Diagrama de Bode, realización del diagrama de magnitud y fase, manejo de Matlab para la obtención del diagrama y criterio de estabilidad.

1. Diagramas de Bode
ING. CAMILO CASTRO DUARTE
CONTROL ANALÓGICO
ESPECIALIZACIÓN EN CONTROL E INSTRUMENTACIÓN INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

2. Definición de un diagrama de Bode
Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar
la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas
separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que
corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo
desarrolló, Hendrik Wade Bode (ingeniero, investigador, inventor, de
descendencia neerlandesa. Como pionero de teoría de control moderna y
telecomunicaciones electrónicas, él revolucionó el contenido y metodología de
sus campos de investigación).

3. Definición de un diagrama de Bode
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia
(ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en
escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta
en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.
El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en
función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica.

4. Calculo de magnitud y fase
𝐺(𝑆) → 𝐺(𝑗𝑤)
𝐺 𝑗𝑤 =
𝑁𝑢𝑚
𝐷𝑒𝑛
𝐺 𝑗𝑤 → 𝐺 𝑗𝑤 → ∠𝐺 𝑗𝑤
𝐺 𝑗𝑤 =
|𝑁𝑢𝑚|
|𝐷𝑒𝑛|
→ 𝐺 𝑗𝑤 = 20 log10(|𝐺(𝑗𝑤)|)
∠𝐺 𝑗𝑤 = ∠𝑁𝑢𝑚 − ∠𝐷𝑒𝑛

5. Calculo de magnitud y fase
𝐺 𝑆 =
10 ∗ (𝑆 + 3)
(𝑆2+2𝑆 + 3) ∗ 𝑆 + 1 ∗ (𝑆 + 5)
𝐺 𝑆 = 10 ∗ 𝑆 + 3 ∗
1
𝑆2 + 2𝑆 + 3
∗
1
𝑆 + 1
∗
1
(𝑆 + 5)
K 1° 2° 1° 1°

6. Ganancia
𝐺 𝑆 = 3
𝐺 𝑗𝑤 = 3
𝐺 𝑗𝑤 = 20 log10 3 = 9.542𝑑𝐵
∠𝐺 𝑗𝑤 = 0

7. Un polo en el origen
𝐺 𝑆 =
1
𝑆
𝐺 𝑗𝑤 =
1
𝑗𝑤
𝐺 𝑗𝑤 = 20 log10
1
𝑤
∠𝐺 𝑗𝑤 = 0 − 90° = −90°

8. Un cero en el origen
𝐺 𝑆 = 𝑆
𝐺 𝑗𝑤 = 𝑗𝑤
𝐺 𝑗𝑤 = 20 log10 𝑤
∠𝐺 𝑗𝑤 = 90°

9. Manejo de Matlab para la obtención
de los diagramas de Bode
𝐺 𝑆 =
10
𝑆2 + 15𝑆 + 50

10. Manejo de Matlab para la obtención
de los diagramas de Bode
𝐺 𝑆 =
10
𝑆2 + 15𝑆 + 50

11. Manejo de Matlab para la obtención
de los diagramas de Bode
𝐺 𝑆 =
10
𝑆2 + 15𝑆 + 50

12. Resumen de diagramas de bode
para diferentes tipos de sistemas

13. Criterio de estabilidad de Bode
Fg= Frecuencia de ganancia
Fp=Frecuencia de fase
Mp=Margen fase
Mg=Margen de ganancia
Mp: Es la diferencia entre el valor de la curva de fase y la línea de -180° en w=Fg
𝑀𝑝 = ∠𝐺 𝑗𝑤 𝑤=𝐹𝑔 + 180°
Mg: Es la diferencia entre la curva de 0dB y la curva de ganancia del sistema en w=Fp
𝑀𝑔 = 0 − |𝐺(𝑗𝑤)| 𝑤=𝐹𝑝
El sistema se considera inestable si al menos uno de los dos márgenes es negativo.

14. Criterio de estabilidad de Bode
Ej.
𝐺 𝑆 =
50
𝑆 + 5
𝑀𝑔 = 𝑖𝑛𝑓
𝑀𝑝 = −84,3° + 180° = 95.7°
El sistema es estable ya
que Mp y Mg son positivos.

15. Criterio de estabilidad de Bode
Ej.
𝐺 𝑆 =
10
𝑆3 + 9𝑆2 + 23𝑆 + 15
𝑀𝑔 = 0 + 25.7 = 25.7dB
𝑀𝑝 = 𝑖𝑛𝑓
El sistema es estable ya
que Mp y Mg son positivos.

16. Criterio de estabilidad de Bode
Ej.
𝐺 𝑆 =
500
𝑆3 + 9𝑆2 + 23𝑆 + 15
𝑀𝑔 = 0 − 8,31 = −8,31dB
𝑀𝑝 = −204,8° + 180°= -24,8°
El sistema es inestable ya
que tanto Mp y Mg son
negativos.

17. Criterio de estabilidad de Bode
Ej.
𝐺 𝑆 =
𝑆 − 3
𝑆2 + 3𝑆 − 2
El sistema es inestable ya
que el Mp es negativo.
𝑀𝑔 = 𝑖𝑛𝑓
𝑀𝑝 = −154°

18. Criterio de estabilidad de Bode
Ej.
𝐺 𝑆 =
−5860𝑆3
+ 2976 𝑆2
+ 39.77S + 0.6344
5860𝑆3+ 6305𝑆2+ 97.77S + 1.48
𝑀𝑔 = 0𝑑𝐵
𝑀𝑝 = 0°
El sistema es estable,
presenta estabilidad
marginal.

19. GRACIAS