El documento describe los coeficientes de correlación de Pearson y Spearman. El coeficiente de Pearson mide la relación lineal entre dos variables cuantitativas, mientras que el coeficiente de Spearman mide la asociación monótona entre dos variables, incluso si la relación no es lineal. Ambos coeficientes oscilan entre -1 y 1, donde valores cercanos a 1 indican una fuerte correlación positiva y valores cercanos a -1 indican una fuerte correlación negativa.

1. Barcelona, Enero de 2016
Anderson Subero:25.786.992Prof. Pedro Beltrán

2. El Coeficiente de Correlación de Pearson es una medida de la relación lineal
entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la
correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las
variables.
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de
Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de
dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.
En el caso de que se esté estudiando dos variables aleatorias x e y sobre
una población; el coeficiente de correlación de Pearson se simboliza con la
letra , siendo la expresión que nos permite calcularlo:

3. Donde;
es la covarianza de (X,Y)
es la desviación típica de la variable X
es la desviación típica de la variable Y
De manera análoga podemos calcular este coeficiente sobre un estadístico
muestral, denotado como a:

4.  Requiere datos de cantidad solo del
periodo base.
 Es un índice de fácil ejecución e,
igualmente, de fácil interpretación.
 los resultados del coeficiente de
correlación están acotados entre -1 y
+1. Esta característica nos permite
comparar diversas correlaciones de
una manera más estandarizada.
 No refleja cambios en los patrones
de compra conforme pasa el
tiempo y para las cantidades
grandes de información , este
método puede ser tedioso.
 Se limita significativamente si no se
afirma con una cierta probabilidad,
que es diferente de cero.

5. Uno de los enfoques de pearson fue el test de hipótesis o prueba de significación, es
un procedimiento para juzgar si una propiedad que se supone en una Población
estadística es compatible con lo observado en una muestra de dicha población. Fue
iniciada por Ronal Fisher y fundamentada posteriormente por Jerzy Neyman y Karl
Pearson
Mediante esta teoría, se aborda el problema estadístico considerando una hipótesis
determinada y una hipótesis alternativa , y se intenta dirimir cuál de las dos es la
hipótesis verdadera, tras aplicar el problema estadístico a un cierto número de
experimentos.
Está fuertemente asociada a los considerados errores de tipo I y II en estadística, que
definen respectivamente, la posibilidad de tomar un suceso falso como verdadero, o
uno verdadero como falso.
Existen diversos métodos para desarrollar dicho test, minimizando los errores de tipo
I y II, y hallando por tanto con una determinada potencia, la hipótesis con mayor
probabilidad de ser correcta. Los tipos más importantes son los test centrados, de
hipótesis y alternativa simple, aleatorizados, etc. Dentro de los tests no paramétricos,
el más extendido es probablemente el test de la U de Mann-Whitney.

6. En la perspectiva de Pearson, para establecer el nivel de significación estadística habría que atender
al impacto de cada tipo de error en el objetivo del investigador, y a partir de ahí se decidiría cuál de
ellos es preferible minimizar.
Pearson llamaron alfa al error tipo I y beta al error tipo II; a partir de este último tipo de error,
introdujeron el concepto de “poder de una prueba estadística”, el cual se refiere a su capacidad para
evitar el error tipo II, y está definido por 1-beta, y en estrecha relación con éste se ha desarrollado el
concepto de “tamaño del efecto” que algunos han propuesto como sustituto de los valores p en los
informes de investigación científica.
Las pruebas paramétricas más conocidas y usadas son la prueba T de Student, la prueba F, llamada
así en honor a Fisher, y el coeficiente de correlación de Pearson, simbolizado por r.

7. El Coeficiente de Correlación de Spearman, ρ (rho) es una medida de la correlación (la
asociación o interdependencia) entre dos variables aleatorias continuas. Para calcular ρ, los
datos son ordenados y reemplazados por su respectivo orden.
El estadístico ρ viene dado por la expresión:
El coeficiente de correlación de Spearman es menos sensible que el de Pearson para los
valores muy lejos de lo esperado. En este ejemplo: Pearson = 0.30706 Spearman =
0.76270

8. Donde D es la diferencia entre los correspondientes estadísticos de orden de x -
y. N es el número de parejas.
Se tiene que considerar la existencia de datos idénticos a la hora de ordenarlos,
aunque si éstos son pocos, se puede ignorar tal circunstancia.
Para muestras mayores de 20 observaciones, podemos utilizar la siguiente
aproximación a la distribución t de Student

9. La interpretación de coeficiente de Spearman es igual que la del coeficiente de
correlación de Pearson. Oscila entre -1 y +1, indicándonos asociaciones
negativas o positivas respectivamente, 0 cero, significa no correlación pero no
independencia.
La correlación estimada entre X e Y se halla calculando el coeficiente de
correlación de Pearson para el conjunto de rangos apareados.
La correlación de Spearman puede ser calculada con la fórmula de Pearson,
si antes hemos transformado las puntuaciones en rangos.

10. Para aplicar el coeficiente de correlación de Spearman se requiere que las
variables estén medidas al menos en escala ordinal, es decir, de forma que las
puntuaciones que las representan puedan ser colocadas en dos series
ordenadas
A veces, este coeficiente es denominado por la letra griega ρs (rho), aunque
cuando nos situamos en el contexto de la Estadística Descriptiva se emplea la
notación rs
La fórmula de cálculo para rs puede derivarse de la utilizada en el caso de rxy;
bastaría aplicar el coeficiente de correlación de Pearson a dos series de
puntuaciones ordinales, compuestas cada una de ellas por los n primeros
números naturales
Donde d es la distancia existente entre los puestos que ocupan las
puntuaciones correspondientes a un sujeto i cuando estas puntuaciones han
sido ordenadas para X y para Y.

11. Pueden ser aplicados a una amplia variedad
porque ellos no tienen los requisitos rígidos de
los métodos paramétricos correspondientes.
No requieren poblaciones normalmente
distribuidas.
Pueden frecuentemente ser aplicados a datos
no numéricos, tal como el género de los que
contestan una encuesta.
Al ser Spearman una técnica no paramétrica
es libre de distribución probabilística.
Tienden a perder información porque datos
numéricos exactos son frecuentemente
reducidos a una forma cualitativa.
Las pruebas no paramétricas no son tan
eficientes como las pruebas paramétricas, de
manera que con una prueba no paramétrica
generalmente se necesita evidencia más
fuerte (así como una muestra más grande o
mayores diferencias) antes de rechazar una
hipótesis nula.

12. Una generalización del coeficiente de Spearman es útil en la situación en la
cual hay tres o más condiciones, varios individuos son observados en cada una
de ellas, y predecimos que las observaciones tendrán un orden en particular.
Por ejemplo, un conjunto de individuos pueden tener tres oportunidades para
intentar cierta tarea, y predecimos que su habilidad mejorará de intento en
intento.
El coeficiente de correlación de rangos de Spearman debe utilizarse para series
de datos en los que existan valores extremos, pues si calculamos la correlación
de Pearson, los resultados se verán afectados.
La interpretación del resultado del coeficiente de correlación de Spearman se
encuentra entre los valores de -1 y 1.
La significación estadística de un coeficiente debe tenerse en cuenta
conjuntamente con la relevancia clínica del fenómeno que se estudia.