El documento describe dos tipos de compensadores para sistemas de control: compensadores en adelanto de fase y compensadores en atraso de fase. Explica el procedimiento de diseño para cada uno, incluyendo el ajuste de parámetros como la ganancia en continua, la frecuencia de cruce de ganancia y el margen de fase/ganancia. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar el proceso de diseño de cada compensador.

1. Diseño de Compensadores en Adelanto/Atraso de Fase (Frecuencia)

2. Introducción El diseño basado en herramientas como los diagramas de Bode o Nyquist se emplea cuando las especificaciones vienen dadas en términos de la respuesta frecuencial: Ancho de banda, margen de ganancia, margen de fase, error en régimen permanente. El objetivo general es imponer restricciones sobre las curvas de magnitud y fase modificando su forma con ayuda de compensadores .

3. Compensador en adelanto de fase La compensación se basa en aprovechar el aporte de fase positivo de este factor para incrementar el margen de fase del sistema. Máximo adelanto de fase y frecuencia a la que se produce: Diagramas para T=10,  =0.1 y Kc=10.

4. Procedimiento de diseño (adelanto frec.) 1.- Ajustar la ganancia en continua del compensador ( K=Kc  ) para cumplir la especificación estática. 2.- Trazar el diagrama de G1(jw)=KG(jw) y determinar el adelanto de fase que debe aportar el compensador. Obtener  . - Añadir un margen adicional para contrarrestar la amplificación introducida por el compensador.

5. 3.- Elegir como nueva frecuencia de cruce de ganancia el punto donde la respuesta en magnitud valga -20 log (1/  ). - Este es el valor de la amplificación del compensador (sin considerar el factor  Kc ) en la frecuencia de máximo adelanto. 4.- Obtener los valores de T y Kc . 5.- Verificar el resultado.

6. Considérese el siguiente sistema: Diseñar una compensación que proporcione un margen de fase mayor que 50 grados, margen de ganancia mayor que 10 db, y constante de velocidad 20 s  ¹ . Ejemplo (adelanto frec.) r(t) y(t) G(s) Gc(s) -

7. Especificaciones estáticas. Antes de la compensación se tiene Kv = lim s->0 sG(s) = 2 s -1 Después de la compensación tendremos Kv’= lim s->0 sG1(s) = 20 s -1 donde G1(s) = KG(s) y K =  Kc (ganancia del compensador en continua). Resulta K = 10 .

8. Diagrama de G1(jw) El margen de fase está en torno a 18º y el de ganancia es infinito. El compensador debe aportar 32º, pero se tomarán 38º para garantizar el resultado. De aquí,  =0.24 .

9. Cálculo de los parámetros restantes del compensador 20log10[1/ (  1/2 )]=6.2 : El punto -6.2 decibelios en la curva de magnitud de G1 está aproximadamente en 10 rad/seg, que será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Como wcg’=1/(  1/2 T)=10 , resulta T=0.23 . Por último, Kc=K/  =41.7 , con lo que el compensador queda Gc(s) = 41.7 (s+4.41)/(s+18.4) .

10. Verificación de la respuesta frecuencial El sistema una vez compensado posee un margen de fase de 50.6º y un margen de ganancia infinito.

11. Verificación de la respuesta temporal Respuesta ante rampa del sistema antes de la compensación. Respuesta después de la compensación.

12. Compensador en atraso de fase La compensación se basa en aprovechar la atenuación para mover la fcg hacia zonas con mayor margen de fase. Atenuación en altas frecuencias, sin considerar el factor  Kc : -20log10(  ) Diagramas para T=10,  =10 y Kc=1.

13. Procedimiento de diseño (atraso frec.) 1.- Ajustar la ganancia en continua del compensador ( K=Kc  ) para cumplir la especificación estática. 2.- Trazar el diagrama de G1(jw)=KG(jw) y fijar la ubicación de la fcg (menor) en la que se consigue el margen de fase especificado. Obtener  de la atenuación requerida. - Añadir un margen adicional para contrarrestar el atraso introducido por el compensador.

14. 3.- Tomar 1/T una octava a una década por debajo de la nueva fcg para reducir el atraso de fase aportado por el compensador. 4.- Obtener el valor de Kc . 5.- Verificar el resultado.

15. Considérese el siguiente sistema: Se pide compensarlo de forma que se logre una constante de error en velocidad de 5 s  ¹ , un margen de fase mayor que 40 grados y un margen de ganancia superior a 10 db. Ejemplo (atraso frec.) r(t) y(t) G(s) Gc(s) -

16. Especificaciones estáticas. Después de la compensación queremos obtener Kv’ = lim s->0 sGc(s)G(s) = lim s->0 sG1(s) = 5 s -1 donde G1(s) = KG(s) y K =  Kc (ganancia del compensador en continua). Resulta K = 5 .

17. Diagrama de G1(jw) El margen de fase está en torno a -14º y el de ganancia es -4 dB (inestable). La nueva fcg se tomará en torno a 0.5 rad/seg (52º de margen de fase). El compensador debe atenuar 20 dB (  =10 ).

18. Cálculo de los parámetros restantes del compensador 1/T (posición del cero) se toma igual a 0.1 para evitar constantes de tiempo excesivamente elevadas. Por último, Kc=K/  =0.5 , con lo que el compensador queda Gc(s) = 0.5 (s+0.1)/(s+0.01) .

19. Verificación de la respuesta frecuencial El sistema una vez compensado posee un margen de fase de 41º y un margen de ganancia de 14dB.

20. Verificación de la respuesta temporal Respuesta ante rampa del sistema antes de la compensación. Respuesta después de la compensación.

21. Compensador en atraso/adelanto de fase Diagramas para  =  =10 , Kc=1 , T1=10 , y T2=10 T1 .