El documento introduce los números complejos, definidos como pares ordenados de números reales. Explica que pueden representarse geométricamente como puntos en el plano cartesiano y que la unidad imaginaria es i=(0,1). Describe las operaciones básicas con números complejos como suma, multiplicación, inverso y exponencial compleja. Finalmente, ilustra algunas propiedades con ejemplos numéricos.
1) El documento describe conceptos básicos de aplicaciones lineales, incluyendo inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. 2) Explica el teorema de la dimensión para aplicaciones lineales y que si una aplicación es inyectiva o sobreyectiva, también lo es la otra. 3) Detalla los pasos para encontrar la aplicación lineal inversa y provee un ejemplo resuelto.
El documento explica los diferentes tipos de intervalos numéricos, incluyendo intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos. Define un intervalo como el conjunto de números reales comprendidos entre dos números extremos, y describe cómo se representan y leen los diferentes tipos de intervalos de forma simbólica, verbal y gráfica.
El documento resume los conceptos básicos de geometría analítica en el espacio. Explica las ecuaciones de líneas, planos y superficies cuadráticas como elipsoides, hiperboloides y paraboloides, describiendo sus características y trazas. También introduce las funciones de dos variables y superficies cilíndricas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en tres dimensiones. Explica cómo representar geométricamente un vector en R3, determinar su magnitud y dirección, y realizar operaciones como suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial entre vectores. También muestra cómo calcular el área de un paralelogramo y el volumen de un paralelepípedo utilizando vectores.
1) El documento describe las cuádricas, superficies definidas por ecuaciones de segundo grado. 2) Las cuádricas se clasifican según sus invariantes en elipsoides, hiperboloides, paraboloides, cilindros y pares de planos. 3) Cada cuádrica tiene una ecuación reducida que simplifica su representación colocando el centro en el origen y relacionando los ejes con la forma de la superficie.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
El documento describe diferentes tipos de magnitudes físicas y sistemas de coordenadas. Explica que un escalar se expresa por un solo número e indica la temperatura como un ejemplo. Un vector tiene magnitud, dirección y sentido, como la velocidad. Los campos escalares y vectoriales asocian valores a puntos en el espacio. También define sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Finalmente, describe el producto escalar y vectorial entre vectores.
1) El documento describe conceptos básicos de aplicaciones lineales, incluyendo inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. 2) Explica el teorema de la dimensión para aplicaciones lineales y que si una aplicación es inyectiva o sobreyectiva, también lo es la otra. 3) Detalla los pasos para encontrar la aplicación lineal inversa y provee un ejemplo resuelto.
El documento explica los diferentes tipos de intervalos numéricos, incluyendo intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos. Define un intervalo como el conjunto de números reales comprendidos entre dos números extremos, y describe cómo se representan y leen los diferentes tipos de intervalos de forma simbólica, verbal y gráfica.
El documento resume los conceptos básicos de geometría analítica en el espacio. Explica las ecuaciones de líneas, planos y superficies cuadráticas como elipsoides, hiperboloides y paraboloides, describiendo sus características y trazas. También introduce las funciones de dos variables y superficies cilíndricas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en tres dimensiones. Explica cómo representar geométricamente un vector en R3, determinar su magnitud y dirección, y realizar operaciones como suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial entre vectores. También muestra cómo calcular el área de un paralelogramo y el volumen de un paralelepípedo utilizando vectores.
1) El documento describe las cuádricas, superficies definidas por ecuaciones de segundo grado. 2) Las cuádricas se clasifican según sus invariantes en elipsoides, hiperboloides, paraboloides, cilindros y pares de planos. 3) Cada cuádrica tiene una ecuación reducida que simplifica su representación colocando el centro en el origen y relacionando los ejes con la forma de la superficie.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
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Los espacios vectoriales son el elemento fundamental del álgebra. Gracias a ellos podemos trabajar con polinomios, vectores, funciones desde un punto de visto del álgebra y realizar combinaciones lineales, calcular bases, subespecios etc...
Este documento presenta una introducción a los números complejos. Explica la clasificación de los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. También describe el origen histórico de los números complejos y las diferentes formas de representarlos, como forma binómica, representación vectorial, polar y matricial. Finalmente, discute brevemente la relación entre las matemáticas y el desarrollo social a lo largo de la historia.
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))Vassilis Markos
Το πρώτο μάθημα στην ενότητα των συναρτήσεων (ύλη μαθηματικών προσανατολισμού της Γ' Λυκείου). Καλύπτονται ο ορισμός της συνάρτησης, οι βασικές έννοιες (πεδίο ορισμού, πεδίο/σύνολο τιμών, γραφική παράσταση) και οι γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων.
Este documento describe la espondilolistesis, definida como el deslizamiento de una vértebra sobre la inferior. Generalmente afecta la vértebra L4 sobre L5. Puede ser causada por defectos de desarrollo, fracturas de la pars interarticularis, degeneración o traumas. Los síntomas incluyen dolor lumbar y ciática. El tratamiento depende de la gravedad y puede incluir terapia conservadora o cirugía como artrodesis para prevenir progresión y estabilizar el segmento afectado.
Este documento presenta un análisis de regresión y correlación de datos sobre rendimiento (y) y temperatura (x) de un proceso. Muestra los pasos para estimar la recta de regresión, incluyendo estimar los parámetros a y b, y realizar pruebas de hipótesis. Explica conceptos como coeficiente de determinación, análisis de residuos y validación de supuestos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos de un conjunto, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, y clases de conjuntos como finitos e infinitos. Explica los conjuntos con ejemplos numéricos y gráficos para facilitar la comprensión de los conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos de estructuras algebraicas como operaciones binarias, semigrupos, monoides y propiedades como asociatividad y conmutatividad. Define adición y multiplicación como operaciones binarias en conjuntos numéricos y funciones. Explica que la composición de funciones es asociativa pero no conmutativa, y provee ejemplos de semigrupos y monoides conmutativos y no conmutativos.
Este documento describe la importancia del modelado matemático de sistemas dinámicos para la simulación y predicción del comportamiento de sistemas. Explica que los simuladores se basan en modelos matemáticos de los componentes de los sistemas y las señales que los afectan. También destaca la importancia de aproximar los modelos matemáticos al comportamiento físico real para que las simulaciones sean lo más precisas posible.
El documento describe las rectas y planos en el espacio tridimensional (R3). Explica cómo representar rectas utilizando formas vectoriales, paramétricas y simétricas, y cómo encontrar las ecuaciones de una recta dados diferentes puntos y vectores. También explica cómo encontrar la ecuación de un plano dado un punto y vector normal o tres puntos, utilizando el producto escalar y vectorial. Finalmente, enumera algunos ejercicios relacionados incluidos en un libro de cálculo.
Este documento explica cómo encontrar la ecuación de una línea recta. La ecuación general de una recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. Se explica cómo calcular la pendiente a partir de dos puntos dados, y cómo usar la pendiente y un punto para encontrar b y completar la ecuación de la recta. Finalmente, se proponen algunos ejercicios para practicar encontrar la ecuación de rectas dadas sus puntos.
Ayudantia espacios metricos y topologiaHugo Cornejo
Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios métricos y la topología. En primer lugar, define un espacio métrico como un par (X, d) donde X es un conjunto y d es una distancia definida en X que cumple con las propiedades de una distancia. Luego, introduce las nociones de bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, y subconjuntos notables como frontera, interior y clausura. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos fundamentales.
Les mécanismes immuno-physiopathologiques de l'anémie sévère - Présentation de la 4e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Peka MALLAYE - Entomologiste médical - Ministère de la santé publique - Tchad - peka_mallaye@yahoo.fr
Les métiers du numérique et de l'informatiqueJobIRL
Découvrez la diversité des métiers du numérique et de l'informatique. Ils étaient présents, mardi 20 mai, pour parler de leur métier. Ils décrivent désormais leur métier en quelques mots.
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Découvrez la diversité des métiers du numérique et de l'informatique. Ils étaient présents, mardi 20 mai, pour parler de leur métier. Ils décrivent désormais leur métier en quelques mots.
1. The document discusses a meeting between two parties to negotiate an agreement on sharing natural resources from a disputed territory.
2. Both sides presented their positions and concerns regarding access, usage rights, environmental protections, and economic benefits from the resources.
3. No final deal was reached but further discussions were planned to continue working towards a mutually agreeable solution.
Les structures de santé privées dans la mise en œuvre de la politique nationale de traitement antipaludique - Présentation de la 5e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Eugène MANZINGO - Médecin - Ministère de la Santé / Inspection de la Santé - Mbandaka, RDC - eumanzi@yahoo.fr
Facteurs de survenue et prise en charge d'une épidemie de paludisme - Présentation de la 5e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - André Offianan TOURE - Médecin - Chercheur - Institut Pasteur de Côte d'Ivoire - Abidjan, Côte d'Ivoire - aoffianan@yahoo.fr
La Planification de programmes de lutte contre le paludisme - Conférence de la 5e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Luciano TUSEO - World Health Organization / Roll Back Malaria - Office for Madagascar and Reunion - Antananarivo, Madagascar - maloms@iris.mg
Gamétocytes et résistances aux antipaludiques, comment aborder cette question? - Présentation de la 8e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - AÏSSAN Codjovi Julien - Benin - codjo3aj2000@yahoo.fr
Génétique humaine et infection palustre - Présentation de la 3e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - RANDRIAMANANTENA Arthur Dieudonné - INSTITUT PASTEUR DE MADAGASCAR - Médecin diplômé d'Etat - Généraliste - randriaman@yahoo.fr
Les paramètres hydrométéorologiques ou environnementaux les plus utilisés - Présentation de la 6e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - HORACE Haingonirina Joelle,- Médecin - Madagascar - hjoelle12@yahoo.fr
Polymorphisme génétique et variation antigénique: exemples chez P. falciparum - Présentation de la 4e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Aboubacar ACHIRAFI - Infirmier/Chargé de Programmes - DASS de Mayotte - abou.achiraf@laposte.net
Moustiquaires imprégnées d'insecticide : Pour qui ? Pour où ? Comment ? - Présentation de la 4e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Valérie ANDRIANTSOANIRINA - Etudiant/Chercheur - Institut Pasteur de Madagascar - landyvalerie@yahoo.fr
Financement de la lutte contre le paludisme en Afrique :des projets à l'action - Présentation de la 3e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - RANARIVELO Lanto Alisoa - MEDECIN DIPLOMEE D'ETAT MADAGASCAR - Lantoalisoa@yahoo.fr
Le réchauffement global,va-t-il aggraver l'importance mondial du paludisme ? - Présentation de la 3e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - RATSARAVOLANA Eric - PSI Madagascar Immeuble FIARO. Escalier D. 2ème étage . 101-Antananarivo - Coordinateur de marque PaluStop (chloroquine préemballée et prédosée) - ericr@psi.mg
Réflexion sur les traitements préventifs intermittents pour la lutte contre le paludisme - Présentation de la 7e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Kabore Youssouf - Burkina Faso - kabyssef.cnrfp@fasonet.bf
Le suivi de cohorte en zone d'endémie palustre : potentiel et contraintes - Présentation de la 1ère édition du Cours international « Atelier Paludisme » - MRANDIMBY Fara Miavy, Thésard, IP de Madagascar.
Quelles sont les principales recommandations du Roll Back Malaria pour le contrôle du paludisme? - Présentation de la 6e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - HAMIDOU LAZOUMAR Ramatoulaye - Stagiaire de recherche - Niger - lramatoulaye@yahoo.fr
El documento explica los números complejos, incluyendo que están dados por un par ordenado de números reales llamados parte real e imaginaria. También describe cómo se pueden representar geométricamente como puntos en un plano cartesiano y cómo se definen y realizan operaciones con ellos como suma, resta, multiplicación, división, módulo, argumento, exponencial y logaritmo complejos. Finalmente, da ejemplos como el logaritmo de -2 y fórmulas para coseno y seno del ángulo doble.
El documento describe los números complejos, incluyendo: (1) Un número complejo está formado por un par ordenado (a, b) donde a es la parte real y b la parte imaginaria; (2) Los números complejos pueden representarse como puntos en un plano cartesiano; (3) Las operaciones básicas con números complejos como suma y multiplicación; (4) Las diferentes formas de representar números complejos como binómica, trigonométrica y exponencial.
El documento presenta una introducción a los números complejos, incluyendo tres definiciones clave:
1) Los números complejos son pares ordenados de números reales que pueden representarse en un plano y se definen mediante operaciones de suma y multiplicación.
2) El módulo de un número complejo representa su distancia al origen en el plano, mientras que su argumento es el ángulo con el eje real.
3) Un número complejo también puede escribirse en forma trigonométrica o polar en términos de su módulo y argumento
El documento presenta los números complejos, incluyendo su representación como a + bi, operaciones como suma, resta, multiplicación y división, y formas polares y trigonométricas. También cubre ecuaciones irresolubles en números reales y aplicaciones de los números complejos.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
Este documento trata sobre números complejos. Explica que un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria. Se definen conceptos como conjugado de un número complejo, representación gráfica, operaciones como suma, resta, multiplicación y división de números complejos. También introduce la forma polar de un número complejo y cómo convertir entre la forma rectangular y polar.
Este documento define los números complejos como pares ordenados de números reales, con una parte real y una parte imaginaria. Explica que un número complejo es real si su parte imaginaria es cero, e imaginario puro si su parte real es cero. Detalla las operaciones básicas con números complejos y cómo resolver ecuaciones de segundo grado en el conjunto de los complejos.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo sus definiciones, representaciones y operaciones básicas. Explica que los números complejos son la suma de un número real y uno imaginario y pueden representarse gráficamente en un plano complejo. También describe el teorema de Moivre, el cual establece las reglas para calcular potencias de números complejos expresados en forma polar.
Este documento presenta los contenidos de la asignatura Fundamentos Matemáticos de Ciencias de la Computación para el segundo bimestre. Cubre temas como funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes, y sucesiones y series. Explica conceptos clave, propiedades y métodos para resolver problemas relacionados con cada uno de estos temas.
El documento explica los números complejos, incluyendo su representación como pares ordenados de números reales, operaciones básicas como suma y multiplicación, y formas de expresarlos como módulo-argumento, binómica, trigonométrica y exponencial. También cubre conceptos como unidad imaginaria, logaritmos complejos y la fórmula de De Moivre.
El documento explica los números complejos, incluyendo sus propiedades fundamentales como representaciones en forma de pares ordenados, módulo-argumento, binómica y exponencial. También cubre operaciones básicas como suma, resta, multiplicación, división e identidad. Finalmente, presenta ejemplos como logaritmos y funciones trigonométricas de números complejos.
El documento explica los números complejos, incluyendo que son pares ordenados de números reales, su representación en un plano cartesiano, y las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación, división e identidad. También cubre la representación módulo-argumental, la forma binómica, trigonométrica y exponencial de los números complejos, así como la fórmula de De Moivre y el logaritmo de números complejos.
Este documento presenta conceptos sobre números complejos, incluyendo:
1) Definición de la unidad imaginaria i y cálculo de raíces cuadradas de números negativos.
2) Potencias de i y sus valores periódicos.
3) Representación y operaciones con números complejos en forma algebraica y gráfica.
4) Conjugado de un número complejo y sus propiedades.
5) Módulo o valor absoluto de un número complejo.
El documento proporciona ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
CAPÍTULO_14__ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.pptxaxel14714
Este documento explica las ecuaciones de segundo grado, también llamadas ecuaciones cuadráticas. Define la forma general de una ecuación cuadrática como ax2 + bx + c = 0 y explica conceptos como las raíces, la discriminante, y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas como la factorización y la fórmula general. También describe aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas en economía, física y artillería militar.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números complejos. Explica que un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi. Define las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de números complejos. También introduce las representaciones gráfica, polar y trigonométrica de números complejos. Finalmente, cubre conceptos como potenciación, radicación y funciones logarítmicas y exponenciales.
1) El documento presenta definiciones y propiedades básicas de números reales, operaciones, desigualdades y valor absoluto.
2) También introduce conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y derivadas.
3) El documento proporciona esta información fundamental de manera concisa para servir de referencia en cálculo.
Este documento presenta conceptos básicos de matemática como números naturales, enteros, operaciones aritméticas y propiedades. Explica las representaciones de los números naturales y enteros, las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, división y potenciación sobre estos números. También introduce conceptos como valor absoluto, radicación y cómo resolver operaciones combinadas de manera sistemática.
Este documento presenta la unidad 1 de álgebra lineal sobre números complejos. Introduce la definición y origen de los números complejos, las operaciones básicas con ellos, el módulo y forma polar y exponencial. También cubre potencias de la unidad imaginaria i, teorema de Moivre y extracción de raíces. Por último, explica brevemente las ecuaciones polinómicas y cómo resolver ecuaciones de primero hasta cuarto grado. El documento contiene ejemplos y ejercicios para cada sección.
2. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en
el campo de los números reales.
loge(-2) no es un número real.
Tampoco es un número real (-2)π
3. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo α viene dado por un
par ordenado (a, b) de números reales. El
primero se llama parte real, y se escribe
a=Re(α)
El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b= Im(α)
4. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se puede establecer una correspondencia
biunívoca entre el conjunto C=R2 de los
números complejos y el conjunto E2 de
puntos del plano, habiendo fijado un
sistema de referencia cartesiano.
De modo que el complejo α=(a,b)
representa el punto P (llamado afijo), cuyas
coordenadas son precisamente a y b.
5. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El complejo (0,1) se representa mediante la
letra i y es la unidad imaginaria.
Los números reales son los números
complejos de la forma (a,0), donde a es el
número real que se identifica con el
complejo (a,0). Los números imaginarios
son de la forma (a,b), con b distinto de cero.
6. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números reales forman el conjunto R al
que le corresponde el eje de abscisas. Los
números imaginarios puros se
corresponden con los puntos del eje de
ordenadas.
El módulo2del2 complejo α=(a,b) viene dado
ρ= a +b
por tgθy el /argumento por el valor
=b a
de θ tal que . Nótese que si θ es
un argumento también lo es θ+2kπ
7. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El argumento se llama principal si − π < θ ≤ π
La representación módulo argumental del
complejo α=(a,b) viene dada por ρθ
La identidad entre los complejos (a,b) y
(c,d) equivale a: a=c y b=d
La identidad entre los complejos ρθ y σζ
equivale a: ρ = σ y θ=ζ+ 2kπ
8. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El paso del par ordenado a la forma módulo
argumental se logra del siguiente modo:
α = (a , b ) = ρ θ
a = ρ cos θ ρ= a +b2 2
θ = arctg(b / a )
→
signo(θ) = signo(b)
b = ρ sin θ −π<θ≤ π
9. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La aritmética compleja viene dada por:
(a , b) + (c, d ) = (a + c, b + d )
(a , b)(c, d ) = (ac − bd, ad + bc)
Se demuestra fácilmente que:
ρθσζ=(ρσ)θ+ζ
10. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)
El inverso de α=(a,b), distinto de cero (0,0),
es
−1 a b
α =( 2 ,− 2 )
a +b 2
a +b 2
También se tiene que para ρθ distinto de
−1 −1
cero (ρθ ) = (ρ ) −θ
11. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma binómica del complejo (a,b) se
escribe a+ib, ya que
(a , b) = (a ,0) + (0, b) = (a ,0) + (0,1) * (b,0) →
(a , b) ≡ a + ib
La forma trigonométrica del complejo ρθ
viene dada por ρ(cosθ+isinθ), puesto que
ρθ = (a , b) = a + ib = (ρ cos θ) + i(ρ sin θ) =
ρ(cos θ + i sin θ)
12. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma exponencial del complejo ρθ viene
dada por
ρθ= ρ eiθ
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eiθ =cosθ+ i sinθ
13. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i.
De otra parte: i = −i, i = 1, i = i, etc.
3 4 5
Además, si n es un número natural se tiene:
(ρθ ) n = (ρ) n ( nθ ) →
(ρ(cos θ + i sin θ)) n = (ρ) n (cos(nθ) + i sin(nθ)) →
(cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin( nθ)
(Fórmula de De Moivre)
14. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Las expresiones anteriores son válidas para
n negativo.
Además: α = (α )
m/n 1/ n m
de donde basta definir α1/ n
para poder evaluar la expresión α m/n
con m y n enteros, n positivo.
15. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La expresión α
1/ n
en realidad
corresponde a n números complejos
diferentes dados por
σ ς = (ρ ) θ+ 2 kπ ,
1/ n
n
k = 0,1,2,..., n - 1
Los afijos de σς son los vértices de un
polígono regular de n lados, centrado en el
origen de coordenadas.
16. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se justifica lo anterior como sigue:
(σ ς ) = ρ θ →
n
σ = ρ, nς = θ + 2kπ →
n
σ = ρ , ς = (θ + 2kπ) / n
1/ n
Para los demás valores de k se repiten las
soluciones cíclicamente
17. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La exponencial compleja se define muy
fácilmente: Sea α=(a,b), entonces
α a + ib
e =e = e (e ) = e (cos b + i sin b)
a ib a
Nótese que:
α β α +β
e e =e
e =1
0
18. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El logaritmo de un número complejo en
realidad son infinitos complejos. En
concreto:
ln(ρθ ) = ln ρ + i(θ + 2kπ),
k = 0,±1,±2,±3,...
19. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La justificación de lo anterior es como
sigue: Sea ρθ = ρ(cos θ + i sin θ)
e λ = ρθ → λ = ln(ρθ )
Si λ = u + iv se tiene :
e λ = e u +iv = e u e iv = e u (cos v + i sin v)
ρθ = ρ(cos θ + i sin θ), luego
e u = ρ, o bien, u = lnρ y
v = θ + 2kπ, en definitiva :
λ = ln(ρθ ) = u + iv = lnρ + i(θ + 2kπ)
20. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Para k=0 se obtiene el valor principal del
logaritmo, con − π < θ ≤ π
Ln(ρθ ) = ln ρ + iθ
ln( ρ θ )
Nótese que: e = ρθ
Se define µλ mediante
λ ln µ
e
21. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– 1) loge(-2)
log e (−2) = ln(2 π ) = ln 2 + i(π + 2kπ) =
ln 2 + i(1 + 2k )π → Ln (−2) = ln 2 + iπ
– 2) (-2)π
π π π ln( 2 π ) π (ln 2 + i (1+ 2 k ) π )
(−2) = (2 π ) = e =e =
π ln 2 i (1+ 2 k ) π 2
e e = e π ln 2 (cos(1 + 2k )π 2 + i sin(1 + 2k )π 2 )
22. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
(−2) π = e π ln 2 (cos π 2 + i sin π 2 ) =
- 7.9662 - i 3.7974
– 3) ii
i =e
i i ln i
=e i ln(1π / 2 )
=
i (ln1+ i ( π / 2 + 2 kπ )) − ( π / 2 + 2 kπ )
e =e
23. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
i i = e − π / 2 = 0.2079
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del
ángulo doble.
24. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– Se tiene que
(cos θ + i sin θ) = (cos 2θ + i sin 2θ) →
2
cos 2θ = cos θ − sin θ
2 2
sin 2θ = 2 sin θ cos θ