geometria en el espacio, coordenadas rectangulares, rectas paralelas y perpendiculares etc...

1. Instituto Universitario Politécnico
“ Santiago Mariño”
Escuela de Ingeniería Electrónica
Sede Barcelona
Sistemas de coordenadas
Bachiller:
José Gómez C.I: 17.971.278
Profesor:
Pedro Beltrán

2. Introducción
La siguiente presentación hace referencia a las diferentes ecuaciones matemáticas aplicadas en
geometría analítica, utilizadas para determinar distancias entre dos puntos o los ángulos que se
forman al cruzarse dos líneas las cuales son indispensables a la hora de realizar cálculos en las
diferentes ramas de la ingeniería.

3. Sistemas de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un método que usa uno o más números, llamados
coordenadas, para establecer inequívocamente la posición de un punto o de un objeto
geométrico en el espacio.
Tipos de sistemas de coordenadas
Cartesianas: Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de coordenadas se
ubican en un plano cartesiano al que están asociados los ejes ‘x’, ‘y’ y ‘z’.
Todos los ejes coordenados deben estar escalados bajo el mismo criterio y ser perpendiculares
entre sí, estos ejes pueden conformar un sistema bidimensional o tridimensional dependiendo de
si está formado por dos o tres ejes.
Las coordenadas se expresan en forma de tuplas (lista ordenada de elementos)
ordenadas, dos coordenadas forman una dupla, tres un trío, cuatro una cuádrupla, y así
sucesivamente; el que sean ordenadas significa que el orden en que se escriben las coordenadas
es muy importante, ya que escribirlas con un ordenamiento diferente hará referencia a otra
ubicación, es más, muchas veces se identifica a las coordenadas por su ubicación en la tupla
ordenada.

4. Polares: las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensionales, en este
sistema la ubicación de un punto en el espacio está determinada por un ángulo y una distancia
(magnitud).
El sistema de referencia está compuesto por un único punto “O” del plano, al que se
denomina origen o polo, y una recta que pasa por este punto, llamada eje polar (equivalente al
eje “x” en el sistema cartesiano). Así, todo punto “P” del plano tendrá la forma de par ordenado
(r,θ), donde “r” –llamada coordenada radial o radio vector- es la distancia de “P” al origen y TETA
–llamada coordenada angular o ángulo polar- es el ángulo formado entre el eje polar y la recta
OP; como convención se ha establecido que θ crece en sentido anti horario y decrece en sentido
horario y que el origen está ubicado en el (0,0°).
Esféricas: Las coordenadas esféricas son un sistema de coordenadas tridimensional basado en
la misma idea que las coordenadas polares, en este sistema la ubicación de un punto en el
espacio están determinadas por una distancia y dos ángulos.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un punto
“O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De esta forma
un punto “P” queda representado por el trió ordenado (r, θ, φ), donde “r” es la distancia de “P” al
origen, “θ” -colatitud- es el ángulo formado entre el eje “z” y la recta “OP” y “φ” – azimut- es el
ángulo formado entre el eje “x” y la proyección de la recta “OP” en el plano x-y.

5. Cilíndricas: Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas tridimensional en el que
la ubicación de un punto en el espacio está determinada por una distancia, una altura y un ángulo.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un punto “O”,
denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De esta forma un
punto “P” queda representado por el trió ordenado (ρ, φ, z), donde “ρ” –coordenada radial- es la
distancia de “P” al eje “z”, “φ” –coordenada acimutal- es el ángulo formado entre el eje “x” y “RO” y
“z” – coordenada vertical- es la distancia desde “P” al plano “x”-“y”.
Distancia entre dos puntos: Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus abscisas. Ejemplo:
La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde
al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas, Ahora si los puntos se encuentran en cualquier
lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

6. Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema
de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el
teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d= √ (4-7) 2 + (1-5) 2 = d=√ (-3)2 + (-4)2 = √9+16 =√25
d= 5
Ejemplo: calcular la distancia entre los siguientes puntos A (-1,-1) y B (2, 3).
Aplicamos la formula y sustituimos los valores:
d= √ (2-(-1)2 + (3-(-1)2 = d= √ 9+16 = √25
d= 5

7. División de un segmento en una razón dada
En matemática, cuando hablamos de razón queremos denotar que estamos comparando dos
cantidades. Así, por ejemplo, la razón 3/4=0,75 nos dice cuántas veces contiene el numerador
al denominador. En geometría, describimos un punto P que divide un segmento AB en dos
partes, tal que su razón es:
r = AP / PB
Ahora veamos cómo calcular las coordenadas de un punto P(x,y) que divide a un segmento AB
en un sistema cartesiano. Observemos la siguiente figura:

8. Al trasponer términos, obtenemos la razón:
De esta última expresión, despejamos x:
De manera análoga, podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje
Y, esto es:
Las coordenadas de un punto P(x,y) que divide al segmento A(x1,y1) y B(x2,y2) en la
razón

9. Son:
En geometría analítica se debe considerar el signo de r, ya que tratamos con segmentos
dirigidos.
Si el punto de división P es externo al segmento dirigido AB, entonces r es negativa (AP y
PB tienen sentidos contrarios).
Ejemplo: Obtener las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A(3,-
1) y B(-5,5) en la razón r=3/5.
X1= 3 y X2= -5

10. Y1= -1 y Y2= 5
El punto de división se encuentra en P (0,5/4), como se puede verse en la figura:

11. Ejemplo:
Grafica

12. Punto medio de un segmento: en matemática, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de cualquiera de los extremos. Describe una posición en el espacio, determinada
respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado
o triángulo. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas
con letras minúsculas). La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan
(una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un
pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias
ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y
con tres en el espacio (x, y, z). El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un
punto del segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es
un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Teorema del punto medio: Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA;
yA) ; B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:

13. Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados
puntos A (-1, 3) y B (6, 5).
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los
dados puntos A (-1, 3, 1) y B (6, 5, -3).
C= (2.5, 4, -1).
C= (2.5, 4)

14. Pendiente de una recta: En matemática se denomina pendiente a la inclinación de un
elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del
valor de la "m" es el ángulo en radianes). P, caso particular de la tangente a una curva
cualquiera, en cuyo caso representa la Derivada de una función en el punto considerado, y
es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y
otros elementos constructivos.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la
dirección positiva del eje de abscisas. Sean P1 (x1; y1) y (x2; y2), P2 dos puntos de una
recta, no paralela al eje Y; la pendiente:
Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo. Si la pendiente
(m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0 se
dice que la pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x)
del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano
cartesiano.

15. Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2, 1), B (4, 7) es:
Ejemplo: Calcula la pendiente de las rectas determinadas por los puntos dados y halla el
ángulo que forma con el semieje X positivo.
P1 (1; 3), P2 (6; 7)
Para calcular el ángulo α que forma la recta con la dirección positiva del eje X, tenemos:
Tan B = m = 4/5 = 0.8, luego B = 38.65.

16. cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento
paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz.
Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie
obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus
puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado
por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro. Este
sólido es utilizado como una superficie Gausiana.
Cilindro circular
recto

17. Superficie cilíndrica
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las
cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La superficie
lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.
Las superficies cilíndricas puede ser:
De revolución. Si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella .
De no revolución, si no existe un eje que equidiste de las generatrices.
Área de una superficie cilíndrica
La superficie de un cilindro circular recto está conformada por el área de la base, circular en
este caso: A=π*r^{2}, pero como este cilindro tiene 2 bases se multiplica por 2, siendo el área
total de las dos bases:
Ab= 2*π*r ^{2}
Además, el área lateral está formada por un rectángulo de altura h y de largo del perímetro del
círculo L=2*π*r por lo que el área lateral es: Al= 2*π*r*h. Por lo tanto, el área total, o área de la
superficie cilíndrica es:

18. Superficie de una esfera
El área de superficie de una esfera es igual al área lateral de superficie de un cilindro que tiene el
mismo radio como la esfera y una altura de longitud del diámetro de la esfera.
El área lateral de superficie del cilindro es 2 π*r*h donde h = 2*r .
Área lateral de superfície del cilindro = 2 π*r (2 r ) = 4*π*r 2 .
Por lo tanto, el área de superficie de una esfera con radio r es igual a
4*π*r 2 .
Ejemplo: determine el área de superficie de una esfera con un radio de 5
pulgadas
S. A. = 4 π (5) 2 = 100 π pulgadas 2 ≈ 314.16 pulgadas 2

19. Ángulos Directores
Se llaman ángulos directores de un vector, a los ángulos que el
vector forma con las direcciones positivas de los ejes
coordenados. Estos ángulos deberán ser tomados entre 0 y π (0º
y 180º).
Si el vector V está en R3 y sus componentes son: (v1, v2, v3)
tiene tres ángulos directores: α (ángulo formado con la dirección
positiva del eje x); β (ángulo formado con la dirección positiva del
eje y) y γ (ángulo formado con la dirección positiva del eje z).
Cosenos Directores
Se le denominan cosenos directores de un vector A, a los
cosenos de los ángulos que forma dicho vector con cada uno
con los ejes coordenados; estos determinan su dirección a lo
largo de cada eje. El número de cosenos directores depende del
número de dimensiones del sistema, si es de dos dimensiones,
existirán dos cosenos directores. Si es tridimensional, existirán
tres.

20. Angulo formado por dos rectas
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a
partir de:
Sus vectores directores : Rectas paralelas al eje oy:

21. Ejemplos:
Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son:
(-2, 1) y = (2, -3).
Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un
ángulo de 45°.
m1= 4 y m2= -1
α=45 cos 45= √2/2

22. Rectas paralelas y perpendiculares
Las rectas paralelas,Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se
interceptan. Un ejemplo de estas pueden ser los opuestos del marco rectangular de una pintura o
los estantes de una librería.
Las rectas perpendiculares, son dos o más rectas que se interceptan formando un ángulo de 90
grados, como las dos rectas dibujadas en la gráfica. Los ángulos de 90 grados también se llaman
ángulos rectos.
Las rectas perpendiculares también están en todos lados, no sólo en una gráfica en papel sino en
el mundo real, desde el patrón de cruce en las calles a la intersección de las líneas coloreadas de
una camisa a cuadros.

23. Recta perpendicular a dos rectas dadas
Dadas dos rectas que se cruzan, existen infinitas rectas que son perpendiculares a ambas, pero sólo
una que las corta. A esta recta se le llama perpendicular común.

24. Solución:
En primer lugar se calcula el producto vectorial
de los vectores directores de cada recta :
La recta perpendicular comun,t, se obtine como
la interseccion de los planos:

25. Plano y recta en el espacio
Un plano, es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos
y rectas ; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta. Cuando se
habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es
decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando
el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una
representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente
utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño, ya que sirven para diagramar en una superficie
plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.
Un plano queda definido por los siguientes
elementos geométricos: tres puntos no alineados,
Una recta y un punto exterior a ella, dos rectas
paralelas o dos rectas que se cortan.
Ecuación general del plano:
A x + B y + C z + D = 0
donde A, B y C no pueden ser 0 al mismo tiempo.

26. Ecuación del plano en segmentos:
Si el plano cruza los ejes OX, OY y OZ en los puntos con coordenadas (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, с),
entonces puede calcularse, utilizando la fórmula de ecuación del plano en segmentos:
Ecuación del plano, que pasa por tres puntos dados, que no están en
una recta
Si hay dadas coordenadas de tres puntos A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3), que están en
plano, entonces la ecuación del plano se puede calcular por la fórmula siguiente:

27. Ecuación del plano, que pasa por un punto, perpendicularmente al vector
normal
Para formular ecuación del plano, sabiendo las coordenadas del punto del plano M(x0, y0, z0) y
vector normal del plano n = {A; B; C}se puede utilizar la fórmula siguiente:
Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector ⃗n=(3,2,1) que pasa por el punto P0(1,1,–1).
Ejemplo:
Las componentes del vector n, nos indican los coeficientes del a,b y c de la ecuación del plano:

28. Como se consigue d:
El punto debe verificar la ecuación, entonces reemplazamos P0 y obtenemos el coeficiente que
faltaba:
Así se obtiene la ecuación del plano:
Éste es el único plano que pasa por el punto P0 y es perpendicular al vector n
Para efectuar un gráfico aproximado del plano que obtuvimos, podemos buscar sus intersecciones
con los ejes coordenados:
Para hallar la intersección con el eje x, debemos plantear y=z=0y=z=0 y despejar el valor de x.
Análogamente para las otras intersecciones, tal como se muestra en el siguiente cuadro:

29. Recta en el espacio, Para determinar una recta en el espacio necesitamos un punto y una
dirección. Cualquier vector que tenga la misma dirección que una recta dada es un vector director
de dicha recta.
Es destacable que, como en el plano, dados dos puntos podemos obtener un punto y un vector y
viceversa.
La ecuación vectorial de una recta r que pasa por un punto fijo P0(x0, y0) y que tiene como
vector director v(v1, v2) se expresa de la siguiente manera:

30. Ejemplo:
Hallar la ecuación vectorial que pasa por los puntos A(3 , 2) y B(1 , -1).
Primero se calcula el vector director:
Y luego se aplica la ecuación vectorial:

31. Conclusión
La geometría analítica es de gran importancia ya que se encarga del estudio
de las formas de las cosas u objetos y luego realizar una medición de cada
una de sus características. A través de los temas ya mencionados en esta
presentación como la recta en el plano, cosenos y ángulos directores que
por medio de sus ecuaciones matemáticas nos permiten obtener mayor
precisión a la hora de realizar diseños en el campo de la ingeniería.
Uno de sus campos mas importantes es en la arquitectura la cual permite
brindar distintas propiedades a las construcciones para la cual se apoya en
otra ciencia llamada fisica.

32. • https://www.youtube.com/watch?v=aaSrjfMyq1Y3
• https://www.youtube.com/watch?v=jOkhR3FA3Rs
• https://www.youtube.com/watch?v=yy3MzIM0cP0
Enlaces para ver los videos de los temas planteados.