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V1 Grado 11 - Página 1 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 11
Lib
ertad y O r
d
en
Por ejemplo: estima el valor de la derivada de sen (x) en x =1
(4 cifras decimales)
La tabla parece indicar que la derivada de
sen (x) en x = 1 es aproximadamente igual a
0,5403.
h
-1
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
-0,00001
0,00001
0,0001
0,001
0,5814
0,8415
0,5445
0,5407
0,5403
0,5403
0,5403
0,5403
0,5399
0,01 0,5361
0,1 0,4974
4 Reconoce la derivada de una función como la función de
razón de cambio instantáneo. Dada la gráfica de una función,
dibuja de manera aproximada la gráfica de la derivada, identifi-
cando claramente los ceros de la derivada y los intervalos donde
ésta es negativa y positiva. Por ejemplo:
5 Conoce las fórmulas de las derivadas de funciones polinomi-
ales, trigonométricas, potencias, exponenciales y logarítmi-
cas y las utiliza para resolver problemas. Por ejemplo, ¿cuál es
el radio de un círculo cuándo su área crece a una razón
instantánea de 20cm2
/cm?
Si dA/dr = 20cm2
/cm entonces 2π r = 20, lo cual quiere decir que
r = 3,18cm. Es decir, cuando r es aproximadamente 3,18cm el área
del círculo crece a una razón (instantánea) de 20cm2
de área por
cada centímetro que crece el radio.
La razón de cambio instantáneo del área es mayor cuando el
radio es mayor. Es decir, entre mayor es el radio del círculo, mayor es
el cambio en el área al incrementar el radio un centímetro.
Comprende que entre cualesquiera dos números reales hay
infinitos números reales. Por ejemplo:1
Estima el tamaño de ciertas cantidades y juzga si los cálculos
numéricos y sus resultados son razonables. Estima el error posible
en un cálculo.
Utiliza unidades de medida para razonar de manera cuantitati-
va y resolver problemas. Por ejemplo:
2
Interpreta la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una
función f(x) en un punto A = (a, f (a)) como el límite de las pendi-
entes de las rectas secantes entre el punto A y puntos sobre la
gráfica que se acercan a A. Es decir, como:
Utiliza esto para estimar la razón de cambio instantánea f'(a)
para un valor particular de a.
razón de cambio
instantánea de f en a
pendiente = razón de
cambio promedio
pendiente = f’(a)
pendiente de la
tangente en A
3
Justifica que el promedio de dos números se encuentra exacta-
mente en la mitad de los dos.
La mitad de la longitud del
segmento AB.
Encuentra un número entre dos números dada su expansión
decimal. Por ejemplo, encuentra un número entre 2 y 1,415.
La expansión decimal de 2 es 1,414213..., así que 2<1,145, El
número 1,41 es menor que 2, luego no está entre los dos. El
número 1,42 no está entre los dos porque es mayor que 1,415.
Un posible número entre los dos es 1,4143:
Una aplicación que recolecta datos sobre un recorrido en
bicicleta proporciona la siguiente información:
Paso promedio = 4 min/km.
¿Cuál es el significado de paso promedio? ¿Cuál era la veloci-
dad promedio en m/s?
Según las unidades y el contexto, el paso promedio es el tiempo
que demora en recorrer un kilómetro. Así, la velocidad promedio
es:
A + B
2
A +=
A + B
2
A B
B — A
2
1,41 2 1,4143 1,415 1,42< < < <
distancia
tiempo
velocidad 4,17m/s== 1km
240s
= 1000m
240s
≈
f (a + h) — f (a)
h
límh→0
f (a + h) — f (a)
h=
f (a + h) — f (a)
f (x)
f (a + h) — f (a)
h
límh→0
4 min 4 x 60 segundos=
= =
a
x
A
P
h
a + h
f (x)
a
x
A
P
P
P
P
P
PP
P
x
sen(1+h) — sen (1)
h
m 0>
m 0>
m 0<
m 0=
m pendiente=
m 0=
y = f (x)
y = f’(x)
f decrece en
este intervalo
pendiente
negativa
f’ negativa
f’ es cero pues
la pendiente
de la tangente
a la gráfica de
f es horizontal.
f’ es positiva
pues las
pendientes de
las tangentes de
la gráfica de f
son positivas.
A π r2
= 2π r=dA
dr
pendiente ≈ 0,5403
sen(1)
V1 Grado 11 - Página 2 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 11
Lib
ertad y O r
d
en
6
7 Analiza algebraicamente funciones racionales y encuentra su
dominio y sus asíntotas. Por ejemplo:
8 Reconoce las propiedades básicas que diferencian las familias
de funciones exponenciales, lineales, logarítmicas, polinómicas,
etc. e identifica cuáles puede utilizar para modelar situaciones
específicas. Por ejemplo:
Utiliza la familia de funciones f(x) = a•sen(bx)+c para modelar
fenómenos periódicos reconociendo las nociones de periodo,
frecuencia y amplitud.
El nivel de agua que se recolecta en un tanque oscila de forma
sinusoidal cada 24 horas. Si la altura mínima es de 2m y la máxima es
de 6m, ¿cuál es una posible fórmula para encontrar el nivel de agua
en función del tiempo en horas?
se comporta para valores
grandes de x como la función:
Dominio: (-∞, 3/2) U (3/2, ∞)
Rango: (- ∞, -1) U (-1, ∞)
no puede ser 0
asíntota
vertical
asíntota
horizontal
Cuando han transcurrido s
se han suministrado 0,6 ml
f (t)
h (t) 0 t
g (t)
función lineal
función exponencial
≤ ≤
t
1
2
>
= 1
2
0,6
0 1
2
1
2
0,6( ),
Cantidad del
medicamento
Tiempo (en segundos)
1
1
2
f (t)
1,2 t 0 t
0,61 (0,98)t
≤ ≤
t
1
2
>
= 1
2
=x
2x+3
-2x+3y=
2x+3
-2x+3
y=
2x+3
-2x+3y=
asíntota
vertical
y = -1
asíntota
horizontal 2xy≈ -1-2x
2= =-2
x 3= 2
a 2=
c 4=
6
4
2
12 24
f(x) 2sen 4
(
(= xπ
+
12
b= π2
periodo = π2
24
= π
12
Altura en metros
Tiempo
periodo
La gráfica que aparece a continuación muestra la cantidad de
personas infectadas por un virus:
Como el número de personas
infectadas parece estabilizarse,
la relación entre el número de
personas infectadas y el tiempo
transcurrido no se puede
modelar con una función
polinómica pues éstas crecen o
decrecen indefinidamente y esto
no se ajusta a la situación real.
Halla la inversa de la función
f(x) = 3x + 1.
Para llegar de x a f(x), primero se
multiplica por 3, luego suma 1. Por
lo tanto, para revertir el proceso,
primero se resta 1, luego se divide
por 3.
f(x) = x2
no es invertible en todos los reales, pero sí lo es por
ejemplo en el intervalo [0,∞)
cuando el dominio de f (x) se
restringe a [0,∞)
cuando el dominio de f (x) se
restringe a (-∞,0]
Tiempo (en días)
Número de personas infectadas
(en cientos de personas)
10
70
8
20 30 40 50
9 Reconoce cuándo una función tiene o no una función inversa.
Determina la inversa de una función f(x) en un intervalo en el cual es
invertible y la reconoce como el proceso de revertir las opera-
ciones que llevan de x a f(x). Por ejemplo:
f(x) = 3x + 1
f-1
(x) =
x 3x+13x
x3 +1
÷3 -1
3
x — 1
(-1,-2)
(-2,-1)
x—1f-1
(x)=
f(x)= 3x + 1
f(x)= x2
f-1
(x)= x
y = x2
si x ≥ 0
si x ≤ 0
y = x2
= |x|
y = 3x + 1
y— 1 = 3x
= x
y= x
3
y—1
3
y = x
y = -x
- y =x
f-1
(x)=- x
Para la función h (t) tenemos los puntos (0,0) y (½ , 0,6), con ellos
encontramos que su pendiente es 1,2 ml/s y su corte con el eje vertical
en 0. Entonces: h(t) = 1,2t
Para la función exponencial tenemos que g(t) = kat
y como la
cantidad de droga decrece a una tasa 2% por segundo, tenemos
que a = 1— 0,02 = 0,98 (reducir en 2% cada segundo corresponde a
multiplicar por 0,98 cada segundo).
Así, g(t) = k(0,98)t
. Para averiguar k, reemplazamos en la fórmula
anterior los valores de t y g(t) en el punto (½ , 0,6) y se obtiene que
k= 0,6/ 0,98 0,61. Entonces: g (t) = 0,61(0,98)t
≈
-2x+3 = 0
3
2
3
2
Modela situaciones haciendo uso de funciones definidas a
trozos. Por ejemplo: Una dosis de 0,6ml se inyecta a un paciente
durante medio segundo a una tasa constante. Al final de este tiempo,
la cantidad C de droga en el paciente comienza a decaer a una
tasa de 2% por segundo.
Escribe una función que modela la cantidad de droga en el cuerpo
del paciente luego de t segundos.
La función f (t) que modela la situación es una función a trozos.
Cuando t [0 , ½] se comporta como una función lineal h(t) y
cuando t > ½ se comporta como una función exponencial decre-
ciente g(t).
V1 Grado 11 - Página 3 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 11
Lib
ertad y O r
d
en
Conoce las funciones trigonométricas inversas (arcoseno,
arcocoseno y arcotangente) junto con sus gráficas, dominio y
rango. Comprende que para definir las funciones trigonométricas
inversas es necesario restringir el dominio de las funciones
trigonométricas. Así mismo, conoce la selección de dominio y rango
utilizada mundialmente. Utiliza esta comprensión para encontrar otros
ángulos con el mismo seno, coseno o tangente aparte del valor que
da la calculadora.
1O
Soluciona ecuaciones trigonométricas simples en un intervalo
dado (utilizando calculadoras, las gráficas relacionadas, o el círculo
unitario). Por ejemplo, soluciona la ecuación cos(α) = - 0,78
Hay infinitas soluciones:
respuesta de la
calculadora
otra solución
218,73°
1
1
-0,78
141,26°
x2
+ y2
= 1
cos(α) = - 0,78
α = cos-1
(-0,78)
α ≈ 141,26°
α ≈ 218, 73°
Todos los rayos de luz que emanan
del foco, salen paralelos al eje de
simetría al reflejarse sobre la parábola.
Conoce las propiedades geométricas que definen distintos
tipos de cónicas (parábolas, elipses e hipérbolas) en el plano y
las utiliza para encontrar las ecuaciones generales de este tipo
de curvas. Por ejemplo, una elipse es el conjunto de puntos cuya
distancia a un foco más la distancia al otro foco es siempre la misma.
Conoce algunas aplicaciones de las curvas cónicas. Por ejemplo:
las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas con el sol en
uno de sus focos. Las parábolas se utilizan para crear la parte reflecti-
va de las linternas.
11
a
b
foco foco
+ =
x2
a2
y2
1
b2
Utiliza los sistemas de coordenadas espaciales cartesiano y
esférico para especificar la localización de objetos en el espa-
cio. Por ejemplo, tomando como centro de sistema de coordenadas
el cruce de las diagonales del piso de su salón de clase, determina
cuáles serían las coordenadas del bombillo de la clase usando por lo
menos dos sistemas de coordenadas y justifica la respuesta.
12
Razona geométrica y algebraicamente para resolver
problemas y para encontrar fórmulas que relacionan
magnitudes en diversos contextos. Por ejemplo:
¿Cuál de los dos cilindros que se pueden formar a partir de
una hoja rectangular tiene mayor volumen?
Conclusión: si a > b entonces V1
> V2
13
a
a
b
b
r
a = 2πR
b =2πr r = b
2π
R
R = a
2π
2π
=V1
= πR2
x b = π x b =
(
(a 2
4π
a2
b
4π
aba x
2π
=V2
= πr2
x a = π x a =
(
(b 2
4π
b2
a
4π
ab
b x
Encuentra la fórmula para el volumen de una tuerca hexago-
nal con lado d y orificio interno de radio r.
3 3
Utiliza y contrasta diversas estrategias para modelar y
resolver un problema y justifica su solución.
Volumen tuerca =
Volumen del
orificio cilíndrico
Volumen del prisma
hexágonal —dh
Volumen del prisma = Área del hexágono x altura
Área del
hexágono
6 x= Área del triángulo equilátero de lado d
Área del
triángulo
base x altura
2
d x d
2
=
Así, Área hexágono
r
d
h
Área
d2
2
d 2
(
(- d
4
3d2
2
3
= =
por el teorema
de Pitágoras
altura =d
d
d
b
6 x= =
=
2
3
4
3 d2
=
4
3d2
2
d2
2
3 3d2
x hVolumen prisma
hexagonal =
2
3 3 d2
x h- πr2
hVolumen tuerca =
60°
60°
Los triángulos son equiláteros porque son
isósceles y el ángulo interno mide 60° (lo cual
implica que los otros dos también miden 60°)
V1 Grado 11 - Página 4 de 5
DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 11
Lib
ertad y O r
d
en
Utiliza nociones básicas relacionadas con el manejo y recolec-
ción de información como población, muestra y muestreo
aleatorio. Por ejemplo, realiza una muestra aleatoria en su escuela
para determinar quién será el ganador de un premio que se otorgará
a un estudiante escogido por los alumnos de los grados 8 a 11. Parte
de que las inferencias sobre la población (que en este caso son los
alumnos de los grados 8 a 11) sólo son válidas si la muestra es
representativa y tiene en cuenta las siguientes preguntas: ¿Cómo
elegir estudiantes de cada grado de manera aleatoria y cuántos
elegir? ¿Qué gráficas va a realizar para visualizar los resultados? ¿Qué
herramientas va a usar para analizarlos y hacer predicciones?
14
Conoce el significado de la probabilidad condicional y su
relación con la probabilidad de la intersección:
P(A/B) = P(A∩B) / P(B). Utiliza la probabilidad condicional para
hacer inferencias sobre muestras aleatorias. Por ejemplo: Realiza
una encuesta a una muestra de estudiantes en los grados 10 y 11 de
su escuela y recolecta información sobre su grado y su materia favorita
entre español y matemáticas:
15
A partir de estos datos, determina la probabilidad condicional de
que un estudiante tomado al azar (no necesariamente perteneciente
a la muestra), cuya materia preferida es matemáticas, esté en décimo
grado.
6 8 14
5 11
12 13 25
Grado 10 Grado 11
Español
Matemáticas
Total
Total
6
La probabilidad de que esté en décimo grado dado que su materia
preferida es matemáticas es 54,5%.
P(B|A) = 54,5%
P(A)
=
P(A B)
11/25
6/25
= ≈
6
11
P(A) = 11/25
P(B) = 12/25
P(A B) = 6/25
A: Materia preferida matemáticas.
B: Grado 10 U
U
6
Determina si dos eventos son dependientes o independientes
utilizando la noción de probabilidad condicional. Por ejemplo:
Para evaluar la efectividad de un pesticida se hace un estudio de su
efectividad en un cultivo de 900 plantas. A un tercio de éstas (300
plantas) se las trata con el pesticida y al resto se deja sin tratamiento.
Al cabo del estudio se recolectan los siguientes resultados:
16
120 180
240 480 720
300 600 900
Recibió
tratamiento
Infestada
No infestada
Total
No recibió
tratamiento Total
60
Según el estudio, ¿el pesticida fue efectivo?
Para decidir si el pesticida fue efectivo define los eventos:
A: la planta fue infestada.
B: la planta recibió tratamiento.
Según la tabla:
Como P(B|A) = P(B), concluye que los eventos A y B son
independientes (pues la ocurrencia de uno no influye en la
ocurrencia del otro). Afirma que el estudio indica que el pestici-
da no fue efectivo.
• P(B|A) =
P(A)
=
P(A B)
1/15
1/15
=
1
3
• P(A) =
180
900
=
1
5
P(A B) =
60
900
=
1
15
60
Reconoce la desviación estándar como una medida de
dispersión de un conjunto de datos. En particular, para datos
que tienen una distribución aproximadamente simétrica (en
"forma de campana"), conoce el hecho de que alrededor del
68% de los datos se encuentra a menos de una desviación
estándar de la media (promedio) y casi la totalidad de los
datos se encuentran a menos de dos desviaciones estándar de
la media.
17
m = media
σ = desviación estándar
aprox. 68%
de los datos
m — σ m + σm
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
81
1.
Utiliza las propiedades de los números (naturales,
enteros, racionales y reales) y sus relaciones
y operaciones para construir y comparar los
distintos sistemas numéricos.
Evidencias de aprendizaje
m	Describe propiedades de los números y las
operaciones que son comunes y diferentes en
los distintos sistemas numéricos.
m	Utiliza la propiedad de densidad para justificar la
necesidad de otras notaciones para subconjuntos
de los números reales.
m	Construye representaciones de los conjuntos
numéricos y establece relaciones acorde con
sus propiedades.
Ejemplo	
Un profesor presenta a sus estudiantes las siguientes
imágenes:	
El profesor pregunta a sus estudiantes:
¿Cuáles aspectos en común tienen las tres
representaciones? A la pregunta Federico
respondió: “Las tres representan lo mismo, están
hablando de los números mayores que cinco”.
Sara dijo “Federico, en parte, tiene razón; pero los
conjuntos no son los mismos”. Luego, el profesor
agregó: “¡Muy bien Sara! Entonces si no son los
mismos conjuntos, ¿cuáles serían sus diferencias?,
¿Podrías describirme esos conjuntos?” 	
Finalmente, Carolina después de todo el trabajo
dijo: “Yo no he podido entender una cosa, ¿Por
qué no es válido que yo diga que de cinco siga
el 5.1 o el 5.01? 	
Discute la veracidad de las afirmaciones de Sara
y Federico. Ofrece una respuesta a la pregunta
de Carolina.
2.
Justifica la validez de las propiedades de
orden de los números reales y las utiliza para
resolver problemas analíticos que se modelen
con inecuaciones.
Evidencias de aprendizaje
m	Utiliza propiedades del producto de números
Reales para resolver ecuaciones e inecuaciones.
m	Interpreta las operaciones en diversos dominios
numéricos para validar propiedades de
ecuaciones e inecuaciones.
Ejemplo	
“Ana una estudiante de undécimo decide resolver
una inecuación como se muestra en la siguiente
figura:
Matemáticas • Grado 11º
0 5 10 15 20 25 30
Matematicas DBA_Final.indd 81 12/10/16 3:39 p.m.
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
82	
Ana argumenta que para resolver la inecuación,
todo lo que está sumando al lado izquierdo se
pasa a restar al lado derecho y posteriormente,
realiza las operaciones. Luego, termina
su ejercicio de la siguiente manera: dice que
para despejar la x pasa a multiplicar el 3 a
ambos lados”. 	
Analiza los procedimientos propuestos por la
estudiante de la situación anterior y valida su
solución. En caso de encontrar algún error,
construye una nueva solución.
3.
Utiliza instrumentos, unidades de medida, sus
relaciones y la noción de derivada como
razón de cambio, para resolver problemas,
estimar cantidades y juzgar la pertinencia de
las soluciones de acuerdo al contexto.
Evidencias de aprendizaje
m	Reconoce magnitudes definidas como razones
entre otras magnitudes.
m	Interpreta y expresa magnitudes como velocidad
y aceleración, con las unidades respectivas y las
relaciones entre ellas.
m	Utiliza e interpreta la derivada para resolver
problemas relacionados con la variación y la
razón de cambio de funciones que involucran
magnitudes como velocidad, aceleración,
longitud, tiempo.
m	Explica las respuestas y resultados en un problema
usando las expresiones algebraicas y la pertinencia
de las unidades utilizadas en los cálculos.
Ejemplo	
Desde la terraza de un edificio con una altura (ho
)
de 40 metros, se lanza un balón verticalmente
hacia arriba con una velocidad inicial (Vo
) de
19m/s. La altura H que alcanza el balón en un
tiempo t (en segundos) se puede calcular con
la expresión. 	
H=-4,9t2
+Vo
t + ho	
Discute el significado y las unidades del número
-4,9. Explica la relación entre las unidades de
las magnitudes involucradas en la expresión
para calcular la altura, de manera que ésta
quede expresada en metros. Explica por qué la
velocidad se expresa en m/s y la aceleración
en m/s2
. Explica el sentido de la afirmación “la
expresión para H representa la gráfica de una
parábola en el sistema de coordenadas H contra
t, pero el movimiento de caída libre puede ser
vertical cuando se suelta un objeto desde cierta
altura”.
Matemáticas • Grado 11º
Matematicas DBA_Final.indd 82 12/10/16 3:39 p.m.
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
83
4.
Interpreta y diseña técnicas para hacer
mediciones con niveles crecientes de precisión
(uso de diferentes instrumentos para la misma
medición, revisión de escalas y rangos de
medida, estimaciones, verificaciones a través
de mediciones indirectas).
Evidencias de aprendizaje
m	Interpreta la rapidez como una razón de cambio
entre dos cantidades.
m	Justifica la precisión de una medición directa o
indirecta de acuerdo con información suministrada
en gráficas y tablas.
m	Establece conclusiones pertinentes con respecto
a la precisión de mediciones en contextos
específicos (científicos, industriales).
m	Determina las unidades e instrumentos adecuados
para mejorar la precisión en las mediciones.
m	Reconoce la diferencia entre la precisión y la
exactitud en procesos de medición.
Ejemplo	
En una fábrica se requiere cortar láminas de
acero para fabricar piezas de diferentes formas
(cilindros, conos truncados, pirámides truncadas,
prismas, etc). Los cortes de dichas láminas se
realizan con “discos de corte” acoplados a una
máquina pulidora. Para establecer la eficiencia
de un mecánico industrial al hacer los cortes,
se toman los datos que aparecen en la tabla
(la longitud de la lámina cortada se mide con
un flexómetro en mm; el tiempo se mide con
un cronómetro en minutos, el procedimiento se
realiza para 4 discos de la misma marca y el
mismo diámetro).	
Los datos fueron tomados en un contexto real de la
industria. 	
Determina la rapidez media con la que el
mecánico corta las láminas. De acuerdo con
el gráfico determina la precisión de la rapidez
media del mecánico para cortar las láminas.	
Identifica y explica los factores que influyen en
la precisión de la rapidez del mecánico para
realizar los cortes, y propone técnicas para medir
con mayor precisión la rapidez del mecánico al
cortar las láminas.
Disco	 Rendimiento productivo:	 Tiempo
Longitud de Lámina cortada (mm) (min)
1			 2060		 2.23
2			 2070		 2.45
3			 2030		 2.17
4			 2080		 2.65
Matemáticas • Grado 11º
Matematicas DBA_Final.indd 83 12/10/16 3:39 p.m.
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
84
6.
Modela objetos geométricos en diversos
sistemas de coordenadas (cartesiano, polar,
esférico) y realiza comparaciones y toma
decisiones con respecto a los modelos.
Evidencias de aprendizaje
m	Reconoce y utiliza distintos sistemas de
coordenadas para modelar.
m	Compara objetos geométricos, a partir de puntos
de referencia diferentes.
m	Explora el entorno y lo representa mediante
diversos sistemas de coordenadas.
Ejemplo	
La naturaleza tiene formas curvas que revelan
regularidades geométricas muy hermosas. Algunas
de ellas se perciben en las flores, las mariposas,
los caracoles y otros animales o plantas como
se aprecia en las siguientes imágenes.	
Con el apoyo de un software matemático o de
papel milimetrado, realiza una representación
aproximada de cada una de las formas que
se presentan en los diferentes sistemas de
coordenadas.	
Tomado y modificado de Pérez, N. J. C., & Gutiérrez, R.
W. S. (2012). Coordenadas polares: curvas maravillosas.
En Blanco y Negro, 1(1), 1-27. http://ezproxybib.pucp.
edu.pe/index.php/enblancoynegro/article/view/2191
5.
Interpreta la noción de derivada como razón
de cambio y como valor de la pendiente
de la tangente a una curva y desarrolla
métodos para hallar las derivadas de algunas
funciones básicas en contextos matemáticos
y no matemáticos.
Evidencias de aprendizaje
m	Relaciona la noción derivada con características
numéricas, geométricas y métricas.
m	Utiliza la derivada para estudiar la covariación
entre dos magnitudes y relaciona características
de la derivada con características de la función.
m	Halla la derivada de algunas funciones empleando
métodos gráficos y numéricos.
Ejemplo	
Cuando un atleta recorre cierta distancia se
puede suponer que su velocidad no es constante,
que a partir del momento en que sale empieza
a aumentar su velocidad hasta un pico máximo
y que disminuye progresivamente hasta el final.
Si se admite que la ecuación 	
F(t) = 0.00192t(250– t) 	
Representa la distancia recorrida por el atleta
en metros cuando lleva t segundos.	
Averigua la distancia que ha recorrido cuando
alcanza la mayor velocidad. 	
Usa la derivada para construir un argumento.
Matemáticas • Grado 11º
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Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
85
7.
Usa propiedades y modelos funcionales
para analizar situaciones y para establecer
relaciones funcionales entre variables que
permiten estudiar la variación en situaciones
intraescolares y extraescolares.
Evidencias de aprendizaje
m	Plantea modelos funcionales en los que identifica
variables y rangos de variación de las variables.
m	Relaciona el signo de la derivada con
características numéricas, geométricas y métricas.
m	Utiliza la derivada para estudiar la variación y
relaciona características de la derivada con
características de la función.
m	Relaciona características algebraicas de las
funciones, sus gráficas y procesos de aproximación
sucesiva.
Ejemplo	
Una araña ubicada en una esquina quiere cazar
a una mosca que está ubicada en la esquina
inferior izquierda de una caja cúbica cuyo lado
mide un metro. La araña usará un camino recto
señalado en línea punteada. Encuentra el camino
más corto que ha de seguir la araña para llegar
hasta la mosca.
Matemáticas • Grado 11º
dy
dx
dy
dx
8.
Encuentra derivadas de funciones, reconoce
sus propiedades y las utiliza para resolver
problemas.
Evidencias de aprendizaje
m	Utiliza la derivada para estudiar la variación y
relaciona características de la derivada con
características de la función.
m	Relaciona características algebraicas de las
funciones, sus gráficas y procesos de aproximación
sucesiva.
m	Calcula derivadas de funciones.
Ejemplo[1]	
Un avión vuela a una altitud H cuando comienza
su descenso a una pista de aeropuerto que está
a una distancia L del avión, con respecto al
suelo, como se muestra en la figura. Asume que
la trayectoria de aterrizaje se representa con
la gráfica de una función polinomial cúbica
y= ax3
+bx2
+ cx +d, donde y(-L)=H, y(0)=0. 	
Encuentra el valor de en x=0 y el valor de
d y en x=-L?
dx	
Utiliza los valores de en x=0 y en x=-L junto 	
con y(0)=0 y y(-L)=H para mostrar que
y(x)=H 2(x)3
+3(x)2
L L	
[1]
Tomado de Cálculo de una variable. Finney, Demana,
Waits y Kennedy. Prentice Hall Segunda Edición. 2000.
dy
en x=-L?
dx
Matematicas DBA_Final.indd 85 12/10/16 3:39 p.m.
Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2
86
9.
Plantea y resuelve situaciones problemáticas
del contexto real y/o matemático que implican
la exploración de posibles asociaciones o
correlaciones entre las variables estudiadas.
Evidencias de aprendizaje
m	En situaciónes matemáticas plantea preguntas
que indagan por la correlación o la asociación
entre variables.
m	Define el plan de recolección de la información,
en el que se incluye: definición de población y
muestra, método para recolectar la información
(encuestas, observaciones o experimentos
simples), variables a estudiar.
m	Elabora gráficos de dispersión usando software
adecuado como Excel y analiza las relaciones
que se visibilizan en el gráfico.
m	Expresa cualitativamente las relaciones entre las
variables, para lo cual utiliza su conocimiento de
los modelos lineales.
m	Usa adecuadamente la desviación estándar,
la media el coeficiente de variación y el de
correlación para dar respuesta a la pregunta
planteada.
Ejemplo	
En un artículo de ciencias se afirma que: “los
antropólogos y los paleontólogos usan las
longitudes de los huesos fósiles largos como el
fémur y el húmero para calcular la estatura del
10.
Plantea y resuelve problemas en los que
se reconoce cuando dos eventos son o
no independientes y usa la probabilidad
condicional para comprobarlo.
Evidencias de aprendizaje
m	Propone problemas a estudiar en variedad de
situaciones aleatorias.
m	Reconoce los diferentes eventos que se proponen
en una situación o problema.
m	Interpreta y asigna la probabilidad de cada
evento.
m	Usa la probabilidad condicional de cada evento
para decidir si son o no independientes.
Ejemplo	
Los resultados de la encuesta realizada
con personas entre 14 a 17 años de edad,
seleccionadas al azar, se presentan en la siguiente
tabla:
		
Plantea una pregunta sobre la relación entre las
dos variables que se presentan en la tabla, indica
si las dos variables (género y preferencia) son o
no independientes y da respuesta a la pregunta
planteada.
ìLos ant ropÛlogos y los
paleontÛlogos usan las
longitudes de los huesos
fÛsiles largos como el
fÈmur y el h˙me ro para
calcular laestatura del
individuo en estudioî.
CIENTIFÕCARevista
8
9
individuo en estudio”. Diseña y lleva a cabo un
estudio estadístico para comprobar si se puede
demostrar que existe una relación entre la estatura
y la longitud de los huesos largos entre los seres
humanos.
Preferencia Género 	 TOTAL		
Hombres Mujeres
Deportes	 90 		 88	 178
Música	 93 		 74	 167
TOTAL	 183 		 162	 345
Matematicas DBA_Final.indd 86 12/10/16 3:39 p.m.

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Dba v1 v2 mat undecimo

  • 1. V1 Grado 11 - Página 1 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 11 Lib ertad y O r d en Por ejemplo: estima el valor de la derivada de sen (x) en x =1 (4 cifras decimales) La tabla parece indicar que la derivada de sen (x) en x = 1 es aproximadamente igual a 0,5403. h -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 0,00001 0,0001 0,001 0,5814 0,8415 0,5445 0,5407 0,5403 0,5403 0,5403 0,5403 0,5399 0,01 0,5361 0,1 0,4974 4 Reconoce la derivada de una función como la función de razón de cambio instantáneo. Dada la gráfica de una función, dibuja de manera aproximada la gráfica de la derivada, identifi- cando claramente los ceros de la derivada y los intervalos donde ésta es negativa y positiva. Por ejemplo: 5 Conoce las fórmulas de las derivadas de funciones polinomi- ales, trigonométricas, potencias, exponenciales y logarítmi- cas y las utiliza para resolver problemas. Por ejemplo, ¿cuál es el radio de un círculo cuándo su área crece a una razón instantánea de 20cm2 /cm? Si dA/dr = 20cm2 /cm entonces 2π r = 20, lo cual quiere decir que r = 3,18cm. Es decir, cuando r es aproximadamente 3,18cm el área del círculo crece a una razón (instantánea) de 20cm2 de área por cada centímetro que crece el radio. La razón de cambio instantáneo del área es mayor cuando el radio es mayor. Es decir, entre mayor es el radio del círculo, mayor es el cambio en el área al incrementar el radio un centímetro. Comprende que entre cualesquiera dos números reales hay infinitos números reales. Por ejemplo:1 Estima el tamaño de ciertas cantidades y juzga si los cálculos numéricos y sus resultados son razonables. Estima el error posible en un cálculo. Utiliza unidades de medida para razonar de manera cuantitati- va y resolver problemas. Por ejemplo: 2 Interpreta la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f(x) en un punto A = (a, f (a)) como el límite de las pendi- entes de las rectas secantes entre el punto A y puntos sobre la gráfica que se acercan a A. Es decir, como: Utiliza esto para estimar la razón de cambio instantánea f'(a) para un valor particular de a. razón de cambio instantánea de f en a pendiente = razón de cambio promedio pendiente = f’(a) pendiente de la tangente en A 3 Justifica que el promedio de dos números se encuentra exacta- mente en la mitad de los dos. La mitad de la longitud del segmento AB. Encuentra un número entre dos números dada su expansión decimal. Por ejemplo, encuentra un número entre 2 y 1,415. La expansión decimal de 2 es 1,414213..., así que 2<1,145, El número 1,41 es menor que 2, luego no está entre los dos. El número 1,42 no está entre los dos porque es mayor que 1,415. Un posible número entre los dos es 1,4143: Una aplicación que recolecta datos sobre un recorrido en bicicleta proporciona la siguiente información: Paso promedio = 4 min/km. ¿Cuál es el significado de paso promedio? ¿Cuál era la veloci- dad promedio en m/s? Según las unidades y el contexto, el paso promedio es el tiempo que demora en recorrer un kilómetro. Así, la velocidad promedio es: A + B 2 A += A + B 2 A B B — A 2 1,41 2 1,4143 1,415 1,42< < < < distancia tiempo velocidad 4,17m/s== 1km 240s = 1000m 240s ≈ f (a + h) — f (a) h límh→0 f (a + h) — f (a) h= f (a + h) — f (a) f (x) f (a + h) — f (a) h límh→0 4 min 4 x 60 segundos= = = a x A P h a + h f (x) a x A P P P P P PP P x sen(1+h) — sen (1) h m 0> m 0> m 0< m 0= m pendiente= m 0= y = f (x) y = f’(x) f decrece en este intervalo pendiente negativa f’ negativa f’ es cero pues la pendiente de la tangente a la gráfica de f es horizontal. f’ es positiva pues las pendientes de las tangentes de la gráfica de f son positivas. A π r2 = 2π r=dA dr pendiente ≈ 0,5403 sen(1)
  • 2. V1 Grado 11 - Página 2 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 11 Lib ertad y O r d en 6 7 Analiza algebraicamente funciones racionales y encuentra su dominio y sus asíntotas. Por ejemplo: 8 Reconoce las propiedades básicas que diferencian las familias de funciones exponenciales, lineales, logarítmicas, polinómicas, etc. e identifica cuáles puede utilizar para modelar situaciones específicas. Por ejemplo: Utiliza la familia de funciones f(x) = a•sen(bx)+c para modelar fenómenos periódicos reconociendo las nociones de periodo, frecuencia y amplitud. El nivel de agua que se recolecta en un tanque oscila de forma sinusoidal cada 24 horas. Si la altura mínima es de 2m y la máxima es de 6m, ¿cuál es una posible fórmula para encontrar el nivel de agua en función del tiempo en horas? se comporta para valores grandes de x como la función: Dominio: (-∞, 3/2) U (3/2, ∞) Rango: (- ∞, -1) U (-1, ∞) no puede ser 0 asíntota vertical asíntota horizontal Cuando han transcurrido s se han suministrado 0,6 ml f (t) h (t) 0 t g (t) función lineal función exponencial ≤ ≤ t 1 2 > = 1 2 0,6 0 1 2 1 2 0,6( ), Cantidad del medicamento Tiempo (en segundos) 1 1 2 f (t) 1,2 t 0 t 0,61 (0,98)t ≤ ≤ t 1 2 > = 1 2 =x 2x+3 -2x+3y= 2x+3 -2x+3 y= 2x+3 -2x+3y= asíntota vertical y = -1 asíntota horizontal 2xy≈ -1-2x 2= =-2 x 3= 2 a 2= c 4= 6 4 2 12 24 f(x) 2sen 4 ( (= xπ + 12 b= π2 periodo = π2 24 = π 12 Altura en metros Tiempo periodo La gráfica que aparece a continuación muestra la cantidad de personas infectadas por un virus: Como el número de personas infectadas parece estabilizarse, la relación entre el número de personas infectadas y el tiempo transcurrido no se puede modelar con una función polinómica pues éstas crecen o decrecen indefinidamente y esto no se ajusta a la situación real. Halla la inversa de la función f(x) = 3x + 1. Para llegar de x a f(x), primero se multiplica por 3, luego suma 1. Por lo tanto, para revertir el proceso, primero se resta 1, luego se divide por 3. f(x) = x2 no es invertible en todos los reales, pero sí lo es por ejemplo en el intervalo [0,∞) cuando el dominio de f (x) se restringe a [0,∞) cuando el dominio de f (x) se restringe a (-∞,0] Tiempo (en días) Número de personas infectadas (en cientos de personas) 10 70 8 20 30 40 50 9 Reconoce cuándo una función tiene o no una función inversa. Determina la inversa de una función f(x) en un intervalo en el cual es invertible y la reconoce como el proceso de revertir las opera- ciones que llevan de x a f(x). Por ejemplo: f(x) = 3x + 1 f-1 (x) = x 3x+13x x3 +1 ÷3 -1 3 x — 1 (-1,-2) (-2,-1) x—1f-1 (x)= f(x)= 3x + 1 f(x)= x2 f-1 (x)= x y = x2 si x ≥ 0 si x ≤ 0 y = x2 = |x| y = 3x + 1 y— 1 = 3x = x y= x 3 y—1 3 y = x y = -x - y =x f-1 (x)=- x Para la función h (t) tenemos los puntos (0,0) y (½ , 0,6), con ellos encontramos que su pendiente es 1,2 ml/s y su corte con el eje vertical en 0. Entonces: h(t) = 1,2t Para la función exponencial tenemos que g(t) = kat y como la cantidad de droga decrece a una tasa 2% por segundo, tenemos que a = 1— 0,02 = 0,98 (reducir en 2% cada segundo corresponde a multiplicar por 0,98 cada segundo). Así, g(t) = k(0,98)t . Para averiguar k, reemplazamos en la fórmula anterior los valores de t y g(t) en el punto (½ , 0,6) y se obtiene que k= 0,6/ 0,98 0,61. Entonces: g (t) = 0,61(0,98)t ≈ -2x+3 = 0 3 2 3 2 Modela situaciones haciendo uso de funciones definidas a trozos. Por ejemplo: Una dosis de 0,6ml se inyecta a un paciente durante medio segundo a una tasa constante. Al final de este tiempo, la cantidad C de droga en el paciente comienza a decaer a una tasa de 2% por segundo. Escribe una función que modela la cantidad de droga en el cuerpo del paciente luego de t segundos. La función f (t) que modela la situación es una función a trozos. Cuando t [0 , ½] se comporta como una función lineal h(t) y cuando t > ½ se comporta como una función exponencial decre- ciente g(t).
  • 3. V1 Grado 11 - Página 3 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 11 Lib ertad y O r d en Conoce las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno y arcotangente) junto con sus gráficas, dominio y rango. Comprende que para definir las funciones trigonométricas inversas es necesario restringir el dominio de las funciones trigonométricas. Así mismo, conoce la selección de dominio y rango utilizada mundialmente. Utiliza esta comprensión para encontrar otros ángulos con el mismo seno, coseno o tangente aparte del valor que da la calculadora. 1O Soluciona ecuaciones trigonométricas simples en un intervalo dado (utilizando calculadoras, las gráficas relacionadas, o el círculo unitario). Por ejemplo, soluciona la ecuación cos(α) = - 0,78 Hay infinitas soluciones: respuesta de la calculadora otra solución 218,73° 1 1 -0,78 141,26° x2 + y2 = 1 cos(α) = - 0,78 α = cos-1 (-0,78) α ≈ 141,26° α ≈ 218, 73° Todos los rayos de luz que emanan del foco, salen paralelos al eje de simetría al reflejarse sobre la parábola. Conoce las propiedades geométricas que definen distintos tipos de cónicas (parábolas, elipses e hipérbolas) en el plano y las utiliza para encontrar las ecuaciones generales de este tipo de curvas. Por ejemplo, una elipse es el conjunto de puntos cuya distancia a un foco más la distancia al otro foco es siempre la misma. Conoce algunas aplicaciones de las curvas cónicas. Por ejemplo: las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas con el sol en uno de sus focos. Las parábolas se utilizan para crear la parte reflecti- va de las linternas. 11 a b foco foco + = x2 a2 y2 1 b2 Utiliza los sistemas de coordenadas espaciales cartesiano y esférico para especificar la localización de objetos en el espa- cio. Por ejemplo, tomando como centro de sistema de coordenadas el cruce de las diagonales del piso de su salón de clase, determina cuáles serían las coordenadas del bombillo de la clase usando por lo menos dos sistemas de coordenadas y justifica la respuesta. 12 Razona geométrica y algebraicamente para resolver problemas y para encontrar fórmulas que relacionan magnitudes en diversos contextos. Por ejemplo: ¿Cuál de los dos cilindros que se pueden formar a partir de una hoja rectangular tiene mayor volumen? Conclusión: si a > b entonces V1 > V2 13 a a b b r a = 2πR b =2πr r = b 2π R R = a 2π 2π =V1 = πR2 x b = π x b = ( (a 2 4π a2 b 4π aba x 2π =V2 = πr2 x a = π x a = ( (b 2 4π b2 a 4π ab b x Encuentra la fórmula para el volumen de una tuerca hexago- nal con lado d y orificio interno de radio r. 3 3 Utiliza y contrasta diversas estrategias para modelar y resolver un problema y justifica su solución. Volumen tuerca = Volumen del orificio cilíndrico Volumen del prisma hexágonal —dh Volumen del prisma = Área del hexágono x altura Área del hexágono 6 x= Área del triángulo equilátero de lado d Área del triángulo base x altura 2 d x d 2 = Así, Área hexágono r d h Área d2 2 d 2 ( (- d 4 3d2 2 3 = = por el teorema de Pitágoras altura =d d d b 6 x= = = 2 3 4 3 d2 = 4 3d2 2 d2 2 3 3d2 x hVolumen prisma hexagonal = 2 3 3 d2 x h- πr2 hVolumen tuerca = 60° 60° Los triángulos son equiláteros porque son isósceles y el ángulo interno mide 60° (lo cual implica que los otros dos también miden 60°)
  • 4. V1 Grado 11 - Página 4 de 5 DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 11 Lib ertad y O r d en Utiliza nociones básicas relacionadas con el manejo y recolec- ción de información como población, muestra y muestreo aleatorio. Por ejemplo, realiza una muestra aleatoria en su escuela para determinar quién será el ganador de un premio que se otorgará a un estudiante escogido por los alumnos de los grados 8 a 11. Parte de que las inferencias sobre la población (que en este caso son los alumnos de los grados 8 a 11) sólo son válidas si la muestra es representativa y tiene en cuenta las siguientes preguntas: ¿Cómo elegir estudiantes de cada grado de manera aleatoria y cuántos elegir? ¿Qué gráficas va a realizar para visualizar los resultados? ¿Qué herramientas va a usar para analizarlos y hacer predicciones? 14 Conoce el significado de la probabilidad condicional y su relación con la probabilidad de la intersección: P(A/B) = P(A∩B) / P(B). Utiliza la probabilidad condicional para hacer inferencias sobre muestras aleatorias. Por ejemplo: Realiza una encuesta a una muestra de estudiantes en los grados 10 y 11 de su escuela y recolecta información sobre su grado y su materia favorita entre español y matemáticas: 15 A partir de estos datos, determina la probabilidad condicional de que un estudiante tomado al azar (no necesariamente perteneciente a la muestra), cuya materia preferida es matemáticas, esté en décimo grado. 6 8 14 5 11 12 13 25 Grado 10 Grado 11 Español Matemáticas Total Total 6 La probabilidad de que esté en décimo grado dado que su materia preferida es matemáticas es 54,5%. P(B|A) = 54,5% P(A) = P(A B) 11/25 6/25 = ≈ 6 11 P(A) = 11/25 P(B) = 12/25 P(A B) = 6/25 A: Materia preferida matemáticas. B: Grado 10 U U 6 Determina si dos eventos son dependientes o independientes utilizando la noción de probabilidad condicional. Por ejemplo: Para evaluar la efectividad de un pesticida se hace un estudio de su efectividad en un cultivo de 900 plantas. A un tercio de éstas (300 plantas) se las trata con el pesticida y al resto se deja sin tratamiento. Al cabo del estudio se recolectan los siguientes resultados: 16 120 180 240 480 720 300 600 900 Recibió tratamiento Infestada No infestada Total No recibió tratamiento Total 60 Según el estudio, ¿el pesticida fue efectivo? Para decidir si el pesticida fue efectivo define los eventos: A: la planta fue infestada. B: la planta recibió tratamiento. Según la tabla: Como P(B|A) = P(B), concluye que los eventos A y B son independientes (pues la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro). Afirma que el estudio indica que el pestici- da no fue efectivo. • P(B|A) = P(A) = P(A B) 1/15 1/15 = 1 3 • P(A) = 180 900 = 1 5 P(A B) = 60 900 = 1 15 60 Reconoce la desviación estándar como una medida de dispersión de un conjunto de datos. En particular, para datos que tienen una distribución aproximadamente simétrica (en "forma de campana"), conoce el hecho de que alrededor del 68% de los datos se encuentra a menos de una desviación estándar de la media (promedio) y casi la totalidad de los datos se encuentran a menos de dos desviaciones estándar de la media. 17 m = media σ = desviación estándar aprox. 68% de los datos m — σ m + σm
  • 5. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 81 1. Utiliza las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y sus relaciones y operaciones para construir y comparar los distintos sistemas numéricos. Evidencias de aprendizaje m Describe propiedades de los números y las operaciones que son comunes y diferentes en los distintos sistemas numéricos. m Utiliza la propiedad de densidad para justificar la necesidad de otras notaciones para subconjuntos de los números reales. m Construye representaciones de los conjuntos numéricos y establece relaciones acorde con sus propiedades. Ejemplo Un profesor presenta a sus estudiantes las siguientes imágenes: El profesor pregunta a sus estudiantes: ¿Cuáles aspectos en común tienen las tres representaciones? A la pregunta Federico respondió: “Las tres representan lo mismo, están hablando de los números mayores que cinco”. Sara dijo “Federico, en parte, tiene razón; pero los conjuntos no son los mismos”. Luego, el profesor agregó: “¡Muy bien Sara! Entonces si no son los mismos conjuntos, ¿cuáles serían sus diferencias?, ¿Podrías describirme esos conjuntos?” Finalmente, Carolina después de todo el trabajo dijo: “Yo no he podido entender una cosa, ¿Por qué no es válido que yo diga que de cinco siga el 5.1 o el 5.01? Discute la veracidad de las afirmaciones de Sara y Federico. Ofrece una respuesta a la pregunta de Carolina. 2. Justifica la validez de las propiedades de orden de los números reales y las utiliza para resolver problemas analíticos que se modelen con inecuaciones. Evidencias de aprendizaje m Utiliza propiedades del producto de números Reales para resolver ecuaciones e inecuaciones. m Interpreta las operaciones en diversos dominios numéricos para validar propiedades de ecuaciones e inecuaciones. Ejemplo “Ana una estudiante de undécimo decide resolver una inecuación como se muestra en la siguiente figura: Matemáticas • Grado 11º 0 5 10 15 20 25 30 Matematicas DBA_Final.indd 81 12/10/16 3:39 p.m.
  • 6. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 82 Ana argumenta que para resolver la inecuación, todo lo que está sumando al lado izquierdo se pasa a restar al lado derecho y posteriormente, realiza las operaciones. Luego, termina su ejercicio de la siguiente manera: dice que para despejar la x pasa a multiplicar el 3 a ambos lados”. Analiza los procedimientos propuestos por la estudiante de la situación anterior y valida su solución. En caso de encontrar algún error, construye una nueva solución. 3. Utiliza instrumentos, unidades de medida, sus relaciones y la noción de derivada como razón de cambio, para resolver problemas, estimar cantidades y juzgar la pertinencia de las soluciones de acuerdo al contexto. Evidencias de aprendizaje m Reconoce magnitudes definidas como razones entre otras magnitudes. m Interpreta y expresa magnitudes como velocidad y aceleración, con las unidades respectivas y las relaciones entre ellas. m Utiliza e interpreta la derivada para resolver problemas relacionados con la variación y la razón de cambio de funciones que involucran magnitudes como velocidad, aceleración, longitud, tiempo. m Explica las respuestas y resultados en un problema usando las expresiones algebraicas y la pertinencia de las unidades utilizadas en los cálculos. Ejemplo Desde la terraza de un edificio con una altura (ho ) de 40 metros, se lanza un balón verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial (Vo ) de 19m/s. La altura H que alcanza el balón en un tiempo t (en segundos) se puede calcular con la expresión. H=-4,9t2 +Vo t + ho Discute el significado y las unidades del número -4,9. Explica la relación entre las unidades de las magnitudes involucradas en la expresión para calcular la altura, de manera que ésta quede expresada en metros. Explica por qué la velocidad se expresa en m/s y la aceleración en m/s2 . Explica el sentido de la afirmación “la expresión para H representa la gráfica de una parábola en el sistema de coordenadas H contra t, pero el movimiento de caída libre puede ser vertical cuando se suelta un objeto desde cierta altura”. Matemáticas • Grado 11º Matematicas DBA_Final.indd 82 12/10/16 3:39 p.m.
  • 7. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 83 4. Interpreta y diseña técnicas para hacer mediciones con niveles crecientes de precisión (uso de diferentes instrumentos para la misma medición, revisión de escalas y rangos de medida, estimaciones, verificaciones a través de mediciones indirectas). Evidencias de aprendizaje m Interpreta la rapidez como una razón de cambio entre dos cantidades. m Justifica la precisión de una medición directa o indirecta de acuerdo con información suministrada en gráficas y tablas. m Establece conclusiones pertinentes con respecto a la precisión de mediciones en contextos específicos (científicos, industriales). m Determina las unidades e instrumentos adecuados para mejorar la precisión en las mediciones. m Reconoce la diferencia entre la precisión y la exactitud en procesos de medición. Ejemplo En una fábrica se requiere cortar láminas de acero para fabricar piezas de diferentes formas (cilindros, conos truncados, pirámides truncadas, prismas, etc). Los cortes de dichas láminas se realizan con “discos de corte” acoplados a una máquina pulidora. Para establecer la eficiencia de un mecánico industrial al hacer los cortes, se toman los datos que aparecen en la tabla (la longitud de la lámina cortada se mide con un flexómetro en mm; el tiempo se mide con un cronómetro en minutos, el procedimiento se realiza para 4 discos de la misma marca y el mismo diámetro). Los datos fueron tomados en un contexto real de la industria. Determina la rapidez media con la que el mecánico corta las láminas. De acuerdo con el gráfico determina la precisión de la rapidez media del mecánico para cortar las láminas. Identifica y explica los factores que influyen en la precisión de la rapidez del mecánico para realizar los cortes, y propone técnicas para medir con mayor precisión la rapidez del mecánico al cortar las láminas. Disco Rendimiento productivo: Tiempo Longitud de Lámina cortada (mm) (min) 1 2060 2.23 2 2070 2.45 3 2030 2.17 4 2080 2.65 Matemáticas • Grado 11º Matematicas DBA_Final.indd 83 12/10/16 3:39 p.m.
  • 8. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 84 6. Modela objetos geométricos en diversos sistemas de coordenadas (cartesiano, polar, esférico) y realiza comparaciones y toma decisiones con respecto a los modelos. Evidencias de aprendizaje m Reconoce y utiliza distintos sistemas de coordenadas para modelar. m Compara objetos geométricos, a partir de puntos de referencia diferentes. m Explora el entorno y lo representa mediante diversos sistemas de coordenadas. Ejemplo La naturaleza tiene formas curvas que revelan regularidades geométricas muy hermosas. Algunas de ellas se perciben en las flores, las mariposas, los caracoles y otros animales o plantas como se aprecia en las siguientes imágenes. Con el apoyo de un software matemático o de papel milimetrado, realiza una representación aproximada de cada una de las formas que se presentan en los diferentes sistemas de coordenadas. Tomado y modificado de Pérez, N. J. C., & Gutiérrez, R. W. S. (2012). Coordenadas polares: curvas maravillosas. En Blanco y Negro, 1(1), 1-27. http://ezproxybib.pucp. edu.pe/index.php/enblancoynegro/article/view/2191 5. Interpreta la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrolla métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos. Evidencias de aprendizaje m Relaciona la noción derivada con características numéricas, geométricas y métricas. m Utiliza la derivada para estudiar la covariación entre dos magnitudes y relaciona características de la derivada con características de la función. m Halla la derivada de algunas funciones empleando métodos gráficos y numéricos. Ejemplo Cuando un atleta recorre cierta distancia se puede suponer que su velocidad no es constante, que a partir del momento en que sale empieza a aumentar su velocidad hasta un pico máximo y que disminuye progresivamente hasta el final. Si se admite que la ecuación F(t) = 0.00192t(250– t) Representa la distancia recorrida por el atleta en metros cuando lleva t segundos. Averigua la distancia que ha recorrido cuando alcanza la mayor velocidad. Usa la derivada para construir un argumento. Matemáticas • Grado 11º Matematicas DBA_Final.indd 84 12/10/16 3:39 p.m.
  • 9. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 85 7. Usa propiedades y modelos funcionales para analizar situaciones y para establecer relaciones funcionales entre variables que permiten estudiar la variación en situaciones intraescolares y extraescolares. Evidencias de aprendizaje m Plantea modelos funcionales en los que identifica variables y rangos de variación de las variables. m Relaciona el signo de la derivada con características numéricas, geométricas y métricas. m Utiliza la derivada para estudiar la variación y relaciona características de la derivada con características de la función. m Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva. Ejemplo Una araña ubicada en una esquina quiere cazar a una mosca que está ubicada en la esquina inferior izquierda de una caja cúbica cuyo lado mide un metro. La araña usará un camino recto señalado en línea punteada. Encuentra el camino más corto que ha de seguir la araña para llegar hasta la mosca. Matemáticas • Grado 11º dy dx dy dx 8. Encuentra derivadas de funciones, reconoce sus propiedades y las utiliza para resolver problemas. Evidencias de aprendizaje m Utiliza la derivada para estudiar la variación y relaciona características de la derivada con características de la función. m Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva. m Calcula derivadas de funciones. Ejemplo[1] Un avión vuela a una altitud H cuando comienza su descenso a una pista de aeropuerto que está a una distancia L del avión, con respecto al suelo, como se muestra en la figura. Asume que la trayectoria de aterrizaje se representa con la gráfica de una función polinomial cúbica y= ax3 +bx2 + cx +d, donde y(-L)=H, y(0)=0. Encuentra el valor de en x=0 y el valor de d y en x=-L? dx Utiliza los valores de en x=0 y en x=-L junto con y(0)=0 y y(-L)=H para mostrar que y(x)=H 2(x)3 +3(x)2 L L [1] Tomado de Cálculo de una variable. Finney, Demana, Waits y Kennedy. Prentice Hall Segunda Edición. 2000. dy en x=-L? dx Matematicas DBA_Final.indd 85 12/10/16 3:39 p.m.
  • 10. Derechos Básicos de Aprendizaje • V.2 86 9. Plantea y resuelve situaciones problemáticas del contexto real y/o matemático que implican la exploración de posibles asociaciones o correlaciones entre las variables estudiadas. Evidencias de aprendizaje m En situaciónes matemáticas plantea preguntas que indagan por la correlación o la asociación entre variables. m Define el plan de recolección de la información, en el que se incluye: definición de población y muestra, método para recolectar la información (encuestas, observaciones o experimentos simples), variables a estudiar. m Elabora gráficos de dispersión usando software adecuado como Excel y analiza las relaciones que se visibilizan en el gráfico. m Expresa cualitativamente las relaciones entre las variables, para lo cual utiliza su conocimiento de los modelos lineales. m Usa adecuadamente la desviación estándar, la media el coeficiente de variación y el de correlación para dar respuesta a la pregunta planteada. Ejemplo En un artículo de ciencias se afirma que: “los antropólogos y los paleontólogos usan las longitudes de los huesos fósiles largos como el fémur y el húmero para calcular la estatura del 10. Plantea y resuelve problemas en los que se reconoce cuando dos eventos son o no independientes y usa la probabilidad condicional para comprobarlo. Evidencias de aprendizaje m Propone problemas a estudiar en variedad de situaciones aleatorias. m Reconoce los diferentes eventos que se proponen en una situación o problema. m Interpreta y asigna la probabilidad de cada evento. m Usa la probabilidad condicional de cada evento para decidir si son o no independientes. Ejemplo Los resultados de la encuesta realizada con personas entre 14 a 17 años de edad, seleccionadas al azar, se presentan en la siguiente tabla: Plantea una pregunta sobre la relación entre las dos variables que se presentan en la tabla, indica si las dos variables (género y preferencia) son o no independientes y da respuesta a la pregunta planteada. ìLos ant ropÛlogos y los paleontÛlogos usan las longitudes de los huesos fÛsiles largos como el fÈmur y el h˙me ro para calcular laestatura del individuo en estudioî. CIENTIFÕCARevista 8 9 individuo en estudio”. Diseña y lleva a cabo un estudio estadístico para comprobar si se puede demostrar que existe una relación entre la estatura y la longitud de los huesos largos entre los seres humanos. Preferencia Género TOTAL Hombres Mujeres Deportes 90 88 178 Música 93 74 167 TOTAL 183 162 345 Matematicas DBA_Final.indd 86 12/10/16 3:39 p.m.