1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con ángulos en posición normal y ángulos trigonométricos especiales como cuadrantales y coterminales. Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de dichos ángulos. 2) Contiene 20 problemas resueltos como ejemplos de aplicación de los conceptos. 3) El objetivo es que los estudiantes aprendan a distinguir información relevante, sintetizar conocimientos y resolver problemas usando funciones trigonométricas de ángulos

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
yo

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“F.T. de Ángulos Especiales”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Del gráfico:
* : es un ángulo en posición normal
*
* β : Es un ángulo en posición normal
*
Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
posición normal, tomaremos un punto perteneciente
a su lado final.
*
* α´: se denomina ángulo de referencia
Signos de las R.T. en los cuiadrantes
Lado Final
Lado Inicial
Vértice
 (+ )
x
y

0;IIC 
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)
x
y

0;IIIC 
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se define:
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



2
o
2
o
yxr 
Semana N° 04

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo


Propiedad:
Si  es un ángulo en posición normal positivo y
menor que una vuelta entonces se cumple:
Si   I  0 <  < 90º
Si   II  90º<  <180º
Si   III  180º <  < 270º
Si   IV  270º <  < 360º
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son
ángulos frontera.
Forma General
< Cuadrantal = 90º.k ; Zk 
También
<Cuadrantal =
2
k ; Zk 
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó .
2
rad
 según
corresponda; si el resultado de la división es un
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de Ángulos
Cuadrantales
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Se tiene que:
* α y  : son coterminales
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si α y  son coterminales se cumple que:
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2 rad. y si el resultado es un numero entero ,
entonces los angulos son coterminales.
R.T. de Ángulos Negativos:
Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos 
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
COS 1 0 -1 0 1
TAN 0 ND 0 ND 0
COT ND 0 ND 0 ND
SEC 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ;x x
o

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )x x
o o
x
y
I. II.
 - = 360ºn ; n Z
I. II.
 - = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )


3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
¡Muy importante!
PROBLEMA RESUELTOS
1) Si 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃, calcule el radio vector del
punto P.
A)3√2
B)√10
C) √5
D) 3
E) 1
2) Si 𝑃( 3; −√3) pertenece al lado final de
un ángulo en posición normal 𝛼, calcule
√3 𝑠𝑒𝑐𝛼 + 4𝑠𝑒𝑛𝛼
A) 7 B)
3
2
C) 4 D)
√3+2
2
E) 0
3) Si el área del cuadrado ABCD es 25 𝑢2
,
calcule 5𝑐𝑜𝑡𝜃 – 8𝑡𝑎𝑛𝜃.
A) 5
B) 2
C) 4
D) 3
E) 1
4) Determine el signo de las expresiones.
𝐼. 𝑠𝑒𝑛200º · 𝑐𝑜𝑠280º
𝐼𝐼. 𝑡𝑎𝑛300º · 𝑐𝑠𝑐230º
𝐼𝐼𝐼. 𝑐𝑜𝑡(– 10º) · 𝑐𝑜𝑠(– 20º)
A) –; +; + B) +; +; – C) –; –; +
D) –; +; – E) +; –; +
5) En el gráfico 𝐴𝑀 = 𝑀𝑃, calcule 𝑠𝑒𝑐𝛼.
A) – √13
B) – 4
C) – 2
D) −
2√3
√13
E)−
√39
6
6) En el gráfico, calcule 𝑠𝑒𝑐𝛼 + 𝑡𝑎𝑛𝛽.
A) 1/2
B) 2
C) – 2/3
D) –1/2
E) – 2
7) En el gráfico, ABCD es un rombo y
𝐴𝑀 = 𝑀𝐷, calcule 𝑐𝑜𝑡𝛽.
A)
18
5
B)
3
8
C)
14
3
D)
3
14
E)
8
3
8) Siendo 𝛼 un ángulo en posición normal,
tal que se cumple 𝑐𝑜𝑡𝛼 =
2√3
3
𝑦 𝑠𝑒𝑛𝛼 < 0.
Calcule 2𝑆𝑒𝑐𝛼 + √7
A) 0 B) −√7 C)2√7 D)2√21 E)3√7
9) De la condición 169 𝑠𝑒𝑛2
𝜃– 25 = 0;
𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶 Calcule 12𝑡𝑎𝑛𝜃 + 13𝑐𝑜𝑠𝜃.
A) – 7 B) –17 C) 7 D) 17 E) 0
10) Si 𝛼 𝑦 son ángulos cuadrantales
positivos y menores a una vuelta que
cumplen
𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝛼 – 𝑐𝑠𝑐𝛽 = 0
𝐼𝐼. 𝛼 < 𝛽
Calcule
2𝑠𝑒𝑐𝛼−𝑠𝑒𝑛𝛽
2𝑠𝑒𝑛𝛼+4
A)
1
6
B) −
3
2
C) −
1
4
D)−
1
2
E) −
1
3
Y
X
Q(–b;a)
P(a;b)
R(–a; b)–
M(b;–a)

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
11) Del gráfico mostrado, calcule
𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑐𝛼.
A) 1/2
B) 1/5
C) 2/5
D) 12/13
E) 13/5
12) Del gráfico mostrado, calcule el valor
de√6(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
A) – 1 − √5
B) √5
C) 1 + √5
D) – 1 + √5
E) 1 − √5
13) Del gráfico, calcule 2𝑠𝑒𝑐𝜃.
A) − √13
B) − √5
C) – 3
D) –13
E) – 5
14) Del gráfico mostrado, calcule el valor
de 3𝑠𝑒𝑛𝜃 + √5𝑡𝑎𝑛𝜃 .
A) 4
B) – 4
C) 0
D) – 2
E) 2
15) Del gráfico, 𝐴𝐵 = √ 58. Calcule el valor
de 𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝜃.
A) 4
B) 3
C) 5
D) 2
E) 6
16) En el gráfico, ABCD es un rombo. Si
𝑂𝐴 = 3 𝑦 𝐶𝑃 = 𝑃𝐷, calcule el radio
vector del punto P.
A)
√183
2
B)
√185
2
C)
13
2
D)
√173
2
E)
√170
2
17) En el gráfico, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Calcule 𝑐𝑜𝑡𝛽.
A) −
2√3
3
B) −
3
2
C) −
√3
2
D)
5
3
E) −
2
3
18) En el gráfico, OABC es un cuadrado y
B(3; 5).Calcule √17𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑡𝑎𝑛 𝜃
A) – 5
B) – 4
C) – 3
D) 3
E) 5
19) Si 𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + 𝐶𝑜𝑠2
𝛽 = 0, 𝛼 𝑦 𝛽 son
ángulos cuadrantales positivos y
menores que una vuelta, calcule
𝑠𝑒𝑐𝛼+𝑐𝑜𝑡𝛽
𝑠𝑒𝑛(𝛽−𝛼)
A) 2 B) – 2 C) +1 D) –1 E) ±1
20) Del gráfico mostrado, AOB es un
cuadrante y PF=FH. Calcule 𝑡𝑎𝑛𝛼.
A) −
3
4
B) −
2
3
C) −
3
2
D) −
4
3
E) −
1
2