio determinado, destacando las coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Se presentan conceptos básicos y ejemplos de cómo se utilizan estos sistemas en diferentes contextos, como la geometría analítica y la geografía. Además, se hace mención a la importancia de los cambios de coordenadas en problemas físicos y matemáticos para simplificar su resolución.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Porlamar
Realizado Por:
Br. Julio Hernandez
Escuela: Ing. Electronica.
Porlamar, Diciembre de 2017

2. SISTEMAS DE COORDENADAS:
En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más
números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro
objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se
las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con
letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es
objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma
"numérica".
Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para
localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir
puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.
Dentro del ámbito de la Geometría, tampoco podemos pasar por alto la existencia de
lo que se conoce como coordenadas cartesianas, que también se conocen por el nombre de
coordenadas rectangulares. Las mismas pueden definirse como aquel sistema de referencia
que se utiliza para localizar y colocar un punto concreto en un espacio determinado,
tomando como referencia lo que son los ejes X, Y y Z.
Más concretamente, aquellas se identifican porque existen dos ejes que son
perpendiculares entre sí y que además se cortan en lo que es un punto denominado origen.
Asimismo hay que subrayar que la coordenada X se da en llamar abscisa y la coordenada Y
recibe el nombre de ordenada.
Además de lo expuesto hay que dar a conocer que dichas coordenadas cartesianas
son llamadas así en honor al matemático francés René Descartes que desarrolló su conocida
geometría analítica y que utilizaba como eje central de la misma a lo que se conoce como
origen de coordenadas.
Dentro del citado ámbito tampoco podemos olvidar la existencia de la coordenada
polar. Esta es aquella que se utiliza para establecer la posición de un punto concreto en un
plano, teniendo como referencias el punto y el polo.
Asimismo nos encontramos con el concepto de plano coordenado que es la
denominación que se emplea para referirse a cada uno de los tres planos que se cortan en un

3. punto determinado y que son vitales para poder proceder a establecer la posición de otros
puntos mediante las líneas coordenadas existentes.
Las coordenadas geográficas, por su parte, constituyen un subtipo de las
denominadas coordenadas esféricas ya que permiten definir puntos sobre la Tierra (una
superficie esférica). Pese a que existen distintas clases de coordenadas, el sistema más
frecuente es aquel que emplea la latitud y la longitud (por ejemplo, 53:24.2-120:25.0).
La latitud (norte o sur) y la longitud (este u oeste) permiten conocer los ángulos
laterales de la superficie de la Tierra. Ambas coordenadas angulares, que se miden desde el
centro del planeta, forman parte de un sistema de coordenadas esféricas que se hallan
alineadas con su eje de rotación.
Las coordenadas celestes, por su parte, son los valores que indican la posición de un
cuerpo en la esfera celeste según un cierto sistema de referencia. De acuerdo al plano de
referencia y a su origen, aparecen distintas coordenadas celestes.
Sistema Coordenado Unidimensional
En matemáticas se ha regulado utilizar una línea recta horizontal para representar a
todos los números reales, colocando al cero en un punto arbitrario de la recta (origen),
todos los números reales positivos a la derecha de ese punto y todos los números reales
negativos a la izquierda de ese mismo. De esta manera, es fácil notar cómo se establecía
una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta y el conjunto de los números
reales, es decir, que a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número
real le corresponde un punto de la recta.
Esta forma de ordenar a los números reales se le da el nombre de sistema
coordenado unidimensional; en el cual se puede localizar ordenadamente cualquier número
real, a través de un punto de la línea recta. Este sistema coordenado regularmente también
se le conoce como eje real o recta numérica. Tracemos una línea horizontal, marquemos el

4. origen de algún punto de ella (O), elijamos un segmento como unidad de longitud y así
obtenemos el eje coordenado unidimensional: La notación utilizada para representar un
punto en el eje real es mediante una letra mayúscula elegida al azar o bien mediante la
expresión 𝑃(𝑥) que se lee: “el punto 𝑃 de coordenada 𝑥”.
Sistema Coordenado Bidimensional
El sistema coordenado rectangular, consta de dos rectas
perpendiculares entre sí, llamados ejes de coordenadas. Por
costumbre, esas rectas se trazan horizontal y verticalmente sobre un
plano.La recta horizontal se llamaeje de las“𝑋”o “abscisas”y la recta
vertical eje de las “𝑌” u “ordenadas”; al punto de intersección de las
rectas se le llama “origen” del plano(O). Los ejes de coordenadas o
ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas “cuadrantes” numerados en el
sentido contrario al de las agujas de un reloj.
En realidadlosejescoordenadosrepresentandosejesorectasrealesque se cruzan en sus
orígenes(el cerode cada recta).Así todo punto 𝑃 del planoquedadeterminadoa través de un par
de números reales llamadas coordenadas rectangulares del punto, se representan mediante la
siguiente expresión: (𝑥, 𝑦). Al número real “𝑥” se le llama abscisa del punto y al número real “𝑦”
ordenada.
Por lo tanto un punto en el plano tendrá dos proyecciones, una sobre cada eje
coordenado.Estoes,la abscisa“𝑥” medidasobre el eje “𝑋”,a laderechadel origen del plano si es
positivaya la izquierdasi esnegativa;laordenada“𝑦”medidasobre el eje “𝑌”,arriba del origensi
es positiva y abajo si es negativa. Los signos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes están
indicados en la figura anterior. Es evidente, que cada punto 𝑃 del plano le corresponde uno y
solamente un par de coordenadas (𝑥, 𝑦). Recíprocamente, un par de coordenadas (𝑥. 𝑦)
cualesquiera determinan uno y solamente un punto en el plano coordenado.
Parejas Ordenadas de Números Reales
Es importante aclararque para escribirlascoordenadasrectangularesde unpuntose debe
respetarciertoorden;escribiendosiemprelaabscisaenprimerlugary laordenadaen el segundo.
Por estarazón,las coordenadasde un punto en el plano reciben el nombren de par ordenado de
números reales. Es decir, el punto 𝑃 de coordenadas (5, −3) no es el mismo que el punto 𝑄 de

5. coordenadas (−3,5). Debido a esto, podemos decir que un sistema coordenado bidimensional
permite establecer una correspondencia entre pares ordenados de números reales y puntos del
plano.
Una pareja ordenada de números reales es una representación numérica que consta de
dos elementos, no necesariamente distintos, escritos en un orden especifico. La notación ( 𝑥, 𝑦)
representa a la pareja ordenada cuyo primer elemento es 𝑥 y cuyo segundo elemento es 𝑦.
Lugares Geométricos
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano cartesiano que cumplen con
cierta condición. La condición que deben cumplir un conjunto de puntos se indica por medio de
una relación,lacual escribiremosmediante lasiguientenotación: 𝑹 = 𝒙, 𝒚 | 𝑬 𝒙, 𝒚 = 𝟎 Que se lee:
“La relación 𝑅 igual al conjunto de todas las parejas ordenadas (𝑥, 𝑦) tales que satisfacen la
condición 𝐸 𝑥, 𝑦 = 0”. Aquí la expresión 𝐸 𝑥, 𝑦 = 0, representa alguna ecuación en dos variables o
incluso,el signode igualdadpuede cambiarse por una desigualdad y representar una inecuación.
Sistema de Coordenadas Cartesianas
En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se
define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados,
dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional
(análogamente en R se pueden definir sistemas n-
dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a
la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto (rA = OA) sobre un eje
determinado:
rA = OA = (xA, yA, zA)
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de
coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y
un vector (i) tal que:
i = (1,0,0), cuyo módulo es |i| = 1.

6. Sistema de Coordenadas Polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano
se determina por un ángulo y una distancia.
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos
de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en
problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una
generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al
que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera
coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo
que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la
coordenada z que determina la altura del cilindro.
Sistema de Coordenadas Esféricas
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de
coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos
tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está
formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el
origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el
punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición
del punto.

7. Coordenadas Geográficas
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las
coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una
superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas.
El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y
la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:
 DD --- Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500
 DM --- Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0
 DMS -- Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-
123:30:00
También se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra,
utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas
proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.
Coordenadas Curvilíneas Generales
Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o
etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o variedad
diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si
tenemos un espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un
sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de
cualquier difeomorfismo que cumpla:
Փ : M → Rm p€M˄ Փ (p) = (0,0,0,…..,0) €Rm
Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:
Փ(q) = (x1, x2, ….., xm)

8. Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se
pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas en sistema de coordenadas
ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Las coordenadas
cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas
ortogonales sobre el espacio euclídeo R³.
Coordenadas Curvilíneas Ortogonales
Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor
métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede
muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma
particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando
existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas
coordenadas curvilíneas ortogonales. Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos
particulares de coordenadas curvilíneas ortogonales.
Cambios de Coordenadas
En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del
cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las
variables de las que a depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el
problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la
solución con mayor facilidad. Más formalmente un cambio de coordenadas puede
representarse por un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa
también diferenciable) entre dos conjuntos de Rᵐ, aquí llamados A y B.
El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas.
En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Por ejemplo, (0,0) en
dos dimensiones y (0,0,0) en tres. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es
necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema
de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo (p = 0), siendo
indiferentes los valores de latitud y longitud.

9. En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del sistema
se cortan.