Las cónicas. Traslación y rotación. Breve estudio

1. Las Cónicas
Academia de Cálculo y Geometría Analítica
Pablo García y Colomé
Facultad de Ingeniería
División de Ciencias Básicas

2. Menecmo (380 - 320 a.C.),
matemático y geómetra griego,
discípulo de Platón y tutor de
Alejandro Magno, descubrió
estas curvas y fue el
matemático griego Apolonio
(262-190 A.C.) de Perga, quien
primero las estudió
detalladamente. Al considerar
intersecciones entre un cono y
un plano, llegó a la
interpretación geométrica de
estas curvas, lo que se observa
en la figura

3. LAS CÓNICAS
LA CIRCUNFERENCIA
La invención de la rueda revolucionó
la vida humana. Su primera
representación está fechada en 3500
a.C en una placa de arcilla. Fue
encontrada por arqueólogos en las
ruinas de la ciudad-estado de la
región de Ur, actual Irak
La circunferencia inició con René
Descartes, al asignarle valores a los
puntos externos de un círculo

4. LAS CÓNICAS
Es el lugar geométrico en el plano, formado por todos los puntos que equidistan
de un punto fijo conocido como centro
r
2 2
2
r = CQ + PQ
   
2 22 2
CQ = x - h y PQ = y - k
   
2 2 2
x h y k r   
Cuando el centro coincide con el origen su
ecuación queda entonces de la forma
2 2 2
x + y = r
y
 ,C h k
 ,P x y
x
 ,Q x k
r

5. LAS CÓNICAS
Forma general de la ecuación de la circunferencia
   
2 2 2
x - h + y - k = r
2 2 2 2 2
x - 2xh + h + y - 2yk + k = r
      2 2 2 2 2
x + y + -2h x + -2k y + h + k - r = 0
2 2 2
D = -2h ; E = -2k ; F = h + k - r
2 2
x + y + Dx + Ey + F = 0

6. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Obtener la ecuación de la circunferencia cuyo radio es y
cuyo centro es la intersección entre las rectas cuyas ecuaciones son:
3
x - 2y - 4 = 0 y x + y -1 = 0
 
 
 
x - 2y - 4 = 0 y = -1
; 2y + 4 - x = 0 ⇒ 2y + 4 + y -1 = 0 ⇒
x + y -1 = 0 x = 2
     



2 2C 2, -1
⇒ x - 2 + y +1 = 9
r = 3
2 2 2 2
x - 4x + 4 + y + 2y +1 - 9 = 0 ∴ x + y - 4x + 2y - 4 = 0

7. LAS CÓNICAS
y 2 4 0x y  
1 0x y  
 2, 1C 
3r 
x

8. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la ecuación general siguiente que representa una circunferencia,
determinar su centro, su radio y hacer un trazo aproximado de su gráfica
2 2 15
x + y + 3x + 5y - = 0
2
2 29 9 25 25 15
x + 3x + - + y + 5y + - - = 0
4 4 4 4 2
       
       
       
2 2 2 2
3 5 34 15 3 5
x + + y + - - = 0 ∴ x + + y + = 16
2 2 4 2 2 2
 
 
 
3 5
C - , - ; r = 4
2 2

9. LAS CÓNICAS
2 2
3 5
16
2 2
x y
   
      
   
x
y
3 5
,
2 2
C
 
  
 
4r 

10. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
     -2, 2 , 0, 2 + 2 3 y 2 + 2 3 , 0
2 2
x + y + Dx + Ey + F = 0
 4 + 4 - 2D + 2E + F = 0 ⇒ 2D - 2E - F = 8 1
     
2
2 + 2 3 + 2 + 2 3 E + F = 0 2
     
2
2 + 2 3 + 2 + 2 3 D + F = 0 3
       De 2 y 3 2 + 2 3 E + F = 2 + 2 3 D + F ⇒ D = E

11. LAS CÓNICAS
   En 1 ∴ F = -8 y en 2
   
2 8 - 4 - 8 3 -12
2 + 2 3 + 2 + 2 3 E = 8 ⇒ E =
2 + 2 3
 -4 2 + 2 3-8 3 - 8
E = ⇒ E = ⇒ E = -4 y D = -4
2 + 2 3 2 + 2 3
   2 2 2 2
6x 0 x -4 2+ y - x - 4 - + y -y = 28 = 1∴
2 2
x + y + Dx + Ey + F = 0

12. LAS CÓNICAS
y
 0, 2 2 3
 2, 2
 2 2 3, 0
x
 2, 2C
4r 

13. LAS CÓNICAS
LA PARÁBOLA
Parábola viene del griego parabolé,
comparación, semejanza. Está formada
por la palabra para, al margen y bolé,
arrojar, o sea, lanzar al margen de
algo. Apolonio argumentó que si se
recibe luz de una fuente lejana con un
espejo parabólico con los rayos
luminosos paralelos al eje del espejo,
entonces la luz reflejada por el espejo
se aglomera en el foco
F

14. LAS CÓNICAS
Se cuenta que Arquímedes quemó
los barcos romanos al defender
Siracusa con espejos parabólicos
Actualmente esta propiedad se
utiliza en radares, antenas de
televisión, espejos solares,
estufas, faros de los
automóviles, micrófonos de largo
alcance

15. LAS CÓNICAS
Es el conjunto de todos los puntos que se mueven en un plano de tal forma que
su distancia a una recta fija (D) llamada directriz, es siempre igual a su
distancia a un punto fijo que no pertenece a la recta y que se llama foco (F)
       
2 2 2 2
x - 0 + y - p = x - x + y + p
       
2 2 2 2
2 2 2 2 2
x - 0 + y - p = x - x + y + p
x + y - 2py + p = y + 2py + p
2
∴ x = 4py
y
eje
 ,P x y
:D y p 
 0,F p
 ' ,P x p
V
x

16. LAS CÓNICAS
y
 ' ,P x p:D y p
V x
 ,P x y 0,F p
eje
2
4x py 
2
4y px
2
4y px 

17. LAS CÓNICAS
 ,V h k
 ,P x y
 ' ,P x k p
:D y k p 
y
 ,F h k p
x
eje
   
2
4x h p y k  
   
2
4x h p y k   
   
2
4y k p x h  
   
2
4y k p x h   

18. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Determinar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el
origen, su eje de simetría en el eje de las ordenadas y que pasa por el
punto . Determinar directriz, foco y gráfica P -2,-1
2
x = -4py
 P -2,-1
   
22
x = -4py ⇒ -2 = -4p -1 ⇒ 4 = 4p ∴ p = 1
 2 2
x = 4 -1 y ∴ x = -4y
 D : y = 1 : F 0,-1
V

19. LAS CÓNICAS
y
 2, 1P  
x
: 1D y 
 0, 1F 
2
4x y 
V

20. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la ecuación , que representa a una
parábola, expresarla en su forma canónica, determinar vértice y foco, su
eje de simetría, su directriz y hacer un trazo aproximado de su gráfica
2
y - 2y - 4x + 9 = 0
2 2
y - 2y - 4x + 9 = 0 ⇒ y - 2y +1 -1 - 4x + 9 = 0
 
22
y - 2y +1 -1 - 4x + 9 = 0 ⇒ y -1 = 4x - 8
   
2
∴ y -1 = 4 x - 2
   V 2,1 : F 3,1 ; eje de simetría : y = 1
4p = 4 ⇒ p = 1 ; D : x = 1
V

21. LAS CÓNICAS
x
y
: 1D x 
 2,1V
 3,1F
   
2
1 4 2y x  

22. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el punto
si su eje de simetría es la recta y pasa por el punto .
Graficar de manera aproximada y dar la ecuación de su directriz
 V -2,-4
x = -2  P 0,-2
       
2 2
x - h = 4p y - k ⇒ x + 2 = 4p y + 4
   
2 4 1
0 + 2 = 4p -2 + 4 ⇒ 4 = 8p ⇒ p = ⇒ p =
8 2
 P 0,-2
        
 
 
2 2 1
x + 2 = 4p y + 4 ⇒ x + 2 = 4 y + 4
2
   
2
∴ x + 2 = 2 y + 4
V

23. LAS CÓNICAS
x
y
 2, 4V  
: 4.5D y  
 2, 3.5F  
: 2eje x  
 0, 2P 
   
2
2 2 4x y  

24. LAS CÓNICAS
LA ELIPSE
Cuando falta algo en la oración o cuando en una película dos secuencias no
tienen continuidad cronológica, hay elipsis, porque falta algo. La palabra viene
del latín ellipsis y esta voz del griego elleipsis (falta). Esta curva cerrada,
llamada elipse, debe su nombre al ser una “circunferencia imperfecta”

25. LAS CÓNICAS
Apolonio argumentó que si se
emplaza una luz en el foco de un
espejo elíptico, entonces la luz
reflejada en el espejo se junta en el
otro foco
El astrónomo alemán Johannes
Kepler (1570-1630) descubrió que
las órbitas de los planetas alrededor
del sol son elipses que tienen al sol
como uno de sus focos

26. LAS CÓNICAS
Es el conjunto de todos los puntos que se mueven en un plano tales que la
suma de sus respectivas distancias a dos puntos fijos del mismo plano
llamados focos es una constante F y F'
   d PF + d PF' = constante
   d PF + d PF' = 2a
       
2 2 2 2
x - c + y - 0 + x + c + y - 0 = 2a
2 2
2 2
x y
∴ + = 1
a b
 ' ,0F c
 ,P x yB
 ' ,0V a
x
 ,0V a
'B
 ,0F c
y
O
LR

27. LAS CÓNICAS

28. LAS CÓNICAS
 ' 0,F c
 ,0B b
 ' 0,V a
x
 0,V a
 ' ,0B b
 0,F c
y
O
2 2
2 2
1
x y
b a
 
   
2 2
2 2
1
x h y k
a b
 
  
   
2 2
2 2
1
x h y k
b a
 
 

29. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la siguiente ecuación de una elipse, determinar las
coordenadas de sus vértices, de sus focos y hacer un trazo aproximado
de su gráfica
2 2
9x + 4y = 36
2 2 2 2 2 2
2 2 9x 4y x y x y
9x + 4y = 36 ⇒ + = 1 ⇒ + = 1 ⇒ + = 1
36 3636 36 4 9
9 4
2 2
2 2
2 2
x y
+ = 1 ; a = 9 ⇒ a = 3 y b = 4 ⇒ b = 2
b a
2 2
c = a - b ⇒ c = 9 - 4 ⇒ c = 5

30. LAS CÓNICAS
       V 0, 3 ; V' 0, - 3 ; F 0, 5 ; F' 0, - 5
x
y
 2, 0B 
C
 2, 0B
 0, 5F
 0, 3V
 ' 0, 3V 
 ' 0, 5F 

31. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la siguiente ecuación general de una elipse, dar las
coordenadas del centro, vértices, focos, y las longitudes de sus
ejes mayor y menor
2 2
x + 4y - 6x +16y + 21 = 0
     
2 22 2
x - 6x + 9 - 9 + 4 y + 4y + 4 - 4 + 21 = 0 ⇒ x - 3 + 4 y + 2 = 4
   
2 2
x - 3 y + 2
∴ + = 1
4 1
2 2
a = 4 ⇒ a = 2 ; b = 1 ⇒ b = 1 ; c = 4 -1 ⇒ c = 3
         C 3, - 2 ; V 5, - 2 ; V' 1, - 2 ; F 3 + 3 , - 2 ; F' 3 - 3 , - 2

32. LAS CÓNICAS
x
y
 3, 2C 
 ' 3, 3B 
 3, 1B 
 5, 2V  ' 1, 2V 
 3 3, 2F   ' 3 3, 2F  
4eje mayor  2eje menor 
   
2 2
3 2
1
4 1
x y 
 

33. LAS CÓNICAS
Ejemplo. El centro de una elipse es el punto , su semieje menor es
la distancia del centro a cada foco es y su eje focal es paralelo al eje de
las ordenadas. Determinar su ecuación ordinaria y general, así como las
coordenadas de sus vértices y focos. Graficar
 C -2,-2 3
4
2 2 2
b = 3 y c = 4 ⇒ c = a - b ⇒ a = 5
       V -2, 3 ; V' -2, - 7 ; F -2, 2 ; F' -2, - 6
   
2 2
x + 2 y + 2
+ = 1
9 25
   
2 2 2 2
25 x + 2 + 9 y + 2 = 225 ⇒ ∴ 225x + 9y +100x + 36y - 89 = 0

34. LAS CÓNICAS
x
 ' 2, 7V  
 ' 2, 6F  
 ' 5, 2B    1, 2B 
 2, 2C  
 2,2F 
y
 2, 3V 
   
2 2
2 2
1
9 25
x y 
 

35. LAS CÓNICAS
LA HIPÉRBOLA
El término Hipérbole proviene del griego "hyperbole" que está formada
por el sufijo "hyper", sobre, por encima de y de "bole", lanzamiento,
arrojar, lanzar, por lo que el significado sería "tirar encima“

36. LAS CÓNICAS
En los espejos hiperbólicos, la luz
que llega de uno de los focos se
refleja como si viniera del otro
foco, lo que se usa en los grandes
estadios para aumentar la superficie
iluminada
La hipérbola se utiliza para
describir la trayectoria de una
partícula alfa en el campo eléctrico
producido por el núcleo de un átomo

37. LAS CÓNICAS
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano tal que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos,
se mantiene constante, evidentemente positiva, y menor que la distancia entre
los dos puntos fijos (focos)
y
V
x
'V'F F
P
C
B
'B
L
'L

38. LAS CÓNICAS
LR
x
y
B
'B
C
V'V F'F
 ,P x y
   ,0 ; ' ,0F c F c
   ,0 ; ' ,0V a V a
   0, ; ' 0,B b B b
   
2 22 2
FP - F'P = 2a
FP = x - c + y y F'P = x + c + y
   
2 22 2
x - c + y - x + c + y = 2a
   2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
c - a x - a y = a c - a
⇒ b x - a y = a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
b x a y a b x y
- = ∴ - = 1
a b a b a b a b

39. LAS CÓNICAS
 ,0B b ' ,0B b
O
 0,V a
 ' 0,V a
 0,F c
 ' 0,F c
P
y
x
2 2
2 2
1
y x
a b
 
 ,C h k
   
2 2
2 2
1
x h y k
a b
 
 
O
P
O
   
2 2
2 2
1
y k x h
a b
 
 
 ,C h k
P

40. LAS CÓNICAS
Ejemplo. En una hipérbola, sus vértices y sus focos se localizan,
respectivamente, en los puntos cuyas coordenadas son
       V 0, 3 , V' 0, - 3 , F 0, 5 y F' 0, - 5
Determinar: la ecuación y las longitudes de sus ejes conjugado y transverso
Vértices y focos están en el eje “y”
2 2
2 2
y x
- = 1
a b
2a = 6 ⇒ a = 3Longitud de eje transverso:
2 2 2 2 2 2 2
c = 5 ; b = c - a ⇒ b = 5 - 3 ⇒ b = 16 ∴ b = 4
Longitud de eje conjugado: 2b = 8 ⇒ b = 4
2 2
y x
∴ - = 1
9 16

41. LAS CÓNICAS
 0, 3V
x
 4, 0BO
 B' 4, 0
B
y
 0, 5F
 ' 0, 5F 
 0, 3V 

42. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la hipérbola cuya ecuación general es
2 2
4x - 25y - 24x +100y -164 = 0
Obtener su ecuación simétrica, determinar las coordenadas de su centro,
vértices y focos, la longitud de sus ejes transverso y conjugado, las ecuaciones
de sus asíntotas y el ángulo agudo de intersección entre ellas. Graficar
   2 2
4 x - 6x + 9 - 9 - 25 y - 4y + 4 - 4 -164 = 0
2
eje transverso = 2a = 10a = 25 ⇒ a = 5 ∴
2
eje conjugado = 2b = 4b = 4 ⇒ b = 2 ∴
   
   
2 2
2 2 x - 3 y - 2
⇒ 4 x - 3 - 25 y - 2 = 100 ∴ - = 1
25 4

43. LAS CÓNICAS
         C 3, 2 ; V 8, 2 ; V' -2, 2 ; F 3 + 29 , 2 ; F' 3 - 29 , 2
    5
b 2
y - k = x - h ⇒ y - 2 =
5
2x + 4
y =x - 3 ⇒
a
    5
b 2
y - k = - x - h ⇒ y - 2 = -
5
-
a
2
-
x
=x 3
+16
y⇒
2 1
1 2
2 1
m - m2 2
m = - ; m = ; θ = angtan
5 5 1 + m m
020
θ = angtan ∴
1
θ ≈ 43.6
2

44. LAS CÓNICAS
'B
B
x
y
F'F
'V V
asíntotas
C
   
2 2
3 2
1
25 4
x y 
 

45. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Determinar las ecuaciones simétrica y general de la hipérbola cuyo eje
transverso es igual a si sus focos están situados en . .
Obtener las coordenadas de su centro y vértices, las longitudes de su eje
conjugado y las ecuaciones de sus asíntotas. Graficar
"4"    F 3, 0 ; F' 3, 6
Eje transverso = 2a = 4 ⇒ a = 2 ; 2c = 6 ⇒ c = 3
 2 2 2 2 2
c = a + b ; b = 3 - 2 ⇒ b = 5 ; C 3, 3
   
2 2
y - 3 x - 3
- = 1
4 5
Eje conjugado = 2b = 2 5

46. LAS CÓNICAS
2 2
⇒ 5y - 30y + 45 - 4x + 24x - 36 - 20 = 0
2 2∴ 4x - 5y - 24x + 30y +11 = 0
     C 3, 3 ; V 3, 5 ; V' 3,1
    3
a 2
y - k = x - h ⇒ y - 3 = x
2 5 6 5
y = x - +
5
3 ⇒
b 5
-
5
    3
a 2
y - k = - x - h ⇒ y - 3 = - x -
2 5 6
5
5
y = - x + +
5
⇒
5
3
b
   
2 2
5 y - 3 - 4 x - 3 = 20

47. LAS CÓNICAS
'B
y
F
'F
C
x
B
V
'V
asíntotas

48. LAS CÓNICAS
TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Es el cambio de posición de los ejes coordenados en el plano coordenado, a
otro lugar del mismo, donde los nuevos ejes son paralelos a los originales y
con el mismo sentido que estos
 
 ' '
,
, 'P x
P x
y
y
Y
X
y
x
k
h
'O
O
'Y
'X
x = x' + h
y = y' + k

49. LAS CÓNICAS
x = x' - 4 y y = y' - 2
Ejemplo. Transformar la siguiente ecuación de una curva mediante la
traslación de los ejes coordenados al punto . Trazar la curva con
ambos sistemas coordenados
 -4, - 2
3 2 2
y - x + 6y - 8x +12y - 8 = 0
3 2 2 2
y' - 6y' +12y' - 8 - x' + 8x' -16 + 6y' +
-24y' + 24 - 8x' + 32 +12y' - 24 - 8 = 0
         
3 2 2
y' - 2 - x' - 4 + 6 y' - 2 - 8 x' - 4 +12 y' - 2 - 8 = 0
3 23 2
y 0 y'' - x = ∴ = x''

50. LAS CÓNICAS
 ' 4, 2O  
O
'Y
'X
Y
X
3 2 2
6 8 12 8 0y x y x y     
3 2
' 'y x

51. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Simplificar la siguiente ecuación mediante una traslación de los
ejes coordenados y trazarla en ambos sistemas coordenados
2
y + 2y + x - 2 = 0
x = x' + h y y = y' + k
     
2
y' + k + 2 y' + k + x' + h - 2 = 0
2 2
y' + 2y'k + k + 2y' + 2k + x' + h - 2 = 0
 2 2
y' + 2k + 2 y' + x' + k + 2k + h - 2 = 0
2
2k + 2 = 0 ⇒ k = -1 ; k + 2k + h - 2 = 0 ⇒ h = 3
2 2
'∴ 0 y+ 'y' x = ⇒ = -x'

52. LAS CÓNICAS
   



2x' = x - 3
∴ y +1 = - x - 3
y' = y +1
Y
X
'Y
 ' 3, 1O 
O
'X

53. LAS CÓNICAS
ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Es el cambio de posición de los ejes en el plano coordenado, a partir de un
giro en sentido antihorario, conservando el mismo origen de coordenadas y los
ejes con el mismo sentido
x = x'cosθ - y'senθ
y = x'senθ + y'cosθ
X
   ; ,, 'PP xx y y
'y

'Y 'X
Y
x
'x
y

54. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Transformar la ecuación al rotar los ejes
coordenados un ángulo tal que . Trazar la gráfica de la curva
con los dos sistemas de ejes coordenados
2 2
5x + 5y - 8x - 6y - 40 = 0
"θ"
3
θ = angtan
4
'cos '
' 'cos
5
4 3
; ' '
5
3 4
; ' '
5 5
x x y sen
y
y
x s
x x
y x yen y
 
 
 

 
 
       
       
       
2 2
4 3 3 4 4 3 3 4
5 x' - y' + 5 x' + y' - 8 x' - y' - 6 x' + y' - 40 = 0
5 5 5 5 5 5 5 5
   
   
   
2 2 2 216 24 9 9 24 16 32 24 18 24
5 x' - x'y' + y' + 5 x' + x'y' + y' - x' + y' - x' - y' - 40 = 0
25 25 25 25 25 25 5 5 5 5
3
4
5


55. LAS CÓNICAS
2 2 2 2 2 280 45 45 80 50
x' + y' + x' + y' - x' - 40 = 0 ⇒ 5x' + 5y' -10x' - 40 = 0
25 25 25 25 5
2 2
∴ x' + y' - 2x' - 8 = 0
2 2
5x + 5y - 8x - 6y - 40 = 0Otra forma:
   
   
   
2 28 16 16 6 9 9
⇒ 5 x - x + - + 5 y - y + - - 40 = 0
5 25 25 5 25 25
   
   
   
2 2
4 3
∴ x - + y - = 9
5 5
Circunferencia:
 
 
 
4 3
C , ; r = 3
5 5
Con las ecuaciones de rotación:
 2 2 22
9∴ = x' '- -x 1x' + - +y y2 8 ∴ '0 ='

56. LAS CÓNICAS
Y
 ' 1, 0
4 3
,
5 5
C
C
 
 
 





'Y
 
2 2
2 2
4 3
' 1 '
9
5 5
9x
y
y
x
   
      



 






'X
X

57. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la siguiente ecuación, mediante una rotación convertirla en otra
que no tenga término en , dar el ángulo de giro y graficar la curva
utilizando los conocimientos sobre cónicas
"xy"
2 2
9x + 3xy + 9y - 5 = 0
      
2 2
9 x'cosθ - y'senθ + 3 x'cosθ - y'senθ x'senθ + y'cosθ + 9 x'senθ + y'cosθ - 5 = 0
x = x'cosθ - y'senθ y y = x'senθ + y'cosθ
     2 2 2 2 2 2 2 2
9cos θ + 3senθcosθ + 9sen θ x' + 3cos θ - 3sen θ x'y' + 9sen θ - 3senθcosθ + 9cos θ y' - 5 = 0
2 2 2
4
3cos θ - 3sen θ = 0 ⇒ tan θ = 1 ⇒ tanθ 1 ∴
π
θ ==

58. LAS CÓNICAS
   
   
   
 
 
 
2 2 2 2 2
2 2 2
π π π π π π
9cos + 3sen cos + 9sen x' + 3cos - 3sen x'y' +
4 4 4 4 4 4
π π π π
+ 9sen - 3sen cos + 9cos y' - 5 = 0
4 4 4 4
              
              
              
2 21 1 1 1 1 1
9 + 3 + 9 x' + 9 - 3 + 9 y' - 5 = 0
2 2 2 2 2 2
2 2 2 221 15
x' + y' - 5 = 0 ∴ 21x' +15y' -10 = 0
2 2
   
2 2 2 2 2 2
2 2
x' y' x' y' x' y'
+ = 1 ∴ + = 1 ⇒ + = 1
10 10 0.476 0.667 0.69 0.817
21 15

59. LAS CÓNICAS



2 2
2 2
b = 0.69x' y'
+ = 1 ;
b a a = 0.817
Elipse:
X
Y
'X
'Y
1
1
1
1
2
2 2
2
21 ' 15
9 3
1
9 5 0
' 0 0x
x xy y
y 
  





60. LAS CÓNICAS
Trascendencia de
las cónicas en el
estudio del Cálculo

61. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la siguiente función, identificar a la curva que la representa y
graficarla. Dar dominio y recorrido
23
16
4
y x 
 2 2 23 9
y = - x -16 ⇒ y = x -16
4 16
2 2 2 2
16y = 9x -144 ⇒ 9x -16y = 144
2 2
x y
∴ - = 1
16 9
Hipérbola:  



2 2
2 2
a = 4x y
- = 1 ; ; C 0,0
a b b = 3
¡Importante ! ¡Importante !

62. LAS CÓNICAS
x
y
44
3
3
23
y = - x -16
4
¡Importante ! ¡Importante !
   fD = -∞,-4 ∪ 4,∞  fR = -∞,0

63. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la siguiente función, identificar a la curva que la representa y
graficarla. Dar dominio y recorrido
y = 2 4 - x
 2
y = 2 4 - x ⇒ y = 4 4 - x
   
2
⇒ y = -4 - 4 - x
 2
y = -4 x - 4∴
Parábola:    



2 h = 4
y = -4p x - h ; ; V 4,0
k = 0
¡Importante ! ¡Importante !
V

64. LAS CÓNICAS¡Importante ! ¡Importante !
y = 2 4 - x
y
x
4
4
 fD = -∞,4
fR = 0,∞

65. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la siguiente función, identificar a la curva que la representa y
graficarla. Dar dominio y recorrido
2
y = -2 5 -+ 4x - x
 
22 2
y = -2 + 5 - 4x - x ⇒ y + 2 = 5 - 4x - x
       
2 2 22
⇒ y + 2 = 5 - x + 4x + 4 - 4 ⇒ y + 2 = 9 - x + 2
   
2 2
x + 2 + y + 2 = 9∴
Circunferencia:    
 

 
 
2 2 2
r = 3h = -2
x - h + y - k = r ; ;
C -2,-2k = -2
¡Importante ! ¡Importante !

66. LAS CÓNICAS
2
1
15 2
 2, 2C  
y
x
2
y = -2 + 5 - 4x - x
¡Importante ! ¡Importante !
  fD = -5,1
  fR = -2,1

67. LAS CÓNICAS
Ejemplo. Dada la siguiente función, identificar a la curva que la representa y
graficarla. Dar dominio y recorrido
22
y -= 1 6x - x
3
   22 22 4
y = 1 - 6x - x ⇒ y -1 = 6x - x
3 9
       
2 2
2 2
y -1 9 - x - 34
y -1 = - x - 6x + 9 - 9 ⇒ =
9 4 9
   
2 2
x - 3 y -1
+ = 1
9 4
∴
Elipse:     


2 2
2 2
x - h y - k h = 3
+ = 1 ; C
a b k = 1
¡Importante ! ¡Importante !

68. LAS CÓNICAS¡Importante ! ¡Importante !
22
1 6
3
y x x  
x
y
3 6
1
1
  fD = 0,6   fR = -1,1

69. Estudien, aprendan,
practiquen, sean solidarios
con sus compañeros, sean
generosos con su prójimo,
sean sencillos, adquieran
conocimientos y sabiduría,
sean buenos, sean felices

70. Aprovechen el momento, hagan que su vida sea extraordinaria
Sus palabras y sus ideas pueden cambiar al mundo
Sean librepensadores
Vean las cosas, constantemente, de maneras diferentes
Emociónense por las cosas
Hagan de su vida un poema de muchas alegrías
Díganle a sus padres lo que los apasiona
Atrévanse a recorrer nuevos caminos
El amor, la paz y la alegría son las razones por las cuales vivimos
Hay momentos para el valor y otros para la prudencia

71. LAS CÓNICAS
¡Ay UNAM, qué
emoción vivirte!

72. LAS CÓNICAS
Muchas
gracias
Pablo García y Colomé
Profesor de Carrera FI. UNAM