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Conjuntos
Repasa y haz una breve descrip-
ción de cómo se clasifican los seres
vivos.
Los cien¡íficos creen que hay alre-
dedor de 10 millones de especies
diferentes en la Tierra. Para hacer
su traba;o másfácil, clasifican a los
seres vivos en grupos y subgrupos
cadavez más pequeños, basándo-
se en las semejanzas y diferencias
de los organismos.
. ¿Dentro de qué reino se clasifica
a las bacterias?
Estos seres vivos perrenece:: al reino de las
Bacterias que se caracrerizan por ser un con-
junto de organismos o'oca'ioras que no rie-
nen el núcleo definido y,habiran en casi ¡odos
los lugares del planera en :.esencia o ausencia
de oxígeno.
Un conjunto puede definirse como la agrupación de varios elemenros que
com parren caracrerísricas similares.
Para notar un conjunto se usan lerras mayúsculas y para los elementos se
suelen emplear letras minúsculas.
.ffiTtrI
Según su envoliura ceiular, las células procariotas se clasifican en bacteria
Cam negaciva, bac:e.ia Cram positiva, arquea y micoplasma.
En un laborarorio se separó una célula de cada ripo, se les denominó a,b,c
y d, respectivame::e 'r se agruparon en un conjunto P. Para notar este con-
junto, se puede esc'I ':
P: Ia,b,c,d
1.1 CIases de conjuntos
De acuerdo con la canridad de elementos, un conjunto puede ser vacío,
finito o infinito. Exisre además un conjunro conocido como referencial o
universal cuyos elementos son rodos los objeros de estudio en un contexto
dado.
-@@
El conlunto B de rodos los números pares que son impares es vacío, pues no
existe un número que sea par e impar al mismo riempo.
El conjunro c de rodos los divisores de 20 es finiro, pues sus elementos se
pueden contar.
El conjunto D de rodos los números impares es infinito, pues no exisre un
último número impar.
Para todos esros conjunros, el conjunto universal o de referencia es el con-
junto de los números narurales N.
- {IEIE
El con.junto de los números narurales N, el de los números enteros Z, el
de los números racionales Q y el de los números irracionales I son rodos
infinitos. En esre caso, podría considerarse como conjunro de referencia el
l
o
o
9
k:
ü
Iü
t*
il
I,.3 conjunto de los números reales R.
1.2 Representación gráfica de conjuntos
Los conjunros se pueden representar gráficamente mediante curvas cerra-
das, conócidas con el nómbié,,de
Para inrerpretar un diagrama de Venn se debe tener en cuenta lo siguiente:
I. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan con puntos inte-
riores a la curva.
2. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan con puntos
exteriores a la curva.
3. Ningún punto puede representarse sobre la curva.
4. El conjunro referencial se representa mediante un rectángulo para diferen-
ciarlo de los otros diagramas.
-@Etr
De la Figura '1.1
se deduce que los elementos 2,4,6,7 y B pertenecen al con-
junto B, elcualse escribe de la siguiente manera: B: 12,4,6,7,8]¡.
Los elementos 0, '1,
3,5 y 9 no pertenecen al conjunto B.
Todos los números dentro del rectángulo conforman el conjunto referencial
o universal U. En este casq U : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} es elconjunto de los
números naturales entre 0 y 9 incluyendo al 0.
Frgura i.1
-@Etr
El diagrama de Venn de la Figura '1.2
muestra el conjunto U de todos los
estudiantes de undécimo grado de un colegio y, en el conjunto A, se repre-
senta a quienes estudiarán Administración de Empresas en la universidad.
De acuerdo con el esquema se pueden deducir algunos hechos:
'
. En el grado undécimo hay 16 estudiantes.
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iSebastián, Carolina, Manuela, Marcela, Ximena, Julio, Hernáni
. Los que están por fuera del conjunto A es¡udiarán una carrera distinta. En
¡ ¡oral nueve esrudiantes se dedicarán a otras profesiones.
¡
! . Et imposible saber qué profesiones prefleren quienes no están en el con-
! junto,l.
Pengqmierto mrnério
Figura 1.2
Conjuntos
1.3 Operacio¡¡c¡c*ff
. La unión de dos conirrm,rl;tcrdorf¡mal que pertenecen todos los
elemenros de A y 8- 5erePrnAUü.
. La intersección de dm oireA y I es el conjunto al que pertenecen
todos los elementoscorn¡s&Ayü-§errccaA O B'
. La diferencia enre A y 8, ndqmnA - B es el conjunto al que Pertene-
cen todos los elementosdeAqrmprulecen a B'
. La diferencia simétrica dedmoirmA y I es el conjunto A A B cuyos
elementos pertenecen yaseaeAoet,perc no a ambos a la vez'
. El complemento de un corfirrcAesdo¡itrnrcA'que contiene todos los
elementos (respecto de afm oimo mfumclal) que no peruenecen a A'
-@
Dado el diagrama de Venn de h fgtr¿ 13 se tiene
. A U R : {3, 5,7,9,25,3!:t
.AñC:{3,7
.R_C:19,33
C-R:r121i
RAC: ii19,21,33
A.:,117,21,331
Algunas propiedades de hs opeffirs enue con.iuntos se muestran en la
Tabla 1.'1.
l(eu0UC:AUtqg! Añ8,OC:An(BnC)
:AUB:BUA AOB:BOA ;
:
I Absorción IAU(BOA¡:A AñrBUn;:4 l
: Dis¡ributiva IAU(BflCt:,AUBnAUC AolBUq:(AnB)U(Anq l
Tabla 1.1
-@
Considera la Figura 1.3 y verifica que la propiedad distributiva se cum-
ple para los conjuntos A, C y R En el diagrama de venn se observa que
A : {3, 7, 9, 25}, C -- {3, 5,7,2'lly R = {5, 7, 9, 33}
SedebeverificarqueA U (C n R¡ : 1,A U q n (A U R)
Al desarrollar el lado izquierdo de la igualdad, se tiene que:
A U (C ñ R) : {3,7,9,25} U t5,71: 3,5,J,9,251
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(A U C) n (A U R) : {3, 5,7,9,21,25n {3, 5, 7,9,25,33} : {3, 5,7,9,25}
Deesaforma,A U (C ñ R¡ : (A U g n (A U R).
,,?ensám iento numérico
Ejercitación
@ Obt.rua el diagrama de Venn delaFigura 1.4.
@
l}a
Figura-1.4
a. Escribe los elemenros del conjunto A. ¿Qué tipo
de números pertenecen a tal conjunto?
b. ¿Qué clase de conjunto es B?
c. ¿Existe A n B? Si es así, indica cuáles son sus
elementos;si no existe, explica las razones.
d. HallaA U B y B U A,yescribe una conclusión.
e. HallaA n B y B ñ A,yescribe unaconclusión.
f. Halla A - By B - A,y escribe una conclusión.
g. ¿Cuál es el complemenro de U?
h. ¿Cómo son A A B y B A A? Explica.
Comunicacién
@ Conrtrrye y represenra un diagrama de Venn con
ües conjuntos A,By C. Luego, verifica que se sarisfa-
gan cada una de las siguienres propiedades.
a.A-B:AñB'
b.A - (B o q: (A - B) U (A - C)
c.AU@:A
d.AnU:A
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g. lA U B)': A' O B'
h.AUA':l.J
R.esolución de problernas
(O r. 40 esrudiantes de undécimo grado, 14 roman
I clases de piano y 29 clases de violín.
a. Si cinco estudiantes toman ambas clases, ¿cuán-
tos estudiantes no asisten a ninguna de las dos?
b. ¿Cuánros estudianres roman clase de piano o
de violín?
c. ¿Cuánros estudianres toman únicamente clase
de violín?
Realiza todas las actividades en tu cuademo
Encuentra el número de elemenros de la unión
de los dos conjunros finitos A y B teniendo en
cuenta queA - B riene 20 elementos, B - A
tiene 28 y la intersección de estos conjunros
tiene 36.
O ,n un grupo de 60 person as,27 toman bebidas frías
I y 42 toman bebidas calientes, y a cada persona le
gusta al menos alguno de esos ripos de bebida. ¿A
cuántos les gusran ambos tipos de bebida?
@ ,n un grupo de 100 personas, T2hablan inglésy 43
I hablan francés.
a. Represenra los datos en un diagrama de Venn.
b. ¿Cuántos hablan inglés solamenre?
c. ¿Cuántos hablan solamenre francés?
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"M&
rD
Q Cua^ uno de los 40 esrudianres de un curso prac-
* t¡ca al menos uno de esros deporres: fúrbol, ba-
loncesro o voleibol. Se sabe que '18 juegan fú¡bol,
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fieren fútboly baloncesro,12 juegan baloncesro y
voleibol y 4,los tres deporres.
a" Dibuja un diagrama de Venn para inrerprerar el
enunciado. Llama F al conjunro de los esrudian-
tes que juegan fútbol, V al de quienes juegan
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Conjuntos

  • 1. Conjuntos Repasa y haz una breve descrip- ción de cómo se clasifican los seres vivos. Los cien¡íficos creen que hay alre- dedor de 10 millones de especies diferentes en la Tierra. Para hacer su traba;o másfácil, clasifican a los seres vivos en grupos y subgrupos cadavez más pequeños, basándo- se en las semejanzas y diferencias de los organismos. . ¿Dentro de qué reino se clasifica a las bacterias? Estos seres vivos perrenece:: al reino de las Bacterias que se caracrerizan por ser un con- junto de organismos o'oca'ioras que no rie- nen el núcleo definido y,habiran en casi ¡odos los lugares del planera en :.esencia o ausencia de oxígeno. Un conjunto puede definirse como la agrupación de varios elemenros que com parren caracrerísricas similares. Para notar un conjunto se usan lerras mayúsculas y para los elementos se suelen emplear letras minúsculas. .ffiTtrI Según su envoliura ceiular, las células procariotas se clasifican en bacteria Cam negaciva, bac:e.ia Cram positiva, arquea y micoplasma. En un laborarorio se separó una célula de cada ripo, se les denominó a,b,c y d, respectivame::e 'r se agruparon en un conjunto P. Para notar este con- junto, se puede esc'I ': P: Ia,b,c,d 1.1 CIases de conjuntos De acuerdo con la canridad de elementos, un conjunto puede ser vacío, finito o infinito. Exisre además un conjunro conocido como referencial o universal cuyos elementos son rodos los objeros de estudio en un contexto dado. -@@ El conlunto B de rodos los números pares que son impares es vacío, pues no existe un número que sea par e impar al mismo riempo. El conjunro c de rodos los divisores de 20 es finiro, pues sus elementos se pueden contar. El conjunto D de rodos los números impares es infinito, pues no exisre un último número impar. Para todos esros conjunros, el conjunto universal o de referencia es el con- junto de los números narurales N. - {IEIE El con.junto de los números narurales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q y el de los números irracionales I son rodos infinitos. En esre caso, podría considerarse como conjunro de referencia el l o o 9 k: ü Iü t* il I,.3 conjunto de los números reales R.
  • 2. 1.2 Representación gráfica de conjuntos Los conjunros se pueden representar gráficamente mediante curvas cerra- das, conócidas con el nómbié,,de Para inrerpretar un diagrama de Venn se debe tener en cuenta lo siguiente: I. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan con puntos inte- riores a la curva. 2. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan con puntos exteriores a la curva. 3. Ningún punto puede representarse sobre la curva. 4. El conjunro referencial se representa mediante un rectángulo para diferen- ciarlo de los otros diagramas. -@Etr De la Figura '1.1 se deduce que los elementos 2,4,6,7 y B pertenecen al con- junto B, elcualse escribe de la siguiente manera: B: 12,4,6,7,8]¡. Los elementos 0, '1, 3,5 y 9 no pertenecen al conjunto B. Todos los números dentro del rectángulo conforman el conjunto referencial o universal U. En este casq U : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} es elconjunto de los números naturales entre 0 y 9 incluyendo al 0. Frgura i.1 -@Etr El diagrama de Venn de la Figura '1.2 muestra el conjunto U de todos los estudiantes de undécimo grado de un colegio y, en el conjunto A, se repre- senta a quienes estudiarán Administración de Empresas en la universidad. De acuerdo con el esquema se pueden deducir algunos hechos: ' . En el grado undécimo hay 16 estudiantes. . Los estudiantes que se inscribirán en Administración de Empresas son: iSebastián, Carolina, Manuela, Marcela, Ximena, Julio, Hernáni . Los que están por fuera del conjunto A es¡udiarán una carrera distinta. En ¡ ¡oral nueve esrudiantes se dedicarán a otras profesiones. ¡ ! . Et imposible saber qué profesiones prefleren quienes no están en el con- ! junto,l. Pengqmierto mrnério Figura 1.2
  • 3. Conjuntos 1.3 Operacio¡¡c¡c*ff . La unión de dos conirrm,rl;tcrdorf¡mal que pertenecen todos los elemenros de A y 8- 5erePrnAUü. . La intersección de dm oireA y I es el conjunto al que pertenecen todos los elementoscorn¡s&Ayü-§errccaA O B' . La diferencia enre A y 8, ndqmnA - B es el conjunto al que Pertene- cen todos los elementosdeAqrmprulecen a B' . La diferencia simétrica dedmoirmA y I es el conjunto A A B cuyos elementos pertenecen yaseaeAoet,perc no a ambos a la vez' . El complemento de un corfirrcAesdo¡itrnrcA'que contiene todos los elementos (respecto de afm oimo mfumclal) que no peruenecen a A' -@ Dado el diagrama de Venn de h fgtr¿ 13 se tiene . A U R : {3, 5,7,9,25,3!:t .AñC:{3,7 .R_C:19,33 C-R:r121i RAC: ii19,21,33 A.:,117,21,331 Algunas propiedades de hs opeffirs enue con.iuntos se muestran en la Tabla 1.'1. l(eu0UC:AUtqg! Añ8,OC:An(BnC) :AUB:BUA AOB:BOA ; : I Absorción IAU(BOA¡:A AñrBUn;:4 l : Dis¡ributiva IAU(BflCt:,AUBnAUC AolBUq:(AnB)U(Anq l Tabla 1.1 -@ Considera la Figura 1.3 y verifica que la propiedad distributiva se cum- ple para los conjuntos A, C y R En el diagrama de venn se observa que A : {3, 7, 9, 25}, C -- {3, 5,7,2'lly R = {5, 7, 9, 33} SedebeverificarqueA U (C n R¡ : 1,A U q n (A U R) Al desarrollar el lado izquierdo de la igualdad, se tiene que: A U (C ñ R) : {3,7,9,25} U t5,71: 3,5,J,9,251 Al lado derecho de la igualdad se tiene que: (A U C) n (A U R) : {3, 5,7,9,21,25n {3, 5, 7,9,25,33} : {3, 5,7,9,25} Deesaforma,A U (C ñ R¡ : (A U g n (A U R).
  • 4. ,,?ensám iento numérico Ejercitación @ Obt.rua el diagrama de Venn delaFigura 1.4. @ l}a Figura-1.4 a. Escribe los elemenros del conjunto A. ¿Qué tipo de números pertenecen a tal conjunto? b. ¿Qué clase de conjunto es B? c. ¿Existe A n B? Si es así, indica cuáles son sus elementos;si no existe, explica las razones. d. HallaA U B y B U A,yescribe una conclusión. e. HallaA n B y B ñ A,yescribe unaconclusión. f. Halla A - By B - A,y escribe una conclusión. g. ¿Cuál es el complemenro de U? h. ¿Cómo son A A B y B A A? Explica. Comunicacién @ Conrtrrye y represenra un diagrama de Venn con ües conjuntos A,By C. Luego, verifica que se sarisfa- gan cada una de las siguienres propiedades. a.A-B:AñB' b.A - (B o q: (A - B) U (A - C) c.AU@:A d.AnU:A e.AUU:U f.AnA:A g. lA U B)': A' O B' h.AUA':l.J R.esolución de problernas (O r. 40 esrudiantes de undécimo grado, 14 roman I clases de piano y 29 clases de violín. a. Si cinco estudiantes toman ambas clases, ¿cuán- tos estudiantes no asisten a ninguna de las dos? b. ¿Cuánros estudianres roman clase de piano o de violín? c. ¿Cuánros estudianres toman únicamente clase de violín? Realiza todas las actividades en tu cuademo Encuentra el número de elemenros de la unión de los dos conjunros finitos A y B teniendo en cuenta queA - B riene 20 elementos, B - A tiene 28 y la intersección de estos conjunros tiene 36. O ,n un grupo de 60 person as,27 toman bebidas frías I y 42 toman bebidas calientes, y a cada persona le gusta al menos alguno de esos ripos de bebida. ¿A cuántos les gusran ambos tipos de bebida? @ ,n un grupo de 100 personas, T2hablan inglésy 43 I hablan francés. a. Represenra los datos en un diagrama de Venn. b. ¿Cuántos hablan inglés solamenre? c. ¿Cuántos hablan solamenre francés? d. ¿Cuántos hablan ambos idiomas? "M& rD Q Cua^ uno de los 40 esrudianres de un curso prac- * t¡ca al menos uno de esros deporres: fúrbol, ba- loncesro o voleibol. Se sabe que '18 juegan fú¡bol, 20 practican baloncesrq 27 juegan voleibol, T pre- fieren fútboly baloncesro,12 juegan baloncesro y voleibol y 4,los tres deporres. a" Dibuja un diagrama de Venn para inrerprerar el enunciado. Llama F al conjunro de los esrudian- tes que juegan fútbol, V al de quienes juegan voleibol y B a quienes pracrican baloncesto. b. De acuerdo con el diagrama, ¿cuánros esrudian- tes pracr¡can fúrbol y voleibol?, ¿cuánros juegan fútbol y voleibol pero no balonces¡o?