Este documento presenta una introducción a los números complejos. Explica la clasificación de los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. También describe el origen histórico de los números complejos y las diferentes formas de representarlos, como forma binómica, representación vectorial, polar y matricial. Finalmente, discute brevemente la relación entre las matemáticas y el desarrollo social a lo largo de la historia.

1. Instituto
Tecnológico de
Morelia
Introducción a los Números
Complejos
Semestre V
Análisis de Señales y Sistemas
José Alfredo Mendoza Heredia 11121402
Horario: 8 a.m. - 9 a.m.
Dr. Servando González Hernández
Morelia, Michoacán a 28 de agosto de 2013

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Clasificación de los Números
Los números se clasifican en cinco tipos principales: números naturales “N“, números enteros “Z”,
números racionales “Q”, números reales “R” (incluyen a los irracionales) y números complejos “C”.
En esta clasificación cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los
números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números
complejos “C”, que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores.
Los Números Naturales “N” son todos los números mayores de cero (algunos autores incluyen
también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria.
N = [1, 2, 3, 4, 5...]
Los Números Enteros “Z” incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos
(los números negativos). Es decir: Z = [...-2, -1, 0, 1, 2...]
Los Números Racionales “Q” son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos
números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]
Los Números Reales “R” se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea
continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como
el número “∏” y “e“.
Los Números Complejos “C” incluye todos los números anteriores más el número imaginario “i“.
C = [N, Z, Q, R, I]

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Origen de los Números Complejos
La primera referencia que se encontró de los números complejos fue en la obra Estereometría
de Herón de Alejandría, alrededor de la mitad del siglo I. En un fragmento, aparece la raíz
cuadrada de un número negativo.
La siguiente referencia sobre los números complejos se data en el año 275 en la obra de
Diophantus, Arithmetica. En su intento de calcular los lados de un triángulo rectángulo de
perímetro 12 y área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336 x2+ 24 = 172 x, ecuación de
raíces complejas.
La primera explicación a estos números la dan los matemáticos hindúes. Mahavira, en el año 850,
comentó en su tratado de los números negativos la primera definición: “como en la naturaleza
de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada”.
Posteriormente, Bhaskara, en 1150, hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz
cuadrada de un número negativo de esta forma:
“El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número
positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número
negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.”
Primeros estudios: S. XVI
Fue el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli, unos treinta años después de la publicación de la
obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento a las conclusiones de Cardan. Este
razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli
desarrolló un cálculo de operaciones con números complejos que se ajusta a los que conocemos
en la actualidad.
A principios de 1620, Albert Girard sugirió que las ecuaciones de grado n tenían n raíces.
René Descartes, que bautizó con el nombre de imaginarios a estos números, apuntó también
que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque alguna de ellas podían
ser números imaginarios.
Los números complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan
Bernoulli usaron números imaginarios en la resolución de integrales.
Los números complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean
D'Alembert en hidrodinámica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas
erróneas del teorema fundamental del álgebra. Euler fue el primero en usar la notación haciendo
además un uso fundamental de los números complejos al relacionar la exponencial con las
funciones trigonométricas por la expresión.

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Por otro lado, Euler expuso su identidad, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se
puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma,
multiplicación, exponenciación e identidad. Además, tenemos los cinco números fundamentales:
 El cero: 0
 El uno: 1
 El número
 El número e
 El número i
𝑒 𝑖𝜋
+ 1 = 0
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss, en su tesis doctoral, daba la primera prueba correcta del
teorema fundamental del álgebra.
La Universidad de Cambridge como ejemplo, a principios del siglo XIX, se preguntaba qué lógica
regía sobre las operaciones con números complejos que permitiese su enseñanza.
En el siglo XIX ya proponen algunos matemáticos, de Cambridge principalmente, que debía haber
unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para
muchos. La representación geométrica de los complejos como puntos del plano tiene sus
primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-
Robert Argand.
No obstante sería la referencia de Gauss la que tendría el impacto suficiente. En 1833, William
Rowan Hamilton da la primera definición algebraica rigurosa de los complejos como pares de
números reales. Más tarde, es Augustin-Louis Cauchy quien da una definición abstracta de los
números complejos como clases de congruencias de polinomios reales, basándose en las clases
de congruencias de enteros dada por Gauss.
Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los números complejos
ya habían desaparecido.
La presencia de los números complejos en diversas áreas de las matemáticas puede ser
clasificadas de manera muy genérica de la siguiente forma:
 Álgebra
 Análisis
 Geometría
 Teoría de números

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Representación de los Números Complejos
Para empezar, debemos definir un número complejo. Los números complejos conforman un
grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. La unidad
imaginaria es el número √−1 y se designa por la letra i.
√−1=i
√−4 = √4√−1 = 2𝑖
Un número imaginario se denota por b i, donde:
 b es un número real
 i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
𝑥2
= −9 𝑥 = ±√−9
𝑥1 = 3𝑖 𝑥2 = −3𝑖
Números Complejos en Forma Binómica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.
El número a se llama parte real del número complejo.
El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
z=a+bi
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y,
eje imaginario.
La representación geométrica de un número real es un único punto en una línea recta continua
infinitamente larga, esta línea recta tiene establecida una unidad que es la distancia entre puntos
consecutivos que representan a los llamados números enteros. Un número complejo es más
general que esto.
Un número complejo es un par ordenado de dos números reales (a, b), de manera análoga una
variable compleja es un par ordenado de dos variables reales.
z = (x, y)
El orden es importante, ya que en general (a, b) ≠ (b, a). Normalmente un número real (x,0) es
escrito sólo como x, y la unidad imaginaria i = (0,1) sólo es escrita como i, la cual tiene la propiedad
que i2
= −1.
Si definimos a z = (a, b) a a se le denomina parte real y se denota por Re(z), y a b se le llama
parte imaginaria y se denota por Im(z).

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El conjugado de un número complejo z = (a, b) es denotado como z o z∗ está definido como
z = (a, −b)
Una forma más cómoda de denotar a un número complejo z = (a, b) será z = a + ib.
Representación vectorial
La representación vectorial es también muy utilizada ya que al representar un número complejo
como un vector hereda propiedades y herramientas del análisis vectorial.
Para representar un número complejo como un vector (segmento de recta dirigido) se localiza el
punto en el diagrama de Argand y el vector se conformará del origen al punto previamente
localizado.
Las características de las operaciones con vectores respetan a las de los números complejos e
incluso las describen de tal manera que muchas demostraciones son más simples de hacer y
entender por una representación de este tipo.
En esta figura se muestran los vectores correspondientes a los números complejos
2 + 1.5i y −1 + 2i así como el vector resultante de su suma.
Una suma vectorial es una suma compleja.
Representación polar
Si un número complejo tiene una representación en un plano cartesiano también lo tendrá en un
plano polar. Recordando que las ecuaciones para convertir de coordenadas rectangulares a
polares y adaptándola al plano de Argand:
x = rcosθ iy = ir sinθ
donde r es la distancia del origen al punto a través de una línea recta (magnitud del vector) y θ
el ángulo formado por dicha recta y el eje real. A θ se le conoce como argumento o fase y se
denota por Arg(z) siendo z el número complejo al que corresponde. Sustituyendo las ecuaciones
de arriba en la definición de número complejo tendremos z = x + iy = r(cosθ + isinθ)
y recordando la propiedad de Euler que dice ex+iy = ex(cosx + isiny)

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Ley del paralelogramo
substituyendo tendremos
z= x + iy = reiθ
siendo θ y r el argumento y el módulo de z respectivamente.
Notando algunas propiedades geométricas de esta representación podemos ver que si dejamos
r fijo y variamos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π notaremos que se ira formando un circulo de radio
r con centro en el origen. También con una desigualdad con el módulo podemos delimitar todos
los puntos de un circulo, a esto se le suele llamar disco, por ejemplo, |z| < 1 serán todos los puntos
que del origen a un punto tienen un módulo menor a 1, es decir, todos los puntos internos del
circulo de radio 1 con centro en el origen.
Partes:
M=√ 𝒂 𝟐+𝒃 𝟐 α=art tan (
𝒃
𝒂
)
Representación matricial
Un número complejo se puede representar como un vector y un vector como matriz, por lo que
suena lógico que un número complejo se pueda representar con una matriz, sólo que la
representación no tiene que ser propiamente la de un vector en una matriz. Una posible
representación de z ∈R con Re(z) = a y Im(z) = b
El primer renglón nos dará el número complejo. Podemos definir la unidad real como
y la imaginaria como

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al ser un número complejo la suma de un número real más otro número real por la unidad
imaginaria, podemos hacerlo matricialmente
Con esta representación la aritmética compleja es isomorfa a las operaciones con matrices.
Relación entre los Números y el Desarrollo Social a lo Largo de la Historia de
la Humanidad
La utilidad y concepción de las teorías matemática, sus saberes se utilizaban en las otras ciencias
existentes en cada época, tales como la astronomía y la música, por ejemplo. Los resultados
matemáticos obtenidos dan pie y utilidad al estudio en diversos ámbitos. Sin la matemática, el ser
humano no hubiera alcanzado los niveles de desarrollo necesarios.
Desde luego cada ciencia tiene su trascendental importancia en saberes; y bajo el punto de vista
de su influencia en el bienestar social, cada una ha dado su aporte valioso; pero si es cierto que
el conocimiento es uno de los elementos que ayudan en el destino de las sociedades para que
las necesidades fundamentales de la vida sean satisfechas, se admite que la matemática puede
con toda justicia demandar uno de los lugares más privilegiados en el sistémico concierto de las
fantasías de la inteligencia, integrada a todos los saberes de las ciencias.
Lo anterior, lleva a mirar los puntos de vista de la ciencia matemática, desde el comienzo de la
historia, a fin de que sean apreciados los aportes de la ciencia lógica. Han existido diversas
maneras de concebirla; en la antigüedad en los filósofos presocráticos ya existía inquietud por
encontrar la naturaleza de las cosas más allá de sus apariencias múltiples. Pitágoras (582 a. C. -
507 a. C) y sus seguidores denominados los pitagóricos afirmaban que a toda materia se le
asociaba un número. Estos estudiosos le dieron suma importancia a las proporciones y se
consideran los precursores de la matemática. En su época entonces no se enseñaban las ciencias
de manera separadas (ni separadas de la filosofía) y el fin último de la educación era la formación
integral del individuo; ideales plasmados en la Paideia griega.
Más adelante, al surgir el positivismo con Comte (1798-1857), después de la revolución industrial,
se execra en las aulas a la matemática de las ciencias y la filosofía. Se rechazan conocimientos
provenientes de la psicología, sociología, considerándolas a todas estas fuera de los cánones de
la ciencia; como se puede notar se reduce el estudio a meros asuntos probables y la educación
entra en decadencia, porque es esta convergen aspectos claramente humanos fuera de las
pruebas científicas.
De esta manera se impone el espíritu positivista como único conocimiento válido, reduciendo y
supeditando la cultura a la ciencia, execrando la filosofía, abandonando el sentido común crítico,
exigiendo inclusive el percibir la realidad sólo desde un punto de vista. Predomina, en
consecuencia, una visión empirista, aproblemática, ahistórica, acumulativa y lineal; desprovista
antes los ojos del mundo de subjetividad y dinamismo.

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La situación antes descrita trae consecuencias graves sobre la evolución de la matemática en el
siglo XX y la interpretación de la matemática en la educación. En estos años existieron más
matemáticos que en todos los años anteriores juntos, la gran cantidad de descubrimientos e
influencias sobre las ciencias es enorme y significativos para el avance de la humanidad. Pero al
mismo tiempo la enseñanza de la matemática comienza a entrar en crisis notable.
El hombre del siglo, Einstein (1879 –1955), propuso las dos teorías de la relatividad; la mecánica
cuántica, un desafío fundamental de la manera de mirar al mundo, fue otra creación magistral de
la mano de la matemática. La aeronáutica, en vista de los avances de ésta ciencia formal nació
en 1903 y la reacción de los teóricos fue drástica y a la altura del desafío. Éste gran científico
humanista decía “estoy convencido de que mediante construcciones puramente matemática se
pueden descubrir los conceptos y las leyes que los conecten entre sí, que son los elementos que
nos ofrecen la clave para la comprensión de los fenómenos naturales” (Einstein, 2000, p.95).
El cálculo de probabilidades, el caos determinista, la teoría de juegos, la economía con el mercado
financiero, los ordenadores y la computación son apenas unos pocos de los descubrimientos que
van de la mano de la matemática y que influyen en todas las ciencias. Se recomienda revisar el
texto Pensar la Matemática de Guénard y Lelíevre (1984), para información más profunda de
todas estas relaciones.
La ciencia matemática no es estacionaria; se ha desarrollado por el genio de los grandes
pensadores; está presente en todas las ciencias, y lo que tiene de característico es que sus
progresos son siempre deducciones, corolarios implícitos de cada una de sus teorías
fundamentales. Pero es menester considerar que la naturaleza de la matemática es bastante
compleja, por ello según Cantoral
(1999) es menester la reconstrucción del conocimiento en las aulas de clase, a fin de hacer la
matemática socializable, entendible en la diversidad de educandos y maneras de pensar o
significados.
Según este autor los conocimientos matemáticos tienen un origen y una función social que tienen
que ver con las prácticas humanas.
Todos estos resultados son indicios de que es preciso asumir una postura filosófica que permita
asentar las bases sobre las cuales se formará al individuo, a través del uso de la matemática en la
vida y en su desarrollo integral.

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Aplicaciones: Números Complejos
 En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación
espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y para poner en
números el comportamiento de los fluidos.
 Para análisis dinámico de estructuras y para el control numérico de acciones de una
máquina-herramienta por medio de números.
 En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del
espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable
imaginaria.
 Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los
define a través de cálculos con números complejos en el plano.
 Los números complejos son usados en los modelamientos matemáticos de procesos
físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas.
 Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha,
amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica,
centrales hidroeléctricas.
 Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre
vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas (para los físicos), además
se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor.
 En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación de
buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramienta
fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta se emplea para las
aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos.
 Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una
descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r
eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal
de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de
la forma: f (t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z
nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias,
capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias
para las dos últimas.