Coordenadas baricéntricas. Elementos 2D triangulares

Elementos 2D triangulares 1/78
Elementos 2D triangulares
Rafael Ramírez Ros
Clase MN-P02 & MN-P03 (versión 20/02/2024)

Contenidos
1 Problemas de detección e interpolación
Detección en un triángulo
Detección en un mallado triangular
Interpolación en un triángulo
Interpolación en un mallado triangular
2 Repositorio oficial
3 Comandos específicos
4 Cuestiones
5 Respuestas

Problemas de detección e interpolación
Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Sea Ωun triángulo de vértices (nodos)
p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2), p3 = (x3, y3).
Hipótesis: Los tres vértices no están alineados.
Sea p = (x,y) ∈ R2.
Pregunta: ¿p ∈ Ω? (Consideramos que los puntos de la
frontera pertenecen al triángulo.)
Advertencia: Si p está en la frontera, pequeños errores
numéricos podrían hacernos pensar que p /
∈Ω.

Coordenadas baricéntricas (definición)
∃!α = (α1, α2, α3) ∈ R3 tal que
f
p = α p + α
1 1 2 2 3 3
p + α p ,
α1 + α2 + α3 = 1
Decimos que α son las coordenadas baricéntricas del
punto p respecto el triángulo Ω.
Respuesta: p ∈ Ωsi y solo si α ≥ 0.
Importante: La ecuación α1 + α2 + α3 = 1 se añade para
determinar unívocamente las coordenadas baricéntricas,
pero eso solo funciona si los puntos no están alineados.

Coordenadas baricéntricas (propiedades)
p es el baricentro de Ω⇔α = (1/3,1/3,1/3).
Si los índices {i, j, k} se mueven cíclicamente en el
conjunto {1,2,3}, entonces:
p = pj ⇔αj = 1 & αi = αk = 0.
p está en la mediana de Ωpor pj ⇔αi = αk .
p está en la recta que pasa por pi y pk ⇔αj = 0.
p está en el lado definido por pi y pk ⇔αj = 0 & αi ,αk ≥ 0.
p es el centro de masas al situar tres masas α1, α2 y α3
tales que α1 + α2 + α3 = 1 en los vértices p1, p2 y p3.
Si Ωj es el triángulo de vértices p, pi y pk , entonces:
j
p ∈ Ω⇒α = j
Area[Ω ]
Area[Ω]
, j = 1,2,3.

Dos ejemplos

Relación con las funciones de forma
Las funciones de forma del triángulo Ωson las tres únicas
funciones
ψj(x,y) = aj + βjx + γj y, j = 1,2,3,
para algunos coeficientes aj,βj,γj ∈ R tales que
ψj(pi ) = δij :=
f
1, si i = j
0, si i /=j
.
Se sabe que
αj = ψj(p), i = 1,2,3.

Elementos 2D triangulares 10 /78
Cálculo matricial de los coeficientes
Si consideramos las matrices
1
1 x1 y
A = 1 x2 y2 ,
1 x3 y3
1 3
γ1 γ2
a a2 a
C = β1 β2 β3 ,
γ3
entonces
a + β x + γ y
1 1 1 1 1 a2 + β2x1 + γ2y1 a + β x + γ y
3 3 1 3 1
AC = a1 + β1x2 + γ1y2 a2 + β2x2 + γ2y2
a1 + β1x3 + γ1y3 a2 + β2x3 + γ2y3
a3 + β3x2 + γ3y2
a3 + β3x3 + γ3y3
=
1 1
ψ (p ) ψ2(p1) 3 1
ψ (p )
ψ1(p3) ψ2(p3)
ψ1(p2) ψ2(p2) ψ3(p2)
ψ3(p3)
1 0 0
= 0 1 0 = Id.
0 0 1
Por tanto, C = A−1.

Cálculo matricial de α
Si consideramos la matriz
1 3
γ1 γ2
a a2 a
C = β1 β2 β3
γ3
y el vector fila z = (1, x,y), entonces
zC = a + β x + γ y,a + β x + γ
1 1 1 2 2 2 3 3 3
y,a + β x + γ y
)
(
= ψ1(p), ψ2(p), ψ3(p)
)
=
(
α1, α2, α3
)
= α.

Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Mallados triangulares
Un mallado triangular está definido por
Un conjunto de puntos del plano (llamados nodos):
N = {pm = (xm,ym) : m = 1,...,M} ;
Un conjunto de ternas de índices:
T = {te = (ie,je,ke) : e = 1, ...,E} .
El e-ésimo elemento de este mallado es el triángulo Ωe
cuyos tres vértices son los nodos pie
, pje
y pke
.
Hipótesis:
1 Los vértices de cada triángulo están ordenados en sentido
antihorario y no están alineados;
2 Triángulos diferentes o bien tienen intersección vacía o
bien solo comparten algunos lados y/o vértices comunes.

Ejemplo
Mallado triángular con 5 nodos y 4 elementos

Problema
Sea Ωe el triángulo de vértices pie
, pje
y pke
.
Sea Ω =
mallado.
E
e=1
Ωe la unión de todos los triángulos del
Sea p ∈ Ω.
Problema: Determinar el índice e tal que p ∈ Ωe.
Advertencia: El índice e no es único cuando p es un nodo
o está situado sobre un lado o vértice común de dos
elementos adyacentes.

Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Problema
Sea Ωun triángulo de vértices (nodos)
p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2), p3 = (x3, y3).
Hipótesis: Los tres vértices no están alineados.
Sean u1, u2, u3 ∈ R tres valores reales.
∃!u : Ω→ R lineal que interpola esos tres valores. O sea,
existe una única función tal que
1 Es lineal: u(x,y) = a + bx + cy para algunos a,b, c ∈ R; e
2 Interpola: u(pj ) = uj, para j = 1, 2,3.
Importante: Si α = (α1, α2, α3) son las coordenadas
baricéntricas de un punto p ∈ Ωrespecto Ω, entonces
u(p) = α1u1 + α2u2 + α3u3.

Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Problema a resolver
Tenemos un mallado triangular dado por:
Un conjunto de nodos p1, ...,pM ; y
Un conjunto de triángulos Ω1,...,ΩE.
Tenemos un conjunto de valores u1, ...,uM ∈ R.
Sea Ω = E
e=1
Ωe la unión de los triángulos del mallado.
∃
v
!u : Ω → R lineal a trozos que interpola a todos los
alores. O sea, existe una única función tal que:
1 Es lineal en cada triángulo: u|Ωe (x,y) = ae + bex + cey
para algunos coeficientes ae,be,ce ∈ R y para e = 1,...,E;
2 Interpola: u(pm) = um, para m = 1, ...,M.
Importante: Si α = (α1, α2, α3) son las coordenadas
baricéntricas de un punto p ∈ Ωe respecto Ωe, entonces
u(p) = α1uie + α2uje + α3uke .

Ejemplo

Repositorio oficial
Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Repositorio oficial
Repositorio oficial
Es un conjunto de funciones-M y mallados que usaremos
a lo largo del curso para dibujar y realizar cálculos.
Debéis saber cómo se usan las funciones, pero, salvo
excepciones, no hace falta entender cómo están hechas.
No se pueden modificar.
Los dos repositorios están publicados en la esquina
inferior izquierda de la página de Numerical Factory.
Importante: Bajad los ficheros additionalFiles.zip y
meshFilesAll.rar, desempaquetadlos y guardad todo
el contenido en dos directorios que formen parte del path
de Matlab.

Repositorio oficial
Función baryCoord
1 function [alphas,isInside]=baryCoord(vertices,point)
donde:
vertices (array 3x2) = tres vértices de un triángulo;
point (array 1x2) = coordenadas de un punto del plano;
alphas (array 1x3) = coordenadas baricéntricas;
isInside =
f
1, si el punto está dentro del triángulo
0, si el punto está fuera del triángulo
Nota: Con las notaciones de la primera sección:
1
2
vertices = [x1,y1; x2,y2; x3,y3];
point = [x,y];
Advertencia: No confundáis vectores fila con vectores columna.

Repositorio oficial
Función plotElements
1 function plotElements(nodes, elem, numbering)
donde:
nodes (array nNodes x ndim) = coordenadas de cada
nodo del mallado, escritas por filas;
elem (array nElem x nVert) = índices de los vértices
de cada elemento del mallado, escritos por filas;
numbering =
f
1, para numerar nodos y elementos
0, en caso contrario
Nota: Hoy estudiamos un problema 2D: ndim=2 y trabajamos
con elementos triangulares: nVert=3. Más adelante
cambiaremos esos valores, pero usaremos la misma función.

Repositorio oficial
Función plotContourSolution
1 function plotContourSolution(nodes,elem,u,titulo,paleta)
donde:
nodes (array nNodes x ndim) = coordenadas de cada
nodo del mallado, escritas por filas;
elem (array nElem x nVert) = índices de los vértices
de cada elemento del mallado, escritos por filas;
u (array nNodes x 1) = valores sobre los nodos;
titulo (string) = texto del título;
paleta (string) = paleta de colores usada.
Nota: Matlab tiene casi 20 paletas de color. Algunos ejemplos
son ’jet’, ’gray’, ’cool’, ’hot’, ’spring’, ’summer’,
’autumn’, ’winter’ y ’copper’.

Comandos específicos
Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Invertir de una matriz
Dada una matriz cuadrada A de orden n, hay dos formas de
calcular en Matlab su inversa C = A−1.
1 Usar el comando inv.
1 C = inv(A);
2 Usar el comando eye y el símbolo .
1 C = Aeye(n);
Nota: Es más eficiente usar la instrucción x = Ab que la
instrucción x = inv(A)*b para resolver el sistema Ax = b.

Seleccionar filas y/o columnas de una matriz
Si A es una matriz (array), entonces:
A(5,:) selecciona la fila 5 de la matriz;
A([1,2,5],:) selecciona las filas 1, 2 y 5 de la matriz;
A(3:5,:) selecciona desde la fila 3 hasta la fila 5;
A(1:5,:) selecciona las 5 primeras filas;
A(5:end,:) selecciona las filas a partir de la 5 (incluida);
A(:,[2,5]) selecciona las columnas 2 y 5 de la matriz;
A(1:5,3:end) selecciona las 5 primeras filas y las
columnas a partir de la 3 (incluida);
A(:,:) selecciona toda la matriz.

Dibujar un polígono
Sean pi = (xi,yi) para i = 1,...,m los vértices de un
polígono Ω⊂ R2 ordenados en sentido antihorario.
Sea vertices un array m x 2, cuya fila i contiene las
coordenadas xi e yi.
Las siguientes instrucciones dibujan el polígono:
1
2
vplot = [vertices;vertices(1,:)];
plot(vplot(:,1),vplot(:,2),’k-’)
Explicación: La primera línea añade el primer vértice como
última fila del array vplot para que el polígono quede
cerrado.

Cargar y cuantificar un mallado
El comando eval carga ficheros de datos. Por ejemplo,
1 eval(’meshHole’);
carga las matrices nodes (de tamaño 136x2) y elem (de
tamaño 220x3) que definen el mallado 2D triangular del
fichero meshHole.m. Nota: No se escribe la extensión del
fichero en el comando eval.
También trabajaremos con mallados cuadrangulares, 1D o
3D, pero todos se cargan con el comando eval.
Una vez cargado un mallado, las instrucciones
1
2
>> nNodes = size(nodes,1);
>> nElem = size(elem,1);
calculan su número de nodos y elementos

Seleccionar los nodos de un elemento
Sea nodes un array nNodes x ndim con las
coordenadas de cada nodo del mallado, escritas por filas.
Sea elem un array nElem x nVert con los índices de
los vértices de cada elemento del mallado, escritos por
filas.
En esta clase, trabajamos con mallados 2D triangulares.
Es decir, ndim=2 y nVert=3.
Muy importante: La instrucción
1 nodes(elem(e,:),:)
selecciona el array nVert x ndim con las coordenadas
de cada nodo del elemento e del mallado, escritas por
filas.

Interpolar en un mallado triangular
Sea u un array nNodes x 1 con los valores de una
cantidad en cada nodo del mallado triangular.
Sea elem un array nElem x 3 con los índices de los
vértices de cada elemento del mallado, escritos por filas.
Sean α = (α1, α2, α3) las coordenadas baricéntricas de un
punto p ∈ Ωe respecto Ωe.
La instrucción
1 uP = dot(alphas,u(elem(e,:)));
calcula el valor interpolado u(p) = α1uie + α2uje + α3uke .
Nota: El comando dot calcula el producto escalar de dos
vectores con el mismo número de componentes. Se
pueden multiplicar vectores fila por vectores columna.

Añadir un directorio al “path”
En su estado inicial, cuando se le dice a Matlab que
ejecute un script o función escrita por el usuario, solo la
busca en el directorio que aparece en la esquina superior
izquierda de la ventana de comandos.
Es decir, inicialmente el “path” (camino de búsqueda) solo
contiene a ese directorio, que el usuario puede escoger.
El comando addpath añade directorios al “path”:
1
2
>> addpath ../additionalFiles
>> addpath ../meshFilesAll
Nota: El símbolo .. es el directorio padre del actual, luego
../meshFilesAll es un directorio hermano del actual.

Mi estructura de directorios
Todas los subdirectorios cuelgan del mismo directorio raíz;
Funciones repositorio '
V
'
- subdirectorio
additionalFiles;
Mallados repositorio '
V
'
- subdirectorio meshFilesAll; y
Ficheros propios para la práctica t.p '
V
'
- subdirectorio t-p,
donde t = 1,2,3,4 y p = 1,...,13.

Script para las figuras
1 %FILE: p12_myFigureSettings.m
2 %DESCRIPTION: Settings to get nice figures practice 1.2.
3 % reset(groot) -> reset to original settings.
4 set(groot,’DefaultLineLineWidth’,3.5)
5 set(groot,’DefaultAxesLineWidth’,1)
6 set(groot,’DefaultLineMarkerSize’,20)
7 set(groot,’DefaultLineMarkerEdgeColor’,’k’)
8 set(groot,’DefaultAxesFontSize’,20)
9 set(groot,’DefaultAxesFontWeight’,’bold’)
10 set(groot,’DefaultTextFontSize’,20)
11 set(groot,’DefaultAxesFontName’,’Times new Roman’)
12 set(groot,’DefaultLegendFontName’,’Times new Roman’)
13 set(groot,’defaultAxesXGrid’,’on’)
14 set(groot,’defaultAxesYGrid’,’on’)

Cuestiones
Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Cuestiones
1 Construye tu propia versión de la función baryCoord.
Compara tu versión con la que hay en el repositorio oficial,
la cual pone el enfasis en las funciones de forma.
2 Considera el triángulo Ωde vértices
p1 = (1, 1), p2 = (3, 2), p3 = (2, 4).
a) Calcula las coordinadas baricéntricas del punto p = (2, 2).
b) Calcula el punto q cuyas coordenadas baricéntricas son
β = (1/6,1/3,1/2).
c) ¿Por qué no hay ningún punto de coordenadas
baricéntricas γ = (1/3,1/2,1/3)?
d) Calcula la función de forma ψ2(x,y).

Cuestiones
3 Supongamos que escribimos las siguientes instrucciones
en un script o en la ventana de comandos:
1
2
3
>> nodes = [1,1; 3,2; 2,4];
>> point = [2,2];
>> [betas,isInside] = baryCoord(nodes,point)
¿Hay algún error en esas instrucciones?
4 Supongamos que escribimos las siguientes instrucciones
en un script o en la ventana de comandos para calcular la
segunda función de forma ψ2(x,y):
1
2
3
4
>> vertices = [1,1; 3,2; 2,4];
>> point = [0,0];
>> [alphas,isInside]=baryCoord(vertices,point)
>> A[0;1;0]
¿Hay algún error en esas instrucciones?

Cuestiones
5 Consideramos el triángulo de la cuestión 2 y los puntos
q1 = (1.5,3),
q2 = (3.5,1),
q3 = (2, 3),
q4 = (2.5,3).
a) ¿Cuáles están fuera del triángulo? ¿Cuáles están dentro?
¿Cuáles están situados sobre un lado? ¿Sobre qué lado?
b) Dibuja el triángulo Ω en negro, los puntos exteriores de
rojo, los puntos completamente interiores de azul y los
puntos en la frontera en verde.

Cuestiones
6 [Díficil] Considera la función dada por el código
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
function [alphas,isInside] = baryCoordWrong(vertices,point)
%Computation of the barycentric coordinates
A = [ones(3,1),vertices];
C = Aeye(3); %Inverse of A
alphas = (C*[1; point’])’;
%Check if the point is inside the triangle
isInside=1;
if (min(alphas) < -1.e-14)
isInside=0;
end
end
a) Esta implementación contiene un error. ¿Cuál es?
b) Sin embargo, calcula correctamente todas las coordenadas
baricéntricas en el triángulo de la cuestión 2. ¿Por qué?

Cuestiones
7 Crea una función
1 function [alphas,isInside]=baryRGBColor(vertices,point)
con los mismos argumentos que la función baryCoord
que dibuje el triángulo de negro, el vértice 1 de rojo, el 2
de verde, el 3 de azul y el punto de negro si está fuera y
con el color alphas en los canales RGB si está dentro.
Opcional: Mira la función baryRGBColorMouse donde el
punto se entra con el ratón.
8 Considera el triángulo de referencia ΩR de vértices
r1 = (0, 0), r2 = (1, 0), r3 = (0, 1).
a) Calcula a mano las tres funciones de forma ψj(x,y).
b) Calcula a mano las coordenadas baricéntricas del punto
genérico r = (x,y).
c) Comprueba los resultados con la función baryCoord.

Cuestiones
9 Sea Ωun triángulo arbitrario y sea ΩR el triángulo de
referencia ΩR de la cuestión 8. Sea p un punto del plano.
Crea una función
1 function pointR = triangle2Reference(vertices,point)
donde:
vertices (array 3x2) = los tres vértices de Ω, escritos
por filas;
point (array 1x2) = coordenadas de p;
pointR (array 1x2) = coordenadas del punto r cuyas
coordenadas baricéntricas respecto ΩR coinciden con las
coordenadas baricéntricas respecto Ωde p.
Añade unas instrucciones a la función para dibujar ambos
triángulos y ambos puntos.
Opcional: Mira la función triangle2ReferenceMouse
donde el punto se entra con el ratón.

Cuestiones
10 a) Dibuja a mano el mallado triangular dado por:
%Primer nodo: n1
%Segundo nodo: n2
1 nodes = [0, 0;
2 1, 0;
3 1, 1;
4 0, 1;
5 0.5, 0.5]; %Quinto nodo:
%Tercer nodo: n3
%Cuarto nodo: n4
n5
6 elem = [1, 2, 5; %Primer elemento: e1
7 2, 3, 5; %Segundo elemento: e2
8 3, 4, 5; %Tercer elemento: e3
9 4, 1, 5]; %Cuarto elemento: e4
Después, dibújalo con la función plotElements.
b) Detecta en qué elemento (en este caso, triángulo) del
mallado está contenido el punto p = (0.8, 0.7).
c) Escribe un script automatizado whatTriangle.m que
recorra en un bucle todos los elementos del mallado hasta
detectar en qué elemento está p.

Cuestiones
11 Carga el mallado triangular meshHole.m.
a) ¿Cuántos nodos tiene?
b) ¿Cuántos elementos (triángulos) tiene?
c) ¿Qué elemento contiene al punto p = (0.83, 0.7)?
d) ¿Cuáles son los tres vértices de ese elemento?
e) Dibuja el mallado con la función plotElements y el punto.
12 Considera el mallado triangular de 8 nodos y 6 elementos:
a) Escribe unas matrices nodes y elem que lo codifiquen.
b) ¿Son únicas? En caso negativo, explica sus variaciones.
c) Comprueba el resultado con la función plotElements.

Cuestiones
13 Haz lo mismo que en la cuestión 12, pero con el mallado
triangular:
Una costumbre útil: Es más fácil ver dónde está cada
punto si activamos el “grid” con la instrucción grid on.

Cuestiones
14 Dibuja con la función plotElements el mallado triangular
que corresponde a los datos:
1
2
3
4
5
nodes = [0, 0; %Primer nodo: n1
1, 0; %Segundo nodo: n2
1, 1; %Tercer nodo: n3
0, 1; %Cuarto nodo: n4
0.5, 0.5]; %Quinto nodo: n5
6 elem = [5, 1, 2; %Primer elemento: e1
7 5, 2, 3; %Segundo elemento: e2
8 5, 3, 4; %Tercer elemento: e3
9 5, 1, 4]; %Cuarto elemento: e4
Obtenemos exactamente el mismo dibujo que el mallado
de la cuestión 10. Sin embargo, este nuevo mallado no es
“correcto”. ¿Por qué? ¿Qué elemento “falla”?

Cuestiones
15 [Díficil] Carga el mallado triangular meshHole.m.
a) Determina los triángulos de áreas mínima y máxima.
b) Determina los triángulos de perímetros mínimo y máximo.
c) Calcula el área promedio y el perímetro promedio.
a) Calcula el valor interpolado en el punto p = (0.83, 0.7) de
la cantidad
1 u = (1:size(nodes,1))’;
que asigna a cada nodo el valor que corresponde a su
índice. Es decir, los primeros/últimos nodos tienen valores
(“temperaturas”) fríos/calientes.
Nota: Hoy no es obligatorio que u sea un vector columna,
luego podríamos escribir u = 1:size(nodes,1).
b) “Colorea” el mallado usando la función del repositorio
plotContourSolution con la paleta de colores ’jet’.

Cuestiones
a) Construye un vector columna u con los valores que toma
en cada uno de sus nodos la función
g(x, y) = x2 + y2.
Es decir, los nodos que están cerca/lejos del origen tienen
valores (“temperaturas”) fríos/calientes.
b) Calcula el valor interpolado u(p) en el punto
p = (0.5, 0.75).
Calcula el error cometido en la aproximación g(p) ≈ u(p).
Es decir, calcula error(p) = |g(p) − u(p)|.
c)
q = (0.2, 0)?
d) “Colorea” el mallado usando la función del repositorio
plotContourSolution con la paleta de colores ’jet’.

Cuestiones
18 Sea interpolTriangMesh el script usado para resolver
las cuestiones 16–17 y supongamos que hemos cargado
el mallado meshHole.m.
a) ¿Resuelven correctamente la cuestión 16 las siguientes
instrucciones? Justifica la respuesta.
1
2
3
>> f = (1:size(nodes,1))’;
>> p = [0.83,0.7];
>> interpolTriangMesh
b) Ejecutamos las siguientes instrucciones en la ventana de
comandos para resolver la cuestión 16
1
2
3
>> u = (1:size(nodes,1))’;
>> point = [0.83,0.7];
y después escribimos nElem para ver cuántos elementos
tiene el mallado. ¿Es correcto ese proceso?
c) Compara estas cuestiones con las cuestiones 3–4.

Respuestas
Índice
4 Cuestiones
5 Respuestas

Respuestas
1 Advertencia: La siguiente función no coincide con la oficial.
1 function [alphas, isInside] = baryCoord(vertices, point)
2 %FILE: baryCoord.m
3 %DESCRIPTION:
4 %Compute the barycentric coordinates of a point with respect to a triangle
5 %INPUT:
6 % vertices (array 3x2) = Coordinates of the vertices of the triangle
7 % vertices=[x1,y1;x2,y2;x3,y3]
8 % point (array 1x2) = Coordinates of the point.
9 %OUTPUT:
10 % alphas (array 1x3) = Barycentric coordinates of the point
11 % isInside (integer) = if isInside=1, then the point belongs to the triangle,
12 % if isInside=0, the point lies outside.
13 %EXAMPLE OF USE: [alphas, isInside]=baryCoord([1,1;3,2;2,4], [2,2])
14
15 % Part 1: Compute the barycentric coordinates
16 A = [ones(3,1),vertices];
17 C = Aeye(3); %Inverse of A
18 alphas = [1,point]*C;
19
20 % Part 2: Check if the point is inside the triangle
21 isInside=1;
22 if (min(alphas) < -1.e-14) %We consider a small tolerance for safety
23 isInside=0;
24 end
25
26 end

Respuestas
2 a) Ventana de comandos:
1
2
3
4
5
6
7
>> vertices = [1,1; 3,2; 2,4];
>> point = [2,2];
>> [alphas,isInside] = baryCoord(vertices,point)
alphas =
4.0000e-01 4.0000e-01 2.0000e-01
isInside =
1
b) q = β1p1 + β2p2 + β3p3 = (13/6, 17/6).
Ventana de comandos:
1
2
3
4
>> betas = [1/6,1/3,1/2];
>> q = betas*vertices %Since betas is 1x3 and vertices is 3x2
q =
2.1667e+00 2.8333e+00
c) Porque γ1 + γ2 + γ3 /= 1.
d) ψ2(x,y) = (−2 + 3x − y)/5. Ventana de comandos:
1 >> vertices = [1,1; 3,2; 2,4];
2 >> A = [ones(3,1), vertices];
3 >> A[0;1;0]
4 ans
5 -4.0000e-01
6 6.0000e-01
7 -2.0000e-01

Respuestas
3 Las instrucciones son correctas.
Aunque la cabecera de la función sea
1 function [alphas,isInside]=baryCoord(vertices,point)
es correcto invocarla cambiando el nombre de los
argumentos de entrada y/o salida, pues solo importa que
los argumentos tengan el tipo correcto (arrays del tamaño
adecuado, strings, cells, estructuras, etcétera).
4 Las instrucciones son incorrectas.
Las variables usadas dentro de una función (salvo sin son
argumentos de salida) son locales. Es decir, solo son
conocidas dentro de la función. Por tanto, cuando
llegamos a la línea 4 del script, la matriz A es desconocida.

Respuestas
5 a) q1 y q2 están fuera, q3 dentro y q4 sobre el lado definido
por p2 y p3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
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19
20
21
22
23
24
25
>> vertices = [1,1; 3,2; 2,4];
>> q1 = [1.5,3];
>> [alphas,isInside]=baryCoord(vertices,q1)
alphas =
4.0000e-01 -1.0000e-01 7.0000e-01
isInside =
0
>> q2 = [3.5,1];
alphas =
-5.5511e-17 1.5000e+00 -5.0000e-01
isInside =
0
>> q3 = [2,3];
alphas =
2.0000e-01 2.0000e-01 6.0000e-01
isInside =
1
>> q4 = [2.5,3];
alphas =
0 5.0000e-01 5.0000e-01
isInside =
1

Respuestas
5 b) Script:
1 %FILE: p12_Question5b.m
2 %DESCRIPTION: Answer to Question 5b (see slides on Triangular Elements)
3
4 vertices = [1,1; 3,2; 2,4]; %Triangle vertices
5 q = [1.5,3; 3.5,1; 2,3; 2.5,3]; %The four points to study
6
7 %We add the first vertex at the end to plot a closed triangle,
8 vplot=[vertices;vertices(1,:)];
9 plot(vplot(:,1),vplot(:,2),’k-’);
10 hold on
11
12 %We use the baryCoord function to study each point q(i,:)
13 [n,m] = size(q);
14 for i=1:n
15 [alphas,isInside]=baryCoord(vertices,q(i,:));
16 if isInside==0
17 plot(q(i,1),q(i,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’r’)
18 elseif min(alphas)>1.e-14 %We consider a small tolerance for safety
19 plot(q(i,1),q(i,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’b’)
20 else
21 plot(q(i,1),q(i,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’g’)
22 end
23 end
24 hold off

Respuestas
q1 = (1.5, 3) está fuera;
q2 = (3.5, 1) está fuera y
sobre la prolongación de
un lado;
q3 = (2, 3) está dentro;
q4 = (2.5, 3) está dentro y
sobre un lado.
Nota: Para obtener este bonito
dibujo, es necesario ejecutar
antes el script
p12_myFigureSettings
con los buenos settings para
figuras.

Respuestas
6 a) La fórmula correcta es α = zC, no α = (Cz,),.
b) Porque el triángulo de la cuestión 2 hace que la matriz
1 x1 y1 1 1 1
A = 1 x2 y2 = 1 3 2
1 x3 y3 1 2 4
sea simétrica, luego C = A−1 también lo es y, por tanto,
(Cz,), = zC, = zC.

Respuestas
alphas = [1,point]*C;
7 Función:
1 function [alphas, isInside]=baryRGBColor(vertices, point)
2 %FILE: baryRGBColor.m
3 %DESCRIPTION: RGB-color representation of the barycentric coordinates
4 %Part 1: Compute the barycentric coordinates
7
8 %Part 2: Check if the point is inside the triangle
9 isInside=1;
10 if (min(alphas) < -1.e-14) %We consider a small tolerance for safety
11 isInside=0;
12 end
13 %Part 3: Plotting
15 plot(vplot(:,1),vplot(:,2),’k-’)
16 hold on
17 plot(vertices(1,1),vertices(1,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’r’)
18 plot(vertices(2,1),vertices(2,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’g’)
19 plot(vertices(3,1),vertices(3,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’b’)
20 if isInside
21 plot(point(1),point(2),’ko’,’MarkerFaceColor’,abs(alphas))
22 else
23 plot(point(1),point(2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’k’)
24 end
25 title([’[R,G,B] = [’,num2str(alphas(1),’%.2f’),’,’,...
26 num2str(alphas(2),’%.2f’),’,’,num2str(alphas(3),’%.2f’),’]’])
27 hold off
28 end

Respuestas
p1 = (1, 1)
p2 = (3, 2)
p3 = (2, 4)
p = (2, 2)
Nota: Para obtener este bonito
dibujo, es necesario ejecutar
antes el script
p12_myFigureSettings
con los buenos settings para
figuras.

Respuestas
%Left-button -> boton = 1
%First time we do not delete the previous picture
[x,y,boton]=ginput(1);
alphas = [1,x,y]*C;
if (borrar)
delete(h2); delete(h3);
end
if (min(alphas) < -1.e-14)
h2=plot(x,y,’ko’,’MarkerFaceColor’,’k’);
else
h2=plot(x,y,’ko’,’MarkerFaceColor’,abs(alphas));
end
h3=title([’[R,G,B] = [’,num2str(alphas(1),’%.2f’),’,’,...
num2str(alphas(2),’%.2f’),’,’,num2str(alphas(3),’%.2f’),’]’]);
borrar=1; %After the first time, we do delete the previous picture
1 function baryRGBColorMouse(vertices)
2 %FILE: baryRGBColorMouse.m
3 %DESCRIPTION: RGB-color representation of barycentric coordinates + mouse
6 %Draw the triangle and its vertices
9 hold on
10 plot(vertices(1,1),vertices(1,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’r’)
11 plot(vertices(2,1),vertices(2,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’g’)
12 plot(vertices(3,1),vertices(3,2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’b’)
13 %Wait for mouse input, delete old point & title, redraw new point & title
14 boton=1;
15 borrar=0;
16 while(boton==1)
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30 end

Respuestas
8 a) Las tres funciones de forma son
ψ1(x,y) = 1 − x − y, ψ2(x,y) = x, ψ3(x,y) = y.
b) Las coordenadas baricéntricas del punto r = (x,y) son
α = (α1, α2, α3) = (1 − x − y,x,y).
b) Comprobación en la ventana de comandos:
0 5.0000e-01 5.0000e-01
4.0000e-01
1 >> verticesR = [0,0; 1,0; 0,1];
2 >> pointR = [0.5,0.5];
3 >> [alphasR,isInsideR]=baryCoord(verticesR,pointR)
4 alphasR =
5
6 inInsideR =
7 1
8 >> pointR = [-0.5,0.4];
9 >> [alphasR,isInsideR]=baryCoord(verticesR,pointR)
10 alphasR =
11 1.1000e+00 -5.0000e-01
12 isInsideR =
13 0

Respuestas
%Inverse of A
alphas = [1,point]*C;
9 Función:
1 function pointR = triangle2Reference(vertices, point)
2 %FILE: triangle2Reference.m
3 %DESCRIPTION: Answer to Question 9 (see slides on Triangular Elements)
4
5 %Compute pointR
7 C = Aeye(3);
8
9 pointR = [alphas(2),alphas(3)];
10
11 %Draw figure
12 vplot = [vertices;vertices(1,:)];
14 hold on
15 axis equal
16 verticesR = [0,0;1,0;0,1]; %Reference triangle
17 vplotR=[verticesR;verticesR(1,:)];
18 plot(vplotR(:,1),vplotR(:,2),’k-’)
19 plot(point(1),point(2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’red’,’lineWidth’,2)
20 plot(pointR(1),pointR(2),’ko’,’MarkerFaceColor’,’blue’,’lineWidth’,2)
21 linePlot = [point; pointR];
22 plot(linePlot(:,1),linePlot(:,2),’g-’)
23 hold off
24
25 end

Respuestas

Respuestas
1 >> nodes = [0, 0;
2 1, 0;
3 1, 1;
4 0, 1;
5 0.5, 0.5];
6 >> elem = [1, 2, 5;
7 2, 3, 5;
8 3, 4, 5;
9 4, 1, 5];
10 >> plotElements(nodes,elem,1);
Advertencia: La función
plotElements debe
estar o bien en el
directorio actual o bien
en el “path” de Matlab.

65 /78
Respuestas
10 b) Primera versión (no automatizable):
1 >> point = [0.8,0.7];
2 >> [alphas1,isInside1]=baryCoord(nodes([1,2,5],:),point)
3 alphas1 =
4 -5.0000e-01 1.0000e-01 1.4000e+00
5 isInside1 =
6 0
8 alphas2 =
9 1.0000e-01 5.0000e-01 4.0000e-01
10 isInside2 =
11 1
13 alphas3 =
14 5.0000e-01 -1.0000e-01 6.0000e-01
15 isInside3 =
16 0
18 alphas4 =
19 -1.0000e-01 -5.0000e-01 1.6000e+00
20 isInside4 =
21 0
Conclusión: p = (0.8, 0.7) está en el segundo elemento.

66 /78
Respuestas
10 b) Segunda versión (automatizable):
1 >> point = [0.8,0.7];
2 >> [alphas1,isInside1]=baryCoord(nodes(elem(1,:),:),point)
3 alphas1 =
4 -5.0000e-01 1.0000e-01 1.4000e+00
5 isInside1 =
6 0
8 alphas2 =
9 1.0000e-01 5.0000e-01 4.0000e-01
10 isInside2 =
11 1
13 alphas3 =
14 5.0000e-01 -1.0000e-01 6.0000e-01
15 isInside3 =
16 0
18 alphas4 =
19 -1.0000e-01 -5.0000e-01 1.6000e+00
20 isInside4 =
21 0
Conclusión: p = (0.8, 0.7) está en el segundo elemento.

67 /78
Respuestas
10 c) Script (automatizado):
1 %FILE: whatTriangle.m
2 %DESCRIPTION: Answer Questions 10c & 11 (slides on Triangular Elements)
3 nElem = size(elem,1);
4 for e=1:nElem %We run over all elements
5 [alphas,isInside]=baryCoord(nodes(elem(e,:),:),point);
6 if isInside
7 fprintf(’The point is in triangle %dn’,e);
8
9
10
break %We exit the FOR loop
end
end
1
2
3
4
5
6
7
8
>> nodes = [0, 0; 1, 0; 1, 1; 0, 1; 0.5, 0.5];
>> elem = [1, 2, 5;
2, 3, 5;
3, 4, 5;
4, 1, 5];
>> point = [0.8,0.7];
>> whatTriangle
The point is in triangle 2

Respuestas
11 a) 136 nodos (línea 5).
b) 220 elementos (línea 8).
c) p ∈ Ω189 (línea 11).
d) Líneas 14–16.
e) Ventana de comandos:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
>> addpath ../meshFilesAll
>> eval(’meshHole’)
>> nNodes = size(nodes,1)
ans =
136
>> nElem = size(elem,1)
ans =
220
>> point = [0.83,0.7];
>> whatTriangle
The point is in triangle 189
>> nodes(elem(189,:),:)
ans =
8.7447e-01 6.2188e-01
8.7850e-01 7.5802e-01
7.3942e-01 7.4997e-01
>> plotElements(nodes,elem,0)
>> hold on
>> plot(point(1),point(2),’o’,...
’MarkerFaceColor’,’r’,...
’MarkerSize’,10,’LineWidth’,2)
>> hold off

69 /78
Respuestas
12 a) Script:
1 nodes=[-2,0;
2 -1,0;
3 0,0;
4 1,0;
5 2,0;
6 -1,1;
7 0,1;
8 1,1];
9 elem = [1, 2, 6;
10 2, 3, 6;
11 3, 7, 6;
12 3, 8, 7;
13 3, 4, 8;
14 4, 5, 8];
b) No son únicas. Podemos cambiar el orden de los nodos (o
sea, permutar filas de nodes y entonces modificar elem
para no cambiar el mallado), cambiar el orden de los
elementos (o sea, permutar filas de elem) o el orden de los
nodos dentro de algunos elementos (o sea, realizar
permutaciones cíclicas dentro de algunas filas de nodes).
c) Basta escribir plotElements(nodes,elem,1).

70 /78
Respuestas
13 a) Script:
1 nodes=[-2,0;
2 -1,0;
3 0,0;
4 1,0;
5 2,0;
6 -1,1;
7 0,1;
8 1,1];
9 elem = [1, 2, 6;
10 2, 7, 6;
11 2, 3, 7;
12 3, 4, 7;
13 4, 8, 7;
14 4, 5, 8];
b) No son únicas. Podemos cambiar el orden de los nodos (o
sea, permutar filas de nodes y entonces modificar elem
para no cambiar el mallado), cambiar el orden de los
elementos (o sea, permutar filas de elem) o el orden de los
nodos dentro de algunos elementos (o sea, realizar
permutaciones cíclicas dentro de algunas filas de nodes).
c) Basta escribir plotElements(nodes,elem,1).

Respuestas
14 Los nodos del cuarto elemento no están ordenados en
sentido antihorario. Eso es peligroso, pues algunas
funciones del repositorio oficial pueden dar resultados
incorrectos en mallados con algún elemento mal ordenado.
De hecho, ordenar mal los nodos de un elemento también
puede tener malas consecuencias en cálculos manuales.
15 Ejecutando en la ventana de comandos el script de la
siguiente página obtenemos que:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>> addpath ../meshFilesAll/
>> eval(’meshHole’)
>> areasPerimetersTriangles
Triangle 7 has maximum area
Triangle 52 has minimum area
Triangle 7 has maximum perimeter
Triangle 44 has minimum perimeter
The mean area is 0.007967
The mean perimeter is 0.415972

Respuestas
Script:
p1 = nodes(elem(e,1),:);
%First vertex
%Second vertex
%Third vertex
perim(e) = norm(p2-p1) + norm(p3-p2) + norm(p3-p1); %Perimeter
areas(e) = det([p2-p1;p3-p1])/2; %Area
1 %FILE: areasPerimetersTriangles.m
2 %DESCRIPTION: Answer to Question 15 (see slides on Triangular Elements)
3 nElem = size(elem,1); %Number of elements in the mesh
4 areas = zeros(1,nElem); %We create a vector to storage all areas
5 perim = zeros(1,nElem); %We create a vector to storage all perimeters
7
8
9
10
11
12 end
13 [maxArea,eMaxArea] = max(areas); %The second output is the desired index
14 [minArea,eMinArea] = min(areas); %The second output is the desired index
15 [maxPerim,eMaxPerim] = max(perim); %The second output is the desired index
16 [minPerim,eMinPerim] = min(perim); %The second output is the desired index
17 fprintf(’Triangle %d has maximum arean’,eMaxArea);
18 fprintf(’Triangle %d has minimum arean’,eMinArea);
19 fprintf(’Triangle %d has maximum perimetern’,eMaxPerim);
20 fprintf(’Triangle %d has minimum perimetern’,eMinPerim);
21 fprintf(’The mean area is %6.4fn’,mean(areas));
22 fprintf(’The mean perimeter is %6.4fn’,mean(perim));
Reto: Escribir una versión de este script que use los comandos
polyshape, perimeter y polyarea de Matlab. Os podéis inspirar
en el script areasPerimetersQuad de la siguiente sección.

Respuestas
16 Ejecutando en la ventana de comandos el script de la
siguiente página obtenemos que:
1 >> addpath ../meshFilesAll/
2 >> eval(’meshHole’);
3 >> u = (1:size(nodes,1))’;
4 >> point = [0.83,0.7];
5 >> interpolTriangMesh
6 The point is in triangle 189;
7 whose nodes have indexes 109, 112, and 92.
8 The interpolated value is uP = 104.0420
Finalmente, obtenemos el dibujo con la instrucción:
1 >> plotContourSolution(nodes,elem,u,’Color plot’,’jet’)

Respuestas
= Elements; the indexes of the three nodes of
each triangle in a row
= Values on the nodes
= Coordinates of the point
= linearly interpolated value at the point
= index of the triangle containing the point
if isInside %If isinside, compute the results and break the for loop
elemP = e;
nodesP = elem(e,:);
uP = dot(alphas,u(elem(e,:))); %dot is the scalar product
break
end
1 %FILE: interpolTriangMesh.m
2 %DESCRIPTION: Given a triangular mesh, some values at its nodes, and a
3 %point, we find the triangle containing the point and we linearly
4 %interpolate the value at the point by using its barycentric coordinates
5 %INPUT:
6 % nodes (array nNodes x 2) = Nodes; each node in a row
7 % elem (array nElem x 3)
8 %
9 % u (array nNodes x 1)
10 % point (array 1x2)
11 %where nNodes = number of nodes and nElem = number of elements
12 %OUTPUT:
13 % uP
14 % elemP
15 % nodesP (array 1x3) = indexes of the nodes of the triangle elemP
16 nElem=size(elem,1);
18 [alphas, isInside] = baryCoord(nodes(elem(e,:),:), point);
19
20
21
22
23
24
25 end
26 fprintf(’The point is in triangle %d;n’,elemP);
27 fprintf(’whose nodes have indexes %d, %d, and %d.n’,...
28 nodesP(1),nodesP(2),nodesP(3));
29 fprintf(’The interpolated value is uP = %6.4fn’,uP);

Respuestas

Respuestas
1
2
3
4
>> addpath ../meshFilesAll/
>> eval(’meshHole’);
>> g = @(x,y) x.^2 + y.^2; %Funcion inline
>> u = g(nodes(:,1),nodes(:,2));
b) Usamos el script visto en la cuestión 16:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>> point = [0.5,0.75];
The point is in triangle 158;
whose nodes have indexes 69, 62, and 54.
The interpolatred value is uP = 0.8161
>> gP = g(point(1),point(2));
>> errorP = abs(gP-uP) %uP was computed in the script
errorP =
3.5901e-03
c) No, ya que q /
∈Ω.
d) El dibujo se obtiene con la instrucción:
1 >> plotContourSolution(nodes,elem,u,’Color plot’,’jet’)

Respuestas

Respuestas
18 a) Esas instrucciones son incorrectas, pues el array de
valores f y el punto p tienen otros nombres en el script.
b) Esas instrucciones son correctas, pues después de
ejecutar un script se recuerdan todas las variables
calculadas en él, a no ser que las borremos con el
comando clear.
c) En las funciones, el nombre de los argumentos es
irrelevante y las variables locales internas desaparecen al
salir de la función. Los scripts se comportan de forma
completamente opuesta. Los buenos programadores
prefieren trabajar con funciones.

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