Formulario de Matemáticas para Bachillerato Factorización Logaritmos y Exponenciales Funciones Geometría Analítica

1. Bases Matemáticas
Potencias y radicales Expresiones algebraicas
a⋅xn=b⋅xn=a±b xn
xm⋅xn=xmn
xm
xn =xm−n
x−n= 1
xn
y n
xn
yn=x
xmn= xnm=xmn
Ecuación Cuadrática o de
a±b2=a2±2abb2
a±b3=a3±3a2b3ab2±b3
1 an−1bnn−1
2 an−2b2nn−1n−2
1⋅2⋅3 an−3b3⋯bn
abc2=a22ab2acb22bcc2
a−bc2=a2−2ab2acb2−2bcc2
a2−b2=aba−b
a3b3=aba2−abb2
a3−b3=a−ba2abb2
an−bn=a−ban−1an−2ban−3b2⋯abn−2bn−1
segundo orden (caso parábolas)
abn=ann
Forma General: Ax2BxC=0
Raíces o soluciones: x1 ,x2=−B± B2−4AC
Completar cuadrados
a⋅nx=b⋅nx=a±bnx
nx⋅y=nx⋅n y
nx
n y
=nx
y 1
y=x
n
nxm=nxm
=x
mn
n−x=inx
2A
Forma Normal: x2pxq=0
Raíces o soluciones: x1 ,x2=−p2
±p2
4 −q
p=− x1x2 ; q=x1⋅x2
Forma para graficar : y=a x±h2±k
Su gráfica es una parábola con:
vértice en el punto V −h,k ;
Si a0, abre hacia arriba ; con a0 abre hacia abajo
Si h0, se desplaza h unidades hacia la izquierda;
Si h0, se desplaza h unidades hacia la derecha ;
Si k0, se desplaza k unidades hacia arriba ;
Si k0, se desplaza k unidades hacia abajo ;
y=Ax2BxC
=Ax2BA
xC
Truco: Sumar y restar 'un cero'
=Ax2B
2A 2
A x B
2A 2C
− B
De trinomio a binomio
2A 2
= Ax B
− B2
4A C
Por lo tanto:
y=ax±h2±k
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2. Funciones
Definición: Se llama función “f” a una relación del conjunto X al conjunto Y que asigna a cada elemento “x”
de X un único elemento “y” del conjunto Y.
X Y
w
z x
f(w)
f(z)
f(x)
f
El elemento “y” del conjunto Y es el valor de f en “x” y se denota por f(x) (se lee “f de x”).
El conjunto X es llamado DOMINIO de la función. Si x está en el dominio, decimos que f está bien definida
en x , o que f(x) existe. La terminología f es no definida en x significa que “x” no pertenece al dominio de f.
El rango o imagen de la función f es el subconjunto de Y que consiste de todos los posibles valores f(x) para
“x” en el conjunto X.
Exponenciales y logaritmos
El logaritmo en la base “b” de un número “x” es el exponente “y” al que hay que elevar la base para
obtener dicho número (x).
Exponencial: y=bx , b0, b≠1, x∈ℝ. Dominio: −∞ ,∞. Imagen: 0,∞
Logaritmo: y=logb x, {b, x}∈ℝ. , b≠1. Dominio: 0,∞ . Imagen: −∞,∞
Formas equivalentes: y=logb x ⇔ x=by
Si b=10, logaritmo base 10 o común (log). Si b=2, logaritmo binario (lb) y si b=e, logaritmo natural (ln).
La base de los logaritmos naturales: e=2.71828183...
Propiedades del logaritmo (en base cualquiera)
log1=0; loga a=1
log x⋅y=logxlog y
logx
y =log x−log y
logxn=n logx
lognx=1
n log x
cambio de base:
logb x=loga x⋅logba=
loga x
logab
Cualquier exponencial se escribe:
ax=exlna
Cualquier logaritmo se escribe:
loga x= ln x
lna
Transformación de logaritmos:
log10x=log10e⋅lnx=0.434294⋅lnx
lnx=
log10x
log10e
=2.302585⋅log10x
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3. Trigonometría
sr
La medida en radianes de un ángulo  es la razón entre la
longitud s y el radio r de un arco de círculo correspondiente:
 rad=. De donde  rad=180o .
Funciones trigonométricas
Y
0
r
y
 X
x
Función Definición
Dominio Imagen Amplitud Período
f(x) = sen() sen= y
r
ℝ [-1,1]
1
2
f(x) = cos() cos= xr
ℝ [-1,1]
1
2
f(x) = tan() tan= yx
ℝ∖[2k12
∣k∈ℤ]
ℝ Indefinida 
f(x) = csc() csc= r
y ℝ∖[k∣k∈ℤ] (-∞, -1] ∪ [1, ∞) Indefinida 2
f(x) = sec() sec=r
x ℝ∖[2k12
∣k∈ℤ]
(-∞, -1] ∪ [1, ∞) Indefinida 2
f(x) = cot() cot= x
y
ℝ∖[k∣k∈ℤ] ℝ Indefinida 
Funciones de sumas y diferencias de ángulos
senx±y =sen x⋅cos y±cosx⋅sen y
cos x±y=cosx⋅cos y∓sen x⋅sen y 
tan x±y= tanx±tan y
1∓tanx⋅tan y
cotx±y=cotx⋅cot y∓1
cot y±cot x
Relaciones fundamentales
sen2xcos2x=1
1tan2 x= 1
cos2x
=sec2 x
tan x⋅cotx=1
1cot2 x= 1
sen2x
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4. Período: Una función f es periódica, si existe un número real positivo k tal que f(x+k)=f(x), para toda x en el
dominio de f. El entero más pequeño k, si existe, se denomina periodo de f.
Sea f(x) = sen(x) o f(x) = cos(x) curva básica.
Tipo de función Condición Período Gráfica
f(x) = sen(Bx)
f(x) = cos(Bx)
Bk=2 k = 2/B Si 0<B<1 la curva básica se alarga.
Si B>1 la curva básica se comprime
f(x) = Asen(Bx+C)
f(x) = Acos(Bx+C)
|A|=amplitud k = 2/B Las gráficas de las funciones corresponden a las
gráficas de la forma: f(x) = sen(Bx) o f(x) = cos(Bx),
pero se desplazan C/B unidades a la derecha (Si
C/B<0) o a la izquierda (Si C/B<0).
f(x) = Atan(Bx+C)
f(x) = Acot(Bx+C)
|A|=amplitud k = /B Las gráficas de las funciones corresponden a las
gráficas de la forma: f(x) = tan(Bx) o f(x) = cot(Bx),
pero se desplazan C/B unidades a la derecha (Si
C/B<0) o a la izquierda (Si C/B<0).
Valores básicos:
x 0 /6 /4 /3 /2 
sen (x) 0 12
2
2
3
2
1 0
cos (x) 1 3
2
2
2
12
0 -1
tan (x) 0 1
3
1 3 indefinido 0
Funciones Trigonométricas inversas
Función Dominio Imagen
f(x) = sen-1() [-1,1] [-/2, /2]
f(x) = cos-1() [-1,1] [0, ]
f(x) = tan-1() ℝ (-/2, /2)
f(x) = csc-1() (-∞, -1] ∪ [1, ∞) [-/2, 0) ∪ (0, /2]
f(x) = sec-1() (-∞, -1] ∪ [1, ∞) [0, /2) ∪ (/2, ]
f(x) = cot-1() ℝ (0, )
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5. Sea ΔABC un triángulo oblicuángulo (ángulos no rectos) cualquiera.
Ley de senos: sen
a = sen
b = sen
c o bien: a
sen
= b
sen
= c
sen
Requerimientos:
a) Dos ángulos y cualquier lado.
b) Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Ley de cosenos:
a2=b2c2−2bccos
b2=a2c2−2accos
c2=a2b2−2abcos
Requerimientos:
a) Tres lados.
b) Dos lados y un ángulo comprendido entre ellos.
Ley de tangentes: ab
a−b=
tan 
2
tan −
2
ac
a−c=

c b
 
B C
tan 
2
tan −
2
a
bc
b−c=
tan 
2
tan −
2
A
Requerimientos:
a) Un lado y dos ángulos, uno opuesto y el otro adyacentes a dicho lado.
Geometría Analítica
La gráfica de la ecuación Ax2BxyCy2DxEyF=0 es una cónica o una cónica degenerada. Si la
gráfica es una cónica, entonces es:
a) Parábola si B2−4AC=0.
b) Elipse si B2−4AC0.
c) Hipérbola si B2−4AC0.
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6. Geometría Analítica
Recta
Definición: Recta es toda línea tal que, si una parte cualquiera de ella se coloca de cualquier modo con sus
extremos sobre otra parte cualquiera, las dos partes coinciden en todos sus puntos.
Un punto P(x,y) está en la recta si y sólo si satisface cualquiera de las siguientes ecuaciones
AxByC=0 o y=mxb , donde A, B y C son números reales en la primera ecuación y, de la
segunda, m es la pendiente (inclinación) de la recta y b es la ordenada al origen (punto donde corta la recta al
eje “y”).
La pendiente o inclinación es; m= mov. verticales
mov. horizontales= cat. opuesto
cat. adyacente=
y2−y1
x2−x1
=tan
Ecuaciones lineales (rectas)
Forma Ecuación Dos rectas
perpendiculares
m1m2=−1
general AxByC=0 dos rectas paralelas m1=m2
pendiente-ordenada
y=mxb Distancia
entre dos puntos dP ,Q=x2−x12 y2−y12
punto-pendiente
entre dos puntos xm, ym=x1x2
y−y1=m x−x1 Punto medio
2 , y1y2
2 
dos puntos y−y1
x−x1
=
y2−y1
x2−x1
Ángulo entre dos
rectas, con 2
tan=
m2−m1
1m2m1
analogía m=− A
B , b=−C
B
Distancia de P1(x1 ,y1) a
la recta Ax+By+C d=
Ax1By1C
± A2B2
(0,b)
Recta
y=mx+b
Eje y
Eje x
Cateto
opuesto
m=tan q
q
Cateto
adyacente
0
Rectas ^
m1 = -1/m2
Eje y
Eje x
Recta
x= k
Recta y= h
k
h
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7. Circunferencia
Definición: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo
C llamado centro.
Un punto P(x,y) está en la circunferencia de un círculo si y sólo si dC,P=r , donde r es un valor
constante positivo llamado radio.
Ecuaciones del círculo
r
Centro Ecuación
r
(h,k)
(0, 0) x2y2=r2
h
(h,k) x−h2y−k2=r2
(0,0)
k
Desarrollando términos de la última ecuación y simplificando obtenemos una ecuación de la forma:
x2y2DxEyF=0 ,
en donde los coeficientes D, E y F son números reales.
En términos de está última ecuación, el centro tiene coordenadas: Ch,k=C−D2
,−E2
 . Y el radio
queda determinado por: r=D2E2−4F
2 =h2k2−F .
Recta tangente T a la circunferencia en P1(x1, y1) es:
y=
r2− x−h x1−h
y1−k k
Recta tangente T en P1
r
(h,k)
h
Eje y
k
P1(x1,y1)
y1
x1 Eje x
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8. Parábola
Definición: Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo F
(foco) y una linea recta l (directriz) en el plano.
Un punto P en el plano está en la parábola si y sólo si dP ,F=dP ,Q , con Q un punto sobre l
determinado por la linea desde P perpendicular a l.
Ecuaciones de la parábola
Vértice Abertura hacia Ecuación Foco Directriz
(0, 0) arriba o abajo x2 = 4py F(0, p) y =−p
(0, 0) derecha o izquierda y2 = 4px F(p, 0) x =−p
(h,k) arriba o abajo x−h2 = 4p y−k F(h, k+p) y = k−p
(h,k) derecha o izquierda y−k2 = 4p x−h F(h+p, k) x = h−p
P(x,y)
Parábola
x2=4py
F(0,p)
Eje y
Q(x,-c)
Directriz.
“y=-c”
vértice
Recta tangente T a la parábola en P1(x1, y1)
y=
2 y1−k x−x1
x1−h y1
Eje x
Desarrollando términos de la penúltima
ecuación y simplificando obtenemos una
ecuación de la forma:
y=Ax2BxC ,
en donde los coeficientes son números reales
y A es distinta de cero.
P(x,y)
F(h+p,k)
Parábola
(y-k)2=4p(x-h)
Eje y
Eje x
Directriz. Q(h-p,y)
“x=h-p”
V(h,k)
h
k
Parábola
(x-h)2=4p(y-k)
F(h,k+p)
P
Eje y
Recta tangente T
en P1(x1, y1)
Eje x
k V(h,k)
Q
Directriz
x1
h
y1
P1
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9. Elipse
Definición: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano, tales que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos F1 y F2 , llamados focos, es constante.
Un punto P(x,y) en el plano está en la elipse si y sólo si dP ,F1dP ,F2=2a , donde 2a es la
distancia entre los dos vértices (eje mayor). Además a > c (coordenada de los focos).
Ecuaciones de la elipse
Centro Eje mayor Ecuación
para a2 > b2
Focos
con c2= a2-b2
Vértices Puntos finales
Eje menor
a2 y2
b2=1 ±c ,0 ±a,0 0,±b
(0, 0) sobre el eje “x” x2
b2 y2
a2=1 0,±c 0,±a ±b,0
(0, 0) sobre el eje “y” x2
a2  y−k2
b2 =1 h±c ,k h±a,k h,k±b
(h,k) paralelo al eje “x” x−h2
b2  y−k2
a2 =1 h,k±c h,k±a h±b,k
(h,k) paralelo al eje “y” x−h2
Desarrollando términos de la penúltima ecuación y simplificando obtenemos una ecuación de la forma:
Ax2Cy2DxEyF=0 ,
en donde los coeficientes son números
reales. A y C son reales positivos distintos.
La excentricidad “e” de una elipse es:
e=c
a .
Como la distancia focal es
c=a2−b2a, entonces 0e1.
El segmento perpendicular al eje focal que
pasa por cada foco es el llamado “lado
recto” = 2b2/a.
Recta tangente T a la elipse en P1(x1, y1)
y=−b2
x1−hx−x1
a2 ⋅
 y1 2
−k
y1
Elipse
(x-h)2 + (y-k)2 = 1
a2 b2
P
Eje y
Eje x
c
(h,k)
x1
h
Recta tangente T
en P1(x1, y1)
F2
y1
P
1
b
k
F1
2a
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10. Hipérbola
Definición: Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en el plano, tales que la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es una constante positiva.
Un punto P(x,y) en el plano está en la hipérbola si y sólo si cualquiera de las siguientes proposiciones es cierta:
dP ,F2−dP ,F1=2a o dP ,F1−dP ,F2=2a donde 2a es la distancia entre los dos vértices
(eje transversal), y además a < c (coordenada de los focos).
Ecuaciones de la hipérbola
Centro Eje
transversal
Ecuación
para a2 > b2
Focos
con c2= a2+b2
Vértices Puntos finales
Eje conjugado
Rectas
Asíntotas
(0, 0) sobre el eje
“x”
x2
a2− y2
b2=1 ±c ,0 ±a,0 0,±b y=±b
a x
(0, 0) sobre el eje
“y”
x2
b2− y2
a2=1 0,±c 0,±a ±b ,0 y=±a
b x
(h,k) paralelo al
eje “x”
x−h2
a2 − y−k2
b2 =1 h±c ,k h±a,k h,k±b y=k±b
ha x
(h,k) paralelo al
eje “y”
x−h2
b2 − y−k2
a2 =1 h,k±c h,k±a h±b,k y=k±a
hb x
Desarrollando términos de la penúltima ecuación y simplificando obtenemos una ecuación de la forma:
Ax2Cy2DxEyF=0 ,
en donde los coeficientes son
números reales. A y C son iguales con
signos opuestos.
Distancia focal: c=a2b2 .
El segmento perpendicular al eje focal
que pasa por cada foco es el llamado
“lado recto” = 2b2/a.
Recta tangente T a la hipérbola
en P1(x1, y1) es:
y=b2
x1−h x−x1
a2⋅
 y1−k
y1
P
Hipérbola
(x-h) 2 - (y-k) 2 = 1
a2 b2
Eje y
F2
Recta tangente T
en P1(x1, y1)
y1
x Eje x 1
h
P1
b
k
F1
2a
Lado recto a F 1
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