Análisis de circuitos alimentados en corriente alterna

Bloque 3
Análisis de circuitos
alimentados en corriente
alterna
Teoría de Circuitos
Ingeniería Técnica Electrónica

3.1 Introducción. Representación de
ondas sinusoidales mediante fasores

Corriente alterna






+
+
=
2
)
( 0
π
ϕ
ωt
sen
U
t
u
o bien






−
=
2
cos
π
α
α
sen
Corriente alterna
( )
ϕ
ω +
= t
U
t
u cos
)
( 0
u
ωt
−ϕ
Corriente continua
0
)
( U
t
u =
u
t
U0

Características de una onda
sinusoidal
y
ωt
−ϕ
Ym
T
)
cos(
)
( ϕ
ω +
⋅
= t
Y
t
y m
• Ym=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta
• y(t)= Valor instantáneo
•T=Periodo= tiempo que se tarda en completar un ciclo completo [s]
•f= Frecuencia= número de ciclos que se describen por segundo=1/T [Hz]

Características de una onda
sinusoidal
y
ωt
−ϕ
Ym
T
)
cos(
)
( ϕ
ω +
⋅
= t
Y
t
y m
• ω= Pulsación; ωT= 2π => ω= 2πf [rad s-1]
• ϕ=Ángulo de fase [rad]
(El ángulo de fase en ocasiones se expresará en grados por comodidad,
pero no es correcto dimensionalmente)

Desfase relativo
)
cos(
)
( u
m t
U
t
u ϕ
ω +
=
)
cos(
)
( i
m t
I
t
i ϕ
ω +
=
u(t)
i(t)
30º -45º
70º
I
U ϕ
ϕ
ϕ −
=
Desfase entre u e i
• ϕ<0 u en retraso resp a i
• ϕ>0 u en adelanto resp i
• ϕ=0 “en fase”
• ϕ=90º “en cuadratura”
• ϕ=180º “en oposición”
u está adelantada 70 º respecto a i

Valor medio y valor eficaz
• Valor medio
0
)
cos(
1
)
(
1
0
0
=
+
=
= ∫
∫ t
d
t
Y
T
t
d
t
y
T
Y
T
m
T
medio ϕ
ω
)
cos(
)
( ϕ
ω +
⋅
= t
Y
t
y m
2
)
(
1 max
0
2 Y
dt
t
y
T
Y
T
=
= ∫
• Valor eficaz
El valor eficaz de una corriente periódica es el valor de una corriente
continua que al circular por una resistencia R produce en un tiempo T la
misma cantidad de energía disipada

Significado físico de valor eficaz
t
I
t
i m ω
cos
)
( ⋅
=
• Resistencia R atravesada por una corriente
t
d
t
Ri
W
T
AC ∫
=
0
2
)
(
• Energía disipada en T:
• ¿Cuánto vale la corriente continua que debe circular por R
para disipar en un tiempo T la misma energía?
T
RI
t
d
RI
W
T
DC
2
0
2
=
= ∫ Igualando WAC con WDC
t
d
t
Ri
T
RI
T
∫
=
0
2
2
)
(
eficaz
T
I
t
d
t
Ri
T
I =
= ∫
0
2
)
(
1

Resumen de notación
)
cos(
2
)
cos(
)
( ϕ
ω
ϕ
ω +
⋅
=
+
⋅
= t
Y
t
Y
t
y m
• Valor instantáneo: y
• Valor eficaz: Y
• Valor máximo: Ym
• Fasor: Y

Repaso números complejos
!
onencial
j
polar
binómica
e
z
z
bj
a
z
exp
θ
θ =
∠
=
+
=
"
#
$
"
#
$
1
−
=
j 1
−
=
2
j |z|
θ
Im
Re
a
b
Fórmula de Euler:
θ
θ
θ
jsen
e j
+
=
±
cos
θ
θ
θ
sen
z
j
z
e
z
bj
a
z j
+
=
=
+
= cos

Análisis de circuitos con
excitación alterna
+
u(t)
uL
uc
i Conocemos u(t) y queremos calcular i(t)
τ
τ
∫
=
t
t
c d
i
C
u
0
)
(
1
dt
t
di
L
uL
)
(
=
R
L
C u
u
u
t
u +
+
=
)
(
uR Ri
uR =
Ri
dt
t
di
L
d
i
C
t
u
t
t
+
+
= ∫
)
(
)
(
1
)
(
0
τ
τ
Para obtener el valor de i(t) se debe resolver la ecuación diferencial:
dt
t
di
R
dt
t
i
d
L
i
C
dt
t
du )
(
)
(
1
)
( 2
+
+
=
i(t)=ih+ip
(Reg. permanente+Reg.transitorio)

Analogía senoides fasores
En corriente alterna las tensiones y corrientes serán
funciones sinusoidales del tipo:
( )
( ) 2 cos
y t Y t
ω ϕ
= +
amplitud desfase respecto al
origen
ϕ
Ym
y
ωt
f
π
ω 2
=
viene impuesta por la
fuente de alimentación
Las magnitudes de interés son Y y ϕ

Representación fasorial
)
cos(
2
)
( ϕ
ω +
= t
Y
t
y
Vamos a demostrar que existe una correspondencia entre una
función sinusoidal y(t) y un número complejo Y que se defina
como:
ϕ
∠
= Y
Y

Representación fasorial
Definimos un número complejo Y que gira en el plano complejo a
velocidad w y vamos analizando cuanto vale su parte real en los
distintos instantes de tiempo
y(t)
Ym
0 ωt
π/2 π 3π/2
ω
Re(Y)=Y
t=0
ωt=π/2
Re(Y)=0
ωt=π
Re(Y)=-Y
ωt=3π/2 Re(Y)=0
Im
Re
t
Y
t
y ω
cos
2
)
( =

Analogía entre senoides y
fasores giratorios
• Existe una correspondencia entre una función sinusoidal y un
vector complejo.
• Una función sinusoidal es la proyección de un vector giratorio
sobre los ejes de un sistema coordenado (eje real y eje
imaginario)

Definición de fasor
• Se denomina fasor a la cantidad compleja ϕ
j
Ye
=
Y
• En corriente alterna
representaremos las
funciones sinusoidales
u(t), i(t) mediante fasores
equivalentes
Im
Y
ϕ
ωt






=
2
m
Y
Y
ϕ
Y
=
Y
Re
Ycos(ωt+ϕ)

Relación entre senoides y
fasores
( )
ϕ
ω +
= t
Y
t
y cos
2
)
(
ϕ
ϕ j
Ye
Y =
=
Y multiplicando por ejωt
( ) ( )
( )
t
jsen
t
Y
Ye
e
Ye t
j
t
j
j
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
+
+
+
=
= +
cos
)
(
relación de Euler
( ) ( )
t
Y
e t
j
ω
ϕ
ω
+
= cos
2
Re Y
2
Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor
equivalente

Suma de sinusoides mediante
sus fasores correspondientes
( ) ( )
2
2
1
1
2
1 cos
2
cos
2
)
(
)
( ϕ
ω
ϕ
ω +
+
+
=
+ t
Y
t
Y
t
y
t
y
2
2 ϕ
Y
=
2
Y
1
1 ϕ
Y
=
1
Y
Fasores correspondientes
( ) ( ) ( )
( )
( ) )
cos(
Re
Re
Re
Re
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
=
=
+
=
+
t
Y
e
e
e
e
e
t
j
t
j
t
j
t
j
t
j
2
Y
Y
2
Y
Y
2
Y
2
Y
2
2
1
2
1
2
1
2
1 Y
Y +
=
Y 2
1 Y
Y +
=
ϕ

Diagrama fasorial
Diagrama en el que se
representan los fasores
correspondientes de las
tensiones y corrientes de
un circuito en el plano
complejo
Fuente: Wikipedia

3.2. Respuesta de los
elementos pasivos a una
excitación de tipo sinusoidal.
Impedancia y admitancia

Relación entre senoides y
fasores
( )
ϕ
ω +
= t
Y
t
y cos
2
)
(
ϕ
ϕ j
Ye
Y =
=
Y multiplicando por ejωt
( ) ( )
( )
t
jsen
t
Y
Ye
e
Ye t
j
t
j
j
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
+
+
+
=
= +
cos
)
(
relación de Euler
( ) ( )
t
Y
e t
j
ω
ϕ
ω
+
= cos
2
Re Y
2
Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor
correspondiente

Resumen elementos pasivos
• Resistencia
)
(
)
( t
Gu
t
i =
)
(
)
( t
Ri
t
u =
• Bobina
dt
t
di
L
t
u
)
(
)
( = dt
t
u
L
t
i
i
t
t
∫
+
=
0
)
(
1
)
( 0
• Condensador
dt
t
du
C
t
i
)
(
)
( =
∫
+
=
t
t
dt
t
i
C
t
u
t
u
0
)
(
1
)
(
)
( 0

Respuesta de los elementos
pasivos
• Vamos a analizar la respuesta de los tres elementos
pasivos (resistencia, inductancia y capacidad) a una
excitación sinusoidal en el domino del tiempo y en el
dominio de la frecuencia.
• Imaginemos que conocemos la corriente que circula
por cada uno de ellos que es de la forma
( )
i
t
I
t
i ϕ
ω +
= cos
2
)
(
• Y queremos calcular la tensión entre sus terminales,
que será del tipo
( )
u
t
U
t
u ϕ
ω +
= cos
2
)
(

Respuesta de los elementos
pasivos
• A partir de las relaciones entre u(t) e i(t) en cada uno
de los elementos pasivos determinaremos su
respuesta.
• Buscamos encontrar los valores de U y ϕu en función
de I, ϕi y los valores de los parámetros R, L y C.
• Los fasores corriente y corriente son:
( ) ( )
t
j
i e
t
I
t
i ω
ϕ
ω I
Re
2
cos
2
)
( =
+
=
( ) ( )
t
j
u e
t
U
t
u ω
ϕ
ω U
Re
2
cos
2
)
( =
+
=
u
U ϕ
∠
=
U
i
I ϕ
∠
=
I

Resistencia
( ) ( ) ( )
Re Re Re
j t j t j t
e R e R e
ω ω ω
= =
U I I
Re
∈
R
Ri
u =
( )
( ) 2 Re j t
u t e ω
= U
( )
( ) 2 Re j t
i t e ω
= I
RI
U =
i
u ϕ
ϕ =
I
U R
= i
u RI
U ϕ
ϕ =
=>
En una resistencia la
tensión y la intensidad
están en fase
u(t) i(t)
I
ϕu=ϕi
U
Im
Re
u, i
ωt

Bobina
dt
di
L
u =
( )
( ) 2 Re j t
u t e ω
= U
( )
( ) 2 Re j t
i t e ω
= I
( ) ( )
2 Re Re 2 Re 2
j t j t j t
di d d
e e e
dt dt dt
ω ω ω
ω
 
= = =
 
 
I I Ij
I no depende del tiempo
( ) ( ) ( )
t
j
t
j
t
j
e
L
e
L
e ω
ω
ω
ω
ω Ij
Ij
U Re
Re
Re =
=
Re
∈
L
dt
di
L
u = =>
I
U L
jω
= º
90
90
+
∠
=
=
∠
=
∠ i
j
j
i
u LI
e
LIe
jLI
U i
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ϕ ϕ
=>

Bobina
LI
U ω
=
)
( i
u ϕ
ϕ >
En una bobina la tensión
está adelantada 90º
respecto a la corriente
º
90
+
∠
=
∠ i
u LI
U ϕ
ω
ϕ º
90
+
= i
u ϕ
ϕ
i(t) u(t)
I
ϕi
U
Im
Re
ϕu
u, i
ωt

Condensador
dt
du
C
i =
( )
t
j
e
t
u ω
U
Re
2
)
( =
( )
t
j
e
t
i ω
I
Re
2
)
( = U no depende del tiempo
( ) ( )
t
j
t
j
t
j
e
e
dt
d
e
dt
d
dt
du ω
ω
ω
ω
Uj
U
U Re
2
Re
2
Re
2 =






=
=
( ) ( )
t
j
t
j
Ce
e ω
ω
ω
Uj
I Re
Re =
dt
du
C
i = =>
Re
∈
C
C
ω
Uj
I =
=>
I
U
C
j
ω
−
= º
90
1
1 90
−
∠
=
=
∠
−
=
∠ −
i
j
j
i
u I
C
e
Ie
C
I
C
j
U i
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ϕ ϕ
=>

Condensador
I
L
U
ω
1
=
º
90
−
= i
u ϕ
ϕ
º
90
1
−
∠
=
∠ i
u I
C
U ϕ
ω
ϕ
En un condensador la
tensión está retrasada 90º
respecto a la corriente
)
( i
u ϕ
ϕ <
I
ϕi
U
ϕu= ϕi -90º
Im
i(t) u(t)
u, i
ωt
Re

Bobinas acopladas
dt
t
di
L
dt
t
di
M
t
u
dt
t
di
M
dt
t
di
L
t
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
12
2
2
12
1
1
1
+
=
+
=
Procediendo de modo análogo a los casos anteriores se
llega a las siguientes relaciones fasoriales:
2
2
1
12
2
2
12
1
1
1
I
I
U
I
I
U
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
L
j
M
j
M
j
L
j
ω
ω
ω
ω

Impedancia compleja
• Las relaciones fasoriales U=f(I) en los elementos pasivos son:
El fasor tensión puede
expresarse como el producto
de una cantidad compleja por
el fasor corriente
I
U R
=
Resistencia
I
U L
jω
=
Bobina
I
U
C
j
ω
−
=
Condensador
• Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente
Z
U
I
+
-
Se verifica la “Ley de Ohm en notación fasorial”
Z es un número complejo,
pero no un fasor, ya que no se
corresponde con ninguna
función sinusoidal en el dominio
del tiempo
ZI
U =

Impedancia
R
R =
Z
Resistencia
L
j
L ω
=
Z
Bobina
C
j
C
ω
−
=
Z
Condensador
Z, R y X se expresan en [Ω]
jX
R +
=
Z
( ) R
=
Z
Re
( ) X
=
Z
Im
componente resistiva: “Resistencia”
componente reactiva : “Reactancia”
0
>
= L
XL ω
0
1
<
−
=
C
XC
ω

Triángulo de impedancias
jX
Im
Z
θ jX
R +
=
Z
Re
R
R
X
arctg
=
θ
2
2
X
R +
=
Z
θ
cos
Z
R = θ
Zsen
X =

Impedancia y admitancia
jX
R +
=
Z
jB
G +
=
=
Z
1
Y
( ) G
=
Y
Re
( ) B
=
Y
Im
“Conductancia”
Admitancia
“Susceptancia”
Y , G y B se expresan en [S]
G
R =
Y
Resistencia
L
j
L ω
−
=
Y
Bobina
C
j
C ω
=
Y
Condensador

Lemas de Kirchhoff en forma
fasorial
• Primer Lema de Kirchhoff: La suma algebraica de los
fasores corriente en un nudo es igual a cero
∑ = 0
I
• Segundo Lema de Kirchhoff: En un lazo o malla, la
suma de las elevaciones de tensión de los
generadores, expresadas en forma fasorial, es igual a
la suma de las caídas de tensión en las impedancias
complejas
∑ ∑
= ZI
U

Asociación de impedancias en
serie y en paralelo
• En régimen sinusoidal permanente es posible agrupar
elementos pasivos de distinta naturaleza (resistencias
y/o inductancias y/o capacidades) una vez que cada
uno de ellos ha sido caracterizado por su impedancia
correspondiente.
• Las reglas para determinar las impedancias
equivalentes de combinaciones de elementos pasivos,
son idénticas a las estudiadas para los elementos
resistivos, sustituyendo las resistencias por las
impedancias complejas.

serie
• Se dice que dos o más impedancias están en serie si
por ellas circula la misma intensidad
I
Zeq
U
I
Z1 Z2 ZN
. . . .
U2 UN
U1
U
eq
n
2
1
n
2
1
n
2
1 IZ
)
Z
...
Z
I(Z
IZ
...
IZ
IZ
U
...
U
U
U =
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
n
2
1
eq Z
...
Z
Z
Z +
+
+
=

Divisor de tensión
• La tensión que cae en cada resistencia es una
porción de la tensión total
I
Z1 Z2 ZN
. . . .
U2 UN
U1
U
U
Z
Z
Z
...
Z
Z
U
Z
I
Z
U
eq
k
N
2
1
k
k
k =
+
+
+
=
=

paralelo
• Se dice que dos o más elementos están en paralelo
si están sometidos a la misma tensión
+
|
U
Zeq
I
Z1 ZN
Z2 . . . U
I1 I2 IN
I
U
Z
1
U
Z
1
Z
1
Z
1
I
...
I
I
I
eq
n
2
1
N
2
1








=








+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
=
+
+
+
=
n
2
1
eq Z
1
..
Z
1
Z
1
Z
1
+
+
=
N
2
1
eq Y
...
Y
Y
Y +
+
+
=
U
Y
I eq
=
o bien

Divisor de corriente
Z1 ZN
Z2 . . . U
I1 I2 IN
I +
-
I
Y
Y
I
Z
1
Z
1
I
eq
k
eq
k
k =
=
1
UY
I1
=
I
Y
....
Y
Y
Y
I
n
2
1
1
1
+
+
+
=
n
2
1 Y
....
Y
Y
I
U
+
+
+
=

Asociación de elementos
pasivos
• Asociación en serie
. . . .
I
+ -
I
Zeq
Z1 Z2 ZN
-
+
U
U
N
eq Z
Z
Z
Z +
+
+
= ...
2
1
• Asociación en paralelo
Z1 ZN
Z2 . . . U
I1 I2 IN
I +
-
Zeq
+
|
I
n
Z
Z
Z
Zeq
1
..
1
1
1
2
1
+
+
=
U
N
eq Y
Y
Y
Y +
+
+
= ...
2
1

Equivalentes Y-∆ y ∆ -Y
Z1Y
Z
2
Y
Z
3
Y
3
1
2
Z3∆
Z1∆
Z
2∆
3
1
2
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Z
1
1
3
3
2
2
1
1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z +
+
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
+
+
=
3
2
1
3
1
2
Z
Z
Z
Z
Z
Y
Z
∆
∆
∆
∆
∆
+
+
=
3
2
1
3
2
1
Z
Z
Z
Z
Z
Y
Z
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Z
2
1
3
3
2
2
1
2
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z +
+
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
+
+
=
3
2
1
2
1
3
Z
Z
Z
Z
Z
Y
Z
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Z
3
1
3
3
2
2
1
3
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z +
+
=
∆

Diagramas fasoriales
• El diagrama fasorial de un
circuito es la representación de
sus fasores tensión y corriente en
el plano complejo.
•En ocasiones los diagramas
fasoriales ayudan en el análisis
de los circuitos
Fuente: Wikipedia

Diagrama fasorial circuito RLC
serie
U
UR
UL
UC
+
+
+
+
-
-
-
-
I
R
jωL
-1/jωC
En un circuito serie tomamos I como origen de fases
º
0
∠
= I
I
º
0
º
0 ∠
=
∠
=
= R
R U
RI
RI
U
UL
UC
UR I
UL
UC
UR I
U
ϕ
º
90
∠
=
=
= LI
L
j
ZL
L ω
ω I
I
U • UL>UC => ϕ>0 circuito inductivo
• UL<UC => ϕ<0 circuito capacitivo
º
90
1
−
∠
=
−
=
= I
C
C
j
ZC
C
ω
ω
I
I
U

Diagrama fasorial circuito RX
paralelo
En un circuito serie tomamos U como origen de fases º
0
∠
=U
U
Bobina Condensador
U
+
-
R jX
IR IX
I
IC
IR U
I
ϕ
IL
IR
U
I
ϕ
º
0
∠
=
=
R
U
R
R
U
I
º
90
−
∠
=
L
X
X
U
I
Bobina
jX
X
U
I =
º
90
∠
=
C
X
X
U
I
Condensador

3.3. Resolución de circuitos en
corriente alterna

Análisis de circuitos
alimentados en C.A.
• Se sustituye el circuito en el dominio del tiempo por
un circuito en el dominio de la frecuencia
– Los elementos pasivos se sustituyen por sus impedancias
complejas correspondientes
– Las corriente y tensiones en el dominio del tiempo se
sustituyen por sus fasores correspondientes
• Se aplican los lemas de Kirchhoff en forma fasorial

Métodos de resolución de
circuitos
• Todos los métodos estudiados para la resolución de
circuitos alimentados en corriente continua, son
directamente aplicables a circuitos alimentados en
alterna, trabajando en el dominio de la frecuencia.
– Método de las corrientes de malla
– Método de las tensiones de nudo
– Principio de superposición: Especialmente útil cuando en un
circuito existen fuentes de distinta frecuencia que actúan
simultáneamente
– Teoremas de Thevenin y Norton

Diagramas fasoriales
• En muchas ocasiones la
representación de las
tensiones y corrientes de
un circuito en diagramas
fasoriales es de gran
ayuda a la hora de
resolver circuios
alimentados en corriente
continua.

Potencia en un circuito de C.A.
Circuito
eléctrico
i(t)
t
U
t
u ω
cos
2
)
( ⋅
⋅
=
u(t)
)
cos(
2
)
( ϕ
ω −
⋅
⋅
= t
I
t
i
Tomaremos la tensión como origen de fases
•Si ϕ>0 (i retrasada respecto a u): Carga inductiva
•Si ϕ<0 (i adelantada respecto a u): Carga capacitiva

Potencia instantánea
( )=
−
=
= ϕ
ω
ω t
t
UI
t
i
t
u
t
p cos
cos
2
)
(
)
(
)
(
( ) ( )
( )
β
α
β
α
β
α −
+
+
= cos
cos
2
1
cos
cos
( )
( ) ( )
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ω −
+
=
+
−
= t
UI
UI
t
UI 2
cos
cos
cos
2
cos
2
1
2
término
constante
término fluctuante de
frecuencia doble que
u e i

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P

Signo de la potencia
i>0 y u>0 => p>0 i>0 y u<0 => p<0
i<0 y u<0 => p>0 i>0 y u<0 => p<0
¿Cómo puede ocurrir que una carga a veces absorba y otras ceda
potencia?
Las bobinas y los condensadores almacenan energía (p>0) y luego la
devuelven a la fuente (p<0)
2
2
2
1
2
1
Cu
Li
W +
=

Potencia media
[ ]
ϕ
ϕ
ω
ϕ
cos
)
2
cos(
cos
1
)
(
1
0
0
⋅
⋅
=
=
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
= ∫
∫
I
U
dt
t
I
U
I
U
T
dt
t
p
T
P
T
T
La potencia instantánea se puede expresar como la
suma de una potencia media y una potencia fluctuante
)
2
cos(
)
( ϕ
ω −
⋅
⋅
+
= t
I
U
P
t
p

-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) P p(2wt)
Potencia
media
+ + + +
+
- - - - -
Potencia
fluctuante
Potencia

Potencia activa y reactiva
=
−
⋅
⋅
+
= )
2
cos(
)
( ϕ
ωt
I
U
P
t
p
( ) ( )
β
α
β
α
β
α sen
sen
+
=
− cos
cos
cos
t
sen
sen
I
U
t
I
U
P ω
ϕ
ω
ϕ 2
2
cos
cos ⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
=
ϕ
cos
⋅
⋅
= I
U
P
ϕ
sen
I
U
Q ⋅
⋅
=
Definición:
Potencia media = potencia activa
Potencia reactiva
)
2
(
))
2
cos(
1
(
)
( t
Qsen
t
P
t
p ω
ω +
+
=

)
2
(
))
2
cos(
1
(
)
( t
Qsen
t
P
t
p ω
ω +
+
=
• La potencia instantánea absorbida o generada por un
circuito consta de dos términos
– Término constante: P = POTENCIA ACTIVA, igual al valor medio de la
potencia instantánea
– Término oscilante de pulsación 2ω, que a su vez se descompone en
dos sumandos
• Amplitud P y pulsación 2ω
• Amplitud Q, pulsación 2ω, retrasado 90º
• Amplitud de a potencia fluctuante: “Potencia aparente”
t
P ω
2
cos
t
Qsen ω
2
UI
S =

Resumen
[W]
ϕ
cos
⋅
⋅
= I
U
P
• Potencia activa
[VAr]
• Potencia reactiva ϕ
sen
I
U
Q ⋅
⋅
=
[VA]
• Potencia aparente 2
2
Q
P
I
U
S +
=
⋅
=
ϕ
cos
.
. =
=
S
P
p
f
ϕ= argumento impedancia compleja
–Cargas inductivas ϕ>0
–Cargas capacitivas ϕ<0
• Factor de potencia
1
.
.
0 ≤
< p
f

Potencia en una resistencia
R
R =
Z
t
U
t
u ω
cos
2
)
( =
º
0
=
ϕ
RI
U =
I
U R
=
t
I
t
i ω
cos
2
)
( =
2
cos RI
UI
UI
PR =
=
= ϕ
Una resistencia
únicamente consume
potencia activa
0
=
= ϕ
UIsen
QR
R
R P
UI
S =
=

Potencia en una resistencia
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
)
2
cos
1
(
)
( t
P
t
p R
R ω
+
=
La potencia activa consumida varía entre 0 y 2PR en
función de los valores absolutos de u e i

Potencia en una bobina
I
U L
jω
=
L
j
L ω
=
Z
º
90
−
∠
=
=
L
U
L
j ω
ω
U
I
=> I retrasada 90º respecto a U
º
90
=
ϕ
I
L
U ω
=
( )
º
90
cos
2
)
( −
= t
I
t
i ω
t
U
t
u ω
cos
2
)
( =
0
cos =
= ϕ
UI
PL
Una bobina consume
potencia reactiva
0
2
2
>
=
=
=
= I
X
I
L
UI
UIsen
Q L
R ω
ϕ
L
L Q
UI
S =
=

Potencia en una bobina
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
)
2
(
)
( t
sen
Q
t
p L
L ω
=
•La potencia reactiva va oscilando entre la fuente y la bobina
•La potencia media es 0

Potencia en un condensador
C
j
C
ω
1
=
Z
I
U
L
jω
1
=
t
U
t
u ω
cos
2
)
( =
( )
º
90
cos
2
)
( −
= t
I
t
i ω
º
90
1
∠
=
= C
U
C
j
ω
ω
U
I
=>
I
C
U
ω
1
= º
90
−
=
ϕ
I adelantada 90º respecto a U
0
cos =
= ϕ
UI
PC
0
1 2
2
<
−
=
−
=
=
= I
X
I
C
UI
UIsen
Q C
C
ω
ϕ
C
C Q
UI
S =
=
Un condensador cede
potencia reactiva

Potencia en un condensador
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
)
2
(
)
( t
sen
Q
t
p C
C ω
=
•La potencia reactiva va oscilando entre la fuente y el
condensador
•No existe disipación de energía sino intercambio (Pmed=0)

Conclusión P y Q
• P representa el consumo de energía en las
resistencias (P es el valor medio de la potencia
disipada)
• Q representa un intercambio de energía entre las
bobinas y condensadores y la fuente (Q es la
amplitud de la energía intercambiada)
– QC<0=> un condensador cede potencia reactiva
– QL>0=> una bobina consume potencia reactiva

Potencia reactiva
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
V,A,W
p(t) u(t) i(t) P
BOBINA
Q>0
CONDENSADOR
Q<0

Potencia compleja
carga
∼
i(t)
u(t)
+
º
0
∠
=U
U
t
U
t
u ω
cos
2
)
( ⋅
⋅
=
ϕ
−
∠
= I
I
)
cos(
2
)
( ϕ
ω −
⋅
⋅
= t
I
t
i
Se define potencia compleja
ϕ
ϕ ∠
=
∠
∠
=
= UI
I
U º
0
*
UI
S
jQ
P
jUIsen
UI +
=
+
= ϕ
ϕ
cos
S

Triángulo de potencias
Q
Im
S
ϕ
P Re
0º<ϕ<90º
Q>0 carga inductiva
(P>0 carga)
Q
S
-ϕ
Im
P
Re
-90º<ϕ<0º
Q<0 carga
capacitiva
(P>0 carga)

Teorema de Boucherot
• Principio de conservación de la potencia compleja
I2
I
( ) 2
1
*
2
*
1
*
2
1
*
S
S
UI
UI
I
I
U
UI
S +
=
+
=
+
=
=
∼
+
Z1 Z2
I1
U
La potencia compleja suministrada por las fuente/s
es igual a la suma de las potencias complejas
absorbidas por las cargas
∑
=
k
k
G P
P
∑
=
k
k
G Q
Q
2
2
G
G
G Q
P
S +
=

Importancia del factor de
potencia
)
2
(
))
2
cos(
1
(
)
( t
Qsen
t
P
t
p ω
ω +
+
=
• P= potencia media consumida (consumo de potencia en R)
• Q=Amplitud de la fluctuación de energía entre la fuente y la
carga (carga y descarga de las bobinas y condensadores)
• Q no requiere aportación de energía por parte de la fuente (P
neta es 0), pero hace circular corriente por las líneas
• La circulación de corriente produce pérdidas de potencia activa
• Es necesario limitar el consumo de reactiva
•Interesa que el f.d.p. sea lo más alto posible

Inconvenientes de cosϕ pobre
1. Aumenta la corriente consumida
2. Aumentan las pérdidas en las líneas
3. Disminuye el rendimiento
4. Aumenta la caída de tensión en las líneas
5. Aumenta la potencia aparente consumida

Compensación del factor de
potencia
• Es conveniente trabajar con factores de potencia
próximos a la unidad
• Pero las cargas pueden necesitar para su
funcionamiento potencia reactiva (generalmente son de
tipo inductivo= alimentación de motores)
• Es necesario compensar el consumo de potencia
reactiva mediante baterías de condensadores

Compensación de reactiva
carga
∼
u(t)
+
P
cosϕ ind
Q
S
ϕ
P
Se puede colocar una batería de condensadores de capacidad C
en paralelo con la carga que genere parte de la Q consumida
carga
∼
u(t)
+
P
cosϕ
PE
cosϕ’E
S
ϕ S’
ϕ’
Q
Q’
P
QC

Compensación de reactiva
Potencia reactiva cedida por el condensador
Q
S
ϕ
P
Q’
S’
ϕ’
2
CU
UI
UIsen
Q C
C ω
ϕ −
=
−
=
=
1
−
=
C
senϕ
'
' ϕ
ϕ Ptg
Ptg
Q
Q −
=
−
2
' CU
Q
Q
Q ω
=
∆
=
−
Capacidad de la
batería de
condensadores para
compensar ∆Q
2
)
'
(
U
tg
tg
P
C
ω
ϕ
ϕ −
=
)
'
(
2
ϕ
ϕ
ω tg
tg
P
CU −
=

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