Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría como sistemas de coordenadas, ángulos en posición normal, razones trigonométricas y su signo en cada cuadrante. Explica cómo calcular las razones trigonométricas sen, cos, tg y cot para ángulos en posición normal y proporciona ejercicios resueltos como ejemplo.

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I
Trigonometría – 5º de Secundaria
1. Sistemas de Coordenadas
Rectangulares
Donde:
x : Eje de Abscisas
y : Eje de Ordenadas
IC : Primer Cuadrante
IIC : Segundo Cuadrante
IIIC : Tercer Cuadrante
IVC : Cuarto Cuadrante
O : Origen del Sistema
Ubicación de un Punto
Donde:
P : Punto del Sistema Bidimensional
a : Abscisa del Punto P
b : Ordenada del Punto P
(a; b): Coordenadas del Punto P
2. Radio Vector (r)
Es el segmento de recta dirigido (flecha)
que parte del origen hacia un punto
cualquier del sistema; su longitud o módulo
esta representado por “r”.
Donde: r : Longitud del Radio Vector
r
3.3. Ángulo en posición normal
Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo
vértice coincide con el origen del sistema
bidimensional y su lado inicial descansa
en el semieje positivo de las abscisas,
mientras que su lado final puede
encontrarse en cualquiera de los
cuadrantes o coincidir con algún semieje
en cuyo caso es llamado ángulo
cuadrantal.
Donde:
α, β ∧ θ son las medidas de los ángulos
en posición normal mostrados.
L.I.: Lado Inicial
L.F.: Lado Final
PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ1
y
xa
b
P(a; b)
+
+
–
– IVCIIIC
ICIIC
y
x
O
r2
= a2
+ b2
+
y
x
| b |
| a |
(a; b)
r
x
y
α
β
θ

2. Ejercicios ResueltosEjercicios Resueltos
Trigonometría – 5º de Secundaria
Del siguiente gráfico definiremos las
Razones Trigonométricas para un ángulo
en posición normal los cuales son
independientes del sentido de giro o el
número de vueltas que pudiera realizar.
4. Regla de Signos
01. Del siguiente gráfico calcular:
θ−θ= cot12sen10E
Solución:
a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:
r2
= 12
+ (-3)2
⇒ r = 10
b) Reemplazamos las definiciones:






−
−




 −
=
3
1
12
10
3
.10E
E = -3 + 4 ⇒ E = 1
02. Indicar el signo resultante de la siguiente
operación.
E = sen130º . cos230º . tg330º
Solución
E = sen130º . cos230º . tg330º
E = + . – . – ⇒ E = +
PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ2
También son
llamados ∢s en
posición canónica
o estándar.
y
x
(x; y)
r θ
r
y
.V.R.M
Ordenada
sen ==θ
y
r
Ordenada
.V.T.M
csc ==θ
r
x
.V.R.M
Abscisa
cos ==θ
x
r
Abscisa
.V.R.M
sec ==θ
x
y
Abscisa
Ordenada
tg ==θ
y
x
Ordenada
Abscisa
cot ==θ
S P
T C
en
csc
ositivas
Todas
g
cot
os
sec
+
+ +
C
R.T.
IC IIC IIIC IVC
sen + + - -
cos + - - +
tg + - + -
cot + - + -
sec + - - +
csc + + - -
x
y
θ
(1; -3)
IIC IIIC IVC

3. Práctica DirigidaPráctica Dirigida
Trigonometría – 5º de Secundaria
03. Si θ ∈ III ¿En qué cuadrante está 2θ/3?
Solución
Si θ ∈ III ⇒ 180º < θ < 270º
60º <
3
θ
< 90º
120º <
3
2
θ
< 180º
∴ Como .2θ/3. está entre 120º y 180º,
entonces pertenece al:
.II Cuadrante.
04. Indicar el cuadrante al que pertenece la
medida angular “θ” si:
tgθ < 0 ∧ cscθ > 0
Solución
tg θ = - { IIC ∧ IVC }
csc θ = + { IC ∧ IIC }
1. Del siguiente gráfico calcular:
θ−θ= cot12sen10E
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2. Del gráfico calcular: θ−θ= tg26cos11E
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3. Calcular: cscα + cosβ
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. Del gráfico calcular: β+β= cot4sec5E
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5. Por el punto )5;2(P − pasa el lado final de
un ángulo en posición normal cuya medida
es “θ”. Calcular: “Sec θ”
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4
d) -4/3 e) -3/2
6. Por el punto )7;2(Q −− pasa el lado
final de un ángulo en posición canónica
cuya medida es “α”. Calcular: “ αcsc7 ”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
7. Si: IIIC
3
2
sen ∈α∧−=α
Calcular: )sectg(5E α+α=
a) -1 b) -2 c) -3
d) 2 e) 3
8. Si: IVC
2
3
cot ∈θ∧−=θ
Calcular: θ+θ= sen7sec21E
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ3
x
y
θ
(1; -3)
x
y
β
(1; -2)
x
y
)2;3(−
θ
θ ∈ IIC

4. TareaTarea
Trigonometría – 5º de Secundaria
1. Si el punto P(-2; 1) pertenece al lado final
de un ángulo en posición canónica cuya
medida es “α” calcular: E = 5Senα . Cosα
a) – 5 b) – 3 c) – 4
d) – 2 e) – 1
2. Del gráfico calcular E = 25senα + tgθ
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
3. Del gráfico calcular “tgθ”
a) -1
b) -2
c) -3
d) -4
e) -5
4. Del gráfico calcular: M = senφ - 2cosφ +
3tgφ
a) -1
b) -2
c) -3
d) -4
e) -5
5. Del gráfico calcular: )cossen(5M β+β=
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6. Si el punto )3;1(P − pertenece al lado
final de un ángulo en posición canónica
cuya medida es “α” calcular: E = cotα +
cscα
a)
2
3
b)
3
3
c)
4
3
d)
5
3
e)
6
3
7. Si el punto A(3; -4) pertenece al lado final
de un ángulo en posición estándar cuya
medida es “α” calcular: M = 6tgα + 5cosα.
a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
8. Si: cosφ = 0,3 ∧ φ ∈ IIC
Calcular: E = tg2
φ + secφ
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Indicar el signo de cada expresión:
I. sen100º cos200º
II. tg190º cot320º
III. sec200º csc350º
a) +, +, + b) -, -, - c) +, +, -
d) -, -, + e) +, -, -
PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ4
x
y
(-4; -8)
(24; 7)
θ
α
x
y
(1-x; 2x)
θ
17
x
y
4
-3 φ
x
y
(2; -1)
β