1) El documento describe las cuádricas, superficies definidas por ecuaciones de segundo grado. 2) Las cuádricas se clasifican según sus invariantes en elipsoides, hiperboloides, paraboloides, cilindros y pares de planos. 3) Cada cuádrica tiene una ecuación reducida que simplifica su representación colocando el centro en el origen y relacionando los ejes con la forma de la superficie.

1. 1
Superficies Cuádricas
Alojamiento ofrecido por el Grupo HispaVista HispaVista
Definición:
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio
(x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo
La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma
matricial como
donde
Denotaremos por la matriz que define la
cuádrica y por A00 la matriz adjunta del elemento a00 en
A.
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2. 2
Superficies Cuádricas
Clasificación:
Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signaturaσ, es
decir, el módulo de la diferencia entre el número de
autovalores positivos y negativos de A00 .
Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es
necesario diagonalizar la matriz. Ello es debido a la
existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00
que permiten determinar σ sin necesidad de calcular
explícitamente sus autovalores.
Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es
decir, las soluciones de la ecuación .
Ahora bien,
con
Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos , es decir
det A00 ≠ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos P
y V al número de permanencias y variaciones de signo que
hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = σ. I, J, K se
conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se
tiene:
1. Si σ = 3 :
1. det A > 0 ---> elipsoide real
2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen
puntos reales que verifican la ecuación)
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3. 3
Superficies Cuádricas
3. det A = 0 ---> cono imaginario
2. Si σ = 1 :
1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de
una hoja)
2. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos
hojas)
3. det A = 0 ---> cono real
Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el
determinante de A es distinto de cero, entonces;
1. Si J > 0 ---> paraboloide elíptico
2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico
Si det A = det A00 = 0 hay que introducir nuevos
invariantes para completar la clasificación
donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A
para i=1,2,3.
Con estos nuevos invariantes se tiene
1. J>0
1. K' ≠ 0 y signo K' = signo I ---> cilindro
elíptico imaginario
2. K' ≠ 0 y signo K' ≠ signo I ---> cilindro
elíptico real
3. K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes
1. J < 0
1. K' ≠ 0 ----> cilindro hiperbólico
2. K' = 0 ----> par de planos reales secantes
1. J = 0 y I ≠ 0
1. K' ≠ 0 ----> cilindro parabólico
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Superficies Cuádricas
2. K' = 0 y J' > 0 -- --> par de planos
imaginarios paralelos distintos
3. K' = 0 y J' < 0 -----> par de planos reales
paralelos distintos
4. K' = 0 y J' = 0 ----> par de planos
coincidentes
En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:
Clasificación de las Cuádricas
det A00 ≠0
σ=3
det A > 0 Elipsoide Real
det A < 0 Elipsoide Imaginario
det A = 0 Cono Imaginario
σ=1
det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico
det A < 0 Hiperboloide Elíptico
det A = 0 Cono Real
J>0 Paraboloide Elíptico
J<0 Paraboloide Hiperbólico
K'≠ 0 , signo K' = signo I Cilindro elíptico imaginario
K' ≠ 0 , signo K' ≠ signo I Cilindro elíptico real
K' = 0 Par de planos imaginarios secantes
K' ≠ 0 Cilindro hiperbólico
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Superficies Cuádricas
K' = 0 Par de planos reales secantes
J=0 I≠0
K' ≠ 0 Cilindro Parabólico
K' = 0, J' > 0 Par de planos imaginarios paralelos distintos
K' = 0, J' < 0 Par de planos reales paralelos distintos
K' = 0, J' = 0 Par de planos coincidentes
Centro:
Plano polar: Dado un punto P = (x0,y0,z0) ∈ IR3 se define el
plano polar de P respecto a cuádrica de matriz A como el
plano de ecuación
Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P
coincide con el plano tangente a dicha superficie en P.
No todos los puntos poseen plano polar. La condición para
que un punto (x,y,z) no lo tenga es que verifique el sistema
de ecuaciones
que geométricamente se interpreta como la intersección de
tres planos.
Si det A00 ≠ 0 entonces el sistema es compatible y tiene
solución única. El punto solución se conoce como
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Superficies Cuádricas
CENTROde la cuádrica. Si det A00 = 0, el sistema posee una
recta de soluciones cuando det A=0 y los rangos de ambas
matrices son iguales a 2, entonces se dice que la cuádrica
tiene una recta de centros.
Cuando el rango de ambas matrices es igual a 1 hay un plano
de soluciones: la cuádrica tiene un plano de centros.
Finalmente el sistema no tiene solución si los rangos difieren
o det A ≠ 0; en tal caso la cuádrica carece de centro, recta o
plano de centros.
Así se tiene:
1 Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos.
2 Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e
hiperbólicos y pares de planos secantes.
3 Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos
o coincidentes.
4 El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el
infinito): paraboloides y cilindros parabólicos.
El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el
plano de centros son a su vez eje y plano de simetría.
Ejemplo:
Consideremos la cuádrica de ecuación
Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de
clasificación). El plano polar por el punto
(2,1,3) es el plano de ecuación
que corta a la superficie (nótese que (2,1,3) es
exterior a la superficie (véase la figura).
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Superficies Cuádricas
El centro de la cuádrica es la solución del
sistema
que en este caso resulta ser el origen de
coordenadas.
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Superficies Cuádricas
En las figuras siguientes vemos los planos
polares en los puntos (0,1,1/2) y (0,2,0):
En el primer caso el punto es interior a la
superficie y el plano polar es exterior a la
misma, mientras
que en el segundo caso el punto está sobre el
elipsoide y el plano polar coincide con el
plano tangente
a la superficie en dicho punto.
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Superficies Cuádricas
Ecuación reducida:
La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación
simplificada que representa la superficie con su centro (si lo
tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los
ejes coordenados tienen relaciones particulares con la
cuádrica.
Partiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede
llegar a su ecuación reducida aplicandole consecutivamente
un giro y una translación de forma adecuada aunque en
algunos casos especiales es necesario aplicar después de esta
última un giro plano.
A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas
y que cuádricas representan así como la forma de obtenerlas
a partir de los invariantes.
Denotemos por , y las raíces
de entonces:
• Elipsoides, hiperboloides y conos:
donde
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elipsoide hiperboloide
hiperbólico
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Superficies Cuádricas
cono hiperboloide
elíptico
• Paraboloides:
donde
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paraboloide elíptico
paraboloide
hiperbólico
• Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de
planos secantes:
donde
cilindro elíptico cilindro hiperbólico
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par de planos secantes
• Cilindro parabólico:
donde
cilindro parabólico
• Pares de planos paralelos:
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donde
par de planos paralelos
Cuádricas no degeneradas:
Elipsoide Hiperboloide hiperbólico Hiperboloide
elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico
Elipsoide
Ecuación reducida:
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La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores
de la matriz A00 son los tres positivos.
Los cortes del elipsoide por planos paralelos a
los coordenados son curvas cónicas de tipo
elipse
(en lo siguiente se supone que el elipsoide esta
centrado en el origen de coordenadas y tiene la
ecuación reducida
que se da arriba):
1. por planos z = α
Si α<c la curva de corte es una
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elipse de ecuación
donde
Si α>c no hay intersección real,
mientras que si α=c la intersección
se reduce a un punto siendo el
plano tangente a la superficie
elíptica.
Para los planos de la forma y =α o x=α el
resultado es análogo al anterior
intercambiando el papel de las variables de
forma adecuada.
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(corte por un plano y = α con 0<α< b)
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(corte por un plano x = α con 0<α< a)
Hiperboloide hiperbólico
Ecuación reducida:
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Superficies Cuádricas
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz
A00 son dos positivos y uno negativo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los
coordenados son curvas cónicas:
(en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado
en el origen de coordenadas y tiene la pimera de
las ecuaciones reducidas dadas arriba):
• por planos z = α
La curva de corte es una elipse de ecuación
donde
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( α
>0)
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( α = 0, elipse de garganta )
• por planos x=α .
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23. 23
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El corte es la hipérbola de
ecuación
donde
( α = 0 )
(α>0)
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Superficies Cuádricas
• por planos y=α
El corte es una hipérbola como la del
caso anterior donde los papeles de x e y
se han intercambiado
El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de
revolución engendrada al girar una hiperbola alrededor del eje
de la cuádrica ( en el caso de la ecuación reducida que estamos utilizando, el
eje z) describiendo una elipse.
Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada
puesto que contiene a las dos familias de rectas. Veamoslo. La ecuación del
hiperboloide se puede escribir como
Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface
el siguiente conjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.
Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente
tenemos un par de rectas contenidas en el hiperboloide.
Hiperboloide elíptico
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Ecuación reducida:
En las figuras anteriores a=b=c
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos
negativos y uno positivo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son
curvas cónicas:
(El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las
ecuaciones reducidas)
por planos z = α
la intersección es una hipérbola de ecuación
donde
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26. 26
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•
• por planos y =α el resultado es análogo al anterior intercambiando los
papeles de y y z
• por planos x=α
si |α |>a entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuación
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( los planos: x=α> a y x=-α< -a)
si |α |<a no hay intersección real mientras que si |α|=a
entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en
cuestión es tangente a la superficie.
( a= 0 )
A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la
segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos
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( corte por plano z = a > c )
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30. 30
Superficies Cuádricas
( corte por plano y = α >0 )
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31. 31
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( corte por plano x = α >0 )
Paraboloide elíptico
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32. 32
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Ecuación reducida:
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son
curvas cónicas
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33. 33
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(en lo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que
se da arriba):
• por planos z = α
si α>0 entonces la curva intersección resulta ser
una elipse de semiejes a y b y ecuación
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Superficies Cuádricas
(α>0)
si α<0 entonces no existe intersección mientras
que para α=0 la intersección se reduce a un
punto siendo la superficie cuádrica tangente al
plano en dicho punto.
(a<0)
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• por planos y =α o por planos x=α las curvas
intersección son las parábolas
(corte por plano y = α = 0 )
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36. 36
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(corte por plano x = α >0 )
Paraboloide hiperbólico
Ecuación reducida:
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37. 37
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En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas.
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de
rectas:
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38. 38
Superficies Cuádricas
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas
cónicas:
• por planos z = α
si α≠0 entonces la curva intersección es una
hipérbola de ecuación
(α > 0)
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(α < 0)
si α=0 entonces la intersección es
un par de rectas que se cortan en el
origen de coordenadas
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(α = 0)
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41. 41
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por planos y = α o por planos x =
α las curvas intersección son las
parábolas
y
respectivamente.
( y = α = 0)
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42. 42
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(x = α = 0)
A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide
hiperbólico por plano oblicuos no paralelos a los coordenados
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43. 43
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Cuádricas
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Definición
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una
ecuación de segundo grado del tipo
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44. 44
Superficies Cuádricas
La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como
donde
Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz
adjunta del elemento a00 en A.
Clasificación
Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura σ , es decir, el módulo de la diferencia
entre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular la
signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de
unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar σ sin necesidad de
calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la
ecuación . Ahora bien,
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Superficies Cuádricas
Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos, es decir, det A00 ≠ 0, si escribimos la
sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de
signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = σ . Los valores I, J, K se conocen
como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:
1. Si σ = 3 :
1. det A > 0 ---> elipsoide real
2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la
ecuación)
3. det A = 0 ---> cono imaginario
2. Si σ = 1 :
1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja)
2. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas)
3. det A = 0 ---> cono real
Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto de
cero, entonces;
1. Si J > 0 ---> paraboloide elíptico
2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico
Si det A = det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar la
clasificación
donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3.
Con estos nuevos invariantes se tiene
1. J>0
1. K' ≠ 0 y signo K' = signo I ---> cilindro elíptico imaginario
2. K' ≠ 0 y signo K' ≠ signo I ---> cilindro elíptico real
3. K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes
2. J < 0
1. K' ≠ 0 ----> cilindro hiperbólico
2. K' = 0 ----> par de planos reales secantes
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Superficies Cuádricas
3. J = 0 y I ≠ 0
1. K' ≠ 0 ----> cilindro parabólico
2. K' = 0 y J' > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos
3. K' = 0 y J' < 0 -----> par de planos reales paralelos distintos
4. K' = 0 y J' = 0 ----> par de planos coincidentes
En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:
Clasificación de las Cuádricas
det A > 0 Elipsoide Real
σ = 3 det A < 0 Elipsoide Imaginario
det A = 0 Cono Imaginario
det A00 ≠0
det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico
σ = 1 det A < 0 Hiperboloide Elíptico
det A = 0 Cono Real
det A00 = 0
J>0 Paraboloide Elíptico
det A≠0
J<0 Paraboloide Hiperbólico
det A =
0 K'≠ 0 , signo K' = signo I Cilindro
elíptico imaginario
J > K' ≠ 0 , signo K' ≠ signo I Cilindro
0 elíptico real
K' = 0 Par de planos imaginarios
secantes
J < K' ≠ 0 Cilindro hiperbólico
0 K' = 0 Par de planos reales secantes
J = K' ≠ 0 Cilindro Parabólico
0
I ≠ K' = 0, J' > 0 Par de planos imaginarios
0 paralelos distintos
K' = 0, J' < 0 Par de planos reales
paralelos distintos
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Superficies Cuádricas
K' = 0, J' = 0 Par de planos coincidentes
Centro
Plano polar: Dado un punto P = (x0,y0,z0) ∈ IR3 se define el plano polar de P respecto a la
cuádrica de matriz A como el plano de ecuación
Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a
dicha superficie en P.
No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto (x, y, z) no lo
tenga es que verifique el sistema de ecuaciones
que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos.
Si det A00≠ 0, entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto solución
se conoce como centro de la cuádrica.
Si det A00 = 0 pueden ocurrir tres cosas, si det A=0 y los rangos de ambas matrices son
iguales a 2 el sistema posee una recta de soluciones, entonces se dice que la cuádrica tiene
una recta de centros. Por otro lado, si det A=0 y el rango de ambas matrices es igual a 1
existe un plano de soluciones, y se dice que la cuádrica tiene un plano de centros.
Finalmente, si los rangos difieren o det A ≠ 0 el sistema no tiene solución, en tal caso la
cuádrica carece de centro, recta o plano de centros.
Así, se tiene:
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Superficies Cuádricas
• Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos.
• Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y
pares de planos secantes.
• Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos o
coincidentes.
• El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el infinito):
paraboloides y cilindros parabólicos.
El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje
y plano de simetría.
Ejemplo:
Consideremos la cuádrica de ecuación
Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto
(2, 1, 3) es el plano de ecuación
que corta a la superficie (nótese que (2, 1, 3) es exterior a la superficie como se ve en la
figura siguiente).
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49. 49
Superficies Cuádricas
El centro de la cuádrica es la solución del sistema de ecuaciones
que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.
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50. 50
Superficies Cuádricas
En las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos (0, 1, 1/2) y (0, 2, 0):
En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma,
mientras que en el segundo caso el punto e stá sobre el elipsoide y el plano polar coincide
con el plano tangente a la superficie en dicho punto.
Ecuación reducida
La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa la
superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los
ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica.
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51. 51
Superficies Cuádricas
Partiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede llegar a su ecuación reducida
aplicandole consecutivamente un giro y una translación de forma adecuada aunque en
algunos casos especiales es necesario aplicar después de esta última un giro plano.
A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cuádricas representan,
así como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes.
Denotemos por , y las raíces de , entonces:
• Elipsoides, hiperboloides y conos:
donde
elipsoide hiperboloide hiperbólico
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Superficies Cuádricas
hiperboloide elíptico cono
•
• Paraboloides:
donde
paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico
•
• Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de planos secantes:
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Superficies Cuádricas
donde
cilindro elíptico cilindro hiperbólico par de planos secantes
•
• Cilindro parabólico:
donde
cilindro parabólico
•
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• Pares de planos paralelos:
donde
par de planos paralelos
Cuádricas no degeneradas
Hiperboloide Hiperboloide Paraboloide Paraboloide
Elipsoide
hiperbólico elíptico elíptico hiperbólico
Elipsoide
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Un ejemplo real
Ecuación reducida:
La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A00 son los tres positivos.
Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipo
elipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas
y tiene la ecuación reducida que se da arriba):
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• Cortes por planos z = α
Si α < c la curva de corte es una elipse de ecuación
donde
•
• Si α> c no hay intersección real.
Si α= c la intersección se reduce a un punto, siendo el plano tangente a la
superficie elíptica.
• Para cortes con planos de la forma y = α ó x = α el resultado es
análogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma
adecuada.
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Superficies Cuádricas
(corte por un plano y = α con 0 < α < b)
•
(corte por un plano x = α con 0 < α < a)
Hiperboloide hiperbólico
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Un ejemplo real
Ecuación reducida:
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Superficies Cuádricas
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y uno
negativo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (en
lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene
la pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba):
• Cortes por planos z = α
La curva de corte es una elipse de ecuación
donde
(α >0)
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Superficies Cuádricas
( α = 0, elipse de garganta )
•
• Cortes por planos x = α
El corte es la hipérbola de ecuación
donde
(α =0) (α >0)
•
• Cortes por planos y = α
El corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e
y se han intercambiado.
El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revolución
engendrada al girar una hiperbola alrededor del eje de la cuádrica (en el caso de la ecuación
reducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse.
Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto que
contiene a las dos familias de rectas. Veamoslo, la ecuación del hiperboloide se puede
escribir como
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61. 61
Superficies Cuádricas
Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguiente
conjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.
Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un par
de rectas contenidas en el hiperboloide.
Hiperboloide elíptico
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
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62. 62
Superficies Cuádricas
(En las figuras anteriores a = b = c)
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos negativos y uno
positivo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (El
desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas)
• Cortes por planos z = α
la intersección es una hipérbola de ecuación
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63. 63
Superficies Cuádricas
donde
• Corte por planos y = α
el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de yyz
• Cortes por planos x = α
si |α| > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuación
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64. 64
Superficies Cuádricas
donde
x=α>a x = -α < -a
•
•
si |α| < a no hay intersección real.
si |α| = a, entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en
cuestión es tangente a la superficie.
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65. 65
Superficies Cuádricas
(α=0)
•
• A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la
segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos
• (corte por plano z = α > c)
•
• (corte por plano y = α > 0)
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Superficies Cuádricas
•
• (corte por plano x = α > 0)
Paraboloide elíptico
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Superficies Cuádricas
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
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68. 68
Superficies Cuádricas
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas, (en
lo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba):
• Cortes por planos z = α
si α > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a
y b con ecuación
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Superficies Cuádricas
(α>0)
•
si α < 0, entonces no existe intersección.
si α = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica
tangente al plano en dicho punto.
(α < 0)
•
• Corte por planos y = α o por planos x = α las curvas intersección
son las parábolas
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Superficies Cuádricas
(corte por plano y = α = 0 )
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Superficies Cuádricas
(corte por plano x = α >0 )
Paraboloide hiperbólico
Un ejemplo real
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Superficies Cuádricas
(Foto cedida por el Prof. D. Juan M. Báez Mezquita)
Ecuación reducida:
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73. 73
Superficies Cuádricas
En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas.
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas:
• Cortes por planos z = α
si α ≠ 0, entonces la curva intersección es una hipérbola de ecuación
(α > 0)
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74. 74
Superficies Cuádricas
(α < 0)
•
• si α = 0, entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen de
coordenadas
•
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75. 75
Superficies Cuádricas
(α = 0)
•
• Cortes por planos y = α o por planos x = α
las curvas intersección son las parábolas y
respectivamente.
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76. 76
Superficies Cuádricas
( y = α = 0)
(x=α =0)
A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico por
plano oblicuos no paralelos a los coordenados
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77. 77
Superficies Cuádricas
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Página elaborada por: M. Teresa Pérez y Miguel A. Martín
Sesión de Ejercicios 3
Superficies Cuadràticas
Definición:
Una superficie cuadrática ( o cuàdrica ) es la gráfica de una ecuación de
segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0
donde A, B, C, …, J son constantes.
1. Elipsoide.
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78. 78
Superficies Cuádricas
x2 y2 z2
Tiene por ecuación + + =1
a2 b2 c2
Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos
paralelos a los planos coordenados es una elipse
x2 z2 y2 z2
Si y = 0 ⇒ + = 1 elipse Si x = 0 ⇒ + = 1 elipse
a2 c2 b2 c2
x2 y2
Si z = 0 ⇒ + = 1 elipse
a2 b2
2. Hiperboloide
de una hoja.
x2 y2 z2
Tiene por ecuación + − =1
a2 b2 c2
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79. Las trazas del hiperboloide son
hiperbolas en planos paralelos al plano
XZ y al YZ, mientras que en planos
paralelos al XY las trazas son elipses.
y2 z2 x2 z2
Si x = 0 ⇒ − = 1 Hiperbola Si y = 0 ⇒ − = 1 Hiperbola
b2 c2 a2 c2
x2 y2
Si z = 0 ⇒ + = 1 Elipse
a2 b2
El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece
en la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental
entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable
con signo negativo.
3. Hiperboloide de
dos hojas.
x2 y2 z2
Tiene por ecuación − − 2 + 2 =1
a2 b c
Las trazas de esta superficies son :
Para planos paralelos a XZ son
hiperbolas al igual que para planos
z2 y2
si x = 0 ⇒ − = 1 hiperbola
c2 b2
z2 x2
si y = 0 ⇒ − = 1 hiperbola
c2 a2
paralelos al YZ.
Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .

80. 4. Paraboloides
x2 y2
si z = 0 ⇒ − − = 1 imposible! ! ! ⇒no hay gráfica
a2 b2
x2 y2 z
Tiene por ecuación 2
+
2
=
a b c
Las trazas del paraboloide son:
Para planos paralelos al XY son
elipses, para planos paralelos al XZ o
y2 z b2z
Si x = 0 ⇒ = ⇒ y2 = parábola
b2 c c
al YZ son parábolas.
Su diferencia con las otras cuádricas es que
tienen una variable que no está elevada al
x2 z a2z
Si y = 0 ⇒ = ⇒ x2 = parábola
a2 c c
x2 y2 k
Si z = K ⇒ + = Elipse, y si a = b Círculo
a2 b2 c
cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.
5. Paraboloide
hiperbólico.
x2 y2 z
Tiene por ecuación 2
−
2
=
a b c
Su diferencia fundamental con las
otras superficies es que ella tiene en
su ecuación una variable que no está
elevada al cuadrado, y las otras
variables tienen el signos contrarios.
Trazas:
x2 z
si y = 0 ⇒ = parábolas
a2 c

81. y2 z
si x = 0 ⇒ − = parábolas
b2 c
x2 y2 a
si z = 0 ⇒ − = 0 ⇒ x = y Dos rectas! !
a2 b2 b
6. Conos
La superficie cuádrica que tiene por ecuación
x2 y2 z2
+ =
a2 b2 c2
Se denomina Cono.
Z
Las trazas del cono son:
y2 z2 b
Si x = 0 ⇒ = ⇒ y = z Dos rectas
b2 c2 c
x2 z2 a
Si y = 0 ⇒ = ⇒ x = z Dos rectas
a2 c2 c Y
x2 y2 k2
si z = K ⇒ + = Elipse, ¿Y si a = b?
a2 b2 c2
X
7. Cilindro circular recto:
Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la
superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:
x2 + y 2 = a 2
Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica
del cilindro se extenderá paralelo al eje z

82. En el plano: En el Espacio:
z
Y
a
x y
x
8. Cilindro circular recto con eje en el eje y :
x2 + z2 = a2
Considere la ecuación:
En el plano: En el Espacio
z
z
a
x
y
x

83. 8. Cilindro parabólico:
Considere la ecuación x + y = 0 , que corresponde a una parábola en el
2
plano xy, al variar z se obtiene la superficie
En el plano En el espacio
9. Cilindro elíptico con eje en el eje z:
Considere la ecuación de la elipse y + ( 4 z ) = 4 en el plano
2 2
yz , al recorrer el eje x se obtiene la superficie
En el espacio En el plano

84. 10. Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:
Considere la ecuación y 2 − x2 = 1 que corresponde a una hipérbola
centrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie
En el espacio En el plano

85. EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas,
cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gràfico
aproximado.
1. 4 x − y + z − 8 x + 2 y + 2 z + 3 = 0
2 2 2
( hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1))
2. x + y + z − 8 − 8 y − 6 z + 24 = 0
2 2 2
( esfera )
3. x + 2 y − 4 z = 8
2 2 2
(cono elíptico de 2 hojas)
4. x − y + z − 10 z + 25 = 0
2 2 2
(cono circular)
5. 36 y + x + 36 z = 9
2 2
(paraboloide elìptico)
6. x − z = 5 y
2 2
(paraboloide hiperbólico)
7. x + 4 y − 4 z − 6 x − 16 y − 16 z + 5 = 0
2 2 2
( hiperboloide de una hoja)
8. y + z − 2 x = 0
2 2
(paraboloide circular recto)
9. z = 3 x + 2 y − 11
2 2
( paraboloide )
z 2 y 2 x2
10. − − =1
4 9 9
( hiperboloide de dos hojas)
12. x 2 + z 2 = 1 15. x 2 + z = 1
13. x − 4 y = 1 16. 4 x + y = 36
2 2 2 2
14. x = 4 − y 17. x 2 + 4 z 2 = 16
2
( cilindros )

86. II.
1. Trace la región limitada por x 2 + y 2 = 2 y z = x2 + y2 para 1 ≤ z ≤ 2
2. Obtener la curva de intersección de las superficies
x 2 + 2 y 2 − z 2 + 3 x = 1 y 2 x 2 + 4 y 2 − 2 z 2 − 5 y = 0 y hacer su gràfica
3. Graficar :
a) La parte del hiperboloide − x − y + z = 1 que se encuentra
2 2 2
abajo del rectángulo [ −1,1] x [ −3,3]
b) La parte del paraboloide elíptico 6 − 3 x − 2 z = y que se
2 2
encuentra a la derecha del plano xz
c) La parte de la esfera x + y + z = 4 que se encuentra
2 2 2
arriba del cono z = x 2 + y 2
d) La parte del cilindro x + z = 1 que se encuentra entre los
2 2
planos y=-1 y y=3
e) La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro
x 2 + y 2 = 16
f) La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del
cilindro
x + y2 = 1
2
g) La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del
cilindro x + y = 1
2 2
h) La parte de la superficie z = x + y que se encuentra arriba
2
del triàngulo de vértices (0,0), (1,1) , y (0,1)
i) La parte del paraboloide hiperbólico z = y2 − x2 que se
encuentra
entre los cilindros y + x = 1 y y + x = 4
2 2 2 2
III. Graficar los sòlidos indicados, marcando los
cortes con los ejes cordenados.
a) Sòlido limitado y + x = 1 , el plano z= y+3 y el plano xy
2 2
b) Sòlido limitado por z 2 + x 2 = 1 y los planos y=0 y x+y=2

87. c) El sòlido limitado por z = 4 − x 2 − y 2 y z=0
d) El sòlido limitado por z + y + x = 1 y arriba de z = x 2 + y 2
2 2 2
e) El sòlido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados
en el primer octante.
f) El sòlido limitado por z = − 9 − x 2 − y 2 y z=-1
g) El sòlido limitado por z = 3 − 2 x − y y z = x2 + y 2 − 3
2 2
h) El sòlido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),
(0,1,0) y (0,0,1).