1. Se define la derivada de una función real f(x) como el límite del cociente entre la diferencia de los valores de la función en puntos próximos y la diferencia de dichos puntos cuando esta se hace infinitesimal. 2. Geométricamente, la derivada representa la pendiente de la tangente a la curva gráfica de la función en un punto, la cual coincide con la pendiente de la recta secante cuando los puntos se aproximan infinitamente. 3. Se resuelven varios ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la definición formal,

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
CIENCIAS EXACTAS
MATEMATICA SUPERIOR
DEFINICION E INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Integrantes:
 CACHAGO ESTEBAN
 GRANJA JOSE
 GRIJALVA ALEXIS
NRC: 7532
FECHA DE ENTREGA: 12/12/2021

2. Derivada
Definición:
consideremos la función real de la variable y = f(x), si x ϵ Df, entonces la derivada de dicha
función con respecto a x se puede definir por la siguiente expresión:
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Siempre que dicho limite exista, y este proceso es al que denominamos diferenciación.
Interpretación Geométrica de la Derivada
Al considerar una curva y = f(x) y un punto fijo P0(x0, y0) de dicha curva, sea Ls la recta secante
que pasa por P0(x0, y0) y el punto M(y) ϵ de f(x).
Si el punto M(y) se aproxima al punto P0(x0, y0) la recta secante Ls se ha transformado en la
recta tangente Ls, lo cual indica que el ángulo α tiende a coincidir con θ y se puede concluir
que:
𝑡𝑔(𝛼 ) =
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Y esto a su vez tiende a convertirse en:
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

3. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥
encontrar la derivada f’(x)
Solución
Si x ϵ Df 𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)− 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
(𝑥 + ∆𝑥)
1
2
−
1
𝑥
1
2
∆𝑥
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
√𝑥 − √𝑥 + ∆𝑥
√𝑥√𝑥 + ∆𝑥∆𝑥
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
√𝑥√𝑥 + ∆𝑥(√𝑥 + √𝑥 + ∆𝑥)
𝑓(𝑥) =
−1
2𝑥√𝑥
2. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2
, calcular f’(x)
Solución
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)− 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)2
− 𝑥2
∆𝑥
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2
− 𝑥2
∆𝑥
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2𝑥 + ∆𝑥
𝑓(𝑥) = 2𝑥
3. Si 𝑓(𝑥) = cos(𝑥), calcular f’(x)
Solución
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
∆𝑥

4. 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
cos(𝑥)cos(∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(∆𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
cos(𝑥)(1 − cos(∆𝑥))− 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
cos(𝑥)(0) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(1)
𝑓′(𝑥)
= −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
4. Si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
, calcular f’(x)
Solución
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑒(𝑥+∆𝑥)
− 𝑒(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑒(𝑥+∆𝑥)
− 𝑒(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑒𝑥
𝑒(∆𝑥)
− 1
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
lim
∆𝑥→0
𝑒(∆𝑥)
− 1
∆𝑥
𝑓′(𝑥)
= 𝑒𝑥
. ln(𝑒)
𝑓′(𝑥)
= 𝑒𝑥
5. Calcular f’ (-1) si 𝑓(𝑥) = 8 − 2𝑥3
Solución
𝑓′(−1) = lim
ℎ→0
𝑓(−1 + ℎ) − 𝑓(−1)
ℎ
𝑓′(−1) = lim
ℎ→0
(8 − 2(−1+ ℎ)3
) − (8 − 2(−1)3
)
ℎ
𝑓′(−1) = lim
ℎ→0
8 − 2ℎ3
+ 6ℎ + 2 − 8 − 2
ℎ
𝑓′(−1)
= lim
ℎ→0
−2ℎ2
+ 6ℎ − 6
𝑓′(−1)
= −6
6. Demostrar que la función f definida por: 𝑓(𝑥) = {
𝑥
3
2 cos(
1
𝑥
); 𝑥 > 0
0 ; 𝑥 = 0
es diferenciable en el
punto x = 0.
Solución

5. Para que f sea diferenciable en x = 0, debe existir f’(0), en efecto
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
ℎ
(
3
2
)cos
(
1
ℎ
)
ℎ
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
√ℎcos(
1
ℎ
) = 0
Luego existe f’ (0) =0 donde f(x) es la diferenciable en x=0.
7. Demostrar que la función f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3, x € R, no es diferenciable en x=0.
Para que f no sea diferenciable en x=0, debemos probar que no existe f’ (0), es decir:
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
ℎ
2
3
ℎ
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
1
ℎ
1
3
Por lo tanto, como f’ (0) no existe, donde f no es diferenciable en x = 0.
8. Hallar la función derivada de la siguiente función
f(x) = 7x + 3
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=
Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
(7(x + ∆x) + 3) − (7x + 3)
∆x
=
Operamos y simplificamos términos

6. f ’(x) = lim
∆x→0
7x + 7h + 3 − 7x − 3
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
7∆x
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
7 = 7
𝐟 ’(𝐱) = 𝟕
9. Hallar la función derivada de la siguiente función:
f(x) = 5𝑥2 + 4
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=
Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
(5(x + ∆x)2 + 4) − (5x + 4)
∆x
=
Operamos y simplificamos términos
f ’(x) = lim
∆x→0
(5(x2 + 2x ∗ ∆x + ∆x2) + 4) − (5𝑥2 + 4)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
5x2 + 10x ∗ ∆x + 5∆x2 + 4 − 5x2 − 4
∆x
=
Simplificamos términos
f ’(x) = lim
∆x→0
10x ∗ ∆x + 5∆x2
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
∆x(10x + 5∆x)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
10x + 5h = 10x
𝐟’(𝐱) = 𝟏𝟎𝐱
10. Hallar la función derivada de la siguiente función:
f(x) = 3𝑥2 − 4x + 1
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=
Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 4(x + ∆x) + 1 − (3𝑥2 − 4𝑥 + 1)
∆x
=
Operamos y simplificamos términos

7. f ’(x) = lim
∆x→0
3(𝑥2 + 2x ∗ ∆x + ∆x2)− 4(x + ∆x) + 1 − (3𝑥2 − 4𝑥 + 1)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
3𝑥2 + 6x ∗ ∆x + 3∆x2 − 4x − 4∆x + 1 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 1
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
6x ∗ ∆x + 3∆x2 − 4∆x
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
6𝑥 + 3∆x − 4
f ’(x) = 6x − 4
𝐟 ’(𝐱) = 𝟔𝒙 − 𝟒
11. Hallar la función derivada de la siguiente función:
f(x) = 𝑥4
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=
Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
(x + ∆x)4 − 𝑥4
∆x
=
Operamos y simplificamos términos
f ’(x) = lim
∆x→0
𝑥4 + 4𝑥3∆x+ 6𝑥2∆x2 + 4𝑥∆x3 + ∆x4 − 𝑥4
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
𝑥4 + 4𝑥3∆x+ 6𝑥2∆x2 + 4𝑥∆x3 + ∆x4 − 𝑥4
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
4𝑥3 ∆x + 6𝑥2∆x2 + 4𝑥∆x2 + ∆x3
𝐟 ’(𝐱) = 𝟒𝒙𝟑
12. Hallar la función derivada de la siguiente función:
f(x) = 3𝑥2 + 5𝑥 + 4
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=

8. Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 + 5(𝑥 + ∆x) + 4 − (3𝑥2 + 5x + 4)
∆x
=
Operamos y simplificamos términos
f ’(x) = lim
∆x→0
3𝑥2 + 6𝑥∆x + 3∆x2 + 5𝑥 + 5∆x + 4 − 3𝑥2 − 5𝑥 − 4
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
3∆x2 + 6𝑥∆x + 5∆x
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
3∆x + 6x + 5
f ’(x) = 6x + 5
𝐟 ’ (𝐱) = 𝟔𝒙 + 𝟓
13. Hallar la función derivada de la siguiente función
f(x) = √𝑥 + 7
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=
Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
√𝑥 + ∆x + 7 − √𝑥 + 7
∆x
=
Operamos y simplificamos términos
f ’(x) = lim
∆x→0
√𝑥 + ∆x + 7 − √𝑥 + 7
∆x
(
√𝑥 + ∆x + 7 + √𝑥 + 7
√𝑥 + ∆x + 7 + √𝑥 + 7
) =
f ’(x) = lim
∆x→0
(√𝑥 + ∆x + 7)2 − (√𝑥 + 7)2
∆x(√𝑥 + ∆x + 7 + √𝑥 + 7)
=
f ’ (x) = lim
∆x→0
x + ∆x + 7 − (x + 7)
∆x(√𝑥 + ∆x + 7 + √𝑥 + 7)
=
f ’(x) = lim
∆x→0
∆x
∆x(√𝑥 + ∆x + 7 + √𝑥 + 7)
=

9. f ’(x) = lim
∆x→0
1
(√𝑥 + ∆x + 7 + √𝑥 + 7)
=
f ’(x) =
1
(√𝑥 + 7 + √𝑥 + 7)
𝐟 ’ (𝐱) =
𝟏
(𝟐√𝒙 + 𝟕)
14. Hallar la función derivada de la siguiente función
f(x) =
𝑥 − 2
𝑥 + 3
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=
Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
(𝑥 + ∆x) − 2
(𝑥 + ∆x) + 3
−
𝑥 − 2
𝑥 + 3
∆x
=
Operamos y simplificamos términos
f ’(x) = lim
∆x→0
((𝑥 + ∆x) − 2)(𝑥 + 3) − (((𝑥 + ∆x) + 3)(x − 2))
((𝑥 + ∆x) + 3)(𝑥 + 3)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
(𝑥2 + 3𝑥 + 𝑥∆x + 3∆x − 2x − 6) − (𝑥2 − 2𝑥 + 𝑥∆x − 2∆x + 3x − 6)
((𝑥 + ∆x) + 3)(𝑥 + 3)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
𝑥2 + 3𝑥 + 𝑥∆x + 3∆x − 2x − 6 − 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥∆x + 2∆x − 3x + 6
((𝑥 + ∆x) + 3)(𝑥 + 3)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
3∆x + 2∆x
((𝑥 + ∆x) + 3)(𝑥 + 3)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
5∆x
((𝑥 + ∆x) + 3)(𝑥 + 3)
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
5∆x
∆x((𝑥 + ∆x) + 3)(𝑥 + 3)
=

10. f ’(x) = lim
∆x→0
5
((𝑥 + ∆x) + 3)(𝑥 + 3)
=
𝐟 ’(𝐱) =
𝟓
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
=
15. Hallar la función derivada de la siguiente función
f(x) =
𝑥2 − 1
2𝑥 − 3
Aplicamos la definición de derivada
f ’(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
=
Sustituimos f(x + ∆x) y f(x) por sus funciones correspondientes
f ’(x) = lim
∆x→0
(𝑥 + ∆x)2 − 1
2(𝑥 + ∆x) − 3
−
𝑥2 − 1
2𝑥 − 3
∆x
=
f ’(x) = lim
∆x→0
(𝑥2 + 2x∆x + ∆x2 − 1)(2x − 3) − (𝑥2 − 1)(2x + 2∆x − 3)
∆x(2x + 2∆x − 3)(2x − 3)
=
= lim
∆x→0
𝑥2
+ 2x∆x + ∆x2
− 2x − 3𝑥2
− 6𝑥∆x − 3∆x2
+ 3 − 2𝑥3
− 2𝑥2
∆x + 3𝑥2
+ 2𝑥 + 2∆x − 3
∆x(2x + 2∆x − 3)(2x − 3)
f ’(x) = lim
∆x→0
2𝑥2∆x + 2x∆x2
− 6𝑥∆x − 3∆x2
+ 2∆x
∆x(2x + 2∆x − 3)(2x − 3)
f ’(x) = lim
∆x→0
2𝑥2 + 2x∆x − 6𝑥 − 3∆x + 2
(2x + 2∆x − 3)(2x − 3)
f ’(x) =
2𝑥2 − 6𝑥 + 2
(2𝑥 − 3)2
16. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x2 + 2x − 1 en el punto 𝑥 = 2
SOLUCIÓN: la formula a utilizar es:y − f(2) = f(2) ∗ (x − 2)
Paso 1: debemos analizar la ecuación del problema la cual es 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 y después tener
presente que 𝑥 = 2, una vez hecho esto se debe sustituir el valor de x en la ecuación de modo que
nos deberá quedar de la siguiente manera:

11. 𝑓(2) = 22 + 2(2) − 1 = 7
En la ecuación de arriba se muestra que se ha sustituido a x, el número 7 es el resultado obtenido
si se resolviera la ecuación, ya que 2 al cuadrado equivale a 4, 2(2) equivale a 4, estos 2 resultados
sumados equivalen a 8 y por ultimo si le restamos 1 sería igual a 7.
Paso 2: Ahora debemos enfocarnos en ƒ´ la cual se presenta como a continuación se muestra:
f ′(x) = 2x + 2
No haymucho pierde aquí,tal y como el primerpasose cambiax por si valor que es2 y se resuelve la
ecuación
f ′(2) = 2(2) + 2
Por tanto podemos decir que la ecuación es:
y − 7 = 6 ∗ (x − 2)
Los que han llegado a este punto y no entienden como se sabe que ese es el resultado estarán
pensando «pero que rayos paso, íbamos por pasos y luego salió de la manga». Pues no, recuerdan
la fórmula que debíamos utilizar para el resultado, o sea 𝑦 − 𝑓(2) = 𝑓(2) ∗ (𝑥 − 2), pues
simplemente se utilizó y se sustituyeron en ella ƒ (2) y 𝑓 ′(2)que son las que resolvimos en el paso
1 y 2.
De esta manera «y» queda tal cual está en la formula, el sigo negativo se mantiene, 𝑓 (2)es
sustituida por el resultado encontrado el cual es 7, pasamos al signo de =, después se sustituye
𝑓 ′(2)por el resultado obtenido y el resto de la formula queda tal cual.
17. Determine las pendientes de las tangentes de la parábola 𝑦 = 𝑥2 en el vértice y en el punto
de abscisa 𝑥 =
1
2
SOLUCIÓN:
f′(x) = mT = (x2)′ = 2x
Luego:
𝑓′(0) = 2(0) = 𝑚𝑇 = 0 (En el vértice)

12. 𝑓′ (
1
2
) = 2(
1
2
) = 1
𝑚𝑇 = 1 (En 𝑥 =
1
2
)
18. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 − 1 en el punto 𝑥 = 2
SOLUCIÓN: Tenemos como fórmula: 𝑦 − 𝑓(2) = 𝑓′(2) ∗ (𝑥 − 2)
𝑓(2) = 22 + 2 ∗ 2 − 1 = 7
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2
𝑓′(2) = 2(2) + 2
𝑓′(2) = 6
Por lo tanto la ecuación es: 𝒚 − 𝟕 = 𝟔(𝒙 − 𝟐)
19. Dada la función f(x)=8x-x2-10, calcular la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el
punto de abscisa x=3.
SOLUCIÓN:
Tenemos la función f(x) = 8x − x2 − 10
Calculamos su derivada: f′(x) = 8 − 2x
Necesitamos:
Un punto x0 = 3y0 = f(x0) = 8(3) − 32 − 10 = 5
P(3,5)
Y la pendiente: m = f′(x0) = f′(3) = 8 − 2(3) = 2
La ecuación de la recta tangente será:
y − 5 = 2(x − 3).
Despejando 𝐲 = 𝟐𝐱− 𝟏
20. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x⊃2 en el punto de
abscisa x = 1. Determinar también la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función
en el mismo punto.

13. Solución: La ecuación de una recta de la que se conoce su pendiente m y uno de sus puntos
(y0, x0) es:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
La pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto es precisamente la
derivada en ese punto, m = f’(x0).
Hallamos la derivada de la función para x = 1 según la fórmula general de la derivada:
𝑓(1) = 12 = 1
𝑓′(1) = lim
∆x→0
(1 + ∆x)2 − 1
∆x
=
𝑓′(1) = lim
∆x→0
12 + 2∆x + ∆x 2 − 1
∆x
=
𝑓′(1) = lim
∆x→0
2∆x + ∆x 2
∆x
=
𝑓′(1) = lim
∆x→0
(∆x + 2) = 0 + 2 = 2
El valor de la derivada en ese punto es 2. Vamos a realizar el cálculo, derivando directamente
según la regla de la derivada de una potencia:
𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
𝑓′(1)
= 2(1) = 2
Llegando al mismo valor de la derivada en x = 1, o, lo que es lo mismo, al valor de la pendiente de
la recta tangente:
Con estos datos ya se puede escribir la ecuación de la recta tangente:
𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1)
𝑦 = 2𝑥 − 2 + 1 = 2𝑥 − 1
Para la recta normal a la función en ese punto, la pendiente es la inversa de la pendiente de la recta
tangente con signo contrario:
2𝑦 − 2 = −𝑥 + 1
𝑦 =
−𝑥 + 3
2
El resultado gráfico del ejercicio se ve en la imagen:

14. EJERCICIOS PROPUESTOS
Definición de la derivada
Calcular las siguientes derivadas, usando la definición
1. 𝑓(𝑥) =
2𝑥+3
3𝑥−2
Rpta. 𝑓’(𝑥) =
−13
(3𝑥−2)2
2. 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥+2
Rpta. 𝑓’(𝑥) =
1
2(𝑥+2)
3
2
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 + 1
Rpta. 𝑓’(𝑥) =
3𝑥+2
2√𝑥+1
4. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3
3
Rpta. 𝑓’(𝑥) =
2
3 √(2𝑥+3)2
3
5. 𝑓(𝑥) =
𝑥2
−1
𝑥2 +1
Rpta. 𝑓(𝑥) =
4𝑥
(𝑥2+1)2

15. 6. 𝑓(𝑥) =
𝐴𝑥+𝐵
𝐶𝑥+𝐷
Rpta. 𝑓′(𝑥)
=
𝐷𝐴−𝐶𝐵
(𝐶𝑥+𝐷)2
7. 𝑓(𝑥) =
𝑥3
+1
𝑥
Rpta. 𝑓′(𝑥) =
2𝑥3
−1
𝑥2
8. 𝑓(𝑥) = √𝑎𝑥 +
𝑎
√𝑎𝑥
Rpta. 𝑓’(𝑥) =
√𝑎2
+𝑥2
𝑥
9. 𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑎2−𝑥2
Rpta. 𝑓′(𝑥) =
𝑎2
(𝑎2−𝑥2)
3
2
10. 𝑓(𝑥) = 3𝑥
Rpta. 𝑓’(𝑥) = 3𝑥
ln(3)
11. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥)
Rpta. 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
12. 𝑓(𝑥) =
3+2𝑥
3−2𝑥
Rpta. 𝑓′(𝑥) =
−12
(2𝑥−3)2
Calcular la derivada en el punto indicado, usando la definición
13. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
+ 𝑥 + 𝑥2
,𝑎 = −3
Rpta. 𝑓’(−3) = −
46
9
14. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|3
,𝑎 = 1
Rpta. 𝑓’(−3) = 0

16. 15. 𝑓(𝑥) = 3 − √5 + 𝑥 ,𝑎 = −4
Rpta. 𝑓′(𝑥) = −
1
2
Interpretación Geométrica de la Derivada
Determinar, cuales de las siguientes funciones son derivables en los números dados por x0.
16. 𝑓(𝑥) = { √𝑥 ,𝑥 ≤ 4
2(𝑥 − 8) , 𝑥 > 4
, 𝑥0 = 4
Rpta. no es derivable en x0=4
17. 𝑓(𝑥) = |𝑥2
− 4| , 𝑥0 = 2 ^ 𝑥0 = −2
Rpta. f(x) = |x2-4| no es derivable en x=2.
18. Determinar la ecuación de la recta normal y tangente a la gráfica f(x) = x3, para x = 2.
Rpta. Tangente 𝑦 = 12𝑥 − 16
Normal 𝑦 =
−1
12
𝑥 +
49
6
19. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva 𝑓(𝑥) =
−6
𝑥
en el
punto (-2,3)
Rpta. Tangente 𝑦 =
3
2
𝑥 + 6
Normal 𝑦 − 3 =
−1
𝑚
(𝑥 + 2)
20. Calcule las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x)=x2-4 en el punto
(1,-3)
Rpta. Tangente 𝑦 = 2𝑥 − 5
Normal 𝑦 =
1−𝑥
2
− 3
Resolución

17. Calcular las siguientes derivadas, usando la definición
1. 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙+𝟑
𝟑𝒙−𝟐
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2(𝑥 − ∆𝑥) + 3
3(𝑥 − ∆𝑥) − 3
∆𝑥
𝑓’(𝑥)
= lim
∆𝑥→0
6𝑥2
+ 6𝑥∆𝑥 + 9𝑥 − 4𝑥 − 4∆𝑥 − 6 − 6𝑥2
− 9𝑥 − 6𝑥∆𝑥 − 9∆𝑥 + 4𝑥 + 6
∆𝑥(3𝑥 + 3∆𝑥 − 2)(3𝑥 − 2)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−13
(3𝑥 + 3∆𝑥 − 2)(3𝑥 − 2)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−13
(3𝑥 + 3∆𝑥 − 2)(3𝑥 − 2)
𝒇’(𝒙) =
−𝟏𝟑
(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐
2. 𝒇(𝒙) =
𝟏
√𝒙+𝟐
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
√𝑥 + ∆𝑥 + 2
−
1
√𝑥 + 2
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
√𝑥 + 2 −
√𝑥 + ∆𝑥 + 2
√𝑥 + ∆𝑥 + 2
√𝑥 + 2
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥 + 2 − 𝑥 − ∆𝑥 − 2
∆𝑥√𝑥 + 2√𝑥 + ∆𝑥 + 2(√𝑥 + 2 + √𝑥 + ∆𝑥 + 2)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
√𝑥 + 2√𝑥 + ∆𝑥 + 2(√𝑥 + 2 + √𝑥 + ∆𝑥 + 2)
𝑓’(𝑥) =
1
√𝑥 + 2√𝑥 + 2(√𝑥 + 2 + √𝑥 + 2)
𝒇’(𝒙) =
𝟏
𝟐(𝒙 + 𝟐)
𝟑
𝟐

18. 3. 𝒇(𝒙) = 𝒙√𝒙 + 𝟏
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)√𝑥 + ∆𝑥 + 1 − 𝑥√𝑥 + 1
∆𝑥
Multiplicamos por su conjugada
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥(𝑥 + 1 + ∆𝑥 − 𝑥 − 1)
∆𝑥(√𝑥 + ∆𝑥 + 1 + √𝑥 + 1)
− lim
∆𝑥→0
√𝑥 − ∆𝑥 + 1
𝑓’(𝑥) =
𝑥
(√𝑥 + 1 + √𝑥 + 1)
−√𝑥 + 1
𝒇’(𝒙) =
𝟑𝒙 + 𝟐
𝟐√𝒙 + 𝟏
4. 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
√2𝑥 + 2∆𝑥 + 3
3
− √2𝑥 + 3
3
∆𝑥
por su conjugada
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2∆𝑥
∆𝑥[ √(2𝑥 + 2∆𝑥 + 3)2
3
+ √2𝑥 + 2∆𝑥 + 3
3
√2𝑥 + 3
3
+ √(2𝑥 + 3)2
3
]
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2
[√(2𝑥 + 2∆𝑥 + 3)2
3
+ √2𝑥 + 2∆𝑥 + 3
3
√2𝑥 + 3
3
+ √(2𝑥 + 3)2
3
]
𝑓’(𝑥) =
2
[ √(2𝑥 + 3)2
3
+ √2𝑥 + 3
3
√2𝑥 + 3
3
+ √(2𝑥 + 3)2
3
]
𝒇’(𝒙) =
𝟐
𝟑 √(𝟐𝒙+ 𝟑)𝟐
𝟑
5. 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐
−𝟏
𝒙𝟐 +𝟏
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

19. 𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)2
− 1
(𝑥 + ∆𝑥)2 + 1
−
𝑥2
− 1
𝑥2 + 1
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥2[(𝑥 + ∆𝑥)2
− 1 − (𝑥 + ∆𝑥)2
− 1] + [(𝑥 + ∆𝑥)2
− 1 + (𝑥 + ∆𝑥)2
+ 1]
∆𝑥[(𝑥 + ∆𝑥)2 + 1](𝑥2 + 1)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−2𝑥2
+ 2(𝑥 + ∆𝑥)2
∆𝑥[(𝑥 + ∆𝑥)2 + 1](𝑥2 + 1)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
4𝑥 + 2∆𝑥
[(𝑥 + ∆𝑥)2 + 1](𝑥2 + 1)
𝑓(𝑥) =
4𝑥
[(𝑥)2 + 1](𝑥2 + 1)
𝒇(𝒙) =
𝟒𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
6. 𝒇(𝒙) =
𝑨𝒙+𝑩
𝑪𝒙+𝑫
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐴(𝑥 + ∆𝑥) + 𝐵
𝐶(𝑥 + ∆𝑥)+ 𝐷
−
𝐴𝑥 + 𝐵
𝐶𝑥 + 𝐷
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(𝐴𝑥 + 𝐴∆𝑥 + 𝐵)(𝐶𝑥 + 𝐷) − (𝐶𝑥 + 𝐶∆𝑥 + 𝐷)(𝐴𝑥 + 𝐵)
∆𝑥(𝐶𝑥 + 𝐶∆𝑥 + 𝐷)(𝐶𝑥 + 𝐷)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐶𝐴𝑥∆𝑥 + 𝐷𝐴∆𝑥 − 𝐶∆𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)
∆𝑥(𝐶𝑥 + 𝐶∆𝑥 + 𝐷)(𝐶𝑥 + 𝐷)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐷𝐴∆𝑥 − 𝐶𝐵∆𝑥
∆𝑥(𝐶𝑥 + 𝐶∆𝑥 + 𝐷)(𝐶𝑥 + 𝐷)
𝑓′(𝑥) =
𝐷𝐴 − 𝐶𝐵
(𝐶𝑥 + 𝐷)(𝐶𝑥 + 𝐷)
𝒇′(𝒙) =
𝑫𝑨 − 𝑪𝑩
(𝑪𝒙 + 𝑫)𝟐
7. 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑
+𝟏
𝒙
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

20. 𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)2
+ 1
𝑥 + ∆𝑥
−
𝑥3
+ 1
𝑥
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥(𝑥3
+ 3𝑥2
∆𝑥 + ∆𝑥3) + 𝑥 − (𝑥4
+ 𝑥3
∆𝑥 + 𝑥 + ∆𝑥)
𝑥∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2𝑥3
∆𝑥 + 3𝑥2
∆𝑥2
+ 𝑥∆𝑥3
− ∆𝑥
𝑥∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥)
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2𝑥3
+ 3𝑥2
∆𝑥 + 𝑥∆𝑥2
− 1
𝑥(𝑥 + ∆𝑥)
𝒇′(𝒙) =
𝟐𝒙𝟑
− 𝟏
𝒙𝟐
8. 𝒇(𝒙) = √𝒂𝒙 +
𝒂
√𝒂𝒙
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
√𝑎(𝑥 + ∆𝑥) − √𝑎𝑥 +
𝑎
√𝑎(𝑥 − ∆𝑥)
− √𝑎𝑥 −
𝑎
√𝑎𝑥
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
√𝑎(𝑥 + ∆𝑥)− √𝑎𝑥 +
𝑎(√𝑎𝑥 − √𝑎(𝑥 + ∆𝑥))
√𝑎(𝑥 − ∆𝑥)√𝑎𝑥
∆𝑥
Aplicamos la conjugada y resulta:
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑎𝑥 + 𝑎∆𝑥 − 𝑎𝑥
∆𝑥 (√𝑎(𝑥 + ∆𝑥)+ √𝑎𝑥)
+
(𝑎√𝑎(𝑥 − 𝑥 − ∆𝑥))
∆𝑥√𝑎𝑥(𝑥 + ∆𝑥)(√𝑥 + √𝑥 + ∆𝑥)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑎
(√𝑎(𝑥 + ∆𝑥) + √𝑎𝑥)
+ lim
∆𝑥→0
−𝑎√𝑎
√𝑎𝑥(𝑥 + ∆𝑥)(√𝑥 + √𝑥 + ∆𝑥)
𝑓’(𝑥) =
𝑎
(√𝑎(𝑥) + √𝑎𝑥)
−
𝑎√𝑎
√𝑎𝑥(𝑥)(√𝑥 + √𝑥)
𝑓’(𝑥) =
𝑎
(2√𝑎𝑥)
−
𝑎
𝑥(2√𝑥)
𝒇’(𝒙) =
√𝒂𝟐 + 𝒙𝟐
𝒙
9. 𝒇(𝒙) =
𝒙
√𝒂𝟐−𝒙𝟐

21. 𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥
√𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2
−
𝑥
√𝑎2 − 𝑥2
∆𝑥
Aplicamos la conjugada
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥[𝑎2
+ 𝑥2
− 𝑎2
− 𝑥2
− 2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2]
∆𝑥 (√𝑎2 − 𝑥2√𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2)[√𝑎2 − 𝑥2 + √𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2]
+ lim
∆𝑥→0
1
√𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥[𝑎2
+ 𝑥2
− 𝑎2
− 𝑥2
− 2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2]
∆𝑥 (√𝑎2 − 𝑥2√𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2)[√𝑎2 − 𝑥2 + √𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2]
+
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−𝑥[2𝑥 + ∆𝑥]
(√𝑎2 − 𝑥2√𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2)[√𝑎2 − 𝑥2 + √𝑎2 − (𝑥 + ∆𝑥)2]
+
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−𝑥[2𝑥]
(√𝑎2 − 𝑥2√𝑎2 − (𝑥)2)[√𝑎2 − 𝑥2 + √𝑎2 − (𝑥)2]
+
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑓′(𝑥) =
−𝑥[2𝑥]
(√𝑎2 − 𝑥2√𝑎2 − (𝑥)2)[√𝑎2 − 𝑥2 + √𝑎2 − (𝑥)2]
+
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑓′(𝑥) =
−𝑥2
(𝑎2 − 𝑥2)
3
2
+
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑓′(𝑥) =
−𝑥2
+ 𝑎2
− 𝑥2
(𝑎2 − 𝑥2)
3
2
𝒇′(𝒙) =
𝒂𝟐
(𝒂𝟐 − 𝒙𝟐)
𝟑
𝟐
10. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
3𝑥+∆𝑥
− 3𝑥
∆𝑥

22. 𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
3𝑥
(3∆𝑥
− 1)
∆𝑥
Aplicamos un remplazo
𝑧 = 3∆𝑥
− 1
𝑧 + 1 = 3∆𝑥
ln(𝑧 + 1) = ln(3)∆𝑥
ln(𝑧 + 1) = ∆𝑥𝑙𝑛(3)
𝑓’(𝑥) = lim
𝑧→0
3𝑥
𝑧
ln(𝑧 + 1)
ln(3)
𝑓’(𝑥) = lim
𝑧→0
3𝑥
ln(3)
ln(𝑧 + 1)
z
Aplicamos propiedades de limites
𝒇’(𝒙) = 𝟑𝒙
𝐥𝐧(𝟑)
11. 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + ∆𝑥)− cos(𝑥)
∆𝑥
Propiedad de suma de cosenos
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
cos(𝑥)cos(∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(∆𝑥) − cos(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
cos(𝑥)cos(∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(∆𝑥) − cos(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−cos(𝑥)[1 − cos(∆𝑥)] − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = −cos(𝑥) lim
∆𝑥→0
1 − cos(∆𝑥)]
∆𝑥
− 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
lim
∆𝑥→0
(𝑠𝑒𝑛(∆𝑥))
∆𝑥
Aplicamos propiedades de límites para funciones trigonométricas
𝑓′(𝑥) = −cos(𝑥)(0) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(1)
𝒇′(𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝒙)
12. 𝒇(𝒙) =
𝟑+𝟐𝒙
𝟑−𝟐𝒙

23. 𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2(𝑥 + ∆𝑥) + 3
2(𝑥 + ∆𝑥) − 3
−
3 + 2𝑥
3 − 2𝑥
∆𝑥
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
4𝑥2
+ 4𝑥∆𝑥 + 6𝑥 − 6𝑥 − 6∆𝑥 − 9 − 4𝑥2
− 6𝑥 − 4𝑥∆𝑥 − 6∆𝑥 + 6𝑥 + 9
∆𝑥(2𝑥 + 2∆𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−12∆𝑥
∆𝑥(2𝑥 + 2∆𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)
𝑓’(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−12
(2𝑥 + 2∆𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)
𝑓′(𝑥) =
−12
(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)
𝒇′(𝒙) =
−𝟏𝟐
(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐
Calcular la derivada en el punto indicado, usando la definición
13. 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
+ 𝒙 + 𝒙𝟐
,𝒂 = −𝟑
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
𝑓(−3 + ℎ) − 𝑓(−3)
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
1
ℎ − 3
+ (ℎ − 3) + (ℎ − 3)2
+
1
3
+ 3 − 9
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
1
ℎ − 3
+ ℎ + ℎ2
− 6ℎ + 9 +
1
3
− 9
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
ℎ
3(ℎ − 3) + ℎ + ℎ2
− 6ℎ
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
1
3(ℎ − 3)
+ 1 + ℎ − 6
𝑓’(−3) = −
1
9
− 5
𝒇’(−𝟑) = −
𝟒𝟔
𝟗
14. 𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝟏|𝟑
,𝒂 = 𝟏
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ

24. 𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
𝑓(1 + ℎ) − 𝑓(1)
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
|1 − ℎ − 1|3
− |1 − 1|3
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
|ℎ|3
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
|ℎ|ℎ2
ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
|ℎ|ℎ
𝑓’(−3) = lim
ℎ→0
|ℎ|ℎ
lim
ℎ→0
|ℎ| = {
−ℎ ,𝑥 < 0
ℎ ,𝑥 > 0
𝒇’(−𝟑) = 𝟎
15. 𝒇(𝒙) = 𝟑 − √𝟓 + 𝒙 ,𝒂 = −𝟒
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(−4 + ℎ) − 𝑓(−4)
ℎ
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
3 − √5 + ℎ − 4 − 3 + √5 − 4
ℎ
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
−√1 + ℎ + 1
ℎ
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
(1 − √1 + ℎ)(1 + √1 + ℎ)
ℎ(1 + √1+ ℎ)
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
−ℎ
ℎ(1 + √1+ ℎ)
𝑓′(𝑥) =
−1
(1 + √1)
𝒇′(𝒙) = −
𝟏
𝟐
Determinar, cuales de las siguientes funciones son derivables en los números dados
por x0.
16. 𝒇(𝒙) = { √𝒙 ,𝒙 ≤ 𝟒
𝟐(𝒙 − 𝟖) , 𝒙 > 𝟒
, 𝒙𝟎 = 𝟒
Probamos a la función en x=4
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓’(4) = lim
ℎ→0
𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4)
ℎ

25. 𝑓’(4) = lim
ℎ→0
√4 + ℎ − √4
ℎ
Por conjugada
𝑓’(4) = lim
ℎ→0
4 + ℎ − 4
ℎ(√4+ ℎ + √4)
𝑓’(4) = lim
ℎ→0
1
(√4 + ℎ + √4)
𝑓′(𝑥) =
1
(4)
𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓’(4) = lim
ℎ→0
𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4)
ℎ
𝑓’(4) = lim
ℎ→0
2(4 + ℎ − 8) − 2(4 − 8)
ℎ
𝑓’(4) = lim
ℎ→0
2ℎ
ℎ
𝑓’(4) = 2
lim
ℎ→0
2(4 + ℎ − 8) − 2(4 − 8)
ℎ
≠ lim
ℎ→0
√4 + ℎ − √4
ℎ
Por lo tanto, no es derivable en x0=4
17. 𝒇(𝒙) = |𝒙𝟐
− 𝟒| ,𝒙𝟎 = 𝟐 ^ 𝒙𝟎 = −𝟐
𝒇(𝒙) = {
𝒙𝟐
− 𝟒 ,−𝟐 > 𝒙 < 𝟐
𝟒 − 𝒙𝟐
, 𝒙 = 𝟐 ^ 𝒙 = −𝟐
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓’(2) = lim
ℎ→0
(2 + ℎ)2
− 4 − 22
+ 4
ℎ
𝑓’(2) = lim
ℎ→0
4ℎ + ℎ2
ℎ
𝑓’(2) = lim
ℎ→0
4 + ℎ
𝑓’(2) = 4
Para f(x) = 4-x2
𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓’(2) = lim
ℎ→0
𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ

26. 𝑓’(2) = lim
ℎ→0
4 − (2 + ℎ)2
− 4 + (2)2
ℎ
𝑓’(2) = lim
ℎ→0
−
−4ℎ + ℎ2
ℎ
𝑓’(2) = lim
ℎ→0
−4 + ℎ
𝑓’(2) = −4
𝑓’(2) = lim
ℎ→0
−4 + ℎ
lim
ℎ→0
4 − (2 + ℎ)2
− 4 + (2)2
ℎ
≠lim
ℎ→0
(2 + ℎ)2
− 4 − 22
+ 4
ℎ
Por lo tanto, f(x) = |x2-4| no es derivable en x=2.
18. Determinar la ecuación de la recta normal y tangente a la gráfica f(x) = x3, para x
= 2.
𝑚 = 𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑚 = 𝑓’(2) = lim
ℎ→0
𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ
𝑚 = 𝑓’(2) = lim
ℎ→0
(2 + ℎ)3
− (2)3
ℎ
𝑚 = 𝑓’(2) = lim
ℎ→0
12ℎ + 6ℎ2
+ ℎ3
ℎ
𝑚 = 𝑓’(2) = lim
ℎ→0
12 + 6ℎ + ℎ2
𝑚 = 𝑓’(2) = 12
La ecuación de la recta tangente es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑓(2) = 𝑚(𝑥 − 2)
𝑦 − 8 = 12(𝑥 − 2)
𝑦 = 12𝑥 − 16
La ecuación de la recta normal es:
𝑦 − 𝑦1 =
−1
𝑚
(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑓(2) =
−1
𝑚
(𝑥 − 2)

27. 𝑦 − 8 =
−1
12
(𝑥 − 2)
𝑦 =
−1
12
𝑥 +
49
6
19. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva 𝑓(𝑥) =
−6
𝑥
en el
punto (-2,3)
𝑚 = 𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑚 = 𝑓’(2) = lim
ℎ→0
𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
−6
−2 + ℎ
−
−6
−2
ℎ
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
6ℎ
(−2 + ℎ)(−2)
ℎ
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
6
(−2 + ℎ)(−2)
𝑚 = 𝑓′(𝑥) =
3
2
La ecuación de la recta tangente es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑓(−2) = 𝑚(𝑥 − (−2))
𝑦 − 3 =
3
2
(𝑥 + 2)

28. 𝑦 =
3
2
𝑥 + 6
La ecuación de la recta normal es:
𝑦 − 𝑦1 =
−1
𝑚
(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑓(−2) =
−1
𝑚
(𝑥 + 2)
𝑦 − 3 =
−1
𝑚
(𝑥 + 2)
20. Calcule las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x)=x2-4 en el
punto (1,-3)
𝑚 = 𝑓’(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑚 = 𝑓’(1) = lim
ℎ→0
𝑓(1 + ℎ) − 𝑓(1)
ℎ
𝑚 = 𝑓’(1) = lim
ℎ→0
(1 + ℎ)2
− 4 − 12
+ 4
ℎ
𝑚 = 𝑓’(1) = lim
ℎ→0
2ℎ + ℎ2
ℎ
𝑚 = 𝑓’(1) = lim
ℎ→0
2 + ℎ
𝑚 = 𝑓’(1) = 2
Ecuación tangente a la recta
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑓(1) = 𝑓′(1)(𝑥 − 1)

29. 𝑦 + 3 = 2(𝑥 − 1)
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟓
Ecuación de la recta normal
𝑦 − 𝑦1 =
−1
𝑚
(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑓(1) =
−1
2
(𝑥 − 1)
𝑦 + 3 =
−1
2
(𝑥 − 1)
𝑦 =
1 − 𝑥
2
− 3