uso de los coeficientes de correlación de Pearson y de Sperman

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO SANTIAGO MARIÑO
INGENIERÍA DE SISTEMAS
SECCIÓN: IV
COEFICIENTES DE CORRELACION DE PEARSON
Y SPEaRMAN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION BARCELONA
Barcelona, Enero de 2016
Orlando Guillen:
24.827.926
Prof. Pedro Beltrán

2. El Coeficiente de Correlación de Pearson es una medida de la relación lineal entre
dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación
de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson
como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos
variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.
En el caso de que se esté estudiando dos variables aleatorias x e y sobre
una población; el coeficiente de correlación de Pearson se simboliza con la letra ,
siendo la expresión que nos permite calcularlo:

3. Donde;
es la covarianza de (X,Y)
es la desviación típica de la variable X
es la desviación típica de la variable Y
De manera análoga podemos calcular este coeficiente sobre un estadístico
muestral, denotado como a:

4. Ventajas
Desventajas
 El valor del coeficiente de correlación
es independiente de cualquier unidad
usada para medir variables.
 Mientras mas grande sea la muestra
mas exacta será la estimación.
 Requiere supuestos acerca de la
naturaleza o formas de las poblaciones
afectadas.
 Requiere que las dos variables hayan ido
medidas hasta un nivel cuantitativo
continuo y que la distribución de ambas
sea semejante a la de la curva normal.

5.  Permite predecir el valor de una variable dado un valor determinado de la otra
variable.
 Se trata de valorar la asociación entre dos variables cuantitativas estudiando el
método conocido como correlación.
 Dicho cálculo es el primer paso para determinar la relación entre las variables.
 Consiste en la posibilidad de calcular su distribución muestral y así poder determinar
su error típico de estimación.
 Reporta un valor de correlación cercano a 0 como un indicador de que no hay
relación lineal entre 2 variables.
 Reporta un valor de correlación cercano a 1 como un indicador de que existe una
relación lineal positiva entre las 2 variables. Un valor mayor a cero que se acerque a
1 da como resultado una mayor correlación positiva entre la información.

6.  La r de Pearson es una medida que indica hasta que punto los mismos
individuos o sucesos ocupan la misma posición relativa a 2 variables.
 La r de Pearson refleja únicamente la relación lineal entre 2 variables.
 Cuando la relación es perfecta positiva, cada individuo obtiene exactamente las
mismas calificaciones en ambas variables.
 Un valor alto positivo alto de r de Pearson indica que cada individuo obtiene,
aproximadamente; las mismas calificaciones en ambas variables.

9. En la perspectiva de Pearson, para establecer el nivel de significación estadística
habría que atender al impacto de cada tipo de error en el objetivo del investigador,
y a partir de ahí se decidiría cuál de ellos es preferible minimizar.
Pearson llamaron alfa al error tipo I y beta al error tipo II; a partir de este último
tipo de error, introdujeron el concepto de “poder de una prueba estadística”, el cual
se refiere a su capacidad para evitar el error tipo II, y está definido por 1-beta, y en
estrecha relación con éste se ha desarrollado el concepto de “tamaño del efecto”
que algunos han propuesto como sustituto de los valores p en los informes de
investigación científica.
Las pruebas paramétricas más conocidas y usadas son la prueba T de Student, la
prueba F, llamada así en honor a Fisher, y el coeficiente de correlación de Pearson,
simbolizado por r.

10. El Coeficiente de Correlación de Spearman, ρ (rho) es una medida de la correlación
(la asociación o interdependencia) entre dos variables aleatorias continuas. Para
calcular ρ, los datos son ordenados y reemplazados por su respectivo orden.
El estadístico ρ viene dado por la expresión:

11. Donde D es la diferencia entre los correspondientes estadísticos de orden de x -
y. N es el número de parejas.
Se tiene que considerar la existencia de datos idénticos a la hora de ordenarlos,
aunque si éstos son pocos, se puede ignorar tal circunstancia.
Para muestras mayores de 20 observaciones, podemos utilizar la siguiente
aproximación a la distribución t de Student

12. La interpretación de coeficiente de Spearman es igual que la del coeficiente de
correlación de Pearson. Oscila entre -1 y +1, indicándonos asociaciones negativas
o positivas respectivamente, 0 cero, significa no correlación pero no
independencia.
La correlación estimada entre X e Y se halla calculando el coeficiente de correlación
de Pearson para el conjunto de rangos apareados.
La correlación de Spearman puede ser calculada con la fórmula de Pearson, si antes
hemos transformado las puntuaciones en rangos.

13.  A partir de un conjunto de n puntuaciones, la formula que permite el calculo
de la correlación entre dos variables X e Y, medidas al menos en escala ordinal,
es la siguiente:
P=0 No hay correlación
p≠ 0 Hay correlación
 Donde d es la distancia existente entre los puestos que ocupan las
puntuaciones correspondientes a un sujeto i cuando estas puntuaciones han
sido ordenadas para X y para Y.

14. Ventajas
Desventajas
 No esta afectada por los cambios en
las unidades de medida.
 Al ser una técnica no parámetra, es
libre de distribución probabilística.
 Es recomendable usarlo cuando los
datos presentan valores extremos, ya
que dichos valores afectan mucho el
coeficiente de correlación de Pearson, o
ante distribuciones no normales.
 r no debe ser utilizado para decir algo
sobre la relación entre causa y efecto.

15.  Para aplicar el coeficiente de correlación de Spearman se requiere que las
variables estén medidas al menos en escala ordinal, es decir; de forma que las
puntuaciones que la representan puedan ser colocadas en dos series
ordenadas.
 A veces, este coeficiente es denominado por la letra griega ρs (rho), aunque
cuando nos situamos en el contexto de la Estadística Descriptiva se emplea la
notación rs.

16.  El Coeficiente de Correlación de Spearman se encuentra siempre comprendido
entre los valores -1 y 1. Es decir, -1 < rs < 1.
 Cuando todos los sujetos se sitúan en el mismo puesto para la variable X y
para la variable Y, el valor de rs es 1. Si ocupan valores opuestos, es decir; al
primer sujeto en X le corresponde el ultimo lugar en Y, al segundo en X le
corresponde el penúltimo en Y, etc. Entonces el valor de rs es -1.

18. Una generalización del coeficiente de Spearman es útil en la situación en la cual
hay tres o más condiciones, varios individuos son observados en cada una de ellas,
y predecimos que las observaciones tendrán un orden en particular. Por ejemplo,
un conjunto de individuos pueden tener tres oportunidades para intentar cierta
tarea, y predecimos que su habilidad mejorará de intento en intento.
El coeficiente de correlación de rangos de Spearman debe utilizarse para series de
datos en los que existan valores extremos, pues si calculamos la correlación de
Pearson, los resultados se verán afectados.
La interpretación del resultado del coeficiente de correlación de Spearman se
encuentra entre los valores de -1 y 1.
La significación estadística de un coeficiente debe tenerse en cuenta
conjuntamente con la relevancia clínica del fenómeno que se estudia.

19. Internet
 Correlación en Wikipedia (español): http://es.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3n
Relación entre variables cuantitativas.
 http://www.fisterra.com/mbe/investiga/var_cuantitativas/var_cuantitativas2.pdf
Correlation en Wikipedia (inglés).
 http://personal.us.es/vararey/adatos2/correlacion.pdf.
 https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_correlaci%C3%B3n_de_Pearson.