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ÁLGEBRA BÁSICA 
PRIMER SEMESTRE
1.2 DIAGRAMA DE VENN 
• UNA DE LAS MÁS IMPORTANTES ES QUE NOS 
PERMITEN RESOLVER PROBLEMAS DONDE SE 
INVOLUCREN VARIOS CONJUNTOS. 
SUPONGAMOS QUE UNA EDITORIAL HACE UNA 
ENCUESTA DE PREFERENCIAS SOBRE SUS TRES 
REVISTAS A LAS QUE LLAMAREMOS A, B , C. 
LOS RESULTADOS DE LA ENCUESTA REVELARON 
LOS SIGUIENTES DATOS:
RESULTADOS DE LA ENCUESTA 
• SE ENCUESTARON 1000 
PERSONAS. 
• 600 LEEN LA REVISTA A 
• 500 LA REVISTA B 
• 500 LA REVISTA C 
• 200 LAS REVISTAS B Y C 
• 300 LA C Y LA A 
• 300 LA A Y LA B 
• 100 LA A, LA B Y LA C. 
• VAMOS A RESOLVER CON 
LA AYUDA DE DIAGRAMAS 
DE VENN LAS SIGUIENTES 
PREGUNTAS: 
• 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y 
SÓLO DOS REVISTAS? 
• 2) ¿CUÁNTOS LEEN SÓLO 
UNA REVISTA? 
• 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN 
NINGUNA REVISTA?
DIAGRAMAS DE VENN 
REGIÓNES QUE SE FORMAN 
INTERPRETACIÓN DE LAS 
REGIONES 
• IV = LEEN LAS 3 REVISTAS SON 100 
• IV Y V JUNTAS = PREFIEREN A Y C, QUE 
SON 300, PERO COMO YA SABEMOS QUE 
IV ES 100, ENTONCES V SERÁN 200 
• IV Y VI JUNTAS = LEEN B Y C QUE SON 
200, COMO IV ES 100, VI DEBEN SER 100 
• IV Y II JUNTAS = PREFIEREN A Y B Y SON 
300, IV ES 100, II ES ENTONCES 200. 
• I, II, IV Y V = SÓLO LEEN A Y SON 600, 
COMO YA SABEMOS QUE: II =200, IV = 
100 Y V = 200, TENDREMOS QUE I=100 
• II, III, IV Y VI = LEEN B Y SON 500, 
CONOCEMOS QUE II = 200, IV = 100, Y VI 
= 100, POR TANTO III = 100 
• V, IV, VI Y VII = PREFIEREN C Y SON 500, 
V= 200, IV = 100 Y VI = 100, VII = 100 
A B 
I II 
IV 
VII 
C 
III 
V VI
DIAGRAMAS DE VENN 
CANTIDADES EN LAS REGIONES RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS 
• 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN 
NINGUNA REVISTA? 
• SI SUMAMOS LA 
CARDINALIDAD DE CADA 
REGIÓN: 
n(I) + n(II) + n(III) + n(IV) + n(V) + n(VI) + n (VII) 
100 + 200 + 100 + 100 + 200 +100 + 100 = 900 
LAS 100 QUE FALTAN PARA 1000, 
QUE FUERON LAS 
ENCUESTADAS, SON LAS 
PERSONAS QUE NO LEEN 
NINGUANA DE LAS TRES 
REVISTAS. 
A B 
100 
200 100 
C 
100 
200 100 
100 
I 
II 
IV 
III 
V VI 
VII
BUSCANDO LAS DEMÁS RESPUESTAS 
• 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y SÓLO DOS REVISTAS? 
SON LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES II, V Y VI, ASÍ QUE 
SUMANDO SUS CARDINALIDADES TENEMOS: 
n(II) + n(V) + n(VI) = 200 + 200 + 100 = 500 
• 2) ¿CÚANTOS LEEN SÓLO UNA REVISTA? 
LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES I, III Y VII 
n(I) + n(III) + n(VII) = 100 + 100 + 100 = 300 
• ¿QUÉ CANTIDAD DE LECTORES COMPRAN LAS TRES REVISTAS? 
LOS QUE ESTAN EN LA ZONA IV 
n(IV) = 100
EJERCICIO DE TAREA 
EN UNA SECUNDARIA CON 300 ALUMNOS, SE PRACTICAN 
FUTBOL (F), ATLETISMO (A) Y VOLEIBOL (V), SI 74 PRACTICAN 
V, 92 PRACTICAN A, 117 PRACTICAN F, ADEMÁS 24 
PRACTICAN V Y F, 22 PRACTICAN F Y A, 19 PRACTICAN V Y A Y 
9 LOS TRES DEPORTES. REALIZAR UN DIAGRAMA DE VENN Y 
RESPONDER: 
a) ¿CUÁNTOS ALUMNOS NO PRACTICAN ALGUNO DE ESTOS 
TRES DEPORTES? 
b) ¿CUÁNTOS PRACTICAN SÓLO F Y V? 
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Conjunto Universo y Conjunto Unitario 
• Universo: Esta formado 
por todos los elementos 
que intervienen en una 
situación dada. 
Ejemplo: 
U = x x es un Estado de la 
República Mexicana 
• Unitario: Consta de un 
solo elemento. 
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M = x x es maestra de 
Álgebra de Prepa UPAEP 
Santiago de 1º B 
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Bachillerato de UPAEP de 
nombre René Santos 
Gómez
Representación de Subconjuntos 
Los representaremos ahora con un diagrama 
de Venn. 
K 
1 3 
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M L
PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS 
1) Cualquier conjunto esta incluido en si mismo, es 
decir es subconjunto de sí mismo. A  A 
2) El conjunto vacio es un subconjunto de cualquier 
conjunto.   A. ¿Por qué? Como el conjunto 
no tiene elementos, si no fuera así, significaría 
que alguno de sus elementos no esta en otro. 
3) Al conjunto que contiene todos los elementos se 
le denomina Conjunto Universal.
EJEMPLO 
Sea Z = l, m, n 
Escribir todos los posibles subconjuntos de Z: 
, l, m, n, l, m, m, n, l, n, l, m, n
COMPLEMENTO DE UN 
SUBCONJUNTO 
Si tenemos un conjunto U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 
otro B = 3, 7, decimos que B es subconjunto 
de U. 
Los elementos 1, 2, 4, 5, 6 están en U pero no 
están en B, este conjunto se representa como 
Bc o B’ y se lee “complemento de B” o “B 
prima”. 
B’ = 1, 2, 4, 5, 6 
Su notación sería B’ = x  U  x  B
Ejemplos de Complemento de un 
Subconjunto 
Si U = 1, 2, 3… 20 y A  U y sabemos que: 
A = x  x es un número par menor o igual a 20, 
encontrar A’ 
A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 
A’ = x  x es un número non menor a 20 
A’ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 
A’ = x  U  x  A
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Subconjunto 
Si U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j y S  U y sabemos 
que: 
S = a, g, h, i, encontrar S’ 
S’ = b, c, d, e, f, j 
S’ = x  U  x  S
EQUIVALENCIA ENTRE 
PROBABILIDAD Y CONJUNTOS. 
– Tirar una moneda tres veces 
• Espacio muestral 
– Ω = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}. 
– Sucesos simples: cada uno de los elementos de Ω 
– Otros ejemplos de sucesos podrían ser, 
• A = {dos caras como mínimo} 
– A = {CCC, CCX,CXC, XCC}. 
• B = {dos cruces} 
– B = {CXX, XCX,XXC}

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Conjuntos 2

  • 2. 1.2 DIAGRAMA DE VENN • UNA DE LAS MÁS IMPORTANTES ES QUE NOS PERMITEN RESOLVER PROBLEMAS DONDE SE INVOLUCREN VARIOS CONJUNTOS. SUPONGAMOS QUE UNA EDITORIAL HACE UNA ENCUESTA DE PREFERENCIAS SOBRE SUS TRES REVISTAS A LAS QUE LLAMAREMOS A, B , C. LOS RESULTADOS DE LA ENCUESTA REVELARON LOS SIGUIENTES DATOS:
  • 3. RESULTADOS DE LA ENCUESTA • SE ENCUESTARON 1000 PERSONAS. • 600 LEEN LA REVISTA A • 500 LA REVISTA B • 500 LA REVISTA C • 200 LAS REVISTAS B Y C • 300 LA C Y LA A • 300 LA A Y LA B • 100 LA A, LA B Y LA C. • VAMOS A RESOLVER CON LA AYUDA DE DIAGRAMAS DE VENN LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: • 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y SÓLO DOS REVISTAS? • 2) ¿CUÁNTOS LEEN SÓLO UNA REVISTA? • 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN NINGUNA REVISTA?
  • 4. DIAGRAMAS DE VENN REGIÓNES QUE SE FORMAN INTERPRETACIÓN DE LAS REGIONES • IV = LEEN LAS 3 REVISTAS SON 100 • IV Y V JUNTAS = PREFIEREN A Y C, QUE SON 300, PERO COMO YA SABEMOS QUE IV ES 100, ENTONCES V SERÁN 200 • IV Y VI JUNTAS = LEEN B Y C QUE SON 200, COMO IV ES 100, VI DEBEN SER 100 • IV Y II JUNTAS = PREFIEREN A Y B Y SON 300, IV ES 100, II ES ENTONCES 200. • I, II, IV Y V = SÓLO LEEN A Y SON 600, COMO YA SABEMOS QUE: II =200, IV = 100 Y V = 200, TENDREMOS QUE I=100 • II, III, IV Y VI = LEEN B Y SON 500, CONOCEMOS QUE II = 200, IV = 100, Y VI = 100, POR TANTO III = 100 • V, IV, VI Y VII = PREFIEREN C Y SON 500, V= 200, IV = 100 Y VI = 100, VII = 100 A B I II IV VII C III V VI
  • 5. DIAGRAMAS DE VENN CANTIDADES EN LAS REGIONES RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS • 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN NINGUNA REVISTA? • SI SUMAMOS LA CARDINALIDAD DE CADA REGIÓN: n(I) + n(II) + n(III) + n(IV) + n(V) + n(VI) + n (VII) 100 + 200 + 100 + 100 + 200 +100 + 100 = 900 LAS 100 QUE FALTAN PARA 1000, QUE FUERON LAS ENCUESTADAS, SON LAS PERSONAS QUE NO LEEN NINGUANA DE LAS TRES REVISTAS. A B 100 200 100 C 100 200 100 100 I II IV III V VI VII
  • 6. BUSCANDO LAS DEMÁS RESPUESTAS • 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y SÓLO DOS REVISTAS? SON LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES II, V Y VI, ASÍ QUE SUMANDO SUS CARDINALIDADES TENEMOS: n(II) + n(V) + n(VI) = 200 + 200 + 100 = 500 • 2) ¿CÚANTOS LEEN SÓLO UNA REVISTA? LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES I, III Y VII n(I) + n(III) + n(VII) = 100 + 100 + 100 = 300 • ¿QUÉ CANTIDAD DE LECTORES COMPRAN LAS TRES REVISTAS? LOS QUE ESTAN EN LA ZONA IV n(IV) = 100
  • 7. EJERCICIO DE TAREA EN UNA SECUNDARIA CON 300 ALUMNOS, SE PRACTICAN FUTBOL (F), ATLETISMO (A) Y VOLEIBOL (V), SI 74 PRACTICAN V, 92 PRACTICAN A, 117 PRACTICAN F, ADEMÁS 24 PRACTICAN V Y F, 22 PRACTICAN F Y A, 19 PRACTICAN V Y A Y 9 LOS TRES DEPORTES. REALIZAR UN DIAGRAMA DE VENN Y RESPONDER: a) ¿CUÁNTOS ALUMNOS NO PRACTICAN ALGUNO DE ESTOS TRES DEPORTES? b) ¿CUÁNTOS PRACTICAN SÓLO F Y V? c) ¿CUÁNTOS ALUMNOS PRACTICAN SÓLO UN DEPORTE?
  • 8. Conjunto Universo y Conjunto Unitario • Universo: Esta formado por todos los elementos que intervienen en una situación dada. Ejemplo: U = x x es un Estado de la República Mexicana • Unitario: Consta de un solo elemento. Ejemplo: M = x x es maestra de Álgebra de Prepa UPAEP Santiago de 1º B A = x x es alumno de primer semestre de Bachillerato de UPAEP de nombre René Santos Gómez
  • 9. Representación de Subconjuntos Los representaremos ahora con un diagrama de Venn. K 1 3 7 2 6 10 5 8 9 4 M L
  • 10. PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS 1) Cualquier conjunto esta incluido en si mismo, es decir es subconjunto de sí mismo. A  A 2) El conjunto vacio es un subconjunto de cualquier conjunto.   A. ¿Por qué? Como el conjunto no tiene elementos, si no fuera así, significaría que alguno de sus elementos no esta en otro. 3) Al conjunto que contiene todos los elementos se le denomina Conjunto Universal.
  • 11. EJEMPLO Sea Z = l, m, n Escribir todos los posibles subconjuntos de Z: , l, m, n, l, m, m, n, l, n, l, m, n
  • 12. COMPLEMENTO DE UN SUBCONJUNTO Si tenemos un conjunto U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y otro B = 3, 7, decimos que B es subconjunto de U. Los elementos 1, 2, 4, 5, 6 están en U pero no están en B, este conjunto se representa como Bc o B’ y se lee “complemento de B” o “B prima”. B’ = 1, 2, 4, 5, 6 Su notación sería B’ = x  U  x  B
  • 13. Ejemplos de Complemento de un Subconjunto Si U = 1, 2, 3… 20 y A  U y sabemos que: A = x  x es un número par menor o igual a 20, encontrar A’ A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 A’ = x  x es un número non menor a 20 A’ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 A’ = x  U  x  A
  • 14. Ejemplos de Complemento de un Subconjunto Si U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j y S  U y sabemos que: S = a, g, h, i, encontrar S’ S’ = b, c, d, e, f, j S’ = x  U  x  S
  • 15. EQUIVALENCIA ENTRE PROBABILIDAD Y CONJUNTOS. – Tirar una moneda tres veces • Espacio muestral – Ω = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}. – Sucesos simples: cada uno de los elementos de Ω – Otros ejemplos de sucesos podrían ser, • A = {dos caras como mínimo} – A = {CCC, CCX,CXC, XCC}. • B = {dos cruces} – B = {CXX, XCX,XXC}