El documento explica tres teoremas fundamentales de cálculo: el Teorema del Valor Medio, que establece que si una función continua toma valores de distinto signo en los extremos de un intervalo cerrado, debe anularse en algún punto interior; el Teorema de Bolzano, que es un caso particular del Teorema del Valor Medio; y el Teorema de Rolle, que establece que si una función es continua en un intervalo cerrado e igual a sus extremos, su derivada debe anularse en algún punto interior. El documento incluye ejemplos de aplic

1. Matemática I 1
•
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
• Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b]
y es:
• Continua en [a, b]
• Toma valores de distinto signo en a y en b
Entonces:
• Existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) tal que
f(c)=0
• El cumplimiento de este teorema es importantísimo, por
ejemplo, para calcular áreas mediante integración de
funciones que cumplen con las premisas del Teorema de
Bolzano
a c b
f(b) >0
f(a) <0
f(c) =0
y=f(x)
x
y
Nota: Ya se utilizaba para factorizar funciones polinómicas ( que son siempre continuas en todo R ), por Rufinni, cuando alguna
de las raíces no era entera.
TEOREMA DE BOLZANO
TEOREMA DE BOLZANO

2. 2
• TEOREMA DE ROLLE
• Si una función es:
• Continua en [a, b]
• Derivable en (a, b)
• Y si f(a) = f(b)
• Entonces, existe algún punto c є(a, b) en el que f'(c) = 0.
• La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que
hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de
abscisas.
TEOREMA DE ROLLE

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• EJEMPLO 1
• Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:
• En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.
• En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.
• Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el
teorema de Rolle.
TEOREMA DE ROLLE
2 0 1
(x)
3 0 3
x si x
f
x si x
 
 
   
(1) 2f 
1
lim 2 2
x
x


1
lim( x 3) 2
x 

  
2 0 1
(x)
1 1 3
si x
f
si x
 
  
  
(1 ) (3 )f f 
 

4. 4
• EJEMPLO 2
• ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?
• En primer lugar calculamos el dominio de la función.
• La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en:
• Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
• Derivando e igualando a cero:
TEOREMA DE ROLLE
2
5 0x  5, 5D  
2
2
0 0
5
c
c
c

  


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• EJEMPLO 3
• Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.
• La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en R al ser polinómica.
• Aplicando el Teorema de Bolzano.
• f(−1) = −1
• f(0) = 3
• Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).
• Teorema de Rolle.
• f ' (x) = 7x6 + 3
• Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el Teorema de Rolle, por tanto sólo
tiene una raíz real.
TEOREMA DE ROLLE

6. TEOREMA DE ROLLE