Este documento presenta información sobre el diseño de compensadores de atraso en frecuencia. Explica la filosofía de diseño de estos compensadores y cómo se utiliza su respuesta de magnitud para atenuar la curva de magnitud de la planta y lograr el margen de fase requerido. Luego, detalla los pasos para el diseño, incluyendo dos ejemplos numéricos donde se calculan los parámetros del compensador para satisfacer las especificaciones dadas.

1. Lección 9: Diseño de Compensadores de Atraso en
Frecuencia
20 de marzo de 2007
1. Lecturas Recomendadas
Cap. 10, pág. 608-613. Dorf and Bishop (2005).
Cap. 9, pág. 630-639. Ogata (2003).
Cap. 10, pág. 747-758. Kuo (1996)
2. Filosofía del Diseño
A diferencia de los compensadores de adelanto, en los de atraso lo importante es la carac-
terística de magnitud, mas no la de fase. Al igual que en el diseño con LGR, se debe procurar
que el compensador de atraso no brinde más de 5 grados de fase en adelanto.
Con este compensador se pretende atenuar la curva de magnitud de la planta, de tal manera
que el cruce de la ganancia por la línea de 0dB sea por un punto en el cual se tiene el margen de
fase (MF) requerido. Esto se logra gracias a la respuesta de magnitud de este compensador.
Gc(jw) =
1 + jwτ
1 + jwατ
|Gc(jw)|dB = 20 log 1 + (wτ)2
− 20 log 1 + (wατ)2
donde 1
τ
> 1
ατ
, de tal manera que la aproximación asintótica a la respuesta de frecuencia del
sistema es la que se presenta en la Figura (1).
Nótese que a alta frecuencia la ganancia (wτ 1) del compensador es,
|G(jw)|dB = 20 log (wτ) − 20 log (wατ)
= −20 log (α)
Es esta característica, la que se utiliza para producir la atenuación necesaria para producir
el el cruce por la línea de 0dB a la frecuencia deseada.
1

2. 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−25
−20
−15
−10
−5
0
Respuesta de Frecuencia de un Compensador de atraso
Frecuencia (rad/s)
Magnitud(dB)
Respuesta Real
Aproximacion Asintotica
Figura 1: Red de Adelanto (τ = 0,01, α = 10)
3. Procedimiento de Diseño
Se pueden enumerar los siguientes pasos para el diseño,
1. Si las especificaciones de diseño incluyen una constante de error estático, entonces se
debe proceder a calcular la constate K del compensador.
2. Se dibuja la respuesta de frecuencia de KG(jw).
3. Se determina el MF del sistema KG(jw) ya sea por un método analítico, gráfico o
numérico.
4. Encontrar en el diagrama la frecuencia a la cual se satisface el MF requerido (wc). Añada
unos 5 grados al MF para compensar el corrimiento de fase debido a la contribución del
compensador.
5. Mida la atenuación necesaria que debe proveer el compensador para que la nueva fre-
cuencia de cruce sea a wc.
6. Calcule α considerando que la magnitud de atenuación que brinda el compensador es
−20 log (α).
7. Calcule el cero del compensador (1
τ
) colocandolo al menos una década antes de la nueva
frecuencia de cruce.
8. Calcule el polo como 1
ατ
.
2

3. 4. Ejemplos
4.1. Ejemplo 1:
Diseñar un compensador para el sistema de la ecuación (1), tal que la constate de error de
velocidad sea de 20 [1/s] y el MF sea igual a 45 grados.
G(s) =
k
s (s + 2)
(1)
Se calcula primero la ganancia k del sistema de tal manera de cumplir con las especifica-
ciones de la constante de error de velocidad.
kv = l´ım
s→0
sGc(s)G(s)
= l´ım
s→0
s
1 + τs
1 + ατs
k
s (s + 2)
=
k
2
Por lo que el valor de k es 40. Se obtiene entonces la respuesta de frecuencia del sistema
kG(s), como se muestra en la Figura (2).
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
Magnitude(dB)
System: Plant G
Frequency (rad/sec): 1.7
Magnitude (dB): 19.1
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
Phase(deg)
System: Plant G
Phase Margin (deg): 18
Delay Margin (sec): 0.0508
At frequency (rad/sec): 6.17
Closed Loop Stable? Yes
System: Plant G
Frequency (rad/sec): 1.7
Phase (deg): −130
Figura 2: Respuesta de Frecuencia del Sistema sin Compensar.
De la figura anterior, se puede medir que el MF del sistema sin compensar es de apenas 17.96
grados (18 grados aproximadamente), por lo que es necesario la prescencia del compensador.
Buscando en esta misma curva se observa que a una frecuencia de wc = 1,687rad/s (1.7rad/s
aproximadamente), el sistema tiene una fase de -130 grados, lo cual correspondería a un MF =
50 grados (45 grados de especificacion + 5 grados para compensar corrimiento de fase por
3

4. Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
Magnitude(dB)
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
Phase(deg)
System: Open Loop L
Phase Margin (deg): 44.8
Delay Margin (sec): 0.465
At frequency (rad/sec): 1.68
Closed Loop Stable? Yes
Figura 3: Respuesta de Frecuencia del Sistema Compensado.
el compensador). Adicionalmente, a esta misma frecuencia el sistema tiene una ganancia de
19.21dB.
Para que la respuesta de frecuencia del sistema compensado cruce la línea de 0dB a wc es
necesario entonces que el compensador atenue los 19.21dB a esa frecuencia. Entonces,
−20 log (α) = −19,21dB
α = 9,13
Para calcular el cero del compensador (1
τ
), este se coloca una década antes de la frecuencia
wc, dando así,
1
τ
=
1,687
10
τ = 5,9594
Una vez calculado el parámetro τ, el polo del compensador queda determinado como ατ.
El compensador entonces es,
Gc(s) =
1 + 5,9594s
1 + 54,409s
La respuesta de frecuencia del sistema compensado se presenta en la Figura (3).
4

5. 4.2. Ejemplo 2:
Diseñar un compensador para el sistema de la ecuación (2), tal que la constate de error de
velocidad sea de 20 [1/s] y ξ = 0,707.
G(s) =
k
s (s + 10)2 (2)
Dado que ξ = 0,01MF, entonces se tiene que MF = 70,7 grados (71 grados aproxi-
madamente). Se procede entonces a calcular la ganancia del sistema para compensar el error en
estado estable,
kv = l´ım
s→0
sGc(s)G(s)
= l´ım
s→0
s
1 + τs
1 + ατs
k
s (s + 10)2
=
k
100
Por lo que el valor de k es 2000. Se obtiene entonces la respuesta de frecuencia del sistema
kG(s), como se muestra en la Figura (2).
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
−150
−100
−50
0
50
100
Magnitude(dB)
System: Plant G
Gain Margin (dB): 1.2e−014
At frequency (rad/sec): 10
Closed Loop Stable? Yes
System: Plant G
Frequency (rad/sec): 1.25
Magnitude (dB): 23.9
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−270
−225
−180
−135
−90
Phase(deg)
System: Plant G
Phase Margin (deg): 0
Delay Margin (sec): 0
At frequency (rad/sec): 10
Closed Loop Stable? Yes
System: Plant G
Frequency (rad/sec): 1.25
Phase (deg): −104
Figura 4: Respuesta de Frecuencia del Sistema sin Compensar.
Dado que el MF requerido es de 71 grados, entonces considerando un ajuste de 5 grados
por el compensador, se debe buscar en la gráfica a que frecuencia el sistema tiene un ángulo de
-104 grados. Se encuentra que la frecuencia es wc = 1,228rad/s. A esta frecuencia el sistema
tiene una ganancia de 24,107dB, por lo que el compensador deberá atenuar −24,107dB a esa
misma frecuencia, entonces,
5

6. Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
−150
−100
−50
0
50
100
150
Magnitude(dB)
System: Open Loop L
Gain Margin (dB): 23.9
At frequency (rad/sec): 9.88
Closed Loop Stable? Yes
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−270
−225
−180
−135
−90
Phase(deg)
System: Open Loop L
Phase Margin (deg): 70.6
Delay Margin (sec): 0.999
At frequency (rad/sec): 1.23
Closed Loop Stable? Yes
Figura 5: Respuesta de Frecuencia del Sistema Compensado.
−20 log (α) = −24,107
α = 16,047
El cero del compensador deberá estar localizado al menos una década atras de la frecuencia
de cruce w‘c, por lo que,
1
τ
=
1,228
10
τ = 8,143
Finalmente, el compensador es,
Gc(s) =
1 + 8,143s
1 + 130,67s
La Figura (3) muestra el diagrama de Bode del sistema compensado en lazo abierto.
Referencias
Dorf, Richard and Robert Bishop (2005). Sistemas de Control Moderno. 10 ed.. Pearson Edu-
cación.
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7. Kuo, Benjamin (1996). Sistemas de Control Automático. 7 ed.. Prentice Hall.
Ogata, Katsuhiko (2003). Ingeniería de Control Moderna. 4 ed.. Pearson Educación.
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