SlideShare una empresa de Scribd logo
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Plano y recta en el espacio
Profesor: Realizado Por:
DOMINGO MENDEZ José Vásquez C.I.25.108.349
ING. Eléctrica
Sección: “3C”
Geometría en el Espacio
Es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras
geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se
encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma.
Base de la Geometría en el Espacio
Esta amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental
de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y
otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en
ciencias naturales
Sistema de Coordenadas rectangulares en el espacio
El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto matemático
formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano llamadas "ejes", la recta
horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. El plano queda dividido en cuatro partes
llamados cuadrantes.
Primer cuadrante "I": Región superior derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
Distancias entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (x) o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (y) o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el sistema
de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el
teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades
 Distancia entre una recta y un punto: Dada una rectar: Ax+By+C=0 y P= (p1, p2) un
punto no contenido en ella.
 La distancia entre el punto y la recta viene dada por:
 Distancia entre dos rectas: Si dos rectas en el plano no son paralelas, se cortan en un
punto y por tanto la distancia entre ambas será 0. Sólo tiene sentido estudiar la
distancia entre dos rectas si éstas son paralelas.
Sean r:Ax+By+C=0 y s:A'x+B'y+C'=0 dos rectas paralelas. Para hallar la distancia entre
ambas se toma un punto de una de ellas, por ejemplo de r, y se calcula la distancia de
ese punto a s.

 Distancia de un punto a un plano
Si desde un punto se traza una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la
perpendicular es menor que las oblicuas. Llamaremos distancia de un punto a un
plano a la longitud del segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el
plano.
Ángulos directores
Se llaman ÁNGULOS DIRECTORES de un vector, a los ángulos que el vector forma con las
direcciones positivas de los ejes coordenados. Estos ángulos deberán ser tomados entre 0
y 𝜋 (0° 𝑦 180° ).
Si el vector V está en R3 y sus componentes son: (v1, v2, v3) tiene tres ángulos directores:
α (ángulo formado con la dirección positiva del eje x); β (ángulo formado con la dirección
positiva del eje y) γ (ángulo formado con la dirección positiva del eje z).
Cosenos directores
Se le llaman cosenos directores, respecto de un sistema o de coordenadas ortogonales
con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los ángulos a que el mismo forma con el
sentido positivo de los ejes coordenados.
• Sus fórmulas son:
𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜸 = 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
𝑨𝜸
∕𝑨∕
𝐜𝐨𝐬 𝜸 =
𝑨𝒁
∕𝑨∕
𝐜𝐨𝐬 ∝ =
𝑨𝑿
∕𝑨∕
• Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la siguiente fórmula:
• Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ en la formula correspondiente a su
eje.
• Posteriormente se sustituye en la fórmula de suma de cosenos.
Plano
Un plano está determinado por:
•Tres puntos no alineados.
•Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno.
•Dos rectas paralelas.
•Una recta y un punto exterior a esta.
Plano Euclidiano
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan
en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que
son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las
distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.
Sistema de coordenadas cartesianas.
La ecuación del eje x es, y = 0 la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O,
cuyas coordenadas son (0,0) .
Se denomina también eje, de las abscisas al eje (x), y eje de las ordenadas al eje (y). Los
ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los signos de las
coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto
A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del
segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a
los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se
define respecto del origen con las componentes del vector OA.
𝑂𝐴 = 𝑋𝐴 𝑖 + 𝑦 𝐴 𝑗
La posición del punto A será:
𝐴 = (𝑋𝐴 , 𝑌𝐴)
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las
componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
𝑑 𝐴𝐵 = √(𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴 )2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)2
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de
origen de las del punto de destino:
𝐴𝐵 = ( 𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴) 𝑖 + (𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ) j
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes
calculada.
El Plano R3
En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los
cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).
 Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.
 Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el
plano mismo.
 Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.
 Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo, existe solo un plano
tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo, existe un número
infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.
Ecuación del plano
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos
vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1,𝑦1 , 𝑧1 )+ 𝑚 ( 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦, 𝑢 𝑧 ) + 𝑛 ( 𝑎2, 𝑏2 , 𝑐2 )
Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida,
resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto
genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:
|
( 𝒙 − 𝒑)
𝒖
𝒗
| = 0 => |
𝑥 − 𝑝𝑥 𝑦 − 𝑝 𝑦 𝑧 − 𝑝𝑧
𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑢 𝑧
𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣𝑧
| = 0 => 𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 + 𝐷 = 0
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de
los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:
𝑎 ( 𝑥 − ℎ ) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑘 )+ 𝑐 ( 𝑧 − 𝑗 ) = 0
Posición relativa entre dos planos
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano
2 con un punto B y un vector normal 2. Sus posiciones relativas pueden ser:
 Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A
pertenece al plano 2.
 Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no
pertenece al plano 2.
 Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.
Características de los subconjuntos llamados planos
•Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano y solo uno.
•Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta común que contiene
a ese punto (recta de intersección).
•Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están contenida en dicho plano.
Ángulo formado por dos rectas
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden
obtener a partir de:
• Sus vectores:
• Sus pendientes:
• Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores
directores son:= (-2, 1) y = (2, -3).
• Las rectas r y s se cortan en un puntoA, que es vértice de un triángulo obtusángulo en
A. Determina el ángulo A de ese triángulo
𝒓 ≡
𝒙 −𝟏
𝟐
=
𝜸
𝟑
𝒔 ≡
𝒙
𝟏
=
𝜸 − 𝟐
− 𝟐
𝑽𝒓⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝟐, 𝟑) 𝑽𝒔⃗⃗⃗⃗ = ( 𝟏,−𝟐)
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
| 𝟐 . 𝟏 − 𝟑 . (−𝟐) |
√ 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 . √ 𝟏 𝟐 + (−𝟐) 𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟏𝟒
𝜶 = 𝟔𝟎° 𝟏𝟓´ A= 𝟏𝟖𝟎° 𝟏𝟓´ = 𝟏𝟏𝟗° 𝟒𝟓´
Rectas y planos
•Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan.
•Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho plano
(Criterio de paralelismo de recta y plano).
•La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su punto de
intersección.
•La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que pasan por su punto de
intersección
Rectas en el espacio
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del
plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección
que , luego es igual a multiplicado por un escalar:
Rectas en R3
Sea P0(x0, y0, z 0) un punto que pertenece a la recta L, convector
director d diferente del vector cero dado por (a,b,c).Se define a L como
el conjunto de puntos P(x ,y ,z ) tales que la dirección del vector P0P es
paralela a d.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones continúas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y
pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones
implícitas.
 Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma
pendiente.
𝑈⃗⃗ = 𝑉⃗
𝑈1
𝑈2
=
𝑉1
𝑉2
𝐴1
𝐵1
=
𝐴2
𝐵2
𝒎 𝒓 = 𝒎 𝒔
𝒓 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
𝒓 ∥ 𝒔 𝑽 𝒓
⃗⃗⃗⃗ = 𝑽 𝒔
⃗⃗⃗⃗ = ( −𝑩 , 𝑨 )
𝑺 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑲 = 𝟎 K ∈ ℝ
 Rectas perpendiculares
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y
cambiadas de signo.
𝒎 𝒔 = −
𝟏
𝒎 𝒓
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son
perpendiculares.
𝑽 𝒓
⃗⃗⃗⃗ . 𝑽𝒔
⃗⃗⃗⃗ = 𝟎
𝒓 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝑽 𝒓
⃗⃗⃗⃗ = ( −𝑩 , 𝑨)
𝒓 ⊥ 𝒔
𝑺 ≡ −𝑩𝑿 + 𝑨𝒚 + 𝑲 = 𝟎 𝑲 ∈ ℝ 𝑽𝒔
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑨 , 𝑩)
Ejemplos:
Características de los subconjuntos llamados rectas
•Dos puntos determinan una recta y solo una.
•Por un punto pasan infinitas rectas.
•El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con el
conjunto de los números reales, de manera que se conserva el orden.
•Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Rectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacioRectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacio
Ramirez1Andrea
 
Presentacion funciones de varias variables Andreina Perez
Presentacion funciones de varias variables Andreina PerezPresentacion funciones de varias variables Andreina Perez
Presentacion funciones de varias variables Andreina Perez
AndrePrez4
 
Vectores en r2 y r3 por tony
Vectores en r2 y r3 por tony Vectores en r2 y r3 por tony
Vectores en r2 y r3 por tony
Tony Purple Diamond
 
Algebra Vectorial
Algebra VectorialAlgebra Vectorial
Algebra Vectorial
algvctse10
 
Familia de rectas
Familia de rectasFamilia de rectas
Familia de rectas
Aldo Daquilema
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
Daniel Ossa
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
nerby andrade
 
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_aPlano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
ricardocamposlandaeta
 
calculo vectorial
calculo vectorialcalculo vectorial
calculo vectorial
rich_guadalupano08
 
Importacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacio
Importacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacioImportacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacio
Importacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacio
Alejandro Aguilera
 
Sistemas de coordenadas
Sistemas de coordenadasSistemas de coordenadas
Sistemas de coordenadas
rosalinameza
 
Sistemas de coordenas
Sistemas de coordenasSistemas de coordenas
Sistemas de coordenas
MarianoHernandez27
 
ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTAECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA
LUZANGELICAANCCASIRU
 
Plano numerico hernan meza
Plano numerico hernan mezaPlano numerico hernan meza
Plano numerico hernan meza
HernanAlejandroMezaP
 
3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO
3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO
3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO
edvinogo
 
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianasCoordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianas
belesan
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
alexferneyb95
 
Ecuaciones Paramétricas
Ecuaciones ParamétricasEcuaciones Paramétricas
Ecuaciones Paramétricas
RominaMndezDunn
 
Espacio tridimensional
Espacio tridimensionalEspacio tridimensional
Espacio tridimensional
DianaCecilia Salazar
 
Rectas
RectasRectas

La actualidad más candente (20)

Rectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacioRectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacio
 
Presentacion funciones de varias variables Andreina Perez
Presentacion funciones de varias variables Andreina PerezPresentacion funciones de varias variables Andreina Perez
Presentacion funciones de varias variables Andreina Perez
 
Vectores en r2 y r3 por tony
Vectores en r2 y r3 por tony Vectores en r2 y r3 por tony
Vectores en r2 y r3 por tony
 
Algebra Vectorial
Algebra VectorialAlgebra Vectorial
Algebra Vectorial
 
Familia de rectas
Familia de rectasFamilia de rectas
Familia de rectas
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
 
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_aPlano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
 
calculo vectorial
calculo vectorialcalculo vectorial
calculo vectorial
 
Importacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacio
Importacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacioImportacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacio
Importacia y ejemplos de ejercicios de plano y rectas en el espacio
 
Sistemas de coordenadas
Sistemas de coordenadasSistemas de coordenadas
Sistemas de coordenadas
 
Sistemas de coordenas
Sistemas de coordenasSistemas de coordenas
Sistemas de coordenas
 
ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTAECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA
 
Plano numerico hernan meza
Plano numerico hernan mezaPlano numerico hernan meza
Plano numerico hernan meza
 
3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO
3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO
3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO
 
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianasCoordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianas
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
 
Ecuaciones Paramétricas
Ecuaciones ParamétricasEcuaciones Paramétricas
Ecuaciones Paramétricas
 
Espacio tridimensional
Espacio tridimensionalEspacio tridimensional
Espacio tridimensional
 
Rectas
RectasRectas
Rectas
 

Destacado

Tecniques2
Tecniques2Tecniques2
Tecniques2
aleksarjona
 
Run NYC
Run NYCRun NYC
Run NYC
Paul Viole
 
Entrega geometria
Entrega geometriaEntrega geometria
Entrega geometria
Jose Clemente Vasquez
 
Instituto universitario politécnico
Instituto universitario politécnicoInstituto universitario politécnico
Instituto universitario politécnico
Jose Clemente Vasquez
 
Fractali
FractaliFractali
Fractali
Bogdan_C
 
Sample BRS
Sample BRSSample BRS
Sample BRS
Michael Milch
 
Mpept
MpeptMpept
Bill was right
Bill was rightBill was right
Bill was right
Paul Viole
 
Entrega ahorita
Entrega ahoritaEntrega ahorita
Entrega ahorita
Jose Clemente Vasquez
 
Modernismo en venezuela
Modernismo en venezuelaModernismo en venezuela
Modernismo en venezuela
Yoreinis Garcia
 
Tècniques d’estudi
Tècniques d’estudiTècniques d’estudi
Tècniques d’estudi
aleksarjona
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
Jose Clemente Vasquez
 
water_pollution_policy_in_the_us
water_pollution_policy_in_the_uswater_pollution_policy_in_the_us
water_pollution_policy_in_the_us
Allison Hockey
 
La planificacio
La planificacioLa planificacio
La planificacio
aleksarjona
 
Hemoglobin
HemoglobinHemoglobin
Hemoglobin
Aya Zakraya
 

Destacado (15)

Tecniques2
Tecniques2Tecniques2
Tecniques2
 
Run NYC
Run NYCRun NYC
Run NYC
 
Entrega geometria
Entrega geometriaEntrega geometria
Entrega geometria
 
Instituto universitario politécnico
Instituto universitario politécnicoInstituto universitario politécnico
Instituto universitario politécnico
 
Fractali
FractaliFractali
Fractali
 
Sample BRS
Sample BRSSample BRS
Sample BRS
 
Mpept
MpeptMpept
Mpept
 
Bill was right
Bill was rightBill was right
Bill was right
 
Entrega ahorita
Entrega ahoritaEntrega ahorita
Entrega ahorita
 
Modernismo en venezuela
Modernismo en venezuelaModernismo en venezuela
Modernismo en venezuela
 
Tècniques d’estudi
Tècniques d’estudiTècniques d’estudi
Tècniques d’estudi
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
 
water_pollution_policy_in_the_us
water_pollution_policy_in_the_uswater_pollution_policy_in_the_us
water_pollution_policy_in_the_us
 
La planificacio
La planificacioLa planificacio
La planificacio
 
Hemoglobin
HemoglobinHemoglobin
Hemoglobin
 

Similar a Geometraenelespacio 160807232856

Plano Numerico.docx
Plano Numerico.docxPlano Numerico.docx
Plano Numerico.docx
mariacarreo43
 
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_aPlano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
andymolinapernia
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
jose angel gomez guarapana
 
plano cartesiano.pptx
plano cartesiano.pptxplano cartesiano.pptx
plano cartesiano.pptx
Naiyerlis
 
Investigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalar
Investigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalarInvestigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalar
Investigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalar
Joel Mendoza
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2
Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2
Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2
pepe brito
 
Plano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferencias
Plano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferenciasPlano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferencias
Plano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferencias
estefanyvanessagilto
 
Plano Numerico.pptx
Plano Numerico.pptxPlano Numerico.pptx
Plano Numerico.pptx
samiramaro
 
Plano numérico.docx............................
Plano numérico.docx............................Plano numérico.docx............................
Plano numérico.docx............................
eliannyRobertis
 
Teoria ayuda 3
Teoria   ayuda 3Teoria   ayuda 3
Teoria ayuda 3
odar bonifaz rodriguez
 
Plano numerico de joan cortez. unidad 2
Plano numerico de joan cortez. unidad 2Plano numerico de joan cortez. unidad 2
Plano numerico de joan cortez. unidad 2
joan cortez
 
Espacio afin rectas planos
Espacio afin  rectas planosEspacio afin  rectas planos
Espacio afin rectas planos
soigca
 
Recta y Planos En el espacio
Recta y Planos En el espacioRecta y Planos En el espacio
Recta y Planos En el espacio
Alejandro Aguilera
 
Unidad 2 y 3 calculo vectorial
Unidad 2  y 3 calculo vectorialUnidad 2  y 3 calculo vectorial
Unidad 2 y 3 calculo vectorial
Andy Hernandez
 
3. geometria-i
3. geometria-i3. geometria-i
3. geometria-i
XavierSantamaria10
 
Plano y recta_en_el_espacio
Plano y recta_en_el_espacioPlano y recta_en_el_espacio
Plano y recta_en_el_espacio
ricardocamposlandaeta
 
Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas
Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas
Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas
joseAngelRemacheCast
 
Plano numerico Valeria Zambrano.pdf
Plano numerico Valeria Zambrano.pdfPlano numerico Valeria Zambrano.pdf
Plano numerico Valeria Zambrano.pdf
ValeriaValentinaZamb
 
Coordenades
CoordenadesCoordenades
Coordenades
erlindavid
 

Similar a Geometraenelespacio 160807232856 (20)

Plano Numerico.docx
Plano Numerico.docxPlano Numerico.docx
Plano Numerico.docx
 
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_aPlano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
Plano y recta_en_el_espacio_andy_molina_4_a
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
plano cartesiano.pptx
plano cartesiano.pptxplano cartesiano.pptx
plano cartesiano.pptx
 
Investigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalar
Investigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalarInvestigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalar
Investigación de ley de senos y cosenos, vectores, ángulos y producto escalar
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Algebra
 
Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2
Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2
Vectoresenelespacio 111217192205-phpapp02 2
 
Plano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferencias
Plano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferenciasPlano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferencias
Plano numerico, distancia, punto medio,ecuaciones y trazado de circunferencias
 
Plano Numerico.pptx
Plano Numerico.pptxPlano Numerico.pptx
Plano Numerico.pptx
 
Plano numérico.docx............................
Plano numérico.docx............................Plano numérico.docx............................
Plano numérico.docx............................
 
Teoria ayuda 3
Teoria   ayuda 3Teoria   ayuda 3
Teoria ayuda 3
 
Plano numerico de joan cortez. unidad 2
Plano numerico de joan cortez. unidad 2Plano numerico de joan cortez. unidad 2
Plano numerico de joan cortez. unidad 2
 
Espacio afin rectas planos
Espacio afin  rectas planosEspacio afin  rectas planos
Espacio afin rectas planos
 
Recta y Planos En el espacio
Recta y Planos En el espacioRecta y Planos En el espacio
Recta y Planos En el espacio
 
Unidad 2 y 3 calculo vectorial
Unidad 2  y 3 calculo vectorialUnidad 2  y 3 calculo vectorial
Unidad 2 y 3 calculo vectorial
 
3. geometria-i
3. geometria-i3. geometria-i
3. geometria-i
 
Plano y recta_en_el_espacio
Plano y recta_en_el_espacioPlano y recta_en_el_espacio
Plano y recta_en_el_espacio
 
Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas
Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas
Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas
 
Plano numerico Valeria Zambrano.pdf
Plano numerico Valeria Zambrano.pdfPlano numerico Valeria Zambrano.pdf
Plano numerico Valeria Zambrano.pdf
 
Coordenades
CoordenadesCoordenades
Coordenades
 

Último

Klohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdf
Klohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdfKlohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdf
Klohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdf
ciniguez1
 
ANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALESANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALES
John Paul Collazos Campos
 
tarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptx
tarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptxtarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptx
tarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptx
KrchipullaJavier
 
CHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajo
CHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajoCHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajo
CHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajo
DiegoMarinado1
 
Catálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdf
Catálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdfCatálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdf
Catálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdf
andressalas92
 
Señalizacion y codigo de colores[1].pptx
Señalizacion y codigo de colores[1].pptxSeñalizacion y codigo de colores[1].pptx
Señalizacion y codigo de colores[1].pptx
ESCO PERÚ
 
GESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptx
GESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptxGESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptx
GESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptx
HectorSebastianPedra2
 
448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx
448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx
448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx
Julio Cesar Malaver
 
CURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptx
CURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptxCURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptx
CURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptx
camevayu83
 
Programas relacionado a telecomunicaciones.pptx
Programas relacionado a telecomunicaciones.pptxProgramas relacionado a telecomunicaciones.pptx
Programas relacionado a telecomunicaciones.pptx
AndrsSerrano23
 
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calor
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calorPresentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calor
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calor
GerardoBracho3
 
Aplicación de las 5s en mi habitación.pptx
Aplicación de las 5s en mi habitación.pptxAplicación de las 5s en mi habitación.pptx
Aplicación de las 5s en mi habitación.pptx
LuisFernandoGarciaHe3
 
PRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiborax
PRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiboraxPRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiborax
PRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiborax
fernandochoque46
 
presentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidos
presentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidospresentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidos
presentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidos
EnriqueOliva4
 
Pasamuros Cortafuego - Industrias Metalfox
Pasamuros Cortafuego - Industrias MetalfoxPasamuros Cortafuego - Industrias Metalfox
Pasamuros Cortafuego - Industrias Metalfox
INDUSTRIAS METALFOX S.A.S.
 
presentación de transferencia de calor renzo jordan .pdf
presentación de transferencia de calor renzo jordan .pdfpresentación de transferencia de calor renzo jordan .pdf
presentación de transferencia de calor renzo jordan .pdf
Renzo618891
 
Aletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicos
Aletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicosAletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicos
Aletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicos
FrancelisFernandez
 
Memoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdf
Memoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdfMemoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdf
Memoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdf
ManuelSierra46
 
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPTSESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
JuniorCochachin2
 
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
Angel Tello
 

Último (20)

Klohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdf
Klohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdfKlohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdf
Klohn Crippen Berger _ Brochure LAM .pdf
 
ANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALESANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALES
ANALISIS ESTRUCTURALES SAP2000 EN SISTEMAS ESTRUCTURALES
 
tarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptx
tarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptxtarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptx
tarea contabilidad tare#2 del segundo parcial.pptx
 
CHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajo
CHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajoCHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajo
CHARLA NFPA70E Seguridad Eléctrica en lugares de trabajo
 
Catálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdf
Catálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdfCatálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdf
Catálogo-Polietileno. Información sobre tuberías y accesorios PEADpdf
 
Señalizacion y codigo de colores[1].pptx
Señalizacion y codigo de colores[1].pptxSeñalizacion y codigo de colores[1].pptx
Señalizacion y codigo de colores[1].pptx
 
GESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptx
GESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptxGESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptx
GESTIÓN DE LA SEGURIDAD DE LA INFORMACIÓN.pptx
 
448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx
448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx
448947888-GAS-5ta-Generacion-Part1 glp.pptx
 
CURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptx
CURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptxCURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptx
CURRICULO INTEGRADO del nivel primaria.pptx
 
Programas relacionado a telecomunicaciones.pptx
Programas relacionado a telecomunicaciones.pptxProgramas relacionado a telecomunicaciones.pptx
Programas relacionado a telecomunicaciones.pptx
 
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calor
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calorPresentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calor
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calor
 
Aplicación de las 5s en mi habitación.pptx
Aplicación de las 5s en mi habitación.pptxAplicación de las 5s en mi habitación.pptx
Aplicación de las 5s en mi habitación.pptx
 
PRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiborax
PRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiboraxPRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiborax
PRESENTACION cdc Rev. B.pptx proyecto ar2 quiborax
 
presentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidos
presentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidospresentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidos
presentacion de estabilidad y empuje mecanica de fluidos
 
Pasamuros Cortafuego - Industrias Metalfox
Pasamuros Cortafuego - Industrias MetalfoxPasamuros Cortafuego - Industrias Metalfox
Pasamuros Cortafuego - Industrias Metalfox
 
presentación de transferencia de calor renzo jordan .pdf
presentación de transferencia de calor renzo jordan .pdfpresentación de transferencia de calor renzo jordan .pdf
presentación de transferencia de calor renzo jordan .pdf
 
Aletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicos
Aletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicosAletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicos
Aletas (Superficies extendidas) y aislantes térmicos
 
Memoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdf
Memoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdfMemoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdf
Memoria_Integrada_EFETrenes Trenes de Chile 2023.pdf
 
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPTSESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
SESION1-clase01 inici de primera unidad.PPT
 
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
561425171-5-1-Modelos-de-Pronosticos.pptx
 

Geometraenelespacio 160807232856

  • 1. República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Plano y recta en el espacio Profesor: Realizado Por: DOMINGO MENDEZ José Vásquez C.I.25.108.349 ING. Eléctrica Sección: “3C”
  • 2. Geometría en el Espacio Es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. Base de la Geometría en el Espacio Esta amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales Sistema de Coordenadas rectangulares en el espacio El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto matemático formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano llamadas "ejes", la recta horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. El plano queda dividido en cuatro partes llamados cuadrantes. Primer cuadrante "I": Región superior derecha Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha Distancias entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (x) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (y) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
  • 3. Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1) d = 5 unidades  Distancia entre una recta y un punto: Dada una rectar: Ax+By+C=0 y P= (p1, p2) un punto no contenido en ella.  La distancia entre el punto y la recta viene dada por:  Distancia entre dos rectas: Si dos rectas en el plano no son paralelas, se cortan en un punto y por tanto la distancia entre ambas será 0. Sólo tiene sentido estudiar la distancia entre dos rectas si éstas son paralelas. Sean r:Ax+By+C=0 y s:A'x+B'y+C'=0 dos rectas paralelas. Para hallar la distancia entre ambas se toma un punto de una de ellas, por ejemplo de r, y se calcula la distancia de ese punto a s.   Distancia de un punto a un plano Si desde un punto se traza una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la perpendicular es menor que las oblicuas. Llamaremos distancia de un punto a un plano a la longitud del segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el plano. Ángulos directores Se llaman ÁNGULOS DIRECTORES de un vector, a los ángulos que el vector forma con las direcciones positivas de los ejes coordenados. Estos ángulos deberán ser tomados entre 0 y 𝜋 (0° 𝑦 180° ).
  • 4. Si el vector V está en R3 y sus componentes son: (v1, v2, v3) tiene tres ángulos directores: α (ángulo formado con la dirección positiva del eje x); β (ángulo formado con la dirección positiva del eje y) γ (ángulo formado con la dirección positiva del eje z). Cosenos directores Se le llaman cosenos directores, respecto de un sistema o de coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los ángulos a que el mismo forma con el sentido positivo de los ejes coordenados. • Sus fórmulas son: 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜸 = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜷 = 𝑨𝜸 ∕𝑨∕ 𝐜𝐨𝐬 𝜸 = 𝑨𝒁 ∕𝑨∕ 𝐜𝐨𝐬 ∝ = 𝑨𝑿 ∕𝑨∕ • Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la siguiente fórmula: • Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ en la formula correspondiente a su eje. • Posteriormente se sustituye en la fórmula de suma de cosenos. Plano Un plano está determinado por: •Tres puntos no alineados. •Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno. •Dos rectas paralelas. •Una recta y un punto exterior a esta. Plano Euclidiano Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que
  • 5. son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos. Sistema de coordenadas cartesianas. La ecuación del eje x es, y = 0 la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son (0,0) . Se denomina también eje, de las abscisas al eje (x), y eje de las ordenadas al eje (y). Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas). Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes. Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA. 𝑂𝐴 = 𝑋𝐴 𝑖 + 𝑦 𝐴 𝑗 La posición del punto A será: 𝐴 = (𝑋𝐴 , 𝑌𝐴) Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial. La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión: 𝑑 𝐴𝐵 = √(𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴 )2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)2
  • 6. Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC. Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino: 𝐴𝐵 = ( 𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴) 𝑖 + (𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ) j Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada. El Plano R3 En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).  Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.  Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo.  Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.  Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.  Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo, existe solo un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.  Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo, existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π. Ecuación del plano Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores: Punto P = (x1, y1, z1) Vector u = (ux, uy, uz) Vector v = (a2, b2, c2) ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1,𝑦1 , 𝑧1 )+ 𝑚 ( 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦, 𝑢 𝑧 ) + 𝑛 ( 𝑎2, 𝑏2 , 𝑐2 )
  • 7. Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es: | ( 𝒙 − 𝒑) 𝒖 𝒗 | = 0 => | 𝑥 − 𝑝𝑥 𝑦 − 𝑝 𝑦 𝑧 − 𝑝𝑧 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑢 𝑧 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣𝑧 | = 0 => 𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 + 𝐷 = 0 Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es: 𝑎 ( 𝑥 − ℎ ) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑘 )+ 𝑐 ( 𝑧 − 𝑗 ) = 0 Posición relativa entre dos planos Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2. Sus posiciones relativas pueden ser:  Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.  Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.  Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección. Características de los subconjuntos llamados planos •Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano y solo uno. •Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta común que contiene a ese punto (recta de intersección). •Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están contenida en dicho plano. Ángulo formado por dos rectas Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: • Sus vectores:
  • 8. • Sus pendientes: • Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son:= (-2, 1) y = (2, -3). • Las rectas r y s se cortan en un puntoA, que es vértice de un triángulo obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo 𝒓 ≡ 𝒙 −𝟏 𝟐 = 𝜸 𝟑 𝒔 ≡ 𝒙 𝟏 = 𝜸 − 𝟐 − 𝟐 𝑽𝒓⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝟐, 𝟑) 𝑽𝒔⃗⃗⃗⃗ = ( 𝟏,−𝟐) 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = | 𝟐 . 𝟏 − 𝟑 . (−𝟐) | √ 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 . √ 𝟏 𝟐 + (−𝟐) 𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟏𝟒 𝜶 = 𝟔𝟎° 𝟏𝟓´ A= 𝟏𝟖𝟎° 𝟏𝟓´ = 𝟏𝟏𝟗° 𝟒𝟓´ Rectas y planos •Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan. •Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho plano (Criterio de paralelismo de recta y plano). •La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su punto de intersección. •La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que pasan por su punto de intersección
  • 9. Rectas en el espacio Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada . Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar: Rectas en R3 Sea P0(x0, y0, z 0) un punto que pertenece a la recta L, convector director d diferente del vector cero dado por (a,b,c).Se define a L como el conjunto de puntos P(x ,y ,z ) tales que la dirección del vector P0P es paralela a d. Ecuaciones paramétricas de la recta Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
  • 10. Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir: Ecuaciones continúas de la recta Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene: Ecuaciones implícitas de la recta Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos. Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.  Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente. 𝑈⃗⃗ = 𝑉⃗ 𝑈1 𝑈2 = 𝑉1 𝑉2 𝐴1 𝐵1 = 𝐴2 𝐵2 𝒎 𝒓 = 𝒎 𝒔
  • 11. 𝒓 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝒓 ∥ 𝒔 𝑽 𝒓 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑽 𝒔 ⃗⃗⃗⃗ = ( −𝑩 , 𝑨 ) 𝑺 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑲 = 𝟎 K ∈ ℝ  Rectas perpendiculares Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. 𝒎 𝒔 = − 𝟏 𝒎 𝒓 Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares. 𝑽 𝒓 ⃗⃗⃗⃗ . 𝑽𝒔 ⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 𝒓 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝑽 𝒓 ⃗⃗⃗⃗ = ( −𝑩 , 𝑨) 𝒓 ⊥ 𝒔 𝑺 ≡ −𝑩𝑿 + 𝑨𝒚 + 𝑲 = 𝟎 𝑲 ∈ ℝ 𝑽𝒔 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑨 , 𝑩) Ejemplos: Características de los subconjuntos llamados rectas •Dos puntos determinan una recta y solo una.
  • 12. •Por un punto pasan infinitas rectas. •El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números reales, de manera que se conserva el orden. •Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.