Derivada

1. Unidad 2. LA DERIVADA
MATEMATICAS II 1
2.1 LA DERIVADA.
Si ( )00 , yxP es un punto de una gráfica de una función f, entonces la recta tangente a la
gráfica de f en P se define como la recta que pasa por P y tiene pendiente
( ) ( )0 0
tan lim
f x h f x
m
hh o
+ −
=
→
Siempre que exista el límite.
DEFINICION:
La derivada de una función f es la función 'f definida por:
El dominio de f está formado por todas las x en las que exista este límite.
NOTA: El símbolo 'f se lee “ f prima de x”
Si 0x esta en el dominio de 'f , entonces se dice que f es diferenciable o derivable en 0x .
Luego se sigue que si f es diferenciable en 0x , el valor de la derivada en 0x es
( ) ( ) ( )
tan
00
0 m
h
xfhxf
xf' lim
oh
=
−+
=
→
Es decir, la derivada de f es una función cuyo valor en 0xx = es la pendiente de la recta
tangente a f )x(
y = en 0xx = .
Al proceso de determinar la derivada se le denomina diferenciación o derivación.
La tangente a la gráfica de ( )xfy = en el punto ( )fx )0(x0,
es la línea que pasa por este
punto con pendiente ( )0' xf .
Usando la forma punto- pendiente de la ecuación de una recta con ( )00 xfy = ;
=m ( )0' xf , obtenemos la ecuación de la recta tangente en la forma
( ) ( ) ( )
h
xfhxf
lim
oh
xf'
−+
→
=

2. Unidad 2. LA DERIVADA
MATEMATICAS II 2
( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −=−
La recta que pasa por ( )fx )0(x0,
perpendicular a la tangente se llama normal a la gráfica en
ese punto.
Como las rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es –1, la pendiente de la
normal es
( )0
N xf'
1
m −=
La ecuación de la normal es
( )0N0 xxyy m −=−
Con tal de que ( ) 0' 0 ≠xf . Si ( ) 0' 0 =xf , la normal es vertical.
Su ecuación se lee: 0xx = .
Ejemplo 1.
Encontrar la derivada de ( ) 12
+= xxf
Solución:
tangente
( )xfy =
P
y
x
0x
normal

3. Unidad 2. LA DERIVADA
MATEMATICAS II 3
Ejemplo 2.
Calcular ( )2'f para ( ) xxxf 3
−= y hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva
dada en el punto ( )6,2
Solución:
Tenemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 116112' 2
0
lim
32
611
lim
0
282
32
6128
lim
0
2'
2
3
22
3
2
lim
0
22
lim
0
2'
=++=
→
++
→
=
−−−−+++
→
=
−−+−+
→
=
−+
→
=
hhf
h
h
hhh
hh
hhhh
h
f
h
hh
hh
fhf
h
f
En el punto (2,6), la pendiente de la tangente es ( ) 112' =f .
La pendiente de la normal es
( ) 11
1
2'
1
−=−
f
( ) ( ) ( )
( )
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) ( ) xhx
h
xf
h
hxh
hh
hxh
h
xf
h
xhxhx
h
xf
h
xhx
h
xf
h
xfhxf
h
xf
22lim
0
'
2
lim
0
2
2
lim
0
'
1
2
1
2
2
2
lim
0
'
1
2
1
22
lim
0
'
lim
0
'
=+
→
=
+
→
=
+
→
=
−−+++
→
=
+−++
→
=
−+
→
=





4. Unidad 2. LA DERIVADA
MATEMATICAS II 4
La ecuación de la tangente se obtiene por la fórmula punto- pendiente
( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −=− , con 20 =x , 60 =y , ( ) 11' 0 =xf .
Obtenemos:
( )2116 −=− xy
La ecuación de la normal se obtiene de la fórmula punto- pendiente ( con
11
1
−=m ).
Se lee:
( )2
11
1
6 −−=− xy .
Ejemplo 3.
Hallar la ecuación de la normal a la curva ( ) 13 3
−== xxfy en el punto (0,-1)
Solución:
Primero hallamos la pendiente de la tangente:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 030' 2
0
lim
11
3
3
lim
0
0'
11
3
3
0'
00
lim
0
0'
==
→
+−
→
=
−−−
=
−+
→
=
hf
h
h
h
h
f
h
h
f
h
fhf
h
f
Puesto que ( ) 00' =f , la tangente es horizontal. Su ecuación es 0=y .
La normal es vertical.
La fórmula
( )
( )00
0'
1
xx
f
yy −−=− no es aplicable en este caso.

5. Unidad 2. LA DERIVADA
MATEMATICAS II 5
Ejemplo 4.
En el ejemplo 1 se encontró que la derivada de ( ) 12
+= xxf es ( ) xxf 2' = . Por lo tanto,
la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto 0xx = es
( ) 00 2' xxf =
Por ejemplo, la pendiente de la recta tangente a 12
+= xy en 2=x es
( ) ( ) 4222' ==f
La pendiente en 1−=x es
( ) ( ) 2121' −=−=−f .
Y la pendiente en 0=x es
( ) ( ) 0020' ==f
Ejemplo 5.
Encontrar ( )xf ' si ( )
x
xf
1
=
Solución.
Por la definición
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 2
11
lim
0
'
lim
0
'
lim
0
'
11
lim
0
'
lim
0
'
xhxxh
xf
hxhx
h
h
xf
h
hxx
hxx
h
xf
h
xhx
h
xf
h
xfhxf
h
xf
−=
+
−
→
=
+
−
→
=
+
+−
→
=
−
+
→
=
−+
→
=

6. Unidad 2. LA DERIVADA
MATEMATICAS II 6
Además de ( )xf ' , otras notaciones para la derivada de ( )xfy = en x son:
EJERCICIOS:
dx
dy
( derivada de y respecto a x)
( )[ ]xf
dx
d
( derivada de ( )xf respecto a x)
'y ( “y” prima)
yDx ( derivada respecto a x de y)
( )[ ]xfDx ( derivada respecto a x de ( )xf )
I- Encuentre la ecuación de la recta tangente
en el punto y curva dada.
= +
=
=
+
2
1) f(x) 3x 1 En P(1,4)
3
2) f(x) 2- x En P(2,-6)
3
3) f(x)
X 5
En P(4,1)
II- Utilizando la definición, encuentre la
derivada de f respecto a x, de cada una de las
siguientes funciones:
=
= +
= +
2
1) f(x) 3 - x
1 33 2
2) f(x) x X
3 2
3) f(x) 3 x