Este documento presenta la resolución de 4 problemas relacionados con el diseño de compensadores para sistemas de control en lazo cerrado. Para cada problema, se describe el sistema no compensado, se calcula el compensador requerido y se grafican las respuestas a escalón y rampa unitarias del sistema compensado usando MATLAB.

1. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
PROBLEMAS RESUELTOS N ª 2
PROB: 1
Refiriéndose al sistema en lazo cerrado de la figura 1, diseñe un compensador de
adelanto tal que el margen de fase sea 45°, el margen de ganancia no sea
menor que 8dB y la constante de error estático de velocidad sea .
Represente las curvas de respuesta a un escalón unitario y a una rampa unitaria con
MATLAB.
Sistema no compensado
MATLAB:
num=[0 0 0 1];
den = [0.1 1.1 1 0];
sys=tf(num,den);
transf=(sys)/(sys+1);
step(transf)
grid
Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado
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2. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Vamos a utilizar el compensador de adelanto siguiente:
Ya que es especificado como , tenemos
MATLAB:
num=[0 0 0 4];
den = [0.1 1.1 1 0];
bode(num,den);
grid
Hacemos K = 1 y definimos . Entonces
Ahora trazamos un diagrama de Bode de
Diagrama de bode de lazo abierto de KGp
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3. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
De éste gráfico, la fase y márgenes de ganancia son 17° y 8.7dB, respectivamente.
Ya que las especificaciones requieren un margen de fase de 45°, vamos a elegir
Esto significa que 12° ha sido añadido al compensador para el cambio en la frecuencia
del cruce de ganancia. La fase máxima de adelanto es de 40°. Dado que
Es determinado como 0.2174. Vamos a elegir, en lugar de 0.2174, a ser 0.21, o
El siguiente paso es determinar las frecuencias de esquina y del
compensador en adelanto. Tenga en cuenta que el máximo ángulo de adelanto de
fase se produce en la media geométrica de las dos frecuencias de corte, o .
El valor de la modificación en la curva de magnitud en debido a la inclusión
del término es
Tenemos en cuenta que
Tenemos que encontrar el punto de frecuencia donde, cuando el compensador de
adelanto es añadido, la magnitud total se convierte en0 dB. La magnitud es-
6.7778dBcorresponde a . Seleccionamos esta frecuencia para ser la
nueva ganancia de cruce de frecuencia . Entonces obtenemos
Por lo tanto
Y
Así
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4. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
La función de transferencia de lazo abierto se convierte en
MATLAB:
num=[0 0 0 3.1064 4];
den=[0.01631 0.2794 1.2631 1 0];
bode(num,den);
grid
Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc
La función de transferencia de lazo cerrado es
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5. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
MATLAB:
num=[0 0 0 3.1064 4];
den=[0.01631 0.2794 1.2631 4.1064 4];
step(num,den)
grid
Repuesta ante un escalón unitario del sistema compensado
MATLAB:
num=[0 0 0 3.1064 4];
den=[0.01631 0.2794 1.2631 4.1064 4];
t=0:0.01:8; r=t;
lsim(numc,denc,r,t)
grid
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6. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Repuesta ante una rampa unitario del sistema compensado
PROB: 2
Sea el sistema que se muestra en la figura 2.Diseñe un compensador tal que la
constante de error estático sea de 50 seg-1,el margen de fase sea 50º y el margen de
ganancia sea al menos de 8dB.Representa las curvas a un escalón unitario y a una
rampa unitaria del sistema compensado con MATLAB.
Sistema no compensado
MATLAB:
num=[1];
den=[1 1 0];
sys=tf(num,den);
transf=sys/(sys+1);
step(transf)
gri
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7. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado
Siendo
MATLAB:
num=[50];
den=[1 1 0];
bode(num,den)
grid
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8. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Diagrama de bode de lazo abierto de KGp
Como observamos el margen de fase es 8º, por ende el compensador debe aportar un
angulo de 42º para que el margen de fase sea 50º y 12º de ajuste por parte del
compensador de adelanto.
La nueva frecuencia de corte debe ser:
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9. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
La función de transferencia del controlador multiplicado con la planta es:
MATLAB:
num=[500 620];
den=conv([[1 1 0]],[1 12.38]);
sys=tf(num,den);
bode(sys)
grid
Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc
MATLAB:
num=[500 620];
den=conv([[1 1 0]],[1 12.38]);
sys=tf(num,den);
transf=sys/(sys+1);
step(transf)
grid
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10. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado
MATLAB:
num=[500 7310 1.449e004 7676 0];
den=[1 26.76 703.8 7641 1.464e004 7676 0];
t=0:0.01:5; r=t;
lsim(num,den,r,t)
grid
Repuesta ante una rampa unitario del sistema compensado
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11. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
PROB: 3
Sea el sistema que se muestra en la figura 3.Diseñe un compensador tal que la
constante de error estático sea de 4 seg-1,el margen de fase sea 50º y el margen de
ganancia sea al menos de 10dB.Representa las curvas a un escalón unitario y a una
rampa unitaria del sistema compensado con MATLAB. Asimismo, dibuje el diagrama
de Nyquist del sistema compensado con MATLAB.
Sistema no compensado
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12. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Siendo
Agregamos a la función de transferencia en lazo abierto,que es parte del controlador
para la simplificación al momento de hallar la constante de de error estatico de
velocidad.
MATLAB:
num=[0 1 0.1];
den=[1 0 1];
sys=tf(num,den);
transf=sys/(sys+1);
step(transf)
grid
MATLAB:
num=[0 0 40 4];
den=[1 0 1 0];
bode(num,den)
grid
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13. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Diagrama de bode de lazo abierto de KGp
Como observamos el margen de fase es cero, por ende el compensador debe aportar
un angulo de 50º para que el margen de fase sea 50º y 5º de ajuste por parte del
compensador de adelanto.
La nueva frecuencia de corte debe ser:
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14. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
La función de transferencia del controlador multiplicado con la planta es:
MATLAB:
num=conv([400 40],[1 3.24]);
den=conv([[1 0 1 0]],[1 32.44]);
sys=tf(num,den);
bode(sys)
grid
Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc
MATLAB:
num=conv([400 40],[1 3.24]);
den=conv([[1 0 1 0]],[1 32.44]);
sys=tf(num,den);
transf=sys/(sys+1);
step(transf)
grid
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15. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado
MATLAB:
num=conv([400 40],[1 3.24]);
den=conv([[1 0 1 0]],[1 32.44]);
sys=tf(num,den);
nyquist(sys)
grid
Diagrama de Nyquist de KGpGc
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16. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
MATLAB:
num=[0 0 400 14312 4.387e004 1.852e004 4.347e004 4204 0];
den=[1 64.88 1454 1.444e004 4.598e004 1.858e004 4.452e004 4204 0];
t=0:0.01:100; r=t;
lsim(num,den,r,t)
grid
Repuesta ante una rampa unitario del sistema compensado
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17. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
PROB: 4
Sea el sistema que se muestra en la figura 4 se desea diseñar un compensador tal
que la constante de error estático de velocidad sea de 4 seg-1.el margen de fase sea
menor de 50º y el margen de ganancia sea al menos de 8dB.Repersente las curvas de
respuesta a un escalón unitario y a una rampa del sistema compensado.
Sistema no compensado
MATLAB:
num=[2 0.1]
den=[1 0.1 6 0.1];
sys=tf(num,den)
step(sys)
grid
Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado
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18. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Siendo
MATLAB:
num=[320 16];
den=[1 0.1 4 0];
bode(num,den)
grid
Diagrama de bode de lazo abierto de KGp
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19. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Como observamos el margen de fase es cero, por ende el compensador debe aportar
un angulo de 50º para que el margen de fase sea 50º y 5º de ajuste por parte del
compensador de adelanto.
La nueva frecuencia de corte debe ser:
La función de transferencia del controlador multiplicado con la planta es:
MATLAB:
num=conv([3200 160],[1 3.24]);
den=conv([1 0.1 4 0],[1 32.44]);
sys=tf(num,den);
bode(sys)
grid
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20. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc
MATLAB:
num=conv([3200 160],[1 3.24]);
den=conv([1 0.1 4 0],[1 32.44]);
sys=tf(num,den);
transf=sys/(sys+1);
step(transf)
grid
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21. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Repuesta ante un escalón unitario del sistema compensado
MATLAB:
numc=[3200 114656 3.663e005 5.084e005 1.37e006 6.727e004 0];
denc=[1 65.08 4273 1.154e005 3.748e005 5.102e005 1.387e006 6.727e004 0];
t=0:0.01:8; r=t;
lsim(numc,denc,r,t)
grid
Repuesta ante una rampa unitario del sistema compensado
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22. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
PROB: 5
Sea el sistema que se muestra en la figura 5.Diseña un compensador de retardo
adelanto tal que la constante de error estático de velocidad sea de 20seg-1,el margen
de fase sea de 60º y el margen de ganancia de al menos de 8dB,Represente las
curvas de respuesta a un escalón unitario y a una rampa unitaria del sistema
compensado con MATLAB.
Sistema no compensado
MATLAB:
num=[0 0 0 1];
den=[1 6 5 0];
sys=tf(num,den);
transf=(sys)/(sys+1);
step(transf)
grid
Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado
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23. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Es el controlador:
Por lo que se eligió:
De donde:
Siendo:
MATLAB:
num=[0 0 0 100];
den=[1 6 5 0];
bode(num,den)
grid
Diagrama de bode de lazo abierto de KGp
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24. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
De acuerdo al diagrama de bode elegimos la nueva frecuencia de corte donde el
margen de fase es 0, por ende esta nueva frecuencia radial es de 2.24 rad/s alrededor
de 60ª,en la que por el compensador tanto de retardo y de adelanto se agrega 5ª más,
quedando 65ª,
Donde:
De la que:
Por lo que obtenemos la función de transferencia del compensador de retardo:
Para la función de transferencia del compensador de adelanto, para la nueva
frecuencia, que es 1.5 rad/s su ganancia es 10.5dB,por lo que a partir de esta
,debemos encontrar una línea recta de pendiente 20dB/década ,que pase por el punto
(2.24 rad/s,--10.5dB).
La recta tendrá la forma de:
La recta tendrá la forma de:
Esta al interceptarse con las líneas de 0dB y --20dB, determinan las frecuencias de
esquinas
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25. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Por lo que:
Obteniendo finalmente:
Siendo la función de transferencia en lazo abierto:
MATLAB:
num=conv([100 75],[1 0.224]);
den1=conv([1 7.46],[1 0.011]);
den=conv(den1,[1 6 5 0]);
bode(num,den)
grid
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26. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc
MATLAB:
num=conv([100 75],[1 0.224]);
den1=conv([1 7.46],[1 0.011]);
den=conv(den1,[1 6 5 0]);
sys=tf(num,den);
transf=(sys)/(sys+1);
step(transf)
grid
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27. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Repuesta ante un escalón unitario del sistema compensado
MATLAB:
num=[0 0 0 100 1445 6320 8872 4566 675.8 6.893 0];
den=[1 26.94 281.3 1520 4956 1.011e004 1.035e004 4597 676 6.893 0];
t=0:0.01:8;
r=t;
lsim(num,den,r,t)
grid
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28. EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2
Repuesta ante una rampa unitario del sistema compensado
CARRASCO MALUQUISH MARCIAL Página 28